6.2.2 排列数

文字转写

2. 一位老师要给 4 个班轮流做讲座，每个班讲 1 场，有多少种轮流次序？

3. 学校乒乓团体比赛采用 5 场 3 胜制（5 场单打），每支球队派 3 名运动员参赛，前 3 场比赛每名运动员各出场 1 次，其中第 1，2 位出场的运动员在后 2 场比赛中还将各出场 1 次.

（1）从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况？

(2) 甲、乙、丙 3 名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况.

6.2.2 排列数

前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式.

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我们把从 n 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n)$ 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 $A_{n}^{m}$ 表示.

符号 $A_{n}^{m}$ 中的 A 是英文 arrangement（排列）的第一个字母.

例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为 $A_{3}^{2}$。已经算得

$\mathrm{A} _ {3} ^ {2} = 3 \times 2 = 6.$

问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为 $\mathrm{A}_4^3$。已经算得

$\mathrm{A} _ {4} ^ {3} = 4 \times 3 \times 2 = 2 4.$

探究

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数 $\mathrm{A}_n^m (m\leqslant n)$ 是多少？

可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数 $\mathrm{A}_n^2$。根据前面的求解经验，可以这样考虑：

假定有排好顺序的两个空位，如图6.2-3所示，从 $n$ 个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到．因此，所有不同填法的种数就是排列数 $\mathrm{A}_n^2$

现在来计算有多少种填法. 完成 “填空” 这件事可以分为两个步骤完成:

第1步，填第1个位置的元素，可以从这 $n$ 个不同元素中任选1个，有 $n$ 种选法；

第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的 $(n - 1)$ 个元素中任选1个，有 $(n - 1)$ 种选法.

根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为

$\mathrm{A} _ {n} ^ {2} = n (n - 1).$

同理，求排列数 $\mathrm{A}_n^3$ 可以按依次填3个空位来考虑，有

$\mathrm{A} _ {n} ^ {3} = n (n - 1) (n - 2).$

一般地，求排列数 $A_{n}^{m}$ 可以按依次填 m 个空位来考虑：

假定有排好顺序的 $m$ 个空位，如图6.2-4所示，从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数就是排列数 $\mathrm{A}_n^m$

填空可以分为 m 个步骤完成：

第1步，从 $n$ 个不同元素中任选1个填在第1位，有 $n$ 种选法；

第2步，从剩下的 $(n-1)$ 个元素中任选1个填在第2位，有 $(n-1)$ 种选法；

第3步，从剩下的 $(n-2)$ 个元素中任选1个填在第3位，有 $(n-2)$ 种选法；

第 m 步，从剩下的 $[n-(m-1)]$ 个元素中任选 1 个填在第 m 位，有 $(n-m+1)$ 种选法. 根据分步乘法计数原理，m 个空位的填法种数为

$n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m + 1).$

这样，我们就得到公式

$\mathrm{A} _ {n} ^ {m} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m + 1).$

你能说一下排列数公式的特点吗？

这里， $m$ ， $n\in \mathbf{N}^*$ ，并且 $m\leqslant n$ .这个公式叫做排列数公式

根据排列数公式，我们就能方便地计算出从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n)$ 个元素的所有排列的个数。例如，

$\begin{array}{c} \mathrm{A} _ {5} ^ {2} = 5 \times 4 = 2 0, \\ \mathrm{A} _ {8} ^ {3} = 8 \times 7 \times 6 = 3 3 6. \end{array}$

特别地，我们把 $n$ 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 $n$ 个元素的一个全排列。这时，排列数公式中 $m = n$ ，即有

$\mathrm{A} _ {n} ^ {n} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1.$

也就是说，将 $n$ 个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到 $n$ 的连乘积．正整数1到 $n$ 的连乘积，叫做 $n$ 的阶乘，用 $n!$ 表示．于是， $n$ 个元素的全排列数公式可以写成

$\mathrm{A} _ {n} ^ {n} = n!.$

另外，我们规定， $0!=1$ .

例3 计算：（1） $\mathrm{A}_7^3$ ；（2） $\mathrm{A}_7^4$ ；（3） $\frac{\mathrm{A}_7^7}{\mathrm{A}_4^4}$ ；（4） $\mathrm{A}_6^4\times \mathrm{A}_2^2$

解：根据排列数公式，可得

(1) $A_{7}^{3}=7\times6\times5=210;$

(2) $A_{7}^{4}=7\times6\times5\times4=840;$

(3) $\frac{\mathrm{A}_7^7}{\mathrm{A}_4^4} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$;

(4) $A_{6}^{4}\times A_{2}^{2}=6\times5\times4\times3\times2\times1=6!=720.$

思考

由例3可以看到， $\mathrm{A}_7^3 = \frac{\mathrm{A}_7^7}{\mathrm{A}_4^4} = \frac{7!}{4!}$ ； $\mathrm{A}_6^4\times \mathrm{A}_2^2 = 6! = \mathrm{A}_6^6$ ，即 $\mathrm{A}_6^4 = \frac{\mathrm{A}_6^6}{\mathrm{A}_2^2} = \frac{6!}{2!}$ 观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？

事实上，

$\begin{array}{r l} \mathrm{A} _ {n} ^ {m} & = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m + 1) \\ & = \frac {n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times (n - m + 1) \times (n - m) \times \cdots \times 2 \times 1}{(n - m) \times \cdots \times 2 \times 1} \\ & = \frac {\mathrm{A} _ {n} ^ {n}}{\mathrm{A} _ {n - m} ^ {n - m}} \\ & = \frac {n !}{(n - m) !}. \end{array}$

因此，排列数公式还可以写成

$\mathrm{A} _ {n} ^ {m} = \frac {n !}{(n - m) !}.$

例 4 用 0~9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

分析：在 $0\sim 9$ 这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题.

解法 1：如图 6.2-5 所示，由于三位数的百位上的数字不能是 0，所以可以分两步完成：第 1 步，确定百位上的数字，可以从 1～9 这 9 个数字中取出 1 个，有 $A_{9}^{1}$ 种取法；第 2 步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的 9 个数字中取出 2 个，有 $A_{9}^{2}$ 种取法。根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为

$\mathrm{A} _ {9} ^ {1} \times \mathrm{A} _ {9} ^ {2} = 9 \times 9 \times 8 = 6 4 8.$

解法2：如图6.2-6所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从 $1\sim 9$ 这9个数字中取出3个，有 $\mathrm{A}_9^3$ 种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有 $\mathrm{A}_9^2$ 种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有 $\mathrm{A}_9^2$ 种取法.

根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为

$\mathrm{A} _ {9} ^ {3} + \mathrm{A} _ {9} ^ {2} + \mathrm{A} _ {9} ^ {2} = 9 \times 8 \times 7 + 9 \times 8 + 9 \times 8 = 6 4 8.$

解法3：从 $0\sim 9$ 这10个数字中选取3个的排列数为 $\mathrm{A}_{10}^{3}$，其中0在百位上的排列数为 $\mathrm{A}_9^2$，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为

$\mathrm{A} _ {1 0} ^ {3} - \mathrm{A} _ {9} ^ {2} = 1 0 \times 9 \times 8 - 9 \times 8 = 6 4 8.$

对于例 4 这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法。解法 1 根据百位数字不能是 0 的要求，按分步乘法计数原理完成从 10 个数中取出 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事；解法 2 是以 0 是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；解法 3 是一种间接法，先求出从 10 个数中取出 3 个数的排列数，然后减去其中百位是 0 的排列数（不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数。

从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便捷地求解“从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n)$ 个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题.

练习

1. 先计算，然后用计算工具检验： (1) $A_{12}^{4}$ ; (2) $A_{8}^{8}$ ; (3) $A_{15}^{5}-15A_{14}^{4}$ ; (4) $\frac{A_{12}^{7}}{A_{12}^{6}}$ .

2. 求证： (1) $A_{n}^{m}=nA_{n-1}^{m-1}$ ;

(2) $A_{8}^{8}-8A_{7}^{7}+7A_{6}^{6}=A_{7}^{7}$ .

3. 一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？