7.3.2 离散型随机变量的方差

文字转写

(2) 求 $E(3X+2)$ .

2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，求得分X的均值.

3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在 $1\mathrm{h}$ 内生产出的次品数分别为 $X_{1}$，$X_{2}$，其分布列分别为

7.3.2 离散型随机变量的方差

随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”。因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小。所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征。

问题 2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录, 甲、乙两名同学击中目标靶的环数 X 和 Y 的分布列如表 7.3-6 和表 7.3-7 所示.

通过计算可得，

$E (X) = 8, E (Y) = 8.$

因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.

评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度。图7.3-2和图7.3-3分别是 $X$ 和 $Y$ 的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定。

思考

怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？

我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的。一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？

设离散型随机变量 X 的分布列如表 7.3-8 所示.

考虑 X 所有可能取值 $x_{i}$ 与 $E(X)$ 的偏差的平方 $(x_{1}-E(X))^{2}$ ， $(x_{2}-E(X))^{2}$ ， $\cdots$ ， $(x_{n}-E(X))^{2}$ 。因为 X 取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量 X 取值与其均值 $E(X)$ 的偏离程度。我们称

$\begin{array}{r l} D (X) & = (x _ {1} - E (X)) ^ {2} p _ {1} + (x _ {2} - E (X)) ^ {2} p _ {2} + \dots + (x _ {n} - E (X)) ^ {2} p _ {n} \\ & = \sum_ {i = 1} ^ {n} (x _ {i} - E (X)) ^ {2} p _ {i} \end{array}$

为随机变量 X 的方差(variance)，有时也记为 $Var(X)$ ，并称 $\sqrt{D(X)}$ 为随机变量 X 的标准差(standard deviation)，记为 $\sigma(X)$ .

随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。

现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性。由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为

$\begin{array}{r l} D (X) & = \sum_ {i = 6} ^ {1 0} (i - 8) ^ {2} P (X = i) = 1. 1 6, \sqrt {D (X)} \approx 1. 0 7 7; \\ D (Y) & = \sum_ {i = 6} ^ {1 0} (i - 8) ^ {2} P (Y = i) = 0. 9 2, \sqrt {D (Y)} \approx 0. 9 5 9. \end{array}$

因为 $D(Y)<D(X)$ (等价地， $\sqrt{D(Y)}<\sqrt{D(X)}$ )，所以随机变量 Y 的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.

在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化.

$\begin{array}{r l} D (X) & = \sum_ {i = 1} ^ {n} (x _ {i} - E (X)) ^ {2} p _ {i} \\ & = \sum_ {i = 1} ^ {n} (x _ {i} ^ {2} - 2 E (X) x _ {i} + (E (X)) ^ {2}) p _ {i} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} ^ {2} p _ {i} - 2 E (X) \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} p _ {i} + (E (X)) ^ {2} \sum_ {i = 1} ^ {n} p _ {i} \\ = \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} ^ {2} p _ {i} - (E (X)) ^ {2}. \end{array}$

方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质.

探究

离散型随机变量 $X$ 加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量 $X$ 乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？

离散型随机变量 $X$ 加上一个常数 $b$，其均值也相应加上常数 $b$，故不改变 $X$ 与其均值的离散程度，方差保持不变，即

$D (X + b) = D (X).$

而离散型随机变量 $X$ 乘以一个常数 $a$ ，其方差变为原方差的 $a^2$ 倍，即

$D (a X) = a ^ {2} D (X).$

一般地，可以证明下面的结论成立：

$D (a X + b) = a ^ {2} D (X).$

例 5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数 X 的方差.

解：随机变量 X 的分布列为

$P (X = k) = \frac {1}{6}, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.$

因为

$E (X) = \frac {7}{2}, \sum_ {k = 1} ^ {6} (k ^ {2} \times \frac {1}{6}) = \frac {1}{6} (1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} + 6 ^ {2}) = \frac {9 1}{6},$

所以

$D (X) = \sum_ {k = 1} ^ {6} (k ^ {2} \times \frac {1}{6}) - \left(\frac {7}{2}\right) ^ {2} = \frac {3 5}{1 2}.$

例 6 投资 A, B 两种股票, 每股收益的分布列分别如表 7.3-9 和表 7.3-10 所示.

(1) 投资哪种股票的期望收益大?

(2) 投资哪种股票的风险较高?

分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值。投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低。

解：（1）股票 A 和股票 B 投资收益的期望分别为

$E (X) = (- 1) \times 0. 1 + 0 \times 0. 3 + 2 \times 0. 6 = 1. 1,$

$E (Y) = 0 \times 0. 3 + 1 \times 0. 4 + 2 \times 0. 3 = 1.$

因为 $E(X) > E(Y)$ ，所以投资股票 A 的期望收益较大.

(2) 股票 A 和股票 B 投资收益的方差分别为

$D (X) = (- 1) ^ {2} \times 0. 1 + 0 ^ {2} \times 0. 3 + 2 ^ {2} \times 0. 6 - 1. 1 ^ {2} = 1. 2 9,$

$D (Y) = 0 ^ {2} \times 0. 3 + 1 ^ {2} \times 0. 4 + 2 ^ {2} \times 0. 3 - 1 ^ {2} = 0. 6.$

● ●

因为 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 相差不大，且 $D(X) > D(Y)$ ，所以投资股票 A 比投资股票 B 的风险高.

在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小.

随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度。在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释。例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等。

练习

1. 已知随机变量 X 的分布列为

求 $D(X)$ 和 $\sigma (2X + 7)$

2. 若随机变量 X 满足 $P(X=c)=1$ ，其中 c 为常数，求 $D(X)$ .

3. 甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差 $X$ 和 $Y$ （单位： $\mathrm{cm}$ )的分布列如下：

先直观判断 X 和 Y 的分布哪一个离散程度大，再分别计算 X 和 Y 的方差，验证你的判断.

习题7.3

复习巩固

1. 某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况。按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润-300元。据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1。求每部手机利润的均值和方差。

2. 现要发行 10 000 张彩票，其中中奖金额为 2 元的彩票 1 000 张，10 元的彩票 300 张，50 元的彩票 100 张，100 元的彩票 50 张，1 000 元的彩票 5 张。1 张彩票中奖金额的均值是多少元？

3. 随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X = 0) = 0.2$，$P(X = 1) = a$，$P(X = 2) = b$。若 $E(X) = 1$，求 $a$ 和 $b$。

4. 在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确。如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25。请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0。

5. 证明： $D(aX+b)=a^{2}D(X)$ .

综合运用

6. 有 A 和 B 两道谜语，张某猜对 A 谜语的概率为 0.8，猜对得奖金 10 元；猜对 B 谜语的概率为 0.5，猜对得奖金 20 元。规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道。如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？

7. 甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为 X 和 Y(单位：s)，其分布列为甲品牌的走时误差分布列 乙品牌的走时误差分布列

拓广探索

8. 设 $E(X) = \mu$ ，$a$ 是不等于 $\mu$ 的常数，探究 $X$ 相对于 $\mu$ 的偏离程度与 $X$ 相对于 $a$ 的偏离程度的大小关系，并说明结论的意义.