8.2 一元线性回归模型及其应用

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8.2 一元线性回归模型及其应用

通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等。进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测。

下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题.

8.2.1 一元线性回归模型

生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高。为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表8.2-1所示。

利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表8.2-1中的成对样本数据表示为散点图，如图8.2-1所示。可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关。利用统计软件，求得样本相关系数为 $r\approx0.886$ ，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高。

思考

根据表8.2-1中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？

在表 8.2-1 的数据中，存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况。例如，第 6 个和第 8 个观测的父亲身高均为 172 cm，而对应的儿子身高分别为 176 cm 和 174 cm；同样，第 3，4 两个观测中，儿子身高都是 170 cm，而父亲身高分别为 173 cm 和 169 cm。可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画。

图 8.2-1 中的散点大致分布在一条直线附近，表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关系，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型。其中，随机误差是一个随机变量。

用 $x$ 表示父亲身高，$Y$ 表示儿子身高，$e$ 表示随机误差。假定随机误差 $e$ 的均值为 0，方差为与父亲身高无关的定值 $\sigma^2$，则它们之间的关系可以表示为

\left\{ \begin{array}{l} Y = b x + a + e, \\ E (e) = 0, D (e) = \sigma^ {2}. \end{array} \right.\tag{1}

为什么假设 $E(e) = 0$ ，而不假设其为某个不为0的常数？

我们称（1）式为 $Y$ 关于 $x$ 的一元线性回归模型（simple linear regression model）。其中，$Y$ 称为因变量或响应变量，$x$ 称为自变量或解释变量；$a$ 和 $b$ 为模型的未知参数，$a$ 称为截距参数，$b$ 称为斜率参数；$e$ 是 $Y$ 与 $bx + a$ 之间的随机误差。模型中的 $Y$ 也是随机变量，其值虽然不能由变量 $x$ 的值确定，但是却能表示为 $bx + a$ 与 $e$ 的和（叠加），前一部分由 $x$ 所确定，后一部分是随机的。如果 $e = 0$，那么 $Y$ 与 $x$ 之间的关系就可用一元线性函数模型来描述。

对于父亲身高 $x$ 和儿子身高 $Y$ 的一元线性回归模型（1），可以解释为父亲身高为 $x_{i}$ 的所有男大学生的身高组成一个子总体，该子总体的均值为 $bx_{i} + a$ ，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系。而对于父亲身高为 $x_{i}$ 的某一名男大学生，他的身高 $y_{i}$ 并不一定为 $bx_{i} + a$ ，它仅是该子总体中的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项 $e_{i} = y_{i} - (bx_{i} + a)$ 。

思考

你能结合具体实例解释产生模型（1）中随机误差项的原因吗？

在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差 $e$ 的原因有：

（1）除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等；

(2) 在测量儿子身高时, 由于测量工具、测量精度所产生的测量误差;

（3）实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差 $e$ 的原因.