6.2.4 组合数

文字转写

3. 现有 1, 3, 7, 13 这 4 个数.

（1）从这 4 个数中任取 2 个相加，可以得到多少个不相等的和？

(2) 从这 4 个数中任取 2 个相减, 可以得到多少个不相等的差?

6.2.4 组合数

类比排列数，我们引进组合数概念：

从 n 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n)$ 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 $C_{n}^{m}$ 表示.

例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为$\mathrm{C}_3^2$ ，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为 $\mathrm{C}_4^3$

• •

符号 $C_{n}^{m}$ 中的 C 是英文 combination（组合）的第一个字母。组合数还可以用符号 $\binom{n}{m}$ 表示。

探究

前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 $\mathrm{A}_n^m$ 来求组合数 $\mathrm{C}_n^m$ 呢？

前面，我们利用 “元素相同、顺序不同的两个组合相同” “元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以 “元素相同” 为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从 3 个不同元素中取出 2 个元素的组合数

$\mathrm{C} _ {3} ^ {2} = 3.$

运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数 $C_{4}^{3}$ 。设这4个元素为a，b，c，d，那么从中取出3个元素的排列数 $A_{4}^{3}=24$ ，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图6.2-8所示，因此组合数 $C_{4}^{3}=4$ 。

观察图 6.2-8，也可以这样理解求 “从 4 个元素中取出 3 个元素的排列数 $A_{4}^{3}$ ”：

第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有 $\mathrm{C}_4^3$ 种不同的取法；

第 2 步，将取出的 3 个元素作全排列，共有 $A_{3}^{3}$ 种不同的排法.

于是，根据分步乘法计数原理，有

$\mathrm{A} _ {4} ^ {3} = \mathrm{C} _ {4} ^ {3} \cdot \mathrm{A} _ {3} ^ {3},$

即

$\mathrm{C} _ {4} ^ {3} = \frac {\mathrm{A} _ {4} ^ {3}}{\mathrm{A} _ {3} ^ {3}} = 4.$

同样地，求“从 $n$ 个元素中取出 $m$ 个元素的排列数 $\mathrm{A}_n^m$”，可以看作由以下两个步骤得到：

第1步，从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素作为一组，共有 $\mathrm{C}_n^m$ 种不同的取法；

第 2 步，将取出的 m 个元素作全排列，共有 $A_{m}^{m}$ 种不同的排法.

根据分步乘法计数原理，有

$\mathrm{A} _ {n} ^ {m} = \mathrm{C} _ {n} ^ {m} \cdot \mathrm{A} _ {m} ^ {m}.$

因此，

$\mathrm{C} _ {n} ^ {m} = \frac {\mathrm{A} _ {n} ^ {m}}{\mathrm{A} _ {m} ^ {m}} = \frac {n (n - 1) (n - 2) \cdots (n - m + 1)}{m !}.$

这里 $n$ ， $m\in \mathbf{N}^*$ ，并且 $m\leqslant n$ ，这个公式叫做组合数公式

因为

$\mathrm{A} _ {n} ^ {m} = \frac {n !}{(n - m) !},$

所以，上面的组合数公式还可以写成

$\mathrm{C} _ {n} ^ {m} = \frac {n !}{m ! (n - m) !}.$

另外，我们规定 $C_{n}^{0}=1$ .

例 6 计算：（1） $C_{10}^{3}$ ；（2） $C_{10}^{7}$ ；（3） $C_{10}^{10}$ ；（4） $C_{10}^{0}$ .

解：根据组合数公式，可得

(1) $C_{10}^{3}=\frac{A_{10}^{3}}{A_{3}^{3}}=\frac{10\times9\times8}{3!}=120;$

(2) $C_{10}^{7}=\frac{10!}{7!(10-7)!}=\frac{10\times9\times8\times7!}{7!\times3!}=\frac{10\times9\times8}{3!}=120;$

(3) $C_{10}^{10}=\frac{A_{10}^{10}}{A_{10}^{10}}=\frac{10!}{10!}=1;$

(4) $C_{10}^{0}=1.$

思考

观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？

例 7 在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品。从这 100 件产品中任意抽出 3 件。

(1) 有多少种不同的抽法?

(2) 抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种?

(3) 抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?

分析：（1）从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；（2）可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；（3）从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题.

解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为

$\mathrm{C} _ {1 0 0} ^ {3} = \frac {\mathrm{A} _ {1 0 0} ^ {3}}{\mathrm{A} _ {3} ^ {3}} = \frac {1 0 0 \times 9 9 \times 9 8}{3 !} = 1 6 1 7 0 0;$

（2）从2件次品中抽出1件的抽法有 $C_{2}^{1}$ 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 $C_{98}^{2}$ 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为

从2件次品中抽出1件的抽法数可以是 $\mathrm{A}_2^1$ 吗？

$\mathrm{C} _ {2} ^ {1} \times \mathrm{C} _ {9 8} ^ {2} = 2 \times \frac {9 8 \times 9 7}{2 !} = 9 5 0 6.$

（3）方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为

$\mathrm{C} _ {2} ^ {1} \times \mathrm{C} _ {9 8} ^ {2} + \mathrm{C} _ {2} ^ {2} \times \mathrm{C} _ {9 8} ^ {1} = 9 5 0 6 + 9 8 = 9 6 0 4.$

方法 2 抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法种数，就是从 100 件产品中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件都是合格品的抽法种数，即

$\mathrm{C} _ {1 0 0} ^ {3} - \mathrm{C} _ {9 8} ^ {3} = 1 6 1 7 0 0 - \frac {9 8 \times 9 7 \times 9 6}{3 !} = 9 6 0 4.$

当 $n$ 和 $m$ 取较小数值时，可以通过手算得出 $\mathrm{A}_n^m$ 和 $\mathrm{C}_n^m$。当 $n$ 和 $m$ 取较大数值时，可以使用信息技术工具，以使计算更快捷和准确。许多信息技术工具都有计算排列数 $\mathrm{A}_n^m$ 和组合数 $\mathrm{C}_n^m$ 的内置函数，输入 $n$ 和 $m$ 的值后，便可以直接得到结果。

练习

1. 先计算，然后用计算工具检验：

(1) $C_{6}^{2}$ ; (2) $C_{9}^{7}$ ; (3) $C_{7}^{3}-C_{6}^{2}$ ; (4) $3C_{8}^{3}-2C_{5}^{2}$ .

2. 求证： $C_{n}^{m}=\frac{m+1}{n+1}C_{n+1}^{m+1}$ .

3. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.

(1) 共有多少种不同的选法?

(2) 如果物理和化学恰有 1 门被选，那么共有多少种不同的选法？

（3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法？

习题6.2

复习巩固

1. 先计算，然后用计算工具检验： (1) $5A_{5}^{3} + 4A_{4}^{2}$ ; (2) $A_{4}^{1} + A_{4}^{2} + A_{4}^{3} + A_{4}^{4}$ .

2. 先计算，然后用计算工具检验： (1) $C_{15}^{3}$ ; (2) $C_{200}^{197}$ ; (3) $C_{6}^{3} \div C_{8}^{4}$ ; (4) $C_{n+1}^{n} \cdot C_{n}^{n-2}$ .

3. 壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？

4. 填空题

（1）有 3 张参观券，要在 5 人中确定 3 人去参观，不同方法的种数是 ____；

（2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是____；

(3) 5 名工人各自在 3 天中选择 1 天休息，不同方法的种数是 ____；

(4) 集合 $A$ 有 $m$ 个元素, 集合 $B$ 有 $n$ 个元素, 从两个集合中各取 1 个元素, 不同方法的种数是 ____.

5. 一名同学有 4 本不同的数学书，5 本不同的物理书，3 本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.

（1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？

（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？

6.（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？

(2) 空间中有 10 个点, 其中任何 4 个点不共面, 过每 4 个点为顶点作一个四面体, 可以作多少个四面体?

7. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？

综合运用

8. 求证：

(1) $\mathrm{A}_{n + 1}^{n + 1} - \mathrm{A}_n^n = n^2\mathrm{A}_{n - 1}^{n - 1}$; (2) $\frac{(n + 1)!}{k!} -\frac{n!}{(k - 1)!} = \frac{(n - k + 1)\cdot n!}{k!} (k\leqslant n)$.

9. 学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序。除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有多少种不同的排法？

10. 班上每个小组有 12 名同学，现要从每个小组选 4 名同学代表本组与其他小组进行辩论赛.

(1) 每个小组有多少种选法?

（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法？

（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？

11. 一个数阵有 $m$ 行 $n$ 列，第一行中的 $n$ 个数互不相同，其余行都由这 $n$ 个数以不同的顺序组成。如果要使任意两行的顺序都不相同，那么 $m$ 的值最大可取多少？

12.（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？

（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数？

13. 从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加一项创新大赛.

（1）如果 4 人中男生女生各选 2 人，那么有多少种选法？

(2) 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？

（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？

（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？

14. 一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.

（1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？

（2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？

15. 从含有 3 件次品的 100 件产品中，任意抽取 5 件进行检验.

（1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？

(2) 抽出的产品中恰好有 2 件是次品的抽法有多少种?

（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？

（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？

拓广探索

16. 根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从 $1 \sim 37$ 这 37 个数中选取 7 个数。如果所选 7 个数与开出的 7 个数一样（不管排列顺序），彩票即中一等奖。

(1) 多少注不同号码的彩票可有一个一等奖?

(2) 如果要将一等奖的中奖机会提高到 $\frac{1}{3\ 000\ 000}$ 以上且不超过 $\frac{1}{2\ 000\ 000}$ ，可在 37 个数中取几个数？

17. 如图，现要用 5 种不同的颜色对某市的 4 个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？

18. 移动互联网给人们的沟通交流带来了方便。某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”）的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流。如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”

不能看到. 现有一个 10 人的 “群”，其中 1 人在平台上发了一条信息，“群” 里有 3 人说看到了，那么这个 “群” 里与发信息这人是 “好友” 关系的情况可能有多少种？

9. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次。甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军。”对乙说：“你当然不会是最差的。”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？

6 探究与发现

组合数的两个性质

在例6中，我们已经发现 $\mathrm{C}_{10}^{3}$ 与 $\mathrm{C}_{10}^{7}$，$\mathrm{C}_{10}^{0}$ 与 $\mathrm{C}_{10}^{10}$ 都是相同的数。现在再用计算工具计算下列各组组合数的值，还能发现什么？你能解释你的发现吗？

$\mathrm{C} _ {1 2} ^ {5} \text {与} \mathrm{C} _ {1 2} ^ {7}, \mathrm{C} _ {1 5} ^ {4} \text {与} \mathrm{C} _ {1 5} ^ {1 1}, \mathrm{C} _ {1 8} ^ {3} \text {与} \mathrm{C} _ {1 8} ^ {1 5}.$

通过计算不难发现，各组的两个组合数都相等。观察同组的两个组合数，还可以发现，它们的上标之和等于下标，即

$5 + 7 = 1 2, 4 + 1 1 = 1 5, 3 + 1 5 = 1 8.$

如何解释上述结果呢？

等式的两边是对同一问题的两个等价解释，这启发我们，如果把 $C_{12}^{5}$ 解释为“从12名学生中选出5人参加某项活动的选法种数”，那么 $C_{12}^{7}$ 可以解释为“从12名学生中留下7人不参加活动的选法种数”。由于留下7人后其余5人就是参加活动的，所以不参加活动的人员选法种数 $C_{12}^{7}$ 就等于参加活动的人员选法种数 $C_{12}^{5}$，即有

$\mathrm{C} _ {1 2} ^ {5} = \mathrm{C} _ {1 2} ^ {7}.$

一般地，从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素后，必然剩下 $(n - m)$ 个元素，因此从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合，与剩下的 $(n - m)$ 个元素的组合一一对应。这样，从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数，等于从这 $n$ 个不同元素中取出 $(n - m)$ 个元素的组合数。于是我们有

性质1

$\mathrm{C} _ {n} ^ {m} = \mathrm{C} _ {n} ^ {n - m}.$

由于 $C_{n}^{0}=1$ ，因此上面的等式在m=n时也成立.

在推导性质1时，我们运用了说明组合等式的一个常用而重要的方法，即把等号两边的不同表达式解释为对同一个组合问题的两个不同的计数方案.

你能根据上述思想方法，利用分类加法计数原理，说明下面的组合数性质吗？

性质2

$\mathrm{C} _ {n + 1} ^ {m} = \mathrm{C} _ {n} ^ {m} + \mathrm{C} _ {n} ^ {m - 1}.$