6.2 排列与组合

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6.2 排列与组合

在上节例 8 的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐。能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析两个具体的问题。

6.2.1 排列

问题 1 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？

此时，要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤：

第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种选法；

第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的 2 人中去选，有 2 种选法.

根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为

$3 \times 2 = 6.$

这 6 种不同的选法如图 6.2-1 所示.

如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：

从 3 个不同的元素 a, b, c 中任意取出 2 个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

所有不同的排列是

$a b, a c, b a, b c, c a, c b,$

问题1中的“顺序”是什么？

不同的排列方法种数为

$3 \times 2 = 6.$

问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数。因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数。可以分三个步

骤来解决这个问题：

第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；

第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；

第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法.

根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为

$4 \times 3 \times 2 = 2 4.$

因而共可得到 24 个不同的三位数，如图 6.2-2 所示.

由此可写出所有的三位数：

$1 2 3, 1 2 4, 1 3 2, 1 3 4, 1 4 2, 1 4 3,$

213, 214, 231, 234, 241, 243,

$3 1 2, 3 1 4, 3 2 1, 3 2 4, 3 4 1, 3 4 2,$

412, 413, 421, 423, 431, 432.

同样，问题 2 可以归结为：

从 4 个不同的元素 $a, b, c, d$ 中任意取出 3 个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

所有不同的排列是

$a b c, a b d, a c b, a c d, a d b, a d c,$

$b a c, b a d, b c a, b c d, b d a, b d c,$

$c a b, c a d, c b a, c b d, c d a, c d b,$

问题 2 中的 “顺序” 是什么？

$d a b, d a c, d b a, d b c, d c a, d c b.$

不同的排列方法种数为

$4 \times 3 \times 2 = 2 4.$

思考

上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？

问题 1 和问题 2 都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.

一般地，从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n)$ 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列（arrangement）.

根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。例如，在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。

例 1 某省中学生足球赛预选赛每组有 6 支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛 1 场，那么每组共进行多少场比赛？

分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.

解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队。按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为

$6 \times 5 = 3 0.$

例 2 （1）一张餐桌上有 5 盘不同的菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中各取 1 盘菜，共有多少种不同的取法？

（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？

分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.

解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为

$5 \times 4 \times 3 = 6 0.$

（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法。按分步乘法计数原理，不同的选法种数为

$5 \times 5 \times 5 = 1 2 5.$

练习

1. 写出：

（1）用 0～4 这 5 个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；

(2) 从 a, b, c, d 中取出 2 个字母的所有排列.