4.2.2 等差数列的前 $n$ 项和公式

文字转写

3. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{n} = m$，$a_{m} = n$，且 $n \neq m$，求 $a_{m+n}$.

4. 已知数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ 都是等差数列，公差分别为 $d_{1}$，$d_{2}$，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} + 2b_{n}$.

(1) 数列 $\{c_{n}\}$ 是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.

(2) 若 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的公差都等于 2， $a_{1}=b_{1}=1$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式.

5. 已知一个无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1}$，公差为 $d$.

（1）将数列中的前 $m$ 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

(2) 依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）依次取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？

4.2.2 等差数列的前 $n$ 项和公式

前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题.

据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

$1 + 2 + 3 + \dots + 1 0 0 = ?$

当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

$(1 + 1 0 0) + (2 + 9 9) + \dots + (5 0 + 5 1) = 1 0 1 \times 5 0 = 5 0 5 0.$

高斯的算法实际上解决了求等差数列

1, 2, 3, \dots , n, \dots\tag{①}

前 100 项的和的问题.

高斯(Gauss,1777—1855)，德国数学家，近代数学的奠基者之一。他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都作出了杰出贡献。

思考

你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前 $n$ 项和的方法吗？

对于数列①，设 $a_{n} = n$ ，那么高斯的计算方法可以表示为

$(a _ {1} + a _ {1 0 0}) + (a _ {2} + a _ {9 9}) + \dots + (a _ {5 0} + a _ {5 1}) = 1 0 1 \times 5 0 = 5 0 5 0.$

可以发现，高斯在计算中利用了

$a _ {1} + a _ {1 0 0} = a _ {2} + a _ {9 9} = \dots = a _ {5 0} + a _ {5 1}$

这一特殊关系，这就是上一小节例5中性质的应用，它使不同数的求和问题转化成了相同数（即101）的求和，从而简

你能用高斯的方法求 $1+2+\cdots+100+101$ 吗？

化了运算.

将上述方法推广到一般，可以得到：

当 $n$ 是偶数时，有

$a _ {1} + a _ {n} = a _ {2} + a _ {n - 1} = \dots = a _ {\frac {n}{2}} + a _ {\frac {n}{2} + 1},$

于是有

$\begin{array}{r l} S _ {n} & = 1 + 2 + 3 + \dots + n \\ & = (1 + n) + [ 2 + (n - 1) ] + \dots + \left[ \frac {n}{2} + \left(\frac {n}{2} + 1\right) \right] \\ & = \underbrace {(1 + n) + (1 + n) + \cdots + (1 + n)} _ {\frac {n}{2} \text {个}} \\ & = \frac {n (1 + n)}{2}. \end{array}$

当 $n$ 为奇数时，有

$\begin{array}{r l} & {S _ {n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n} \\ & {\quad = (1 + n) + [ 2 + (n - 1) ] + \dots + \left[ \left(\frac {n + 1}{2} - 1\right) + \left(\frac {n + 1}{2} + 1\right) \right] + \frac {n + 1}{2}} \\ & {\quad = \underbrace {(1 + n) + (1 + n) + \cdots + (1 + n)} _ {\frac {n - 1}{2} \text {个}} + \frac {n + 1}{2}} \\ & {\quad = \frac {n - 1}{2} \cdot (1 + n) + \frac {n + 1}{2}} \\ & {\quad = \frac {n (1 + n)}{2}.} \end{array}$

所以，对任意正整数 $n$ ，都有

$S _ {n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac {n (1 + n)}{2}.$

思考

我们发现，在求前 $n$ 个正整数的和时，要对 $n$ 分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦．能否设法避免分类讨论？

如果对公式 $S_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ 作变形，可得

$2 S _ {n} = 2 (1 + 2 + 3 + \dots + n) = n (n + 1),$

它相当于两个 $S_{n}$ 相加，而结果变成 $n$ 个 $(n + 1)$ 相加.

受此启发，我们得到下面的方法：

$\begin{array}{l} S _ {n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n, \\ S _ {n} = n + (n - 1) + (n - 2) + \dots + 1, \end{array}$

将上述两式相加，可得

$\begin{array}{r l} 2 S _ {n} & = (n + 1) + [ (n - 1) + 2 ] + [ (n - 2) + 3 ] + \dots + (1 + n) \\ & = \underbrace {(1 + n) + (1 + n) + \cdots + (1 + n)} _ {n \text {个}} \\ & = n (n + 1), \end{array}$

所以

$S _ {n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac {n (n + 1)}{2}.$

探究

上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和吗？

可以发现，上述方法的妙处在于将 $1+2+3+\cdots+n$ “倒序” 为 $n+(n-1)+(n-2)+\cdots+1$ ，再将两式相加，得到 n 个相同的数（即 $n+1$ ）相加，从而把不同数的求和转化为 n 个相同的数求和.

对于等差数列 $\{a_{n}\}$ ，因为 $a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=\cdots=a_{n}+a_{1}$ ，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示 $S_{n}$ ：

S _ {n} = a _ {1} + a _ {2} + \dots + a _ {n},\tag{②}

S _ {n} = a _ {n} + a _ {n - 1} + \dots + a _ {1}.\tag{③}

②+③，得

$\begin{array}{r l} 2 S _ {n} & = (a _ {1} + a _ {n}) + (a _ {2} + a _ {n - 1}) + \dots + (a _ {n} + a _ {1}) \\ & = \underbrace {(a _ {1} + a _ {n}) + (a _ {1} + a _ {n}) + \cdots + (a _ {1} + a _ {n})} _ {n \text {个}} \\ & = n (a _ {1} + a _ {n}). \end{array}$

由此得到等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和公式

…

S _ {n} = \frac {n (a _ {1} + a _ {n})}{2}.\tag{1}

将（1）变形可得

对于等差数列 $\{a_{n}\}$，利用公式（1），只要已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}$ 和末项 $a_{n}$，就可以求得前 $n$ 项和 $S_{n}$。另外，如果已知首项 $a_{1}$ 和公差 $d$，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用 $a_{1}$ 和 $d$ 来表示 $S_{n}$。

$\frac {a _ {1} + a _ {n}}{2} = \frac {a _ {1} + a _ {2} + \cdots + a _ {n}}{n},$

把等差数列的通项公式 $a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$ 代入公式(1)，可得

S _ {n} = n a _ {1} + \frac {n (n - 1)}{2} d.\tag{2}

所以 $\frac{a_{1}+a_{n}}{2}$ 就是等差数列 $\{a_{n}\}$ 前n项的平均数。实际上，我们就是利用等差数列的这一重要特性来推导它的前n项和的。你还能发现这一特性的一些应用吗？

思考

不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？

例 6 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列.

(1) 若 $a_{1}=7,\ a_{50}=101$ ，求 $S_{50}$ ;

(2) 若 $a_{1}=2,\ a_{2}=\frac{5}{2}$ ，求 $S_{10}$ ;

?

(3) 若 $a_1 = \frac{1}{2}$, $d = -\frac{1}{6}$, $S_n = -5$, 求 $n$.

对于等差数列 $\{a_{n}\}$ 的相关量 $a_{1}, a_{n}, d, n, S_{n}$ ，已知几个量就可以确定其他量？

分析：对于（1），可以直接利用公式 $S_{n} = \frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}$ 求和；在（2）中，可以先利用 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的值求出 $d$，再利用公式 $S_{n} = na_{1} + \frac{n(n - 1)}{2} d$ 求和；（3）已知公式 $S_{n} = na_{1} + \frac{n(n - 1)}{2} d$ 中的 $a_{1}$，$d$ 和 $S_{n}$，解方程即可求得 $n$。

解：（1）因为 $a_1 = 7$ ， $a_{50} = 101$ ，根据公式 $S_{n} = \frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}$ ，可得

$S _ {5 0} = \frac {5 0 \times (7 + 1 0 1)}{2} = 2 7 0 0.$

(2) 因为 $a_{1}=2,\ a_{2}=\frac{5}{2}$ ，所以 $d=\frac{1}{2}$ 。根据公式 $S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$ ，可得

$S _ {1 0} = 1 0 \times 2 + \frac {1 0 \times (1 0 - 1)}{2} \times \frac {1}{2} = \frac {8 5}{2}.$

(3) 把 $a_{1}=\frac{1}{2}$ , $d=-\frac{1}{6}$ , $S_{n}=-5$ 代入 $S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$ , 得

$- 5 = \frac {1}{2} n + \frac {n (n - 1)}{2} \times \left(- \frac {1}{6}\right).$

整理，得

$n ^ {2} - 7 n - 6 0 = 0.$

解得

n=12，或 n=-5（舍去）.

所以

$n = 1 2.$

例7 已知一个等差数列 $\{a_{n}\}$ 前10项的和是310，前20项的和是1220。由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？

分析：把已知条件代入等差数列前 $n$ 项和的公式（2）后，可得到两个关于 $a_1$ 与 $d$ 的二元一次方程。解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得 $a_1$ 和 $d$。

解：由题意，知

$S _ {1 0} = 3 1 0, S _ {2 0} = 1 2 2 0.$

把它们代入公式

$S _ {n} = n a _ {1} + \frac {n (n - 1)}{2} d,$

得

$\left\{ \begin{array}{l} 1 0 a _ {1} + 4 5 d = 3 1 0, \\ 2 0 a _ {1} + 1 9 0 d = 1 2 2 0. \end{array} \right.$

解方程组，得

$\left\{ \begin{array}{l} a _ {1} = 4, \\ d = 6. \end{array} \right.$

所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.

一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定.

探究

已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = pn^{2} + qn + r$，其中 $p, q, r$ 为常数，且 $p \neq 0$。任取若干组 $p, q, r$，在电子表格中计算 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 的值（图4.2-3给出 $p = 1, q = 2, r = 0$ 的情况），观察数列 $\{a_{n}\}$ 的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论。

● ●

图 4.2-3 中的电子表格 A 列中 A1, A2, A3 分别表示 p, q, r 的值, B 列、C 列中分别是相应的 $S_{n}$ 和 $a_{n}$ 的值.

练习

1. 根据下列各题中的条件，求相应等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.

(1) $a_1 = 5, a_n = 95, n = 10$; (2) $a_1 = 100, d = -2, n = 50$;

(3) $a_1 = -4, a_8 = -18, n = 10$; (4) $a_1 = 14.5, d = 0.7, a_n = 32$.

2. 等差数列-1，-3，-5，…的前多少项的和是-100？

3. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项的和，若 $S_{4} = 6$，$S_{8} = 20$，求 $S_{16}$.

4. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $S_{15} = 5(a_{2} + a_{6} + a_{k})$ ，求 $k$

5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为 290，所有偶数项的和为 261。求此数列中间一项的值以及项数。

例 8 某校新建一个报告厅，要求容纳 800 个座位，报告厅共有 20 排座位，从第 2 排起后一排都比前一排多 2 个座位。问第 1 排应安排多少个座位。

分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列 $\{a_{n}\}$。设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$。由题意可知，$\{a_{n}\}$ 是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前 $n$ 项和公式求首项。

解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列$\{a_{n}\}$，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$。根据题意，数列 $\{a_{n}\}$ 是一个公差为2的等差数列，且 $S_{20} = 800$。

由 $S_{20} = 20a_{1} + \frac{20\times(20 - 1)}{2}\times 2 = 800$ ，可得

$a _ {1} = 2 1.$

因此，第1排应安排21个座位.

例9 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，若 $a_{1} = 10$，公差 $d = -2$，则 $S_{n}$ 是否存在最大值？若存在，求 $S_{n}$ 的最大值及取得最大值时 $n$ 的值；若不存在，请说明理由.

分析：由 $a_1 > 0$ 和 $d < 0$ ，可以证明 $\{a_n\}$ 是递减数列，且存在正整数 $k$ ，使得当 $n \geqslant k$ 时，$a_n < 0$ ，$S_n$ 递减。这样，就把求 $S_n$ 的最大值转化为求 $\{a_n\}$ 的所有正数项的和。

另一方面，等差数列的前 $n$ 项和公式可写成 $S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2})n$，所以当 $d \neq 0$ 时，$S_{n}$ 可以看成二次函数 $y = \frac{d}{2} x^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2})x (x \in \mathbf{R})$ 当 $x = n$ 时的函数值。如图4.2-4，当 $d < 0$ 时，$S_{n}$ 关于 $n$ 的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点。因此，可以利用二次函数求相应的 $n$，$S_{n}$ 的值。

解法1：由 $a_{n + 1} - a_n = -2 < 0$ ，得 $a_{n + 1} < a_n$ ，所以 $\{a_n\}$ 是递减数列.

又由 $a_{n} = 10 + (n - 1)\times (-2) = -2n + 12$ ，可知：

图4.2-4

当 $n < 6$ 时， $a_{n} > 0$ 当 $n = 6$ 时， $a_{n} = 0$ 当 $n > 6$ 时， $a_{n} < 0$

所以

$S _ {1} < S _ {2} < \dots < S _ {5} = S _ {6} > S _ {7} > \dots .$

也就是说，当 $n = 5$ 或6时， $S_{n}$ 最大.

因为 $S_{5} = \frac{5}{2}\times [2\times 10 + (5 - 1)\times (-2)] = 30$ ，所以 $S_{n}$ 的最大值为30.

解法2：因为 S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + \left(a_{1} - \frac{d}{2}\right)n$$= -n^{2} + 11n$$= -\left(n - \frac{11}{2}\right)^{2} + \frac{121}{4},

想一想，这是为什么？

所以，当 $n$ 取与 $\frac{11}{2}$ 最接近的整数即5或6时，$S_{n}$ 最大，最大值为30.

思考

在例9中，当 $d = -3.5$ 时，$S_{n}$ 有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前 $n$ 项和的最大值问题.

练习

1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元。你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？

2. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{1}{4} n^{2} + \frac{2}{3} n + 3$. 求这个数列的通项公式.

3. 已知等差数列 -4.2, -3.7, -3.2, … 的前 n 项和为 $S_{n}$ , $S_{n}$ 是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时 n 的值.

4. 求集合 $M = \{m \mid m = 2n - 1, n \in \mathbf{N}^*\}$，且 $m < 60$ 中元素的个数，并求这些元素的和.

*5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n - 2}{2n - 15}$，前 $n$ 项和为 $S_{n}$。求 $S_{n}$ 取得最小值时 $n$ 的值。

习题4.2

复习巩固

1. 根据下列等差数列 $\{a_{n}\}$ 中的已知量，求相应的未知量：

(1) $a_1 = 20, a_n = 54, S_n = 999$, 求 $d$ 及 $n$; (2) $d = \frac{1}{3}, n = 37, S_n = 629$, 求 $a_1$ 及 $a_n$;

(3) $a_1 = \frac{5}{6}, d = -\frac{1}{6}, S_n = -5$，求 $n$ 及 $a_n$；(4) $d = 2, n = 15, a_n = -10$，求 $a_1$ 及 $S_n$.

2. 已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，$a_{1} + a_{3} + a_{5} = 105$，$a_{2} + a_{4} + a_{6} = 99$。求 $a_{20}$。

3.（1）求从小到大排列的前 $n$ 个正偶数的和.

(2) 求从小到大排列的前 n 个正奇数的和.

(3) 在三位正整数的集合中有多少个数是 5 的倍数？求这些数的和.

（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？

4. 1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似。他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归。这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年。请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份。

综合运用

5. 已知一个多边形的周长等于 $158 \mathrm{~cm}$, 所有各边的长成等差数列, 最大的边长为 $44 \mathrm{~cm}$, 公差为 $3 \mathrm{~cm}$. 求这个多边形的边数.

6. 数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ 都是等差数列，且 $a_{1} = 5$，$b_{1} = 15$，$a_{100} + b_{100} = 100$。求数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前100项的和。

7. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1) 证明 $\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 是等差数列；

(2) 设 $T_{n}$ 为数列 $\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 的前 n 项和，若 $S_{4}=12, S_{8}=40$ ，求 $T_{n}$ .

8. 已知两个等差数列 2, 6, 10, …, 190 及 2, 8, 14, …, 200, 将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列. 求这个新数列的各项之和.

9. 一支车队有 15 辆车，某天下午依次出发执行运输任务。第一辆车于 14 时出发，以后每间隔 10 min 发出一辆车。假设所有的司机都连续开车，并都在 18 时停下来休息。

(1) 截止到 18 时，最后一辆车行驶了多长时间？

(2) 如果每辆车行驶的速度都是 $60 \, km/h$ ，这个车队当天一共行驶了多少千米？

拓广探索

10. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$，求证 $\frac{a_{m} - a_{n}}{m - n} = d$。你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？

11. 虎甲虫以爬行速度快闻名，下表记录了一只虎甲虫连续爬行 $n \, s \, (n=1, 2, \cdots, 10)$ 时爬行的距离.

(1) 你能建立一个数列模型, 近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离与时间之间的关系吗?

(2) 利用建立的模型计算, 这只虎甲虫连续爬行 $1 \mathrm{~min}$ 能爬多远 (精确到 $0.01 \mathrm{~m}$)? 它连续爬行 $10 \mathrm{~m}$ 需要多长时间 (精确到 $0.1 \mathrm{~s}$)?

12. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”。“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列 $\{a_{n}\}$ .

(1) 写出数列 $\{a_{n}\}$ 的一个递推公式；

• (2) 根据 (1) 中的递推公式, 写出数列 $\{a_{n}\}$ 的一个通项公式.