排列：当「顺序」也算数的时候

一、为什么要在两个计数原理之上再造一个概念

§6.1 已经给了两条计数原理：分类用加法，分步用乘法。原则上一切计数问题都能靠它们解决。 但上一节例 8 那样的题做下来会发现，同一套「一步一步选」的动作要反复写很多遍， 每道题都从头推一次分步乘法，很啰嗦。

本节的想法是：把最常见的那类计数模式抽象成一个概念，一次性算出它的公式，以后直接套。 这个模式就是——

从一些互不相同的元素中取出一部分，按一定的顺序排成一列，问有多少种排法。

给它起个名字叫排列，把它的个数记成一个符号（下一节的 $\mathrm{A}_n^m$）， 以后遇到同一模式的题就不必再从分步乘法原理讲起。本节只做前一半：把概念立清楚。

二、两个引例，看清「顺序」是什么

问题 1：从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名，1 名参加上午的活动、另 1 名参加下午的活动，有几种选法？

分两步：先定上午的人，$3$ 种；上午的人定了之后，下午的人只能从剩下的 $2$ 人里选，$2$ 种。由分步乘法计数原理，

这里的「顺序」是什么？ 是「上午 / 下午」这两个位置。同样选中甲和乙， 「甲上午、乙下午」与「乙上午、甲下午」是两种不同的安排。位置的区别，就是顺序。

问题 2：从 $1,\ 2,\ 3,\ 4$ 中每次取 $3$ 个排成一个三位数，共有多少个不同的三位数？

分三步（百位、十位、个位），

这里的「顺序」是「百位 / 十位 / 个位」。 同样用 $1,\ 2,\ 3$ 三个数字， $123$ 与 $132$ 是不同的三位数——数字相同而位置不同，就是不同的结果。

两个问题的共同点：都是从一批不同的元素里取出一部分，放进有区别的位置，问有多少种放法。 把这个共同点抽象出来，就是排列。

三、排列的定义与「相同」的判据

定义：一般地，从 $n$ 个不同元素中取出 $m\ (m \leqslant n)$ 个元素， 并按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列（arrangement）。

定义里有三个词都不能少：

• 「不同元素」——被取的对象两两可分辨。若有两个元素完全一样，交换它们不产生新排列，计数会变。
• 「取出 $m$ 个」——每个元素至多取一次（取出来就不放回去了）。这一条是隐含的， 却是本节最容易被忽略的前提，例 2 专门考它。
• 「按一定的顺序排成一列」——排出来的结果是有先后的一列，不是一个无序的集合。

两个排列相同的充要条件：

两个条件缺一个就是不同的排列。课本给的两组对照很值得记住：

「甲乙」与「乙甲」算两种，这一句就是排列的灵魂。下一小节要学的组合， 恰恰是把这一句改成「算一种」——排列与组合的全部区别只在这里。

四、例 1：把「主客场」读成顺序

例 1：每组 $6$ 支队，每两支队都要在主、客场各赛 $1$ 场，每组共赛多少场？

关键是看出「主队、客队」是两个有区别的位置。 一场比赛由「谁是主队、谁是客队」决定， 所以它对应从 $6$ 支队中取 $2$ 支、按「主队—客队」的顺序排成的一个排列。于是

如果题目改成「单循环，每两队只赛 1 场」呢？ 那么「甲主乙客」与「乙主甲客」是同一场， 答案要减半成 $15$——那就不是排列问题了，是下一小节的组合问题。 「主客场分别比赛 1 场」这七个字，正是把它钉死在排列上的那句话。

五、例 2：两问只差一个字，答案差一倍多

例 2 是本节最要紧的一道题，两问的题面几乎一样，答案却完全不同。

(1) 一张餐桌上有 5 盘不同的菜，甲、乙、丙 3 人每人各取 1 盘。

一盘菜被取走就没有了，后面的人只能从剩下的里选：

这是排列：从 $5$ 盘不同的菜里取 $3$ 盘，放进「甲、乙、丙」这 $3$ 个有区别的位置。

(2) 食堂窗口共卖 5 种菜，甲、乙、丙 3 人每人选 1 种。

「种」不是「盘」——窗口的每种菜可以卖给任意多人，甲选了红烧肉，乙照样能选红烧肉。所以

这不是排列，因为元素被重复使用了，违反了「取出 $m$ 个不同元素」这个前提。

两问的分界线是「元素能不能重复使用」，也就是「取了放不放回」：

注意 (2) 仍然可以用分步乘法计数原理算——两条计数原理是更基础的工具， 排列只是它们的一个特例。遇到不符合排列前提的题，退回去用分步乘法原理，一样能做。

六、判断一道题是不是排列问题，问三句话

1. 被取的对象两两不同吗？ 有重复的元素（比如两个一模一样的球）就不是标准排列。
2. 取出后放回吗？ 放回（可重复使用）就不是排列，直接用分步乘法原理。
3. 交换两个元素的位置，结果算不算变了？ 算变 $\Rightarrow$ 排列；不算变 $\Rightarrow$ 组合。

三问全部通过，才是排列。第 3 问是最需要小心的，因为题面往往不明说， 要靠「上午 / 下午」「主队 / 客队」「百位 / 十位 / 个位」「甲 / 乙 / 丙」这些位置词去判断。 凡是被取出的对象要放进彼此有区别的位置，顺序就起作用。

七、还有一类要单独提防：带限制的位置

本节练习第 1 题 (1)「用 $0$～$4$ 组成没有重复数字的两位数」就属于这一类： 它是排列，但十位不能放 $0$（放了就不是两位数了）。

这时不能直接照搬 $5 \times 4$，要么先安排受限的位置（先定十位，$4$ 种；再定个位，从剩下 $4$ 个中选，$4$ 种）， 要么先算全部再减掉不合格的（$5\times4 = 20$，减去十位是 $0$ 的 $4$ 个，得 $16$）。

「特殊位置优先」和「正难则反」这两条策略，从这里一直用到本章结束。

八、这一节在本章的位置

本节没有出现任何新公式，只出现了一个新概念。 但正是这个概念让后面几节有了统一的语言： 一旦确认「这是排列」，就可以直接调用 $\mathrm{A}_n^m$，不必每次重讲一遍分步乘法。

本节目录里有三页（page-0019–page-0021，印刷页码第 14–16 页），印着 §6.2 的引言、 §6.2.1「排列」的全部正文（问题 1、问题 2、排列的定义、相同排列的判据）、例 1 与例 2， 以及节末「练习」的第 1 题。同一组练习的第 2、3 题排在下一页 page-0022 上， 那一页属于 §6.2.2 的目录，按「哪一节的目录里印着这道题就归哪一节」的规矩， 第 2、3 题在 §6.2.2 的习题详解里解答，这里不重复。所以本份收 1 道。

（页码按课本印刷页写：page-0021 这一页的页脚印的是「16　第六章　计数原理」。）

练习（第 16 页）第 1 题

1. 写出：

（1）用 0～4 这 5 个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；

(2) 从 a, b, c, d 中取出 2 个字母的所有排列.

题目要的是「写出」，也就是把每一个都列全，不是只报个数。 但先把个数算出来，再照着个数去核对自己列了几个，是防止漏写、重写的唯一可靠办法。下面两问都这么做。

(1)

先算个数。 这是一个带限制的排列问题：从 $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$ 这 $5$ 个不同的数字中取 $2$ 个， 按「十位、个位」的顺序排成一列，但十位上不能是 $0$（否则写出来是 $0x$，那是一位数，不是两位数）。

按「特殊位置优先」分两步：

• 第 1 步，定十位：不能取 $0$，只能从 $1,\ 2,\ 3,\ 4$ 中取，有 $4$ 种；
• 第 2 步，定个位：十位那个数字已经用掉，不能重复，只能从剩下的 $4$ 个（这 $4$ 个里含 $0$）中取，有 $4$ 种。

由分步乘法计数原理，共

换一条路核一遍（正难则反）：不管十位是不是 $0$，从 $5$ 个数字取 $2$ 个排成一列共 $5\times4 = 20$ 种； 其中十位是 $0$ 的有 $1\times 4 = 4$ 种（即 $01,\ 02,\ 03,\ 04$）。相减得 $20 - 4 = 16$ ✓，两条路一致。

再按十位分类写全。 十位取定后，个位从余下的 $4$ 个里各取一次，每类 $4$ 个：

共 $4$ 类、每类 $4$ 个，合计 $16$ 个，与算出的个数相符 ✓。

列举时按「十位从小到大，十位相同时个位从小到大」的字典序走， 这样既不会漏也不会重——有序列举本身就是一种检查。 特别注意每一类里 $0$ 都出现在个位（如 $10$、$20$），而没有任何一个以 $0$ 开头， 这正是限制条件起作用的地方。

(2)

先算个数。 从 $a,\ b,\ c,\ d$ 这 $4$ 个不同字母中取出 $2$ 个，按顺序排成一列， 这是一个没有额外限制的排列问题：

• 第 1 步，定第一个字母：$4$ 种；
• 第 2 步，定第二个字母：不能与第一个重复，从剩下 $3$ 个中取，$3$ 种。

按第一个字母分类写全，每类 $3$ 个：

共 $12$ 个 ✓。

这一问最容易犯的错是把 $ab$ 与 $ba$ 当成同一个而只写 $6$ 个。 题目问的是「所有排列」——按定义，两个排列相同要求元素相同且顺序也相同， $ab$ 与 $ba$ 元素虽同但顺序不同，是两个不同的排列，都要写。

顺带看清两问的结构差别（这也是本题被放在一起考的原因）：

(2) 是标准排列，(1) 是带限制的排列。 若 (1) 也没有限制，答案会是 $5\times4 = 20$； 正是「两位数」这三个字砍掉了以 $0$ 开头的 $4$ 个。 日后凡是「用数字组成几位数」的题，第一件事就是检查首位能不能取 $0$。