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3.3.2 抛物线的简单几何性质

思考

类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线

y ^ {2} = 2 p x (p > 0)\tag{①}

的哪些几何性质？如何研究这些性质？

1. 范围

因为 $p > 0$ ，由方程①可知，对于抛物线上的点 $M(x,y), x \geqslant 0, y \in \mathbb{R}$ ，当 $x > 0$ 时，抛物线在 $y$ 轴的右侧，开口方向与 $x$ 轴的正方向相同；当 $x$ 的值增大时，$|y|$ 的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.

2. 对称性

以 $-y$ 代 $y$ ，方程①不变，所以抛物线关于 $x$ 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.

3. 顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当 $x = 0$ 时，$y = 0$，因此抛物线的顶点就是原点.

4. 离心率

抛物线上的点 $M$ 与焦点 $F$ 的距离和点 $M$ 到准线的距离 $d$ 的比 $\frac{|MF|}{d}$，叫做抛物线的离心率，用 $e$ 表示。由抛物线的定义可知，$e = 1$。

例3 已知抛物线关于 $x$ 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 $M(2, -2\sqrt{2})$，求它的标准方程.

解：因为抛物线关于 $x$ 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 $M(2, -2\sqrt{2})$ ，所以可设它的标准方程为

$y ^ {2} = 2 p x (p > 0).$

因为点 $M$ 在抛物线上，所以

$(- 2 \sqrt {2}) ^ {2} = 2 p \times 2,$

解得 p=2.

因此，所求抛物线的标准方程是

$y ^ {2} = 4 x.$

思考

顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点 $M(2, -2\sqrt{2})$ 的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程.

例4 斜率为1的直线 $l$ 经过抛物线 $y^{2} = 4x$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线相交于 $A$ ， $B$ 两点，求线段 $AB$ 的长.

分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线 $l$ 的斜率为1，所以可以求出直线 $l$ 的方程；与抛物线的方程联立，可以求出 $A, B$ 两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出 $|AB|$。这种方法思路直接，具有一般性。请你用此方法求 $|AB|$。

下面介绍另外一种方法——数形结合的方法.

在图3.3-4中，设 $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$ 由抛物线的定义可知， $|AF|$ 等于点 $A$ 到准线的距离 $\vert AA^{\prime}\vert$ 由 $p = 2,\frac{p}{2} = 1$ ，得$|AA^{\prime}| = x_{1} + \frac{p}{2} = x_{1} + 1$ ，于是 $|AF| = x_{1} + 1$ 同理， |BF| =$$|BB^{\prime}| = x_{2} + \frac{p}{2} = x_{2} + 1 ，于是得

$| A B | = | A F | + | B F | = x _ {1} + x _ {2} + p = x _ {1} + x _ {2} + 2.$

图3.3-4

由此可见，只要求出点 $A$ ， $B$ 的横坐标之和 $x_{1} + x_{2}$ ，就可以求出 $\vert AB\vert$

解：由题意可知， $p = 2$ ， $\frac{p}{2} = 1$ ，焦点 $F$ 的坐标为（1，0），准线方程为 $x = -1$ ，如图3.3-4，设 $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),A,B$ 两点到准线的距离分别为 $d_A,d_B$ ，由抛物线的定义，可知

$| A F | = d _ {A} = x _ {1} + 1, | B F | = d _ {B} = x _ {2} + 1,$

于是

$| A B | = | A F | + | B F | = x _ {1} + x _ {2} + 2.$

?

因为直线 l 的斜率为 1，且过焦点 $F(1, 0)$ ，所以直线 l 的方程为

$y = x - 1.$

如果直线 $l$ 不经过焦点 $F$, $|AB|$ 还等于 $x_{1} + x_{2} + 2$ 吗?

①

将①代入方程 $y^{2} = 4x$，得 $(x - 1)^{2} = 4x$，化简，得

$x ^ {2} - 6 x + 1 = 0.$

所以

$\begin{array}{c} x _ {1} + x _ {2} = 6, \\ | A B | = x _ {1} + x _ {2} + 2 = 8. \end{array}$

所以，线段 $AB$ 的长是8.

1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程:

(1) 关于 x 轴对称，并且经过点 $M(5, -4)$ ;

(2) 关于 y 轴对称，准线经过点 $E(5, -5)$ ;

(3) 准线在 y 轴的右侧，顶点到准线的距离是 4；

(4) 焦点 F 在 y 轴负半轴上，经过横坐标为 16 的点 P，且 FP 平行于准线.

2. 在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中 $x$ 的系数的关系：(1）$y^{2} = \frac{1}{2} x$；(2）$y^{2} = x$；(3）$y^{2} = 2x$；(4）$y^{2} = 4x$。

3. 过点 $M(2,0)$ 作斜率为1的直线 $l$，交抛物线 $y^{2} = 4x$ 于 $A, B$ 两点，求 $|AB|$.

4. 垂直于 $x$ 轴的直线交抛物线 $y^{2} = 4x$ 于 $A, B$ 两点，且 $|AB| = 4\sqrt{3}$，求直线 $AB$ 的方程.

例 5 经过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 经过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D, 求证: 直线 DB 平行于抛物线的对称轴.

分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线 DB 与抛物线对称轴之间的位置关系。建立如图 3.3-5 所示的直角坐标系，只要证明点 D 的纵坐标与点 B 的纵坐标相等即可。

证明：如图 3.3-5，以抛物线的对称轴为 x 轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系 Oxy．设抛物线的方程为

图3.3-5

y ^ {2} = 2 p x (p > 0),\tag{①}

点 A 的坐标为 $\left(\frac{y_{0}^{2}}{2p}, y_{0}\right) (y_{0} \neq 0)$ ，则直线 OA 的方程为

y = \frac {2 p}{y _ {0}} x,\tag{②}

抛物线的准线方程是 $x=-\frac{p}{2}$ .

③

联立②③，可得点 D 的纵坐标为 $-\frac{p^{2}}{y_{0}}$ .

因为焦点 $F$ 的坐标是 $\left(\frac{p}{2}, 0\right)$，当 $y_0^2 \neq p^2$ 时，直线 $AF$ 的方程为

y = \frac {2 p y _ {0}}{y _ {0} ^ {2} - p ^ {2}} \left(x - \frac {p}{2}\right).\tag{④}

联立①④，消去 $x$ ，可得 $y_0y^2 -(y_0^2 -p^2)y - y_0p^2 = 0$ ，即

$(y - y _ {0}) (y _ {0} y + p ^ {2}) = 0,$

可得点 B 的纵坐标为 $-\frac{p^{2}}{y_{0}}$ ，与点 D 的纵坐标相等，于是 DB 平行于 x 轴.

当 $y_0^2 = p^2$ 时，易知结论成立.

你还有其他证明方法吗？

所以，直线 DB 平行于抛物线的对称轴.

例6 如图3.3-6，已知定点 $B(a, -h)$，$BC \perp x$ 轴于点 $C$，$M$ 是线段 $OB$ 上任意一点，$MD \perp x$ 轴于点 $D$，$ME \perp BC$ 于点 $E$，$OE$ 与 $MD$ 相交于点 $P$，求点 $P$ 的轨迹方程. 解：设点 $P(x, y)$，$M(x, m)$，其中 $0 \leqslant x \leqslant a$，则点 $E$ 的坐标为 $(a, m)$.

由题意，直线 $OB$ 的方程为

$y = - \frac {h}{a} x.$

因为点 M 在 OB 上，将点 M 的坐标代入①，得

m = - \frac {h}{a} x,\tag{②}

所以点 P 的横坐标 x 满足②.

直线 $OE$ 的方程为

y = \frac {m}{a} x,\tag{③}

图3.3-6

因为点 P 在 OE 上，所以点 P 的坐标 $(x, y)$ 满足③.

将②代入③，消去 m，得

$x ^ {2} = - \frac {a ^ {2}}{h} y (0 \leqslant x \leqslant a),$

即点 P 的轨迹方程.

例 6 中，设点 B 关于 y 轴的对称点为 A，则方程

$x ^ {2} = - \frac {a ^ {2}}{h} y (- a \leqslant x \leqslant a)$

对应的轨迹是常见的抛物拱 AOB（图 3.3-7）。抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱（图 3.3-8）、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分。

1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程:

(1) 焦点 F 关于准线的对称点为 $M(0, -9)$ ;

(2) 关于 y 轴对称，与直线 y = -12 相交所得线段的长为 12；

（3）关于 $x$ 轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 $2\sqrt{3}$ 的等边三角形.

2. 点 $M(m, 4)$ 在抛物线 $y^{2} = 24x$ 上，$F$ 为焦点，直线 $MF$ 与准线相交于点 $N$，求 $|FN|$.

3. 设抛物线 $x^{2} = 2py (p > 0)$ 上的点 $M$ 与焦点 $F$ 的距离为4，点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $\sqrt{3p}$，求抛物线的方程和点 $M$ 的坐标.

4. 两条直线 $y = kx$ 和 $y = -kx$ 分别与抛物线 $y^2 = 2px$ ($p > 0$) 相交于不同于原点的 $A$, $B$ 两点, $k$ 为何值时, 直线 $AB$ 经过抛物线的焦点?

5. 已知圆心在 $y$ 轴上移动的圆经过点 $A(0, 5)$，且与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $B(x, 0)$，$C(0, y)$ 两个动点，求点 $M(x, y)$ 的轨迹方程.

习题3.3

复习巩固

1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1) $x^{2} = 2y$； (2) $4x^{2} + 3y = 0$； (3) $2y^{2} + x = 0$； (4) $y^{2} - 6x = 0$.

2. 填空题.

（1）准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是 ____；

(2) 抛物线 $y^{2}=8x$ 上与焦点的距离等于 6 的点的坐标是 ____.

3. 抛物线 $y^{2}=2px\quad(p>0)$ 上一点 M 与焦点 F 的距离 $\left|MF\right|=2p$ ，求点 M 的坐标.

4. 根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：

（1）顶点在原点，对称轴是 $x$ 轴，并且顶点与焦点的距离等于6；

(2) 顶点在原点，对称轴是 y 轴，并经过点 $P(-6, -3)$ .

5. 如图，M 是抛物线 $y^{2}=4x$ 上的一点，F 是抛物线的焦点，以 Fx 为始边、FM 为终边的角 $\angle xFM=60^{\circ}$ ，求 $\left|FM\right|$ .

6. 如图，直线 $y = x - 2$ 与抛物线 $y^{2} = 2x$ 相交于 $A$，$B$ 两点，求证： $OA \perp OB$.

7. 如图, 吊车梁的鱼腹部分 $AOB$ 是抛物线的一段, 宽为 $7 \mathrm{~m}$, 高为 $0.7 \mathrm{~m}$. 根据图中的坐标系, 求这条抛物线的方程.

8. 图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m。水面下降 1 m 后，水面宽多少？（精确到 0.1 m）

综合运用

9. 从抛物线 $y^{2}=2px\quad(p>0)$ 上各点向 x 轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.

10. 已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 $y^{2}=2px\quad(p>0)$ 上，求这个等边三角形的边长.

11. 已知 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(-1, 0)$, $(1, 0)$, 直线 $AM, BM$ 相交于点 $M$, 且直线 $AM$ 的斜率与直线 $BM$ 的斜率的差是 2, 求点 $M$ 的轨迹方程.

拓广探索

12. 已知抛物线的方程为 $y^{2} = 4x$，直线 $l$ 绕其上一点 $P(-2, 1)$ 旋转，讨论直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4x$ 的公共点个数，并回答下列问题：

（1）画出图形表示直线 $l$ 与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线 $l$ 与抛物线只有一个公共点时是什么情况？

(2) $y^{2} = 4x$ 与直线 $l$ 的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？

13. 设抛物线 $y^{2} = 2px$ （$p > 0$）的焦点为 $F$，从点 $F$ 发出的光线经过抛物线上的点 $M$（不同于抛物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴.

? 阅读与思考

圆锥曲线的光学性质及其应用

椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点。焦点，顾名思义，就是光线的聚集点。这说明圆锥曲线与光线有紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质。

我们知道，当一束光线照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即反射角等于入射角（图1）。当光照射到曲面时，特别是由圆锥曲线绕其对称轴旋转而成的曲面时，会有什么现象呢？

我们看生活中的一个实例：一只很小的灯泡发出的

光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？

原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面（图2），这种曲面叫做抛物面。抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。探照灯（图3）也是利用这个原理设计的。

应用抛物线的这个性质，也可以使一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点。人们应用这个原理，设计了一种加热水和食物的太阳灶（图4）。在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高。

椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同。从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（图5）；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样（图 6）。椭圆、双曲线的光学性质也被人们广泛地应用于各种设计中。

如图 7, 胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜, 它的形状是旋转椭圆面. 为了使影片门 (电影胶片通过的地方) 处获得最强的光线, 灯丝 $F_{2}$ 与影片门 $F_{1}$ 应位于椭圆的两个焦点处, 这就是利用椭圆光学性质的一个实例. 数字电影机采用数字光处理技术 DLP 的数字电影放映新模式, 替代了传统胶片电影放映机胶片图像重现模式, 实现了无胶片放映.

文献阅读与数学写作*

解析几何的形成与发展

对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立被马克思主义创始人之一的恩格斯并称为17世纪数学的三大成就。解析几何的产生是科学发展的需要。坐标系的引入，使常量数学进入变量数学时代，而变量进入数学正是近代数学的重要标志。由于变量进入了数学，我们可以研究运动与变化，研究物体运动的轨迹。解析几何可以定量描述物体的运动变化，为研究物体的运动变化提供了方法和工具，特别是为微积分的建立提供了重要支撑。

解析几何是如何形成和发展的？在数学和人类社会的发展历史中起了什么作用？请你按以下要求，查阅与解析几何有关的文献，自己选题，写一篇数学小论文.

一、主题

1. 解析几何形成与发展的过程；

2. 解析几何对人类文明的主要贡献.

二、实施建议

1. 选题：根据个人兴趣，围绕主题，初步确定选题范围；

2. 分组：相近选题的 5～6 人为一个小组，确定一名组长；

3. 分配任务：根据个人的具体情况，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务；

4. 搜集资料：针对具体的论文题目，通过网络、书店、图书馆等多种途径搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料，并记录相关资料；

5. 素材汇总：用论文的形式展现小组的实践成果；

6. 在全班范围进行交流、讨论和总结.

三、参考选题

1. 解析几何产生的背景；

2. 解析几何发展中的重要事件；

3. 对解析几何的形成与发展作出重要贡献的数学家；

4. 解析几何对人类文明进步的贡献.

一、本章知识结构

二、回顾与思考

圆锥曲线有丰富的现实背景和广泛的实际应用，例如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等。本章我们结合具体情境探索了椭圆、双曲线和抛物线的几何特征，利用确定三类圆锥曲线的几何要素（如定点、定直线等）合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征，得到相应的标准方程，通过方程研究了圆锥曲线的简单几何性质，并用圆锥曲线的方程解决了一些简单问题。

我们用 C 代表曲线，用 $f(x, y)=0$ 表示方程。通过本章的学习可以看到，只有当曲线 C 上任意一点的坐标都满足方程 $f(x, y)=0$ ，同时以方程 $f(x, y)=0$ 的解为坐标的点都在曲线 C 上，我们才称“曲线 C 是方程 $f(x, y)=0$ 的曲线”“方程 $f(x, y)=0$ 是曲线 C 的方程”。也只有在这样的条件下，才能通过研究方程 $f(x, y)=0$ 的性质得到曲线 C 的性质。利用坐标系建立曲线与方程的这种关系，是解析几何的基础，在今后的学习中可以进一步体会到。

通过本章的学习可以看到，用坐标法研究几何问题，首先要注意观察相应几何图形的特征，把握确定几何图形的要素，例如椭圆是平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹，这里“两个定点”“距离之和为定长”等就是确定椭圆的几何要素；然后再用坐标法解决，即利用几何特征合理建立坐标系，用坐标表示点，用方程表示几何要素的关系。在此基础上，利用方程研究曲线的性质。可以看到，解析几何中研究椭圆、双曲线、抛物线的过程和方法是一致的。这表明，用代数方法研究几何问题（如圆锥曲线的性质），其处理方法具有统一性。实际上，通过代数方法研究几何图形，不但有利于发现和证明图形的性质，而且这种解决问题的方式基本上是程序化的，这是解析几何的优势所在，是体现数形结合思想方法威力的典范，需要我们在学习中认真体会。

我们发现，用坐标法研究几何图形时，代数式的化简、方程的变形与等价转化等起着很重要的作用。例如，当我们把椭圆的方程化简为标准方程后，就能容易地看出椭圆的范围、对称性、顶点等，发现长轴、短轴、焦距之间的关系，并由此得到刻画椭圆扁平程度的离心率等。所以，学习解析几何需要较强的逻辑推理、数学运算等能力，同学们要给予特别关注。

在圆锥曲线的研究中，信息技术可以发挥很好的作用。例如，运用信息技术，可以方便地画出曲线；通过改变某些量（如椭圆的长轴的长、短轴的长或焦距等），可以帮助我们发现曲线的几何特征及其基本性质（变化中的不变性）等。研究圆锥曲线时，信息技术在发现问题、形成思想方法、获得结论等方面，都能发挥重要作用。

请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！

1. 你能说说用坐标法研究圆锥曲线的具体过程吗？

2. 在椭圆、双曲线、抛物线三类圆锥曲线的研究中，椭圆是研究的第一类圆锥曲线，对双曲线、抛物线的研究，我们采用的是类比的方法，你能说说具体的类比内容吗？

3. 椭圆、双曲线、抛物线的几何特征是什么？这些几何特征在研究圆锥曲线中有什么作用？

4. 圆锥曲线的几何性质主要包括哪些方面？如何用代数方法研究这些几何性质？

5. 圆锥曲线的“统一性”体现在哪些方面？你如何理解圆锥曲线的“统一性”？

6. 如何用直线与圆锥曲线的方程判断它们之间的位置关系？

7. 数形结合在圆锥曲线的研究中具有重要作用，你能举例说明吗？

复习参考题 3

复习巩固

1. 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心） $F_{2}$ 为一个焦点的椭圆。已知它的近地点（离地面最近的点）A 距地面 439 km，远地点（离地面最远的点）B 距地面 2384 km，并且 $F_{2}$ ，A，B 在同一直线上，地球半径约为 6371 km。求：（1）卫星运行的轨道方程（精确到 1 km）；（2）卫星轨道的离心率。

2. 选择题.

(1) 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^2}{25 - k} + \frac{y^2}{9 - k} = 1 (k < 9)$ 的 ( ). (A) 长轴长相等 (B) 短轴长相等 (C) 离心率相等 (D) 焦距相等

(2) 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 及圆 $x^{2} + y^{2} - 8x + 12 = 0$ 都外切的圆的圆心在 ( ) . (A) 椭圆上 (B) 双曲线的一支上 (C) 抛物线上 (D) 圆上

3. 当 $\alpha$ 从 $0^{\circ}$ 到 $180^{\circ}$ 变化时，方程 $x^{2} + y^{2}\cos \alpha = 1$ 表示的曲线的形状怎样变化？

4. 已知直线 $y = kx - 1$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ 没有公共点，求 $k$ 的取值范围.

5. 设抛物线的顶点为 $O$，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于 $B$，$C$ 两点，经过抛物线上一点 $P$ 且垂直于轴的直线与轴交于点 $Q$。求证：$|PQ|^2 = |BC||OQ|$。

6. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线 $y^{2} = 2px$ （$p > 0$）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长.

综合运用

7. 已知 $P$ 是椭圆 $16x^{2} + 25y^{2} = 1600$ 上的一点，且在 $x$ 轴上方，$F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，直线 $PF_{2}$ 的斜率为 $-4\sqrt{3}$，求 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 的面积.

8. 如图，从椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足恰为左焦点 $F_1$。又点 $A$ 是椭圆与 $x$ 轴正半轴的交点，点 $B$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点，且 $AB \parallel OP$，$|F_1A| = \sqrt{10} + \sqrt{5}$，求椭圆的方程。

9. 已知 A, B 两点的坐标分别是 $(-1, 0)$ , $(1, 0)$ . 直线 AM, BM 相交于点 M, 且它们的斜率之和是 2, 求点 M 的轨迹方程.

(第8题)

10. 如图，已知直线与抛物线 $y^{2}=2px\quad(p>0)$ 交于 A，B 两点，且 $OA \perp OB$ ， $OD \perp AB$ 交 AB 于点 D，点 D 的坐标为 $(2,1)$ ，求 p 的值.

11. 已知 $\triangle ABC$ 的两个顶点 $A, B$ 的坐标分别是 $(-5, 0)$，$(5, 0)$，且 $AC, BC$ 所在直线的斜率之积等于 $m (m \neq 0)$，求顶点 $C$ 的轨迹.

12. 在抛物线 $y^{2} = 4x$ 上求一点 $P$，使得点 $P$ 到直线 $y = x + 3$ 的距离最短.

(第10题)

13. 当 $m$ 变化时，指出方程 $(m - 1)x^{2} + (3 - m)y^{2} = (m - 1)(3 - m)$ 表示的曲线的形状.

14. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成。为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 $0.5\mathrm{m}$。已知行车道总宽度 $|AB| = 6(\mathrm{m})$，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？（精确到 $0.1\mathrm{m}$）

拓广探索

15. 综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜。这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚。例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为 $2 \mathrm{~m}$ 的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示。其中，一个反射镜 $PO_{1}Q$ 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜 $MO_{2}N$ 弧所在的曲线为双曲线的一个分支。已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线的两个焦点，其中 $F_{2}$ 同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位：$\mathrm{mm}$），分别求抛物线和双曲线的方程。

16. 过抛物线 $y^{2} = 2px$ （$p > 0$）的焦点 $F$ 作直线与抛物线交于 $A$，$B$ 两点，以 $AB$ 为直径画圆，观察它与抛物线的准线 $l$ 的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？

部分中英文词汇索引

后记

本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心依据教育部《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的，经国家教材委员会2019年审查通过.

本册教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了2004年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》的编写经验，凝聚了参与课改实验的教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专家的集体智慧。本册教科书的编写者还有李海东、张劲松等；本书插图绘制为王俊宏，为本书提供照片的有东方IC图片网（第104页一张图）等。

我们感谢2004年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》的主编刘绍学，副主编钱珮玲、章建跃，以及所有编写人员。我们感谢所有对教科书的编写、出版、试教等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友。

本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。对此，我们表示衷心的感谢！恳请未联系到的作者与我们联系，以便及时支付稿酬。

我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵意见。我们将集思广益，不断修订，使教科书趋于完善。

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人民教育出版社 课程教材研究所

中学数学课程教材研究开发中心

2019年4月

PUTONG GAOZHONG JIAOKESHU

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定价：00.00元