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数学

选择性必修

第一册

人民教育出版社

普通高中教科书

选择性必修

第一册

人民教育出版社 课程教材研究所

中学数学课程教材研究开发中心

编著

· 北京 ·

主 编：章建跃 李增沪

副主编：李勇 李海东 李龙才

本册主编：张劲松 申 铁

编写人员：王红权 申 铁 刘长明 李昌官 李建明

吴明华 俞求是 薛彬

责任编辑：刘长明

美术编辑：王俊宏

普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册

人民教育出版社 课程教材研究所

中学数学课程教材研究开发中心

出版 人民教育出版社

（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081）

网址 http://www.pep.com.cn

本册导引

本书根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写，包括“空间向量与立体几何”“直线和圆的方程”“圆锥曲线的方程”三章内容.

在必修（第二册）学习“平面向量及其应用”和“立体几何初步”的基础上，我们学习“空间向量与立体几何”。在本章，我们将类比平面向量，学习空间向量的概念、线性运算和数量积运算、空间向量基本定理及空间向量的坐标运算，从中体会平面向量与空间向量的共性和差异；运用向量方法研究空间基本图形的平行、垂直等位置关系和距离、角度等度量问题，从中体会向量方法与综合几何方法的共性和差异；通过运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。

“直线和圆的方程”“圆锥曲线的方程”属于解析几何的内容。解析几何是数学发展过程中的一个标志性成果，是微积分创立的基础。我们将在平面直角坐标系中探索确定直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等几何图形的几何要素，并利用几何要素建立它们的方程；再通过方程，运用代数方法进一步认识直线、圆、圆锥曲线的性质以及它们之间的一些位置关系；通过运用解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟解析几何中蕴含的数学思想和方法。

本册的研究对象是几何图形，所用的研究方法主要是代数方法。通过学习，同学们将逐步体会用代数方法解决几何问题的“三步曲”：

第一步：用向量或坐标或方程表示几何问题中的几何要素，如点、直线、平面、圆、圆锥曲线等，把几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.

祝愿同学们通过本册书的学习，不但学到更多的数学知识，而且在数学能力、数学核心素养等方面都有较大的提高，并培养起更高的数学学习兴趣，形成对数学的更加全面的认识.

目录

第一章 空间向量与立体几何 …… 1 1.1 空间向量及其运算……… 2 1.2 空间向量基本定理 …… 11 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 …… 16 阅读与思考 向量概念的推广与应用 …… 23 1.4 空间向量的应用 …… 26 小结……… 45 复习参考题 1 …… 47

第二章 直线和圆的方程 …… 50 2.1 直线的倾斜角与斜率 …… 51 2.2 直线的方程 …… 59 探究与发现 方向向量与直线的参数方程 …… 68 2.3 直线的交点坐标与距离公式 …… 70 阅读与思考 笛卡儿与解析几何 …… 80 2.4 圆的方程 …… 82 阅读与思考 坐标法与数学机械化 …… 89 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 …… 91 小结 …… 100 复习参考题 2 …… 102

第三章 圆锥曲线的方程 …… 104 3.1 椭圆……… 105 信息技术应用 用信息技术探究点的轨迹:椭圆 …… 116 3.2 双曲线……… 118 探究与发现 为什么 $y = \pm \frac{b}{a}x$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的渐近线……… 128 3.3 抛物线……… 130 探究与发现 为什么二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象是抛物线……… 133 阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用……… 140 文献阅读与数学写作 * 解析几何的形成与发展 …… 142 小结 …… 143 复习参考题 3 …… 145

部分中英文词汇索引……… 147

第一章空间向量与立体几何

通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决。在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系。一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题。在本章，我们就来研究这些问题。

在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异；在运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法与综合几何方法的共性和差异；通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟向量在研究几何问题中的作用.