2.5.2 圆与圆的位置关系

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2.5.2 圆与圆的位置关系

前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系。现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。

我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系：

(1) 两圆相交，有两个公共点；

(2) 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；

(3) 两圆相离, 包括外离与内含, 没有公共点.

思考

类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？

例5 已知圆 $C_1: x^2 + y^2 + 2x + 8y - 8 = 0$，圆 $C_2: x^2 + y^2 - 4x - 4y - 2 = 0$，试判断圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的位置关系.

分析：思路1：圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；

思路2：借助图形，可以依据圆心距与两半径的和 $r_1 + r_2$ 或两半径的差的绝对值$|r_1 - r_2|$ 的大小关系，判断两圆的位置关系.

解法1: 将圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的方程联立, 得到方程组

\left\{ \begin{array}{l} x ^ {2} + y ^ {2} + 2 x + 8 y - 8 = 0, \\ x ^ {2} + y ^ {2} - 4 x - 4 y - 2 = 0. \end{array} \right.\tag{①}

②

①—②，得

x + 2 y - 1 = 0,\tag{③}

由③，得

$y = \frac {1 - x}{2}.$

画出圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？

把上式代入①，并整理，得

x ^ {2} - 2 x - 3 = 0.\tag{④}

方程④的根的判别式

$\Delta = (- 2) ^ {2} - 4 \times 1 \times (- 3) = 1 6 > 0,$

所以，方程④有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$。把 $x_{1}, x_{2}$ 分别代入方程③，得到 $y_{1}, y_{2}$。

因此圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 有两个公共点 $A(x_{1}, y_{1})$ ， $B(x_{2}, y_{2})$ ，这两个圆相交.

•

本题只要判断圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 是否有公共点，并不需求出公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求出两个实数根.

解法 2: 把圆 $C_{1}$ 的方程化成标准方程, 得

$(x + 1) ^ {2} + (y + 4) ^ {2} = 2 5,$

圆 $C_{1}$ 的圆心是 $(-1, -4)$ ，半径 $r_{1}=5$ .

把圆 $C_{2}$ 的方程化成标准方程，得

$(x - 2) ^ {2} + (y - 2) ^ {2} = 1 0,$

圆 $C_{2}$ 的圆心是 $(2, 2)$ ，半径 $r_{2}=\sqrt{10}$ .

圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的圆心距为

$\sqrt {(- 1 - 2) ^ {2} + (- 4 - 2) ^ {2}} = 3 \sqrt {5}.$

圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的两半径之和 $r_{1} + r_{2} = 5 + \sqrt{10}$ ，两半径长之差 $r_{1} - r_{2} = 5 - \sqrt{10}$ .

图2.5-6

因为 $5 - \sqrt{10} < 3\sqrt{5} < 5 + \sqrt{10}$，即 $r_1 - r_2 < 3\sqrt{5} < r_1 + r_2$，所以圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相交（图2.5-6），它们有两个公共点 $A, B$.

思考

在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的 $\Delta = 0$ ，它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？

当 $\Delta<0$ 时，两圆是什么位置关系？

例 6 已知圆 O 的直径 AB=4，动点 M 与点 A 的距离是它与点 B 的距离的 $\sqrt{2}$ 倍.

试探究点 M 的轨迹，并判断该轨迹与圆 O 的位置关系.

分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点 $M$ 的轨迹方程，从而得到点 $M$ 的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆 $O$ 方程的关系，判断这个轨迹与圆 $O$ 的位置关系.

解：如图2.5-7，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4，得A(-2,0)，B(2,0).

图2.5-7

设点 M 的坐标为 $(x, y)$ ，由 $\left|MA\right| = \sqrt{2}\left|MB\right|$ ，得

?

$\sqrt {(x + 2) ^ {2} + y ^ {2}} = \sqrt {2} \times \sqrt {(x - 2) ^ {2} + y ^ {2}},$

化简，得 $x^{2} - 12x + y^{2} + 4 = 0$ ，即 $(x - 6)^{2} + y^{2} = 32.$

如果把本例中的“ $\sqrt{2}$ 倍”改为“ $k(k>0)$ 倍”，你能分析并解决这个问题吗？

所以点 M 的轨迹是以 $P(6,0)$ 为圆心，半径为 $4\sqrt{2}$ 的一个圆（图 2.5-7）.

因为两圆的圆心距为 $|PO| = 6$ ，两圆的半径分别为 $r_1 = 2$ ， $r_2 = 4\sqrt{2}$ ，又 $r_2 - r_1 < |PO| < r_2 + r_1$ ，所以点 $M$ 的轨迹与圆 $O$ 相交.

练习

1. 已知圆 $C_1: x^2 + y^2 = 4$，圆 $C_2: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$，判断圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的位置关系.

2. 已知圆 $C_1: x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$，圆 $C_2: x^2 + y^2 + 4x + 3y + 2 = 0$，证明圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相交，并求圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的公共弦所在直线的方程.

习题2.5

复习巩固

1. 判断直线 $4x - 3y = 50$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 100$ 的位置关系. 如果有公共点, 求出公共点的坐标.

2. 求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：

(1) 圆心为 $M(3, -5)$ ，且与直线 $x - 7y + 2 = 0$ 相切；

(2) 圆心在直线 y = x 上，半径为 2，且与直线 y = 6 相切；

(3) 半径为 $\sqrt{13}$ ，且与直线 $2x - 3y + 6 = 0$ 相切于点 (3, 4).

3. 求直线 $l: 3x - y - 6 = 0$ 被圆 $C: x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ 截得的弦 $AB$ 的长.

4. 求圆心在直线 $3x - y = 0$ 上，与 $x$ 轴相切，且被直线 $x - y = 0$ 截得的弦长为 $2\sqrt{7}$ 的圆的方程.

5. 求与圆 $C: x^{2} + y^{2} - x + 2y = 0$ 关于直线 $l: x - y + 1 = 0$ 对称的圆的方程.

6. 正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$，在边 $BC$ 上取线段 $BE = \frac{a}{3}$，在边 $DC$ 的延长线上取 $CF = \frac{a}{2}$。试证明：直线 $AE$ 与 $BF$ 的交点 $M$ 位于正方形 $ABCD$ 的外接圆上。

7. 求经过点 $M(2, -2)$ 以及圆 $x^{2} + y^{2} - 6x = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交点的圆的方程.

综合运用

8. 求圆心在直线 $x - y - 4 = 0$ 上，并且经过圆 $x^{2} + y^{2} + 6x - 4 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 6y - 28 = 0$ 的交点的圆的方程.

9. 求圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4x + 4y - 12 = 0$ 的公共弦的长.

10. 求经过点 $M(3, -1)$，且与圆 $C: x^2 + y^2 + 2x - 6y + 5 = 0$ 相切于点 $N(1, 2)$ 的圆的方程.

11. 如图，某台机器的三个齿轮，A 与 B 啮合，C 与 B 也啮合．若 A 轮的直径为 200 cm，B 轮的直径为 120 cm，C 轮的直径为 250 cm，且 $\angle A = 45^{\circ}$ ．试建立适当的坐标系，用坐标法求出 A，C 两齿轮的中心距离（精确到 1 cm）.

12. 已知 $A(-2, -2)$, $B(-2, 6)$, $C(4, -2)$ 三点, 点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动, 求 $|PA|^{2} + |PB|^{2} + |PC|^{2}$ 的最大值和最小值.

拓广探索

13. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l: y = x + b$ 。 $b$ 为何值时，圆上恰有三个点到直线 $l$ 的距离都等于1？

14. 如图，圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 内有一点 $P_{0}(-1,2)$，$AB$ 为过点 $P_{0}$ 且倾斜角为 $\alpha$ 的弦.

(1) 当 $\alpha=135^{\circ}$ 时，求 AB 的长.

(2) 是否存在弦 AB 被点 $P_{0}$ 平分？若存在，写出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由.

15. 已知点 $P(-2, -3)$ 和以点 $Q$ 为圆心的圆 $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 9$.

（1）画出以 $PQ$ 为直径，点 $Q^{\prime}$ 为圆心的圆，再求出圆 $Q^{\prime}$ 的方程；

(2) 设圆 Q 与圆 $Q'$ 相交于 A, B 两点，直线 PA, PB 是圆 Q 的切线吗？为什么？

(第14题)

(3) 求直线 AB 的方程.

一、本章知识结构

二、回顾与思考

本章在平面直角坐标系中探究确定直线、圆的几何要素，并利用坐标表示这些几何要素，进而得到直线、圆上的点的坐标所满足的关系式，建立直线的方程、圆的方程；通过它们的方程，用代数方法研究有关几何问题，包括两条直线的位置关系，特别是两条直线的平行与垂直，两条直线的交点坐标，各种距离问题，以及直线与圆、圆与圆的位置关系等。在研究和解决这些问题的过程中，我们可以不断体会解析几何的基本思想方法——坐标法。

坐标法是研究和解决几何问题的重要方法，它建立了几何与代数间的联系，体现了数形结合的思想方法。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”是：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，把平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.

坐标法、综合法、向量法都是研究平面图形的重要方法。这些方法可以推广到空间中。

请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！

1. 在直角坐标系中，我们是如何探索确定直线位置的几何要素的？它与平面几何中确定直线位置的几何要素有什么差异？

2. 直线的倾斜程度、倾斜角、斜率三者之间有什么关系？如何用直线上两点的坐标表示这条直线的斜率？直线的方向向量在刻画直线的倾斜角、斜率方面有什么作用？

3. 你能叙述直线点斜式方程的建立过程吗？

4. 写出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，并指出这些方程中字母系数的几何意义。有人说，直线方程的其他形式都是点斜式方程的“推论”，对此你有什么看法？

5. 你能写出两点间距离公式、点到直线的距离公式吗？比较用坐标法和向量法推导点到直线的距离公式的过程，你有何体会？

6. 圆的方程有哪几种形式？你能说出它们各自的特点吗？

7. 位置关系是图形间的一种重要关系。直线与直线、直线与圆、圆与圆各有哪些位置关系？我们是如何通过方程来研究这些位置关系的？你能说说用方程研究图形位置关系的基本思路与具体步骤吗？

8. 坐标法是研究和解决平面几何问题的重要方法。你能举例说明用坐标法解决平面几何问题“三步曲”中的第一步、第二步和第三步的具体含义吗？

9. 数形结合是重要的数学思想方法。坐标系把图形性质与代数运算有机结合起来，由此产生了解析几何这门学科。我们常说，两点间的距离公式是勾股定理的坐标表示。用“数”表示“形”，用“形”解释“数”，在解析几何的学习中经常遇到，你还能举出这方面的一些例子吗？

复习参考题 2

复习巩固

1. 选择题.

(1) 直线 $3x + 2y - 1 = 0$ 的一个方向向量是（）. (A) $(2,-3)$ (B) $(2,3)$ (C) $(-3,2)$ (D) $(3,2)$

(2) 设直线 $l$ 的方程为 $x - y \sin \theta + 2 = 0$, 则直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$ 的范围是 ( ). (A) $[0, \pi]$ (B) $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ (C) $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$ (D) $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)$

(3) 与直线 $3x-4y+5=0$ 关于 x 轴对称的直线的方程为 ( ).

(A) $3x+4y-5=0$ (B) $3x+4y+5=0$

(C) $3x-4y+5=0$ (D) 3x-4y-5=0

2. 已知下列各组中的两个方程表示的直线平行，求 $a$ 的值：(1) $2x + 3y = a$ ， $4x + 6y - 3 = 0$ (2) $x + 2ay - 1 = 0$ ， $(3a - 1)x - ay - 1 = 0$ (3) $x + (1 + a)y = 2 - a$ ， $2ax + 4y = -16.$

3. 已知下列各组中的两个方程表示的直线垂直，求 $a$ 的值：(1) $4ax + y = 1$ ， $(1 - a)x + y = -1$ (2) $2x + ay = 2$ ， $ax + 2y = 1$ (3) $(3a + 2)x + (1 - 4a)y + 8 = 0$ ， $(5a - 2)x + (a + 4)y - 7 = 0.$

4. 求平行于直线 x-y-2=0，且与它的距离为 $2\sqrt{2}$ 的直线的方程.

5. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是 $x + y - 1 = 0$，$3x - y + 4 = 0$，且它的对角线的交点是 $M(3, 3)$，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程.

6. 求下列各圆的方程：

(1) 圆心为 $M(-5, 3)$ ，且过点 $A(-8, -1)$ ;

(2) 过 $A(-2, 4)$ , $B(-1, 3)$ , $C(2, 6)$ 三点；

(3) 圆心在直线 $3x + y - 5 = 0$ 上，且经过原点和点 $(3, -1)$ .

7. $m$ 为何值时，方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 2my + 2m^{2} - 2m + 1 = 0$ 表示圆？并求半径最大时圆的方程.

8. 判断圆 $x^{2} + y^{2} - 6x + 4y + 12 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 14x - 2y + 14 = 0$ 是否相切.

综合运用

9. 若函数 $y = f(x)$ 在 $x = a$ 及 $x = b$ 之间的一段图象可以近似地看作线段，且 $a \leqslant c \leqslant b$，求证：

$f (c) \approx f (a) + \frac {c - a}{b - a} \left[ f (b) - f (a) \right].$

10. 求点 $P(-2, -1)$ 到直线 $l: (1 + 3\lambda)x + (1 + \lambda)y - 2 - 4\lambda = 0$ ($\lambda$ 为任意实数) 的距离的最大值.

11. 过点 $P(3,0)$ 有一条直线 $l$，它夹在两条直线 $l_{1}: 2x - y - 2 = 0$ 与 $l_{2}: x + y + 3 = 0$ 之间的线段恰被点 $P$ 平分，求直线 $l$ 的方程.

12. 已知直线 $l: x - 2y - 8 = 0$ 和 $A(-2, 0)$, $B(2, 4)$ 两点, 若直线 $l$ 上存在点 $P$ 使得 $|PA| + |PB|$ 最小, 求点 $P$ 的坐标.

13. 求圆 $x^{2} + y^{2} - 10x - 10y = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 6x + 2y - 40 = 0$ 的公共弦长.

14. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4x - 4y + 4 = 0$ 关于直线 $l$ 对称，求直线 $l$ 的方程.

15. 求与圆 $C: (x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 1$ 关于直线 $3x - 4y + 5 = 0$ 对称的圆的方程.

16. 求圆心在直线 $y = -2x$ 上，并且经过点 $A(2, -1)$，与直线 $x + y = 1$ 相切的圆的方程.

拓广探索

17. 如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线具有什么关系？为什么？

18. 求由曲线 $x^{2}+y^{2}=|x|+|y|$ 围成的图形的面积.

19. 一条光线从点 $A(-2, 3)$ 射出，经 $x$ 轴反射后，与圆 $C: (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 1$ 相切，求反射后光线所在直线的方程.

20. 已知圆 $C: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$，直线 $l: (2m + 1)x + (m + 1)y - 7m - 4 = 0$.

(1) 求证：直线 l 恒过定点.

(2) 直线 l 被圆 C 截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时 m 的值以及最短弦长.

第三章圆锥曲线的方程

我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢？

如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（conic sections）。

圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系。如行星绕太阳运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面……为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢？我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案。

圆锥曲线的发现与研究始于古希腊。当时人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪，笛卡儿发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数方法研究圆锥曲线。

本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力.