6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法。但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高。能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法。

思考

用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

因为英文字母共有 26 个，阿拉伯数字共有 10 个，所以总共可以编出

$2 6 + 1 0 = 3 6$

种不同的号码.

探究

你能说一说这个问题的特征吗？

首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示。因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同。这两类号码数相加就得到号码的总数。

上述计数过程的基本环节是：

（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；

(2) 分别计算各类号码的个数;

(3) 各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.

一般地，有如下分类加法计数原理：

你能举一些生活中类似的例子吗？

完成一件事有两类不同方案 $^{①}$ ，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有

• •

①两类不同方案中的方法互不相同.

$N = m + n$

种不同的方法.

例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表 6.1-1.

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？

分析：要完成的事情是“选一个专业”。因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件。

解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所。在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法。因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为

$N = 5 + 4 = 9.$

探究

如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有 $m_{1}$ 种不同的方法，在第2类方案中有 $m_{2}$ 种不同的方法，在第3类方案中有 $m_{3}$ 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事有 $n$ 类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？

思考

用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，…， $A_{9}$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同。在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码. 但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤. 用图 6.1-1 所示的方法可以列出所有可能的号码.

图6.1-1是解决计数问题常用的“树状图”。你能用树状图列出所有可能的号码吗？

也可以这样思考：

由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有

$6 \times 9 = 5 4$

种不同的号码.

探究

你能说一说这个问题的特征吗？

上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成。因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的。

一般地，有如下分步乘法计数原理：

完成一件事需要两个步骤 $^{①}$ ，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有

$N = m \times n$

①无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数.

种不同的方法.

例 2 某班有男生 30 名、女生 24 名，从中任选男生和女生各 1 名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

分析：要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生.

解：任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成：第1步，从30名男生中选出1名，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1名，有24种不同选法。根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为

$N = 3 0 \times 2 4 = 7 2 0.$

探究

如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有 $m_{1}$ 种不同的方法，做第2步有 $m_{2}$ 种不同的方法，做第3步有 $m_{3}$ 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事需要 $n$ 个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？

例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

（1）从书架上任取 1 本书，有多少种不同取法？

（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？

分析：（1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成.

解：（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法。根据分类加法计数原理，不同取法的种数为

$N = 4 + 3 + 2 = 9.$

（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法。根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为

$N = 4 \times 3 \times 2 = 2 4.$

练习

1. 填空题

(1) 一项工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 1 人来完成这项工作，不同选法的种数是 ____；

(2) 从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，则从 A 村经 B 村去 C 村，不同路线的条数是 ____。

2. 在例1中，若数学也是A大学的强项专业，则A大学有6个专业可以选择，B大学有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为 $6 + 4 = 10$。这种算法有什么问题？

3. 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书.

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

(2) 从书架上任取数学书和语文书各 1 本，有多少种不同的取法？

4. 现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名.

(1) 从三个年级的学生中任选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？

分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成。

解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法。根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为

$N = 3 \times 2 = 6.$

这 6 种挂法如图 6.1-2 所示.

分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事。

例 5 给程序模块命名，需要用 3 个字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z，后两个字符要求用数字 1～9，最多可以给多少个程序模块命名？

分析：要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符。而首字符又可以分为两类。

解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为

$7 + 6 = 1 3.$

后两个字符从 1～9 中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为 9.

由分步乘法计数原理，不同名称的个数是

你还能给出不同的解法吗？

$1 3 \times 9 \times 9 = 1 0 5 3,$

即最多可以给 1 053 个程序模块命名.

例 6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有 0 或 1 两种数字的记数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用 1 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成。

(1) 1 个字节（8 位）最多可以表示多少个不同的字符？

（2）计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？

分析：（1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”。由于每个字节有8个二进制位，每一位上的数字都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可。

解：（1）用图 6.1-3 表示 1 个字节，每一格代表一位.

1个字节共有8位，每位上有2种选择。根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2 ^ {8} = 2 5 6.$

（2）由（1）知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符。前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法。根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是

$2 5 6 \times 2 5 6 = 6 5 5 3 6.$

这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763. 因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用 2 个字节表示.

练习

1. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0～9中的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？

2. 从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？

3. 从 1, 2, …, 19, 20 中任选一个数作被减数，再从 1, 2, …, 10 中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式？

4. 在 1, 2, …, 500 中，被 5 除余 2 的数共有多少个？

5. 由数字 1, 2, 3, 4, 5 可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）?

例 7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试. 程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据. 一般地，一个程序模块由许多子模块组成. 图 6.1-4 是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？

另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数。你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？

分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束。而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成。因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。

解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为

$1 8 + 4 5 + 2 8 = 9 1;$

子模块 4、子模块 5 中的子路径条数共为

$3 8 + 4 3 = 8 1.$

又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为

$9 1 \times 8 1 = 7 3 7 1.$

在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为

$1 8 + 4 5 + 2 8 + 3 8 + 4 3 = 1 7 2.$

再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为

$3 \times 2 = 6.$

如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常。这样，测试整个模块的次数就变为

$1 7 2 + 6 = 1 7 8.$

你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？

显然，178与7371的差距是非常大的.

例 8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图 6.1-5 所示.

• •

对于省和自治区，发牌机关通常是指其地级市的公共交通管理部门，并用英文字母依次编码。例如，河北省石家庄市、唐山市的发牌机关代号分别为 A，B。直辖市的发牌机关代号可备案后依次自行使用。

其中，序号的编码规则为：

（1）由 10 个阿拉伯数字和除 O，I 之外的 24 个英文字母组成；

(2) 最多只能有 2 个英文字母.

如果某地级市发牌机关采用 5 位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？

分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数。按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母。以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类。

解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数。根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母。

（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字。确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法。根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为

$1 0 \times 1 0 \times 1 0 \times 1 0 \times 1 0 = 1 0 0 0 0 0.$

（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.

当第 1 位是字母时，分 5 个步骤确定一个序号中的字母和数字：第 1 步，从 24 个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第 $2\sim 5$ 步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为

$2 4 \times 1 0 \times 1 0 \times 1 0 \times 1 0 = 2 4 0 0 0 0.$

同样，其余四个子类号牌也各有 240 000 张.

根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为

$2 4 0 0 0 0 + 2 4 0 0 0 0 + 2 4 0 0 0 0 + 2 4 0 0 0 0 + 2 4 0 0 0 0 = 1 2 0 0 0 0 0.$

（3）当有 2 个字母时，根据这 2 个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第 1 位和第 2 位，第 1 位和第 3 位，第 1 位和第 4 位，第 1 位和第 5 位，第 2 位和第 3 位，第 2 位和第 4 位，第 2 位和第 5 位，第 3 位和第 4 位，第 3 位和第 5 位，第 4 位和第 5 位.

当第 1 位和第 2 位是字母时，分 5 个步骤确定一个序号中的字母和数字：第 1，2 步都是从 24 个字母中选 1 个分别放在第 1 位、第 2 位，各有 24 种选法；第 3～5 步都是从 10 个数字中选 1 个放在相应的位置，各有 10 种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为

$2 4 \times 2 4 \times 1 0 \times 1 0 \times 1 0 = 5 7 6 0 0 0.$

同样，其余九个子类号牌也各有 576 000 张.

于是，这类号牌张数一共为

$5 7 6 0 0 0 \times 1 0 = 5 7 6 0 0 0 0.$

综合（1）(2)(3)，根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为

$1 0 0 0 0 0 + 1 2 0 0 0 0 0 + 5 7 6 0 0 0 0 = 7 0 6 0 0 0 0.$

归纳

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步。

分类要做到“不重不漏”。分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数。

分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，才能完成任务。分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。

思考

乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有这种类似的关系吗？

练习

1. 乘积 $(a_{1} + a_{2} + a_{3})(b_{1} + b_{2} + b_{3})(c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4} + c_{5})$ 展开后共有多少项？

2. 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个？

3. 某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式？

4. 任意画一条直线，在直线上任取 n 个分点.

（1）从这 $n$ 个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段？

（2）从这 $n$ 个分点中任取2个点形成两条有向线段，可得到多少条有向线段？

习题6.1

复习巩固

1. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种。要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？

2. 如图，从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丁地有 3 条路；从甲地到丙地有 4 条路，从丙地到丁地有 2 条路。从甲地到丁地共有多少条不同的路线？

3. 如图，要让电路从 $A$ 处到 $B$ 处只有一条支路接通，可有多少条不同的路径？

4. 用 1, 5, 9, 13 中的任意一个数作分子, 4, 8, 12, 16 中任意一个数作分母, 可构成多少个不同的分数? 可构成多少个不同的真分数?

5. 一个口袋内装有 5 个小球，另一个口袋内装有 6 个小球，所有这些小球的颜色互不相同。从两个袋子中分别取 1 个球，共有多少种不同的取法？

6.（1）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在 $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ 内取值的不同点共有多少个？

（2）在平面直角坐标系内，斜率在集合 $B = \{1, 3, 5, 7\}$ 内取值，$y$ 轴上的截距在集合 $C = \{2, 4, 6, 8\}$ 内取值的不同直线共有多少条？

7. 一种密码锁有 4 个拨号盘，每个拨号盘上有 0～9 共 10 个数字。现最后一个拨号盘出现了故障，只能在 0～5 这 6 个数字中拨号，这 4 个拨号盘可组成多少个四位数字号码？

8.（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是 $3^{4}$ 还是 $4^{3}$？

（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是 $3^{5}$ 还是 $5^{3}$？

9.（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？

（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书。）

10. 口袋中装有 8 个白球和 10 个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出 2 个球.

(1) 恰好是白球、红球各一个的取法有多少种?

(2) 恰好是两个白球的取法有多少种?

(3) 至少有一个白球的取法有多少种?

(4) 两球的颜色相同的取法有多少种?

拓广探索

11. 在国庆长假期间，要从 7 人中选若干人在 7 天假期值班（每天只需 1 人值班），不出现同一人连续值班 2 天，有多少种可能的安排方法？

12. 2160有多少个不同的正因数？

69 探究与发现

子集的个数有多少

问题 n 元集合 $A=\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\}$ 的子集有多少个？

为了解决这个问题，一个可行的思路是先研究一下某些具体集合，如 $S = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}\}$ 的子集个数，从中获得启发，然后对一般的情况进行研究.

由于 $S$ 中的元素只有3个，因此可以用列举法列出它的所有子集：

$\varnothing, \{a_{1}\}, \{a_{2}\}, \{a_{3}\}, \{a_{1}, a_{2}\}, \{a_{1}, a_{3}\}, \{a_{2}, a_{3}\}, S.$

可见，一个含有3个元素的集合共有8个子集.

如果一个集合所含元素较少，可以用列举法确定其子集的个数。但如果集合中的元素较多，用这种方法确定子集个数就不太方便了。另外，

虽然列举法较“笨”，但它是计数的基本方法。请你列举一下4元集合 $\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 、5元集合 $\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\}$ 的子集。

从上述描述中较难发现集合 $S$ 中所含元素的个数3与其子集个数8之间的关系.

为了发现规律，需要采取另外的方法。一个自然的想法是，应当设法用两个计数原理。

显然，元素 $a_{i}(i = 1,2,3)$ 与各子集的关系只有两种： $a_{i}$ 属于子集或 $a_{i}$ 不属于子集．这样，我们可以考虑用考察 $S$ 中的每一个元素属不属于某个子集的方法来得到一个子集．因为 $S$ 中有3个元素，所以要得到集合 $S$ 的一个子集 $S_{1}$ ，可以分三个步骤：

第1步，考察元素 $a_1$ 是否在 $S_{1}$ 中，有2种可能 $(a_{1}\in S_{1},a_{1}\notin S_{1})$

第 2 步，考察元素 $a_{2}$ 是否在 $S_{1}$ 中，有 2 种可能 $(a_{2} \in S_{1}, a_{2} \notin S_{1})$ ;

第3步，考察元素 $a_3$ 是否在 $S_{1}$ 中，有2种可能 $(a_{3}\in S_{1},a_{3}\notin S_{1})$

只要完成上述三个步骤，那么集合 $S_{1}$ 中元素就完全确定了。根据分步乘法计数原理，对于由3个元素组成的集合，子集的个数为

$2 \times 2 \times 2 = 2 ^ {3} = 8.$

?

由此，你是否对把空集及原集合自身作为子集的规定有进一步的理解？

从上述过程，可以看到集合 $S$ 中所含元素的个数3与其子集个数8之间的关系：3是 $2^{3}$ 中的指数，而8是 $2^{3}$ 的运算结果.

一般地，我们有：

n 元集合 $A=\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\}$ 的不同子集有 $2^{n}$ 个.

证明：要得到集合 $A$ 的一个子集 $S_{1}$，可以分 $n$ 个步骤：

第1步，考察元素 $a_1$ 是否在 $S_{1}$ 中，有2种可能 $(a_{1}\in S_{1},a_{1}\notin S_{1})$

第2步，考察元素 $a_2$ 是否在 $S_{1}$ 中，有2种可能 $(a_{2}\in S_{1},a_{2}\notin S_{1})$

第 $k$ 步，考察元素 $a_{k}$ 是否在 $S_{1}$ 中，有2种可能 $(a_{k} \in S_{1}, a_{k} \notin S_{1})$；

第 $n$ 步，考察元素 $a_{n}$ 是否在 $S_{1}$ 中，有2种可能 $(a_{n} \in S_{1}, a_{n} \notin S_{1})$.

只要完成上述 $n$ 个步骤，那么集合 $S_{1}$ 中元素就完全确定了。根据分步乘法计数原理，对于由 $n$ 个元素组成的集合，子集的个数为

$\underbrace {2 \times 2 \times \cdots \times 2} _ {n \text {个} 2} = 2 ^ {n}.$

你还能用另外的方法证明上述结论吗？