排列数：把「一步一步乘」压成一个符号

一、给排列的个数起个名字

上一小节立好了「排列」这个概念，但每算一次仍要重讲一遍分步乘法计数原理。本节做的第一件事就是命名：

从 $n$ 个不同元素中取出 $m\ (m \leqslant n)$ 个元素的所有不同排列的个数， 叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数，记作 $\mathrm{A}_n^m$。

符号里的 $\mathrm{A}$ 取自英文 arrangement（排列）的首字母。有了它，上一节两个问题的答案可以写成

$$\mathrm{A}_3^2 = 3\times 2 = 6, \qquad \mathrm{A}_4^3 = 4\times 3\times 2 = 24.$$

注意 $\mathrm{A}_n^m$ 是一个数，不是一个式子的名字。 下标 $n$ 是「一共有多少个元素可选」， 上标 $m$ 是「要排多少个位置」。写的时候别把两个数颠倒——下标一定不小于上标。

二、公式怎么来的：填空位

推导的模型是一排排好顺序的 $m$ 个空位。从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个去填这些空位， 一个空位填一个元素；每一种填法给出一个排列，反过来每一个排列也来自唯一一种填法。 所以「填法的种数」与「排列数」是同一个数。

先看 $m = 2$。填两个空位分两步：

• 第 1 步，填第 1 个位置：从 $n$ 个元素中任选 $1$ 个，$n$ 种；
• 第 2 步，填第 2 个位置：只能从剩下的 $n-1$ 个中选，$n-1$ 种。

由分步乘法计数原理，

$$\mathrm{A}_n^2 = n(n-1).$$

同理 $\mathrm{A}_n^3 = n(n-1)(n-2)$。一般地，填 $m$ 个空位分 $m$ 步，第 $k$ 步剩下 $n-(k-1)$ 个元素可选， 最后一步（第 $m$ 步）剩 $n-m+1$ 个。相乘即得排列数公式：

$$\mathrm{A}_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1), \qquad m,\ n \in \mathbf{N}^*,\ m \leqslant n.$$

这个公式的三个特点，记住比记住式子本身更有用：

1. 从 $n$ 起，逐个递减地连乘；
2. 一共乘 $m$ 个因数（不是 $m-1$ 个，也不是 $m+1$ 个）；
3. 最后一个因数是 $n-m+1$。

第 2 条是查错的最快办法：算 $\mathrm{A}_8^3$ 时数一数「$8\times7\times6$」正好三个因数 ✓。 第 3 条则可以反查：$8-3+1 = 6$，末项确实是 $6$ ✓。

$$\mathrm{A}_5^2 = 5\times4 = 20, \qquad \mathrm{A}_8^3 = 8\times7\times6 = 336.$$

三、全排列与阶乘

把 $n$ 个不同元素全部取出排成一列，叫做这 $n$ 个元素的一个全排列。此时 $m = n$，公式给出

$$\mathrm{A}_n^n = n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times 3\times 2\times 1.$$

正整数 $1$ 到 $n$ 的连乘积叫做 $n$ 的阶乘，记作 $n!$。于是

$$\mathrm{A}_n^n = n!.$$

另外规定 $0! = 1$。这条规定不是凭空定的，它是为了让下一段的除法公式在 $m = n$ 时也成立 （$\mathrm{A}_n^n = \dfrac{n!}{0!}$ 要等于 $n!$，就必须有 $0! = 1$）。

四、公式的第二个写法：阶乘形式

课本用例 3 的四个结果把学生引到一个观察上：

$$\mathrm{A}_7^3 = \frac{\mathrm{A}_7^7}{\mathrm{A}_4^4} = \frac{7!}{4!}, \qquad \mathrm{A}_6^4 = \frac{\mathrm{A}_6^6}{\mathrm{A}_2^2} = \frac{6!}{2!}.$$

一般的道理是「上下同补，把缺的尾巴补齐再除掉」：

$$\mathrm{A}_n^m = n(n-1)\cdots(n-m+1) = \frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)\times(n-m)\times\cdots\times 2\times 1}{(n-m)\times\cdots\times 2\times 1} = \frac{n!}{(n-m)!}.$$

于是排列数公式有了第二个写法：

$$\mathrm{A}_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}.$$

两个写法各有各的用处：

举例：算 $\mathrm{A}_{12}^4$ 用第一个写法（四个因数相乘）； 证明 $\mathrm{A}_n^m = n\,\mathrm{A}_{n-1}^{m-1}$ 用第二个写法（两行就完）。 别拿阶乘写法去算数值，$12!$ 有九位数，白算。

五、例 4 的三条路：三种计数策略的样板

例 4：用 $0$～$9$ 这 $10$ 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

难点只有一个：$0$ 不能放在百位。三条解法正对应三种通用策略。

解法 1（特殊位置优先，分步乘法）：先定百位，从 $1$～$9$ 中取 $1$ 个，$\mathrm{A}_9^1$ 种； 再定十位和个位，从剩下的 $9$ 个数字（含 $0$）中取 $2$ 个排列，$\mathrm{A}_9^2$ 种。

$$\mathrm{A}_9^1 \times \mathrm{A}_9^2 = 9\times 9\times 8 = 648.$$

解法 2（按特殊元素的位置分类，分类加法）：以 $0$ 出现与否、出现在哪一位为标准分三类—— $0$ 不出现（$\mathrm{A}_9^3$）、$0$ 在个位（$\mathrm{A}_9^2$）、$0$ 在十位（$\mathrm{A}_9^2$）：

$$\mathrm{A}_9^3 + \mathrm{A}_9^2 + \mathrm{A}_9^2 = 504 + 72 + 72 = 648.$$

解法 3（间接法 / 正难则反）：先不管限制，从 $10$ 个数字取 $3$ 个排列共 $\mathrm{A}_{10}^3$ 种， 再减掉百位是 $0$ 的那些（它们不是三位数）：

$$\mathrm{A}_{10}^3 - \mathrm{A}_9^2 = 720 - 72 = 648.$$

三条路的选用原则：

• 限制集中在一个位置上 → 解法 1（先安排那个位置）；
• 限制集中在一个元素上、且它的可能位置不多 → 解法 2（按它的位置分类）；
• 不合格的情形比合格的少 → 解法 3（总数减去不合格）。

三条都算出 $648$，这本身就是最好的检验。 计数题最怕「重复计数」和「漏算」， 而它们往往不会同时出现在两种不同的思路里——换一条路重算一遍，是计数问题唯一可靠的自检手段。

六、第四条路：限制只管相对次序时，$n!$ 会被等分

例 4 的三条路都在安排位置。还有一类限制根本不提位置，只说几个元素谁前谁后：

• 「甲必须排在乙的前面」；
• 「$A$、$B$ 都在 $C$ 的同一侧」；
• 「三个人从左到右身高递增」。

这类题用前三条路都做得出来，但都绕。最短的一条是把被约束的那几个元素单拎出来，只看它们的相对次序。

结论。 $n$ 个不同元素的全排列共 $n!$ 个。指定其中 $k$ 个元素，按它们从左到右的先后次序把这 $n!$ 个排列 分堆，则恰好分成 $k!$ 堆，且每堆一样大，各含 $\dfrac{n!}{k!}$ 个。于是

$$\text{合格的排列数}=n!\times\frac{\text{合格的次序数}}{k!} .$$

为什么每堆一样大。 任取两种次序，把其中一堆里的每个排列这样改造：那 $k$ 个元素占的 $k$ 个位置不动、 其余元素也一律不动，只把这 $k$ 个元素在这些位置上按另一种次序重摆一遍。这个改造是可逆的 （反着摆回去即可），所以它是两堆之间的一一对应，两堆元素个数必然相等。

这不是概率意义上的”平均”，是精确的等分——$n!$ 一定被 $k!$ 整除，算出来的答案永远是整数。

三个例子。

• 「甲在乙前」：$k=2$，$2!=2$ 种次序，合格 $1$ 种，答案 $\dfrac{n!}{2}$；
• 「三人从左到右身高递增」：$k=3$，$3!=6$ 种次序，合格 $1$ 种，答案 $\dfrac{n!}{6}$；
• 「$A$、$B$ 在 $C$ 同侧」：$k=3$，把 $6$ 种次序写出来 $ABC$、$ACB$、$BAC$、$BCA$、$CAB$、$CBA$， 不合格的只有 $C$ 居中的 $ACB$ 与 $BCA$ 两种，答案 $n!\times\dfrac46$。

什么时候用不了。 条件一旦扯上距离（相邻、不相邻）或绝对位置（不能排在首位）， 各堆就不再一样大，这条路立刻失效——那时候要回到捆绑法、插空法，或者本节前面那三条路。 判断标准很干脆：把那几个元素之外的东西全擦掉，条件还说得清楚吗？ 说得清楚就能用。

七、两处容易出错的地方

其一：$\mathrm{A}_n^m$ 里 $m \leqslant n$ 是硬条件。 从 $5$ 个元素里取 $7$ 个排列是没有意义的， $\mathrm{A}_5^7$ 不存在。解含 $\mathrm{A}$ 的方程时，务必回头检查每个下标、上标。 解出来的 $m$、$n$ 必须都是正整数，且 $m\leqslant n$，不合的根一律舍去。

其二：别把「有多少种取法」与「有多少个数」混为一谈。 例 4 里两者恰好相等， 是因为「一个排列 $\leftrightarrow$ 一个三位数」是一一对应的。 但若题目允许数字重复、或首位可以是 $0$，这个对应就断了，答案也要跟着改。 每次用排列数之前，先确认「一个排列恰好对应一个所求对象」。

八、这一节在本章的位置

下一小节的组合数公式完全建立在本节之上：先按排列算，再把「同一组元素的 $m!$ 种顺序」除掉。 所以排列数公式必须先算熟。

九、这一节考过的真题

页面下方「考过本节的真题」是构建期派生的完整清单。排列数很少独当一道题，它多半是别人算式里的一个因子—— 也正因为这样，认出「这一步该用 $\mathrm{A}$」比会算 $\mathrm{A}$ 更值钱。

2013 年浙江卷第 14 题（$A$ 到 $F$ 六个字母排一排，$A$、$B$ 均在 $C$ 的同侧）是第六段那条路的 标准样本。原卷走的是「按 $C$ 的位置分类」——$C$ 站第 $1$、$2$、$3$ 位时分别有 $120$、$72$、$48$ 种， 左右对称再乘 $2$，得 $480$；而用相对次序只要一行：$3!=6$ 种次序把 $6!=720$ 等分，$C$ 不居中的有 $4$ 种，

$$720\times\frac46=480 .$$

两条路的差别正是第五段那句「限制集中在哪里」的延伸：限制根本不落在任何位置上时，就别去排位置。 另外这道题还给「$C$ 站第 $3$ 位」埋了一个坑——左边两位、右边三位，「都在左」和「都在右」是两支， 只写后者就会漏掉 $12$ 种。这正是第五段说的「计数题最怕重复与遗漏」，也正是换一条路重算一遍的价值： 用相对次序算出的 $480$ 与分类法对上，才敢落笔。

2014 年浙江卷第 14 题（8 张奖券里一、二、三等奖各 1 张，分给 4 个人每人 2 张，问不同的获奖情况有几种） 把本节要的东西各考了一次：

• $\mathrm{A}_4^3 = 4\times 3\times 2 = 24$。 三张奖券各归一人时，要派的是「一等奖给谁、二等奖给谁、 三等奖给谁」三个有区别的位置，正是第二段那张填空位的图——$4$ 个人往 $3$ 个空位里填， 第一个空 $4$ 种、第二个 $3$ 种、第三个 $2$ 种。写成 $\mathrm{C}_4^3 = 4$ 就是把三个位置当成了没区别， 丢掉一、二、三等奖分给这三人的 $3! = 6$ 倍。
• $\mathrm{A}_4^2 = 4\times 3 = 12$。 另一类是「一人拿两张、一人拿一张」：先选出哪两张券同归一人 （这一步两张之间没有先后，用组合，$\mathrm{C}_3^2 = 3$），再派人——两个人的角色不同 （谁是拿两张的、谁是拿一张的），所以这一步是排列。合起来 $\mathrm{C}_3^2\mathrm{A}_4^2 = 36$， 与上一条相加得 $60$。

同一道题还顺手提供了一个反例，正对着第七段那条「其二」：它另有一条路是让三张奖券各自挑主人， 每张券都有 $4$ 个人可挑、同一个人可以被挑中不止一次，于是那一步是 $4^{3} = 64$ 而不是 $\mathrm{A}_4^3$。 排列数的前提是「取出的 $m$ 个元素互不相同」；一旦允许重复，「一个排列恰好对应一个所求对象」 这层对应就断了，得退回 §6.1 的分步乘法直接写幂。判据只有一句： 每一步是从「剩下的」里选，还是从「全部的」里选。

本节目录里有四页（page-0022–page-0025，印刷页码第 17–20 页），印着的题分两块，共 5 道，逐题全做：

1. 上一小节「练习」的第 2、3 题——它们整道印在 page-0022（第 17 页）上，这一页属于本节的目录， 所以收在这里。（同一组练习的第 1 题印在 §6.2 的末页，在那一份详解里解答。）
2. 本节「练习」第 1–3 题（page-0025，第 20 页）。

「习题 6.2」印在 §6.2.4 的目录下，归那一份详解，这里不收。

全篇用到的公式先列在这里：

• 排列数公式（连乘写法）：$\mathrm{A}_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)$，从 $n$ 起递减、一共 $m$ 个因数、末项是 $n-m+1$。
• 排列数公式（阶乘写法）：$\mathrm{A}_n^m = \dfrac{n!}{(n-m)!}$，其中 $0! = 1$。
• 全排列：$\mathrm{A}_n^n = n!$。
• 适用范围：$m,\ n \in \mathbf{N}^*$ 且 $m \leqslant n$。
• 算数值用连乘写法，做变形与证明用阶乘写法。

练习（第 17 页）第 2 题

2. 一位老师要给 4 个班轮流做讲座，每个班讲 1 场，有多少种轮流次序？

先判断它是不是排列问题（用 §6.2.1 的三问）：$4$ 个班两两不同 ✓；每个班只讲 $1$ 场， 一个班排定后不会再排第二次，是不放回的 ✓；「轮流次序」明说了先后有别， 换两个班的先后就是另一种安排 ✓。三问全过，是排列问题。

而且是全排列：$4$ 个班全部要排上，$m = n = 4$。所以

$$\mathrm{A}_4^4 = 4! = 4\times 3\times 2\times 1 = 24 \ \text{种}.$$

分步验算：第 1 场从 $4$ 个班中选，$4$ 种；第 2 场从剩下 $3$ 个中选，$3$ 种； 第 3 场 $2$ 种；第 4 场只剩 $1$ 个，$1$ 种。相乘 $4\times3\times2\times1 = 24$ ✓，与公式一致。

注意「每个班讲 1 场」这句话的作用：它保证了不会有某个班被讲两次、某个班被漏掉， 也就是保证了这是 $4$ 个元素的全排列而不是别的。若改成「从 $4$ 个班中挑 $2$ 个班各讲 $1$ 场」， 答案就变成 $\mathrm{A}_4^2 = 12$。

练习（第 17 页）第 3 题

3. 学校乒乓团体比赛采用 5 场 3 胜制（5 场单打），每支球队派 3 名运动员参赛，前 3 场比赛每名运动员各出场 1 次，其中第 1，2 位出场的运动员在后 2 场比赛中还将各出场 1 次.

（1）从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况？

(2) 甲、乙、丙 3 名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况.

先把赛制读清楚。 一支队报 $3$ 名运动员，前 $3$ 场每人各打 $1$ 场； 后 $2$ 场由第 1、2 位出场的那两名各再打 $1$ 场。 所以整个出场安排一旦定下「谁打第 1 场、谁打第 2 场、谁打第 3 场」，其余就全定了—— 后 2 场的人选是被前 3 场的次序唯一决定的，不产生新的选择。 于是两问都归结为「前 3 场的次序有多少种」。

(1) 从 $5$ 名运动员中选 $3$ 名，安排到「第 1 场、第 2 场、第 3 场」这 $3$ 个有区别的位置上。

位置有区别（第 1、2 位出场的人后面还要再打一场，第 3 位不用），所以顺序算数，这是排列问题：

$$\mathrm{A}_5^3 = 5\times 4\times 3 = 60 \ \text{种}.$$

分步验算：第 1 场从 $5$ 人中派 $1$ 人，$5$ 种；第 2 场从剩下 $4$ 人中派，$4$ 种； 第 3 场从剩下 $3$ 人中派，$3$ 种。$5\times4\times3 = 60$ ✓。

这里千万别只算「选 3 名」。若只问「从 $5$ 人中选出 $3$ 人参赛」而不管次序， 那是下一小节的组合问题，答案是 $10$；本题多问了「前 $3$ 场的出场情况」，所以要乘上 $3$ 人的全排列 $3! = 6$， $10\times 6 = 60$ ✓——两条路又一次对上。

(2) 参赛的三人已经指定为甲、乙、丙，剩下的自由度只有这三人在前 3 场里的先后次序， 即 $3$ 个元素的全排列：

$$\mathrm{A}_3^3 = 3! = 6 \ \text{种}.$$

按第 1 场出场的人分类，逐一写全（记号「甲乙丙」表示第 1 场甲、第 2 场乙、第 3 场丙）：

$$\begin{array}{l} \text{第 1 场甲}:\quad \text{甲乙丙},\quad \text{甲丙乙}; \\ \text{第 1 场乙}:\quad \text{乙甲丙},\quad \text{乙丙甲}; \\ \text{第 1 场丙}:\quad \text{丙甲乙},\quad \text{丙乙甲}. \end{array}$$

共 $3$ 类、每类 $2$ 个，合计 $6$ 种，与算出的 $\mathrm{A}_3^3 = 6$ 相符 ✓。

把后 2 场补上看得更清楚：以「甲乙丙」为例，第 1、2 位出场的是甲和乙， 所以后 2 场就由甲、乙各再打 1 场；丙只打第 3 场那一场。 其余五种同理，后 2 场的人选完全跟着前 3 场走，所以上面 $6$ 种已经把所有出场情况列全了。

(1) 与 (2) 的关系：(1) 的 $60$ 种 $=$「先从 $5$ 人中定出哪 $3$ 人上场」$\times$「这 $3$ 人的 $6$ 种次序」， 而 (2) 正是把其中一组人（甲、乙、丙）的那 $6$ 种次序写了出来。

练习（第 20 页）第 1 题

1. 先计算，然后用计算工具检验：

(1) $A_{12}^{4}$ ; (2) $A_{8}^{8}$ ; (3) $A_{15}^{5}-15A_{14}^{4}$ ; (4) $\frac{A_{12}^{7}}{A_{12}^{6}}$ .

四问都直接套公式，但该用哪个写法要挑：(1)(2) 用连乘写法算数值，(3)(4) 先做变形再算。

(1) 从 $12$ 起递减连乘 $4$ 个因数，末项是 $12-4+1 = 9$：

$$\mathrm{A}_{12}^4 = 12\times 11\times 10\times 9 = 11880.$$

（中间步骤：$12\times11 = 132$，$132\times10 = 1320$，$1320\times9 = 11880$。）

(2) 这是 $8$ 个元素的全排列：

$$\mathrm{A}_8^8 = 8! = 8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1 = 40320.$$

（中间步骤：$8\times7 = 56$，$\times6 = 336$，$\times5 = 1680$，$\times4 = 6720$，$\times3 = 20160$，$\times2 = 40320$，$\times1 = 40320$。）

(3) 先别急着算两个大数，看结构：

$$\mathrm{A}_{15}^5 = 15\times 14\times 13\times 12\times 11 = 15\times\left(14\times13\times12\times11\right) = 15\,\mathrm{A}_{14}^4,$$

因为 $\mathrm{A}_{14}^4 = 14\times13\times12\times11$（从 $14$ 起 $4$ 个因数，末项 $14-4+1 = 11$）恰好就是括号里那一段。所以

$$\mathrm{A}_{15}^5 - 15\,\mathrm{A}_{14}^4 = 15\,\mathrm{A}_{14}^4 - 15\,\mathrm{A}_{14}^4 = 0.$$

用数值核一遍：$\mathrm{A}_{14}^4 = 14\times13\times12\times11 = 24024$， $\mathrm{A}_{15}^5 = 15\times 24024 = 360360$，$360360 - 15\times 24024 = 0$ ✓。

这一小问其实是下一题 (1) 的特例：$\mathrm{A}_n^m = n\,\mathrm{A}_{n-1}^{m-1}$，取 $n = 15$、$m = 5$ 即得 $\mathrm{A}_{15}^5 = 15\,\mathrm{A}_{14}^4$。

(4) 两个排列数只差一个因数：

$$\mathrm{A}_{12}^7 = 12\times11\times10\times9\times8\times7\times6, \qquad \mathrm{A}_{12}^6 = 12\times11\times10\times9\times8\times7,$$

约分后只剩最后那个因数：

$$\frac{\mathrm{A}_{12}^7}{\mathrm{A}_{12}^6} = 6.$$

用阶乘写法核一遍：

$$\frac{\mathrm{A}_{12}^7}{\mathrm{A}_{12}^6} = \frac{\dfrac{12!}{5!}}{\dfrac{12!}{6!}} = \frac{6!}{5!} = 6 \ ✓.$$

一般结论值得记住：$\dfrac{\mathrm{A}_n^{m+1}}{\mathrm{A}_n^{m}} = n-m$（多出来的那一个因数）。 这里 $n = 12$、$m = 6$，$n-m = 6$ ✓。

练习（第 20 页）第 2 题

2. 求证：

(1) $A_{n}^{m}=nA_{n-1}^{m-1}$ ;

(2) $A_{8}^{8}-8A_{7}^{7}+7A_{6}^{6}=A_{7}^{7}$ .

(1) 先说清适用范围：要让两边都有意义，需要 $m,\ n \in \mathbf{N}^*$、$m \leqslant n$， 且右边的 $\mathrm{A}_{n-1}^{m-1}$ 要求 $m-1 \leqslant n-1$（自动满足）。$m = 1$ 时右边是 $n\,\mathrm{A}_{n-1}^{0}$， 按阶乘写法 $\mathrm{A}_{n-1}^0 = \dfrac{(n-1)!}{(n-1)!} = 1$，等式仍成立。

证法一（阶乘写法，两行）：

$$n\,\mathrm{A}_{n-1}^{m-1} = n\times\frac{(n-1)!}{\left[(n-1)-(m-1)\right]!} = n\times\frac{(n-1)!}{(n-m)!} = \frac{n!}{(n-m)!} = \mathrm{A}_n^m. \qquad \blacksquare$$

关键一步是 $n\times(n-1)! = n!$，而分母 $(n-1)-(m-1) = n-m$ 两边正好相同。

证法二（连乘写法，看因数）：

$$\mathrm{A}_{n-1}^{m-1} = (n-1)(n-2)\cdots\left[(n-1)-(m-1)+1\right] = (n-1)(n-2)\cdots(n-m+1),$$

这是从 $n-1$ 起递减的 $m-1$ 个因数，末项是 $n-m+1$。左乘一个 $n$：

$$n\,\mathrm{A}_{n-1}^{m-1} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1),$$

从 $n$ 起递减、共 $m$ 个因数、末项 $n-m+1$——正是 $\mathrm{A}_n^m$ 的定义式。$\blacksquare$

组合意义（第三条路，也最好记）：排 $m$ 个位置时， 第 1 个位置有 $n$ 种填法；填完之后，还剩 $n-1$ 个元素要去填余下的 $m-1$ 个位置， 方法数是 $\mathrm{A}_{n-1}^{m-1}$。由分步乘法计数原理，总数就是 $n\,\mathrm{A}_{n-1}^{m-1}$。 这条恒等式说的就是「先定第一个位置」这个动作。

(2) 三项都是全排列，先各自化成阶乘：

$$\mathrm{A}_8^8 = 8!, \qquad \mathrm{A}_7^7 = 7!, \qquad \mathrm{A}_6^6 = 6!.$$

于是左边

$$8! - 8\times 7! + 7\times 6!.$$

逐项收拾。由 $8! = 8\times 7!$ 得前两项抵消：

$$8! - 8\times 7! = 8\times 7! - 8\times 7! = 0.$$

由 $7! = 7\times 6!$ 得第三项就是 $7!$：

$$7\times 6! = 7! .$$

所以左边等于 $0 + 7! = 7! = \mathrm{A}_7^7$，即右边。$\blacksquare$

代数值核一遍：$8! = 40320$，$8\times 7! = 8\times 5040 = 40320$，$7\times 6! = 7\times 720 = 5040$。

$$40320 - 40320 + 5040 = 5040 = 7! \ ✓.$$

这一小问用的其实还是 (1)：$\mathrm{A}_n^n = n\,\mathrm{A}_{n-1}^{n-1}$， 即 $8! = 8\times 7!$、$7! = 7\times 6!$。阶乘的这条递推 $n! = n\times(n-1)!$，是全章最常用的变形。

练习（第 20 页）第 3 题

3. 一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？

先辨清谁是「元素」、谁是「位置」。 这道题的两种读法都能通向同一个答案，但要读对一种：

读法一（把岔道当位置）：$8$ 股岔道里要挑 $4$ 股来停车，且每股停哪一列是有区别的。 不过这样一来「位置」有 $8$ 个而「元素」只有 $4$ 列车，不是标准的 $\mathrm{A}_n^m$ 形状。

读法二（把火车当位置，推荐）：$4$ 列火车各要分配一股岔道， 相当于给「第 1 列车、第 2 列车、第 3 列车、第 4 列车」这 $4$ 个有区别的位置， 从 $8$ 股不同的岔道中各取 $1$ 股填进去，且不能重复（每股道只能停 $1$ 列）。 这正是从 $8$ 个不同元素中取 $4$ 个的排列：

$$\mathrm{A}_8^4 = 8\times 7\times 6\times 5 = 1680 \ \text{种}.$$

分步验算：第 1 列车从 $8$ 股道中挑 $1$ 股，$8$ 种；第 2 列车只能从剩下 $7$ 股里挑，$7$ 种； 第 3 列车 $6$ 种；第 4 列车 $5$ 种。$8\times7\times6\times5 = 1680$ ✓ （中间步骤：$8\times7 = 56$，$56\times6 = 336$，$336\times5 = 1680$）。

两个条件各起什么作用：

• 「4 列不同的火车」——保证火车两两可分辨，交换两列车的道就是另一种停法，所以顺序算数；
• 「每股道只能停 1 列」——保证不放回，所以是排列而不是 $8^4$。

若把这两个条件去掉会怎样（用来检验自己有没有读对题）：

最后那一行就是下一小节的组合数 $\mathrm{C}_8^4$——把「$4$ 列车之间的 $4! = 24$ 种次序」除掉。 本题因为火车互不相同，这 $24$ 种次序都要算数，所以停在 $1680$。