7.3.2 离散型随机变量的方差

上一节把一张分布列压成了一个数——均值。这一节回答紧接着的问题：一个数压得太狠了，压丢了什么？

课本用两名射箭同学开场：$E(X)=E(Y)=8$，均值分毫不差，可两张分布列明显不是一回事—— 一个成绩摊得开，一个紧紧挤在 $8$ 环上。均值说的是「在哪儿」，说不了「散得多开」。 这一节补上第二个数：方差。

本节页面（第 72—76 页）覆盖 §7.3.2，末尾还印着整章的 习题7.3。这一份按 “为什么要 → 怎么定义 → 怎么算快 → 两条性质 → 实际问题里怎么读”的顺序讲。

一、方差：把「偏差平方」再取一次加权平均

设离散型随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X=x_i)=p_i$（$i=1,2,\cdots,n$），记 $E(X)$ 为它的均值。称

$$D(X)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-E(X)\bigr)^2p_i$$

为 $X$ 的方差（也记作 $\mathrm{Var}(X)$）；称 $\sqrt{D(X)}$ 为标准差，记作 $\sigma(X)$。

三件事要一起记住：

1. 它量的是「离均值有多远」，而不是「离原点有多远」。每一项都是与 $E(X)$ 的偏差。
2. 权还是概率。这和均值的定义同一个套路：先算出每个取值的偏差平方，再按它出现的概率加权。 所以方差是「偏差平方的均值」——一句话就是 $D(X)=E\bigl[(X-E(X))^2\bigr]$。
3. 为什么平方而不是绝对值：偏差直接加权必然得 $0$（那正是均值的定义式移项）， 非得先消掉正负号；平方比绝对值好算（可展开、可求和），代价是单位变成了平方。 标准差就是为把单位换回来而设的——$X$ 以环为单位，$\sigma(X)$ 也以环为单位，$D(X)$ 是「环²」。

方差越小，取值越集中；越大，越分散。 射箭那两位：$D(X)=1.16$、$D(Y)=0.92$， $\sqrt{D(X)}\approx1.077$、$\sqrt{D(Y)}\approx0.959$，所以乙更稳。 两个数字特征合起来才够用：均值定水平，方差定稳定性。

二、算得快的那个式子：$D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2$

把定义式展开一次就得到它（课本第 73—74 页那半页推导）：

$$D(X)=\sum_i\bigl(x_i^2-2E(X)x_i+(E(X))^2\bigr)p_i =\sum_i x_i^2p_i-2E(X)\sum_i x_ip_i+(E(X))^2\sum_i p_i ,$$

而 $\sum_i x_ip_i=E(X)$、$\sum_i p_i=1$，于是

$$D(X)=\sum_i x_i^2p_i-\bigl(E(X)\bigr)^2=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2 .$$

该用哪一个？

• $E(X)$ 是整数或一位小数时，定义式与这个式子差不多；
• $E(X)$ 是分数或多位小数时（骰子的 $\frac72$、股票的 $1.1$），一律用 $E(X^2)-(E(X))^2$—— 定义式要把那个难看的数减 $n$ 次、平方 $n$ 次，这个式子只平方一次。 课本例 5（骰子）就是这么算的：$E(X)=\frac72$、$E(X^2)=\frac{91}{6}$， 故 $D(X)=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}$。

顺带记一条必然成立的检验：$E(X^2)\ge\bigl(E(X)\bigr)^2$，因为左减右等于方差、方差非负。 算出负的方差，一定是哪一步错了——这是本节最省事的自检。

三、两条性质，以及它们与均值那两条的差别

$$D(X+b)=D(X),\qquad D(aX)=a^2D(X),\qquad\text{于是}\qquad D(aX+b)=a^2D(X).$$

第一条的道理不必算：$X$ 整体平移 $b$，均值也跟着平移 $b$，每个取值与均值的距离一个都没变， 离散程度当然不变。第二条则是「距离都乘了 $|a|$、平方就乘了 $a^2$」。

和均值那两条摆在一起看，差别一目了然：

$b$ 在方差里彻底消失、$a$ 在方差里平方——这两句是本节最常考的一句半。 标准差那一格的 $\lvert a\rvert$ 尤其容易掉：$\sigma(-2X+7)=2\sigma(X)$，不是 $-2\sigma(X)$ （标准差是非负数，出现负号就一定错了）。

四、实际问题里方差读作什么

同一个 $D(X)$，换个背景换一个名字（课本第 75 页把这层意思专门点了出来）：

• 随机变量是测试成绩 → 方差小 = 技能稳定；
• 是加工误差 → 方差小 = 精度高；
• 是投资收益 → 方差大 = 风险高。

于是决策题有一套固定的读法（课本例 6 投资 A、B 两种股票就是模板）：

1. 先比均值。 均值差得多，直接选均值大的（或损失小的），方差不必算。
2. 均值相近，再比方差。 这时方差才是决胜的那个数——“相近”三个字要自己判断并写出来， 例 6 的解答里就明写着「因为 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 相差不大」这句前提。
3. 结论要回到实际语言。 「$D(X)>D(Y)$」不是答案，「投资股票 A 的风险比 B 高」才是。

例 6 的数：$E(X)=1.1>E(Y)=1$（A 的期望收益大），而 $D(X)=1.29>D(Y)=0.6$（A 的风险高）—— 收益高的那个风险也高，这不是巧合，而是这类题目要读者看到的张力：两个数字特征各说一半， 选哪个取决于愿不愿意担风险。课本紧接着那句「可以选择适当比例投资两种股票」是后续课程的入口， 不必现在展开。

五、均值是「最好的基准」：方差为什么盯着 $E(X)$ 不放

定义里那个减号后面为什么非得是 $E(X)$？换成别的常数 $a$ 行不行？算一次就清楚了 （这正是 习题7.3 第 8 题）。记 $\mu=E(X)$，则对任意常数 $a$，

$$E\bigl[(X-a)^2\bigr]=E\bigl[(X-\mu+\mu-a)^2\bigr] =D(X)+2(\mu-a)\underbrace{E(X-\mu)}_{=0}+(\mu-a)^2 =D(X)+(\mu-a)^2 .$$

所以 $a\ne\mu$ 时 $E[(X-a)^2]>D(X)$：在所有常数里，$X$ 相对于均值的偏离程度最小， 而方差恰好是这个最小值。这一条给了均值一个新身份——它不只是”平均水平”， 还是离 $X$ 最近的那个常数（在偏差平方的意义下）。用一个常数去代表 $X$， 选均值的损失最小；多出来的那 $(\mu-a)^2$ 就是选错基准的代价。

一种特别省事的情形：偏差平方只取 $0$ 与 $1$

定义式要求把每个 $(x_i-\mu)^2$ 算出来再加权，一般绕不开。但有一类分布， 所有取值到 $\mu$ 的距离只有 $0$ 和 $1$ 两种（即取值形如 $\mu-1,\ \mu,\ \mu+1$）。 这时 $(X-\mu)^2$ 本身就只取 $0$ 与 $1$——这种只取 $0$ 与 $1$ 的随机变量叫示性量， 而示性量的期望等于”取 $1$“那个事件的概率。于是

$$D(X)=E\bigl[(X-\mu)^2\bigr]=P\bigl((X-\mu)^2=1\bigr)=P\bigl(X\ne E(X)\bigr).$$

方差不用算，数一个概率就完了。 更一般地，距离只取 $0$ 与 $d$ 时 $D(X)=d^2\,P(X\ne\mu)$。

前提必须说死：是距离恰为 $0$ 或 $1$，不是”取值是整数”、也不是”取值相邻”。 取值 $0,1,2$ 而 $E(X)=1.2$ 就不合格（距离是 $1.2,\ 0.2,\ 0.8$），照样得老实算。 合格的最常见形态就一种：取值 $0,1,2$ 且 $E(X)=1$——2014 年浙江卷第 12 题正是它。

这条还顺带给出一个界：这类变量的 $D(X)=P(X\ne\mu)\le 1$， 取到 $1$ 当且仅当 $P(X=\mu)=0$，也就是概率全压在两端、各占一半的时候（偏离最狠）； $P(X=\mu)$ 越大方差越小，全压在中间就退化成常数、方差为 $0$。 方差在这里被翻译成了一句大白话：偏离中心的概率有多大。

它不是第二段那个 $E(X^2)-(E(X))^2$ 的替代品，而是在特殊结构下再省一步； 看不出结构时就退回快速公式，别在考场上硬凑。

六、易错清单（按失分频率排）

1. $D(aX+b)$ 里把 $a^2$ 写成 $a$，或者把 $b$ 也加上去。 正确的是 $a^2D(X)$： $a$ 平方、$b$ 消失。
2. 标准差乘常数丢绝对值。 $\sigma(aX+b)=\lvert a\rvert\sigma(X)$。
3. 算方差前没算对均值。 $D(X)$ 整条式子都挂在 $E(X)$ 上，均值错一位，方差全错—— 先把 $\sum p_i=1$ 和 $E(X)$ 各验一遍再往下走。
4. 该用 $E(X^2)-(E(X))^2$ 时硬套定义式。 不是错，是自找的计算量（和随之而来的算错）。
5. 方差算出负数还往下写。 方差非负，负数即错；这也是 $E(X^2)\ge(E(X))^2$ 的实用形态。
6. 把方差的单位当成 $X$ 的单位。 「误差的方差是 $0.4\ \mathrm{cm}$」是错的写法， $0.4\ \mathrm{cm}^2$ 才对；要用同单位的量就报标准差。
7. 均值差得远还去比方差。 决策的第一刀是均值；只有均值相近时方差才说话， 而”相近”这个前提要写出来。
8. 把随机变量的方差与样本方差混为一谈。 $D(X)$ 是分布的属性、是一个确定的数； 样本方差 $s^2$ 由抽到的那组数据算出、本身是随机的，只是用来估计 $D(X)$。 两者的记号（$D(X)$ / $\sigma^2$ 与 $s^2$）、除的那个数（概率加权与 $n-1$）都不一样。

七、这一节考过的真题（怎么读）

页面下方「考过本节的真题」那一块由”哪些实体的教材出处指向本节这几页”派生。 本站已经把「离散型随机变量的方差」这个概念的教材出处指向本节， 于是凡是攻略里挂了这个概念的真题都会自动长到那张清单上——目前只有下面第一条。 浙江卷直接问 $D(X)$ 的题极少，所以下面把”真考方差的”与”考均值、方差只在收口出现的”分开列， 按由易到难读：

• 2014 年浙江卷（理）第 12 题（$\xi$ 取 $0,1,2$，已知 $P(\xi{=}0)=\frac{1}{5}$、$E(\xi)=1$，求 $D(\xi)$）—— 本节唯一一道正面考方差的浙江真题，也是第五段那条捷径的考场原型。 三个未知概率、两个方程（概率和为 $1$、均值为 $1$）+ 一个已知值，恰好定住整张分布列； 求出 $P(\xi{=}1)=\frac{3}{5}$ 后按定义一加就是 $\frac{2}{5}$。 但更该记住的是那条捷径：取值 $0,1,2$、均值居中，$D(\xi)=P(\xi\ne1)=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$， 连中间那项都不用求。它同时把易错清单第 3 条（先验均值）与第 4 条（该用快速公式时别硬套定义） 放在同一道题里让你选路——三条路都对，代价差一倍。

• 2020 年第 16 题（$1$ 红 $1$ 绿 $2$ 黄，不放回抽到红球即停，求 $P(\xi=0)$ 与 $E(\xi)$）—— 习题7.3 第 1—4 题那一类「列分布列、求均值」的考场版本，且它的最短解法把均值化成 两个 $0\text{-}1$ 变量之和，正好呼应 §7.3.1 的期望线性性。

• 2021 年第 15 题 / 2022 年第 15 题（袋中取球数红球 / 抽卡看最小数字）—— 都是「先把分布列列对，再按定义求均值」，与本节 习题7.3 第 1 题同型，只是背景换成了抽样。

• 2024 年第 14 题 / 2025 年第 14 题（逐轮比大小 / 有放回取三次数不同球）—— 这两道把「均值可加」用到底，是 习题7.3 第 6 题（猜谜顺序）那种”顺序影响期望”的加强版。

• 2023 年第 21 题（投篮的马尔可夫链，求 $E(Y)$）——大题里的均值，本节方法的上限。

有一处区别值得单独记：2023 年第 9 题问的是一组样本数据去掉最大最小后标准差怎么变， 那是描述统计那一侧的 $s$，不是本节的 $\sigma(X)$（见易错清单第 8 条）。 浙江卷这些年直接考 $D(X)$ 的填空/选择很少，方差更多是作为「均值之外还要看什么」出现在解答题的收口里—— 把两条性质与那个快速公式记熟，考场上够用。

这一份收印在第 72—76 页上的题：§7.3.1 练习 的后半（第 72 页）、§7.3.2 的 练习（第 75 页） 与整章的 习题7.3（第 76 页）。

共 13 道，逐题全做：第 72 页 练习 第 2、3 题；第 75 页 练习 第 1、2、3 题； 习题7.3 第 1—8 题。本节没有开放式的实习作业。

只有一道不收：§7.3.1 练习 第 1 题。 它的题干、分布列表格与第 (1) 问都印在第 71 页 （归 §7.3 那一份的目录），第 72 页上只剩「(2) 求 $E(3X+2)$」这半句。题面引文的比对靶只取 本份所在目录的页，单收这半句就等于交一道没有分布列的题，复核者也无从核起——所以整道留给 §7.3 那一份连题干一起收齐。（那道题的答案是 $E(X)=2.8$、$E(3X+2)=3E(X)+2=10.4$。）

另有 6 道的分布列表格原先没进转写（第 72 页 练习 第 3 题、第 75 页 练习 第 1、3 题、 习题7.3 第 7 题，加上 §7.3.2 正文里问题 2 的表 7.3-6、7.3-7）：本册的规范化转写只留下了 引出表格的那句话。这些表格已按 ADR-0022 的逐页校订层（page-NNNN-fix.md，对着整页扫描图 逐格核）补回页面，所以下面这几道的题面引文照旧是逐字引转写——表格就在引文里， 读者与复核者拿到的是同一份完整题面。

十三道题里，前面几道练的是同一条流水线：先验概率之和为 $1$，再求 $E(X)$，要方差就用 $D(X)=E(X^2)-(E(X))^2$。后面几道分别是反求参数、设计分值、证明两条性质、比较两种顺序， 以及”均值为什么是最好的基准”；带两张分布列的那几道（机床、目测误差、手表）练的是同一个动作： 均值先比，均值打平就比方差。

练习（第 72 页）第 2 题

2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，求得分X的均值.

硬币质地均匀（这是”抛掷一枚硬币”的默认约定），所以正面、反面各以 $\dfrac12$ 的概率发生。 按题目的规定，得分 $X$ 只有两个可能取值，分布列是

先验一眼分布列的两条性质：两个概率都非负，且 $\dfrac12+\dfrac12=1$ ✓。于是

$$E(X)=1\times\frac12+(-1)\times\frac12=\frac12-\frac12=0 .$$

得分 $X$ 的均值是 $0$ 分。

两句提醒。 第一，$E(X)=0$ 并不意味着”可能得 $0$ 分”——$X$ 根本取不到 $0$， 均值只是一个加权平均，不必是取值之一。第二，这道题也顺手给了本节的量：

$$E(X^2)=1^2\times\frac12+(-1)^2\times\frac12=1,\qquad D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2=1-0=1,\qquad \sigma(X)=1 .$$

均值 $0$、标准差 $1$——一个说”长期看不赚不亏”，一个说”每一次都偏离 $1$ 分”。 均值把这场赌局的波动完全压掉了，这正是要学方差的理由。

练习（第 72 页）第 3 题

3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在 $1\mathrm{h}$ 内生产出的次品数分别为 $X_{1}$，$X_{2}$，其分布列分别为

甲机床次品数的分布列

$X_{1}$	0	1	2	3
$P$	0.4	0.3	0.2	0.1

乙机床次品数的分布列

$X_{2}$	0	1	2
$P$	0.3	0.5	0.2

哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义.

两张表各自的概率之和：$0.4+0.3+0.2+0.1=1$ ✓，$0.3+0.5+0.2=1$ ✓。

第一步：比均值（平均每小时出多少个次品）。

$$E(X_1)=0\times 0.4+1\times 0.3+2\times 0.2+3\times 0.1=0.3+0.4+0.3=1.0 ,$$ $$E(X_2)=0\times 0.3+1\times 0.5+2\times 0.2=0.5+0.4=0.9 .$$

第二步：比方差（次品数的波动）。 用 $D(X)=E(X^2)-(E(X))^2$：

$$E(X_1^2)=0^2\times 0.4+1^2\times 0.3+2^2\times 0.2+3^2\times 0.1=0.3+0.8+0.9=2.0 , \qquad D(X_1)=2.0-1.0^2=1.0 ;$$ $$E(X_2^2)=0^2\times 0.3+1^2\times 0.5+2^2\times 0.2=0.5+0.8=1.3 , \qquad D(X_2)=1.3-0.9^2=1.3-0.81=0.49 .$$

自检（改用定义式各算一遍）。

$$D(X_1)=(0-1)^2\times 0.4+(1-1)^2\times 0.3+(2-1)^2\times 0.2+(3-1)^2\times 0.1 =0.4+0+0.2+0.4=1.0\ ✓$$ $$D(X_2)=(0-0.9)^2\times 0.3+(1-0.9)^2\times 0.5+(2-0.9)^2\times 0.2 =0.243+0.005+0.242=0.49\ ✓$$

结论：乙机床更好。 因为 $E(X_2)=0.9<1.0=E(X_1)$，且 $D(X_2)=0.49<1.0=D(X_1)$—— 两项都是乙占优，不必权衡。

结论的实际含义。 题面已经把”产量相同”钉住了，所以两台机床的次品数可以直接比：

• 均值：同样的产量下，乙机床平均每小时出 $0.9$ 个次品、甲机床出 $1.0$ 个， 长期看乙每 $10$ 小时少出 $1$ 个次品。
• 方差（波动）：标准差 $\sigma(X_2)=\sqrt{0.49}=0.7$、$\sigma(X_1)=\sqrt{1.0}=1$， 乙的次品数更稳定地贴着它的平均水平。具体到表上：甲机床有 $0.1$ 的概率一小时出 $3$ 个次品 （乙根本没有 $3$ 这一栏），出 $2$ 个及以上的概率甲是 $0.2+0.1=0.3$、乙是 $0.2$。 质量管理上要紧的往往正是这条尾巴——“偶尔一小时冒出一批次品”比”每小时都稳定地差一点”更难安排返工。

这道题的动作：均值先比，均值分不出高下再比方差。 本题两项同向，结论干脆； 若出现”甲均值好、乙方差好”的局面，就得看实际需求（要产量还是要稳定），这正是下一节股票例题的套路。

练习（第 75 页）第 1 题

1. 已知随机变量 X 的分布列为

$X$	1	2	3	4
$P$	0.2	0.3	0.4	0.1

求 $D(X)$ 和 $\sigma (2X + 7)$

概率之和 $0.2+0.3+0.4+0.1=1$ ✓。

第一步：均值。 求方差绕不开它。

$$E(X)=1\times 0.2+2\times 0.3+3\times 0.4+4\times 0.1=0.2+0.6+1.2+0.4=2.4 .$$

第二步：方差。 用 $D(X)=E(X^2)-(E(X))^2$：

$$E(X^2)=1^2\times 0.2+2^2\times 0.3+3^2\times 0.4+4^2\times 0.1 =0.2+1.2+3.6+1.6=6.6 ,$$ $$D(X)=6.6-2.4^2=6.6-5.76=0.84 .$$

自检（定义式）。

$$D(X)=(1-2.4)^2\times 0.2+(2-2.4)^2\times 0.3+(3-2.4)^2\times 0.4+(4-2.4)^2\times 0.1$$ $$=1.96\times 0.2+0.16\times 0.3+0.36\times 0.4+2.56\times 0.1 =0.392+0.048+0.144+0.256=0.84\ ✓$$

第三步：$\sigma(2X+7)$。 由 $D(aX+b)=a^2D(X)$（本节 习题7.3 第 5 题要证的就是它），

$$D(2X+7)=2^2D(X)=4\times 0.84=3.36 ,$$ $$\sigma(2X+7)=\sqrt{3.36}=\sqrt{\frac{84}{25}}=\frac{\sqrt{84}}{5} =\frac{2\sqrt{21}}{5}\approx 1.83 .$$

换一条路核一次。 标准差版本是 $\sigma(aX+b)=\lvert a\rvert\,\sigma(X)$，于是

$$\sigma(2X+7)=2\sigma(X)=2\sqrt{0.84}=2\times\frac{\sqrt{21}}{5} =\frac{2\sqrt{21}}{5}\ ✓$$

（$\sqrt{0.84}=\sqrt{21/25}=\sqrt{21}/5\approx 0.9165$。）

结论：$D(X)=0.84$，$\sigma(2X+7)=\dfrac{2\sqrt{21}}{5}\approx 1.83$。

这道题的动作：那个 $+7$ 一点用都没有。 平移不改变波动，$D(2X+7)=D(2X)=4D(X)$； 只有系数 $2$ 起作用，而且进方差时要平方、进标准差时只出绝对值。

练习（第 75 页）第 2 题

2. 若随机变量 X 满足 $P(X=c)=1$ ，其中 c 为常数，求 $D(X)$ .

$P(X=c)=1$ 说的是：$X$ 以概率 $1$ 取那个常数 $c$，别的值一个都取不到（否则概率之和会超过 $1$）。 所以它的分布列只有一行：$P(X=c)=1$，两条性质自动满足。

先求均值。

$$E(X)=c\times 1=c .$$

再按定义求方差。

$$D(X)=\bigl(c-E(X)\bigr)^2\times 1=(c-c)^2=0 .$$

用快速公式复核一遍：$E(X^2)=c^2\times 1=c^2$，故 $D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=c^2-c^2=0$ ✓。

所以 $D(X)=0$。 意思是完全没有波动——它本来就是个常数，“离散程度”当然是零。

逆命题也成立，值得记住。 若 $D(X)=0$，则 $\sum_i\bigl(x_i-E(X)\bigr)^2p_i=0$； 每一项都非负而总和为 $0$，故每一项都是 $0$，于是凡 $p_i>0$ 的取值都满足 $x_i=E(X)$—— $X$ 只能取一个值。合起来：

$$D(X)=0\iff X\text{ 是常数（以概率 }1\text{ 取一个值）}.$$

这条等价关系是”方差度量波动”这句话的极端情形，也是判断”方差算错了”的一把尺子： 只要 $X$ 有两个概率为正的不同取值，$D(X)$ 就必须严格大于 $0$。

练习（第 75 页）第 3 题

3. 甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差 $X$ 和 $Y$ （单位： $\mathrm{cm}$ )的分布列如下：

甲班的目测误差分布列

$X$	-2	-1	0	1	2
$P$	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

乙班的目测误差分布列

$Y$	-2	-1	0	1	2
$P$	0.05	0.15	0.6	0.15	0.05

先直观判断 X 和 Y 的分布哪一个离散程度大，再分别计算 X 和 Y 的方差，验证你的判断.

两张表的概率之和都是 $1$（$0.1+0.2+0.4+0.2+0.1=1$；$0.05+0.15+0.6+0.15+0.05=1$）✓。

第一步：先按题目要求直观判断。 两张表的取值完全相同（都是 $-2,-1,0,1,2$）， 且概率都对称于 $0$，于是只剩”概率往中间挤得有多紧”这一条差别：

• 落在 $0$ 上的概率：甲班 $0.4$、乙班 $0.6$；
• 落在两端 $\pm 2$ 上的概率：甲班 $0.1+0.1=0.2$、乙班 $0.05+0.05=0.1$。

乙班把更多概率压在 $0$ 附近、两端更轻，所以直观判断是甲班（$X$）的分布离散程度大。

第二步：算方差验证。 两个分布都对称于 $0$，先把均值算出来：

$$E(X)=(-2)\times 0.1+(-1)\times 0.2+0\times 0.4+1\times 0.2+2\times 0.1 =-0.2-0.2+0.2+0.2=0 ,$$ $$E(Y)=(-2)\times 0.05+(-1)\times 0.15+0\times 0.6+1\times 0.15+2\times 0.05 =-0.1-0.15+0.15+0.1=0 .$$

均值都是 $0$，所以 $D=E(X^2)-0^2=E(X^2)$，一步就够：

$$D(X)=(-2)^2\times 0.1+(-1)^2\times 0.2+0^2\times 0.4+1^2\times 0.2+2^2\times 0.1 =0.4+0.2+0+0.2+0.4=1.2 ,$$ $$D(Y)=(-2)^2\times 0.05+(-1)^2\times 0.15+0^2\times 0.6+1^2\times 0.15+2^2\times 0.05 =0.2+0.15+0+0.15+0.2=0.7 .$$

第三步：对判断。 $D(X)=1.2>0.7=D(Y)$，与第一步的直观判断一致——甲班目测误差的 离散程度大，乙班的目测更准。折成同单位的标准差： $\sigma(X)=\sqrt{1.2}\approx 1.10\ \mathrm{cm}$、 $\sigma(Y)=\sqrt{0.7}\approx 0.84\ \mathrm{cm}$。

这道题的动作：均值相同（这里都是 $0$）时，“谁的分布更挤”就等于”谁的方差更小”。 两个均值都为 $0$ 还带来一个便宜：$D=E(X^2)$，连减那一步都省了。 反过来看也值得记一句：$E(X)=E(Y)=0$ 说明两个班都没有系统性地高估或低估， 差别只在精度上——这正是”均值报不出的那件事，方差报得出”。

习题7.3 第 1 题

1. 某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况。按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润-300元。据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1。求每部手机利润的均值和方差。

先把分布列写出来。 设每部手机的利润为 $X$（单位：元），三种情况一一对应三个取值：

三个概率非负，且 $0.6+0.3+0.1=1$ ✓——分布列合法，可以往下算。

均值。

$$E(X)=100\times 0.6+0\times 0.3+(-300)\times 0.1=60+0-30=30\ (\text{元}) .$$

方差。 $E(X)=30$ 是整数，两条路都不难；这里用快速公式：

$$E(X^2)=100^2\times 0.6+0^2\times 0.3+(-300)^2\times 0.1=6000+9000=15000 ,$$ $$D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2=15000-30^2=15000-900=14100 .$$

自检（改用定义式算一遍）。

$$D(X)=(100-30)^2\times 0.6+(0-30)^2\times 0.3+(-300-30)^2\times 0.1 =2940+270+10890=14100\ ✓$$

结论：每部手机利润的均值是 $30$ 元，方差是 $14100$（元$^2$）。 方差的单位是”元的平方”，要报一个与利润同单位的量就取标准差：

$$\sigma(X)=\sqrt{14100}=10\sqrt{141}\approx 118.74\ (\text{元}) .$$

这道题的动作：把三句话翻译成三行分布列，剩下的是两个加法。 值得多读一句的是这两个数的对比： 平均每部赚 $30$ 元，可标准差将近 $119$ 元——波动是均值的四倍。原因在那 $10\%$ 的退货： 一部退回就亏 $300$ 元，要 $3$ 部按定价售出（每部赚 $100$ 元）才抵得回来。 均值报喜，方差报忧，两个都得看。

习题7.3 第 2 题

2. 现要发行 10 000 张彩票，其中中奖金额为 2 元的彩票 1 000 张，10 元的彩票 300 张，50 元的彩票 100 张，100 元的彩票 50 张，1 000 元的彩票 5 张。1 张彩票中奖金额的均值是多少元？

先数清有多少张不中奖。 中奖的一共

$$1000+300+100+50+5=1455\ (\text{张}) ,$$

所以不中奖（金额 $0$ 元）的有 $10000-1455=8545$ 张。这一行绝不能漏——它不贡献奖金， 但它必须占住概率，否则概率之和凑不到 $1$。

分布列。 设 $X$ 为随机买 $1$ 张的中奖金额（单位：元）：

验一眼：$0.8545+0.1+0.03+0.01+0.005+0.0005=1$ ✓。

均值。

$$E(X)=0\times 0.8545+2\times 0.1+10\times 0.03+50\times 0.01+100\times 0.005+1000\times 0.0005$$ $$=0+0.2+0.3+0.5+0.5+0.5=2\ (\text{元}) .$$

换个算法核一次。 均值也等于”总奖金 $\div$ 总张数”：

$$\frac{2\times 1000+10\times 300+50\times 100+100\times 50+1000\times 5}{10000} =\frac{2000+3000+5000+5000+5000}{10000}=\frac{20000}{10000}=2\ ✓$$

结论：$1$ 张彩票中奖金额的均值是 $2$ 元。

这道题的动作：把”张数”折成概率，别忘了不中奖那一大类。 漏掉那 $8545$ 张、拿 $1455$ 作分母， 会算成 $\dfrac{20000}{1455}\approx 13.75$ 元——那是”已知中了奖，奖金的均值”， 是另一个问题（条件均值）的答案。这也解释了彩票的定价：均值 $2$ 元， 所以售价高于 $2$ 元发行方才不亏。

习题7.3 第 3 题

3. 随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X = 0) = 0.2$，$P(X = 1) = a$，$P(X = 2) = b$。若 $E(X) = 1$，求 $a$ 和 $b$。

两个未知数要两个方程，而题目只明写了一个。 另一个是分布列自带的：概率之和为 $1$。

$$\begin{cases} 0.2+a+b=1, \\[2pt] E(X)=0\times 0.2+1\times a+2\times b=1 . \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} a+b=0.8, \\[2pt] a+2b=1 . \end{cases}$$

两式相减消去 $a$：$b=1-0.8=0.2$，代回第一式得 $a=0.8-0.2=0.6$。

验合法性（这一步必须做）。 $a=0.6\ge 0$、$b=0.2\ge 0$，且 $0.2+0.6+0.2=1$ ✓， $E(X)=0+0.6+0.4=1$ ✓。

所以 $a=0.6$、$b=0.2$。

顺带把方差也算出来（本节的量，一步而已）：

$$E(X^2)=0^2\times 0.2+1^2\times 0.6+2^2\times 0.2=0.6+0.8=1.4,\qquad D(X)=1.4-1^2=0.4 .$$

这道题的动作：把"$\sum p_i=1$"当成一个方程用。 只用 $E(X)=1$ 一条式子求两个未知数 必然求不出来；反过来，若解出的 $a$ 或 $b$ 为负，说明这样的分布列不存在，那才是要报的结论。

习题7.3 第 4 题

4. 在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确。如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25。请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0。

设未知的是分值。 设选对得 $x$ 分、选错得 $y$ 分，则随机选一个时得分 $X$ 的分布列为

（$0.25+0.75=1$ ✓；四个选项里恰有一个正确，随机选中它的概率就是 $0.25$，选错的概率是其余三个。）

把”均值为 0”写成方程。

$$E(X)=0.25x+0.75y=0\ \Longrightarrow\ x=-3y .$$

所以答案不唯一：只要选对的分值是选错分值的 $-3$ 倍就行。要让分值”合适”—— 即答对该加分、答错该扣分——就取 $y<0$，于是 $x=-3y>0$。取 $y=-1$ 得最常见的一组：

$$\boxed{\ \text{选对得 }3\text{ 分，选错得 }-1\text{ 分（即倒扣 }1\text{ 分）}\ }$$

验一次。 $E(X)=0.25\times 3+0.75\times(-1)=0.75-0.75=0$ ✓。

这道题的动作：把”均值为 0”当方程，反求赋分。 它其实是”倒扣分”制度的设计原理： 瞎猜的期望得分被压到 $0$，猜与不猜的长期收益一样，于是分数只反映”会不会”，不奖励碰运气。 （若只倒扣 $\dfrac13$ 分而选对得 $1$ 分，$E(X)=0.25-0.75\times\dfrac13=0$ 也成立—— 同一族答案的另一个代表。）

习题7.3 第 5 题

5. 证明： $D(aX+b)=a^{2}D(X)$ .

设定与记号。 设 $X$ 的分布列为 $P(X=x_i)=p_i$（$i=1,2,\cdots,n$，$\sum_i p_i=1$）， 记 $\mu=E(X)=\sum_i x_ip_i$。令 $Y=aX+b$（$a,b$ 为常数）。

第一步：写出 $Y$ 的分布列。 $X$ 取 $x_i$ 时 $Y$ 取 $ax_i+b$，两者是同一个事件，故

$$P(Y=ax_i+b)=p_i,\qquad i=1,2,\cdots,n .$$

（$a\ne 0$ 时 $x\mapsto ax+b$ 是一一对应，$n$ 个取值不会合并；$a=0$ 时 $Y$ 恒等于 $b$， 由上一题的结论 $D(Y)=0$，而右端 $a^2D(X)=0$，结论照样成立。以下设 $a\ne 0$。）

第二步：$Y$ 的均值。

$$E(Y)=\sum_i (ax_i+b)p_i=a\sum_i x_ip_i+b\sum_i p_i=a\mu+b .$$

第三步：按方差的定义算。

$$D(Y)=\sum_i\bigl((ax_i+b)-E(Y)\bigr)^2p_i =\sum_i\bigl((ax_i+b)-(a\mu+b)\bigr)^2p_i =\sum_i\bigl(a(x_i-\mu)\bigr)^2p_i ,$$

括号里的 $b$ 被减掉了——平移在这一步整体消失，这就是”加常数不改变方差”的全部原因。 把 $a^2$ 提到求和号外：

$$D(Y)=a^2\sum_i (x_i-\mu)^2p_i=a^2D(X) .$$

即 $D(aX+b)=a^2D(X)$。$\blacksquare$

两条特例与一条推论。 取 $a=1$ 得 $D(X+b)=D(X)$；取 $b=0$ 得 $D(aX)=a^2D(X)$。 两边开方还得到标准差的版本

$$\sigma(aX+b)=\sqrt{a^2D(X)}=\lvert a\rvert\,\sigma(X) ,$$

那个绝对值不能省：标准差非负，而 $a$ 可以是负数（$\sigma(-2X+7)=2\sigma(X)$）。

和均值那两条对着记。 $E(aX+b)=aE(X)+b$——$b$ 留着、$a$ 是一次； $D(aX+b)=a^2D(X)$——$b$ 消失、$a$ 是二次。差别的根源就在第三步：均值是一次式求和， 方差先减掉均值（平移抵消）再平方（缩放平方）。

习题7.3 第 6 题

6. 有 A 和 B 两道谜语，张某猜对 A 谜语的概率为 0.8，猜对得奖金 10 元；猜对 B 谜语的概率为 0.5，猜对得奖金 20 元。规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道。如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？

这道题要比的是两个均值，所以两种顺序各列一张分布列。 记两道谜语猜对与否相互独立 （题面把两个概率分别给出，未提相互影响）。

方案一：先猜 A。 设奖金总额为 $X$（单位：元），三种结局：

• 猜错 A（就此结束）：$X=0$，概率 $1-0.8=0.2$；
• 猜对 A、猜错 B：$X=10$，概率 $0.8\times(1-0.5)=0.4$；
• 两道都猜对：$X=10+20=30$，概率 $0.8\times 0.5=0.4$。

$0.2+0.4+0.4=1$ ✓。于是

$$E(X)=0\times 0.2+10\times 0.4+30\times 0.4=4+12=16\ (\text{元}) .$$

方案二：先猜 B。 设奖金总额为 $Y$：

• 猜错 B：$Y=0$，概率 $1-0.5=0.5$；
• 猜对 B、猜错 A：$Y=20$，概率 $0.5\times(1-0.8)=0.1$；
• 两道都猜对：$Y=30$，概率 $0.5\times 0.8=0.4$。

$0.5+0.1+0.4=1$ ✓。于是

$$E(Y)=0\times 0.5+20\times 0.1+30\times 0.4=2+12=14\ (\text{元}) .$$

比较。 $E(X)=16>14=E(Y)$，所以张某应该先猜 A 谜语。

更短的算法（不必列分布列）。 把总奖金拆成两笔，各自用”拿到它的概率 $\times$ 它的金额”： 先猜 A 时，第一笔的概率是 $0.8$、第二笔要两道都对故概率是 $0.8\times0.5$，

$$E(X)=0.8\times 10+0.8\times 0.5\times 20=8+8=16 ,\qquad E(Y)=0.5\times 20+0.5\times 0.8\times 10=10+4=14 .$$

两条路同一个数，而且第二条不是另一条定理：它只是把上面那张分布列的加权和按「第一笔奖金」与 「第二笔奖金」重新分组——把 $30=10+20$ 拆开，$10$ 于是在两个取值里各出现一次、合并同类项后的系数 是 $0.4+0.4=0.8$（正好是「猜对 A」的概率），而 $20$ 的系数仍是 $0.4$（「两道都对」的概率）。 课本 §7.3.1 只给了 $E(aX+b)=aE(X)+b$，两个随机变量相加的可加性并没在那里出现， 所以这里走的是重新分组这条不需要新定理的路。

这道题的动作：把”选哪个顺序”翻译成”两个均值谁大”。 一般地，设两道题猜对的概率与奖金 分别是 $p_1,a_1$ 与 $p_2,a_2$（$p_i<1$），则

$$E(\text{先第 }1\text{ 道})-E(\text{先第 }2\text{ 道})=p_1a_1(1-p_2)-p_2a_2(1-p_1) ,$$

于是先猜第 1 道更优的判据是 $\dfrac{p_1a_1}{1-p_1}>\dfrac{p_2a_2}{1-p_2}$。 本题左端 $\dfrac{0.8\times 10}{0.2}=40$、右端 $\dfrac{0.5\times 20}{0.5}=20$，故先 A。 直觉是：第一道题不仅决定第一笔奖金，还决定你有没有机会拿第二笔， 所以”容易对”这件事在第一位比在第二位值钱得多——B 的奖金虽是两倍， 但把通过率只有一半的它放在第一关，会把整条链掐掉一半。 （课本例 3 末尾”改变猜歌顺序，均值是否相同”问的正是这件事。）

习题7.3 第 7 题

7. 甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为 X 和 Y(单位：s)，其分布列为

甲品牌的走时误差分布列

$X$	-1	0	1
$P$	0.1	0.8	0.1

乙品牌的走时误差分布列

$Y$	-2	-1	0	1	2
$P$	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

试比较甲、乙两种品牌手表的性能.

概率之和：$0.1+0.8+0.1=1$ ✓，$0.1+0.2+0.4+0.2+0.1=1$ ✓。

第一步：比均值（有没有系统性的快或慢）。

$$E(X)=(-1)\times 0.1+0\times 0.8+1\times 0.1=-0.1+0.1=0\ (\mathrm{s}) ,$$ $$E(Y)=(-2)\times 0.1+(-1)\times 0.2+0\times 0.4+1\times 0.2+2\times 0.1=0\ (\mathrm{s}) .$$

两个均值相等，都是 $0$——按均值分不出高下（两种表长期都不快不慢）， 这正是课本安排这道题的用意：均值失效，改看方差。

第二步：比方差（走时的稳定性）。 均值都是 $0$，故 $D=E(X^2)$：

$$D(X)=(-1)^2\times 0.1+0^2\times 0.8+1^2\times 0.1=0.1+0.1=0.2 ,$$ $$D(Y)=(-2)^2\times 0.1+(-1)^2\times 0.2+0^2\times 0.4+1^2\times 0.2+2^2\times 0.1 =0.4+0.2+0+0.2+0.4=1.2 .$$

自检（定义式，均值为 $0$ 时两式本就同形，这里核算术）。 $D(X)=(-1-0)^2\times 0.1+(0-0)^2\times 0.8+(1-0)^2\times 0.1=0.2$ ✓； $D(Y)$ 同理得 $1.2$ ✓。

结论：$E(X)=E(Y)=0$ 而 $D(X)=0.2<1.2=D(Y)$，所以甲品牌的手表走时更稳定、性能更好。

结论的实际含义。 标准差是与”秒”同单位的量： $\sigma(X)=\sqrt{0.2}\approx 0.45\ \mathrm{s}$、 $\sigma(Y)=\sqrt{1.2}\approx 1.10\ \mathrm{s}$，甲的日误差幅度只有乙的约 $\dfrac{1}{2.4}$。 落到表上更直白：甲有 $0.8$ 的天数日误差为 $0$、最坏也只差 $1\ \mathrm{s}$； 乙只有 $0.4$ 的天数为 $0$，还有 $0.2$ 的天数差到 $\pm 2\ \mathrm{s}$。 均值为 $0$ 只说明”正负误差长期抵消”，抵消不等于准——买表要的是每天都准， 所以这里该认方差。

这道题的动作：均值打平，就把胜负交给方差。 与第 72 页那道机床题对照着看： 那道题均值与方差同向（乙两项全胜），本题均值相等、只差方差； 两道题合起来就是”数字特征怎么用”的完整样子——均值定水平，方差定稳定性。

习题7.3 第 8 题

8. 设 $E(X) = \mu$ ，$a$ 是不等于 $\mu$ 的常数，探究 $X$ 相对于 $\mu$ 的偏离程度与 $X$ 相对于 $a$ 的偏离程度的大小关系，并说明结论的意义.

先把”偏离程度”定义清楚。 本节度量”$X$ 相对于 $\mu$ 的偏离程度”用的是偏差平方的加权平均， 也就是方差 $D(X)=E\bigl[(X-\mu)^2\bigr]$。照同一个口径，”$X$ 相对于常数 $a$ 的偏离程度”就是

$$M(a)=E\bigl[(X-a)^2\bigr]=\sum_i (x_i-a)^2p_i ,$$

于是 $M(\mu)=D(X)$，问题变成比较 $M(a)$ 与 $M(\mu)$ 的大小。

把 $X-a$ 拆成两截再展开。 写 $x_i-a=(x_i-\mu)+(\mu-a)$，则

$$M(a)=\sum_i\bigl[(x_i-\mu)+(\mu-a)\bigr]^2p_i =\sum_i (x_i-\mu)^2p_i+2(\mu-a)\sum_i (x_i-\mu)p_i+(\mu-a)^2\sum_i p_i .$$

三项逐个认：第一项是 $D(X)$；第二项里

$$\sum_i (x_i-\mu)p_i=\sum_i x_ip_i-\mu\sum_i p_i=\mu-\mu=0 ,$$

整个中间项因此为零（这一步是全题的关键，它成立的原因正是 $\mu$ 是均值）； 第三项里 $\sum_i p_i=1$。所以

$$E\bigl[(X-a)^2\bigr]=D(X)+(\mu-a)^2 .$$

结论。 因为 $a\ne\mu$，所以 $(\mu-a)^2>0$，于是

$$E\bigl[(X-a)^2\bigr]>D(X)=E\bigl[(X-\mu)^2\bigr] .$$

即 $X$ 相对于均值 $\mu$ 的偏离程度严格小于它相对于任何其他常数 $a$ 的偏离程度； 换句话说，$M(a)$ 在 $a=\mu$ 处取到最小值，最小值就是方差。

结论的意义（三层）。

1. 解释了方差的定义为什么盯住 $E(X)$ 不放。 减号后面换成别的常数，得到的数只会更大， 而且大出来的部分 $(\mu-a)^2$ 与 $X$ 的波动毫无关系——它纯粹是”基准选错”的代价。 只有以 $\mu$ 为基准，量出来的才是 $X$ 自身的离散程度。
2. 给了均值一个新身份：最优的单值代表。 若要用一个数去代表整个 $X$， 并以平方偏差衡量代表得好不好，那么均值是最好的选择，方差就是这份”最好”仍然要付的误差。
3. 它是最小二乘法的雏形。 后面统计里”用回归直线拟合数据”求的也是同一件事—— 让偏差平方的（加权）平均最小；这道题是它最简单的情形：用一个常数拟合一个随机变量。

顺带一条现成的用法。 把 $a=0$ 代进去就得到本节那个快速公式：

$$E(X^2)=D(X)+\mu^2\ \Longleftrightarrow\ D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2 .$$

这道题的动作：加一项减一项，把 $X-a$ 拆成”$X$ 到均值”加”均值到 $a$”。 交叉项因均值的定义而消失，剩下的两项一个是方差、一个是非负的常数—— “配方”在概率里的样子就是这样。