5.2.2 导数的四则运算法则

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5.2.2 导数的四则运算法则

在例2中，当 $p_0 = 5$ 时，$p(t) = 5 \times 1.05^t$。这时，求 $p$ 关于 $t$ 的导数可以看成求函数 $f(t) = 5$ 与 $g(t) = 1.05^t$ 乘积的导数。一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢？

探究

设 $f(x) = x^2$ ， $g(x) = x$ ，计算 $[f(x) + g(x)]'$ 与 $[f(x) - g(x)]'$，它们与$f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$ 有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？

设 $y = f(x) + g(x) = x^2 + x$，因为

$\begin{array}{r l} \frac {\Delta y}{\Delta x} & = \frac {(x + \Delta x) ^ {2} + (x + \Delta x) - (x ^ {2} + x)}{\Delta x} \\ & = \frac {(\Delta x) ^ {2} + 2 x \cdot \Delta x + \Delta x}{\Delta x} \\ & = \Delta x + 2 x + 1, \end{array}$

所以

$[ f (x) + g (x) ] ^ {\prime} = y ^ {\prime} = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim _ {\Delta x \to 0} (\Delta x + 2 x + 1) = 2 x + 1.$

而

$f ^ {\prime} (x) = (x ^ {2}) ^ {\prime} = 2 x, g ^ {\prime} (x) = x ^ {\prime} = 1,$

所以

$\left[ f (x) + g (x) \right] ^ {\prime} = f ^ {\prime} (x) + g ^ {\prime} (x).$

同样地，对于上述函数， $\left[f(x)-g(x)\right]'=f'(x)-g'(x)$ .

一般地，对于两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的和（或差）的导数，我们有如下法则：

$\left[ f (x) \pm g (x) \right] ^ {\prime} = f ^ {\prime} (x) \pm g ^ {\prime} (x).$

例 3 求下列函数的导数:

(1) $y = x^3 - x + 3$; (2) $y = 2^x + \cos x$.

解：(1) y'=(x^{3}-x+3)'$$=(x^{3})'-(x)'+(3)'$$=3x^{2}-1;

(2) y'=(2^{x}+\cos x)'$$=(2^{x})'+(\cos x)'$$=2^{x}\ln 2-\sin x.

思考

设 $f(x) = x^2$ ， $g(x) = x$ ，计算 $[f(x)g(x)]'$ 与 $f^{\prime}(x)g^{\prime}(x)$ ，它们是否相等？$f(x)$ 与 $g(x)$ 商的导数是否等于它们导数的商呢？

通过计算可知， $[f(x)g(x)]' = (x^3)' = 3x^2$ ， $f^{\prime}(x)g^{\prime}(x) = 2x\cdot 1 = 2x$ ，因此$[f(x)g(x)]'\neq f'(x)g'(x)$ .同样地， $\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ 与 $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 也不相等.

事实上，对于两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：

$\begin{array}{r l} & {\left[ f (x) g (x) \right] ^ {\prime} = f ^ {\prime} (x) g (x) + f (x) g ^ {\prime} (x);} \\ & {\left[ \frac {f (x)}{g (x)} \right] ^ {\prime} = \frac {f ^ {\prime} (x) g (x) - f (x) g ^ {\prime} (x)}{\left[ g (x) \right] ^ {2}} \quad (g (x) \neq 0).} \end{array}$

由函数的乘积的导数法则可以得出

$[ c f (x) ] ^ {\prime} = c ^ {\prime} f (x) + c f ^ {\prime} (x) = c f ^ {\prime} (x),$

也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即

$[ c f (x) ] ^ {\prime} = c f ^ {\prime} (x).$

例 4 求下列函数的导数:

(1) $y = x^3\mathrm{e}^x$; (2) $y = \frac{2\sin x}{x^2}$.

解：(1) y'=(x^{3}e^{x})'$$=(x^{3})'e^{x}+x^{3}(e^{x})'$$=3x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}.

$\begin{array}{r l} (2) y ^ {\prime} & = \left(\frac {2 \sin x}{x ^ {2}}\right) ^ {\prime} \\ & = \frac {(2 \sin x) ^ {\prime} x ^ {2} - 2 \sin x (x ^ {2}) ^ {\prime}}{(x ^ {2}) ^ {2}} = \frac {2 x ^ {2} \cos x - 4 x \sin x}{x ^ {4}} \\ & = \frac {2 x \cos x - 4 \sin x}{x ^ {3}}. \end{array}$

例 5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将 1 t 水净化到纯净度为 x% 时所需费用（单位：元）为

$c (x) = \frac {5 2 8 4}{1 0 0 - x} (8 0 < x < 1 0 0).$

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：

(1) 90%; (2) 98%.