2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

上一节把圆写成了方程。这一节回答随之而来的第一个问题：一条直线和一个圆，摆在同一个坐标系里，它们碰不碰、碰几次？

初中的答案是”看图”，这一节的答案是把”有几个公共点”换成一个可以算的数。而且有两条换法：

• 代数的：把两个方程联立，看方程组有几个实数解；
• 几何的：算圆心到直线的距离 $d$，和半径 $r$ 比大小。

课本例 1 把同一道题用两条路各做一遍，就是为了让你看出这两条路的分工。这一节真正要学会的不是两条路各怎么走，而是什么时候走哪一条。

一、三种位置关系与两套判据

直线与圆的位置关系按公共点个数定义，三种情形与两套判据一一对应：

两套判据必然同时成立——它们说的是同一件事：联立后消元得到的那个二次方程，它的实根个数就是公共点个数， 而实根个数由 $\Delta$ 的符号定；另一边，圆上的点到直线的距离最小值恰好是 $d - r$（$d>r$ 时）， 最小值的正负也就决定了有没有公共点。

几何判据几乎总是更快：配一次方读出圆心与半径，套一次点到直线的距离公式，比一次大小，完。 代数判据要把直线代进圆方程、展开、整理，$\Delta$ 常常是一个带参数的四次式（课本例 2 解法 2 里那个 $\Delta = 4k^2(1-2k)^2 - 16k(k^2+1)(k-1)$ 就是），符号一错就前功尽弃。

但代数判据有两处不可替代：

1. 要交点的坐标时（求弦的中点、求交点连线的方程），非解方程组不可；
2. 曲线不是圆时（第 3 章的椭圆、双曲线、抛物线没有”圆心到直线的距离”可用）， $\Delta$ 是唯一还能用的判据。

所以这一节的几何判据是圆的特权，好好用，但别以为它能带到下一章。

二、四步流程：任何一道”直线与圆”都拆成这四步

1. 圆的方程化成标准式。 给的是一般式 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 就配方：

   $$\left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4},$$

   圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$、半径 $r=\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$， 而且必须先验 $D^2+E^2-4F>0$（否则它根本不是圆）。

2. 直线化成一般式 $Ax+By+C=0$——距离公式只认这个形状。

3. 算 $d$ 并与 $r$ 比：$d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

4. 按问法收口：问位置关系就报三种情形之一；问弦长用垂径定理（第三节）； 问切线或反求参数就把 $d=r$ 当方程解（第四节）。

课本例 1 是第 1–3 步加一个弦长，例 2 是第 4 步的”令 $d=r$“，练习第 2 题是第 4 步的另一个方向。 四步之外没有新东西，剩下的全是这四步的组合。

三、弦长：垂径定理省掉的那一半功夫

直线与圆相交时，圆心到弦的垂线平分这条弦（垂径定理）。于是半弦、$d$、$r$ 组成一个直角三角形：

用它的前提是 $d<r$（否则根号里是负数，也就压根没有弦）。

和”联立求出两个交点、再用两点间距离公式”比一比（课本例 1 的两种解法就是这个对照）： 后者要解方程组、把两个根分别代回求纵坐标、再算一次两点距离；前者只要 $r$ 与 $d$ 两个数。 同一道题，代数法写了八行，几何法两行。

还有第三种写法：设直线斜率为 $k$、两交点横坐标为 $x_1,x_2$，则

它的用处在第 3 章——那里没有”圆心”可用，只能联立取 $|x_1-x_2|$（配韦达定理）。 在圆上它是绕远路。

$d$ 不只是”算弦长的中间量”，它常常是全题的主元

$|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ 这一行还藏着一句更值钱的话：弦长只由 $d$ 决定，与这条弦的斜率、 倾斜角、方向一概无关。斜率不同而 $d$ 相同的两条弦，长度一模一样。

于是遇到”过定点 $P$ 的动直线割圆，求某个与弦长有关的最值”，可以不设斜率，直接以 $d$ 为主元。 这样做有三个好处，一个比一个实在：

1. 定义域是现成的闭区间。 $P$ 在圆内时，过 $P$ 的直线到圆心的距离满足

   $$0 \leqslant d \leqslant |OP| ,$$

   因为 $d = |OP|\sin\alpha$（$\alpha$ 是这条直线与 $OP$ 的夹角）。两个端点各有明确的含义： $d = |OP|$ 是直线与 $OP$ 垂直的那一条，$d = 0$ 是直线过圆心（即与 $OP$ 重合）的那一条。

2. 竖直那一档不再是例外。 设斜率的写法漏掉的那条直线，在这里只是 $d$ 取到某个端点值而已， 照常参与比较（§2.2 §三 末尾那一段讲的正是这件事）。

3. 若题中另一段长度也只跟 $d$ 有关，全题就成了一元函数问题。 这不是巧合能不能碰上的事， 而是值得主动去问的一句：我要求的这些量，是不是都只由 $d$ 决定？ 是，就用 $d$； 不是，再去设斜率也不迟。

反过来也要清楚 $d$ 的局限：它认不出弦的方向。若问的是”直线的方程”，最后还得由 $d$ 反解回斜率 （$d = \dfrac{|\,\cdot\,|}{\sqrt{k^2+1}}$ 一步就够），而且同一个 $d$ 一般对应对称的两条直线—— 答案里那个 $\pm$ 就是从这里来的。

四、相切：一个条件，两个方向，一处必查的漏解

“相切”只有一种可算的写法：圆心到直线的距离等于半径。它的两个用法方向相反：

• 方向一，求切线。 未知的是直线：设出直线，令 $d=r$，解直线的参数。
• 方向二，反求参数。 未知的是圆（或圆里的参数）：由 $d=r$ 反解半径、圆心、或方程里的字母。 练习第 2 题（已知直线与圆心在原点的圆相切，求圆的方程）就是它——$r$ 直接就等于原点到直线的距离。

方向一有一处必查的漏解：设成点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$ 的那一刻，斜率不存在的那条直线就被排除在外了。查法很简单：

1. 先判点与圆的位置：点在圆外有两条切线、在圆上一条、在圆内没有；
2. 解出的条数比这个数少，缺的那条就是竖直线 $x=x_0$，回去单独验它是否相切。

课本例 2 里 $P(2,1)$ 恰好两条切线都有斜率（$k=0$ 与 $k=\frac43$），所以这个坑没暴露。 换一个点就露出来了：过 $P(1,2)$ 作 $\odot O: x^2+y^2=1$ 的切线，设 $y-2=k(x-1)$ 得

只有一条。而 $P$ 在圆外（$|OP|=\sqrt5>1$）本该有两条——漏掉的正是 $x=1$， 它到原点的距离恰是 $1=r$，确实相切。

另外记一条由”切线 $\perp$ 半径”派生的直角三角形：从圆外一点 $P$ 到切点 $T$ 的切线长

求两条切线的夹角、切点弦长的题，走这个三角形往往比解方程快。

最后一句提醒：$d=r$ 与 $\Delta=0$ 对圆是等价的，但”只有一个公共点”对一般曲线不等于相切—— 一条与抛物线对称轴平行的直线和抛物线只有一个公共点，却是穿进去的。这个区别到第 3 章会反复出现。

五、坐标法”三步曲”与建系的两个自由度

例 3（圆拱桥求支柱高）与例 4（轮船返港会不会触礁）都不是”给方程判位置”，而是先把实际问题变成方程。课本把这套流程总结成三步：建系并用坐标与方程表示几何要素 $\to$ 代数运算 $\to$ 把代数结果翻译回几何（或实际）结论。

真正需要练的是第一步里的两个自由度：

• 坐标系怎么放。 例 3 把跨度所在的水平弦取作 $x$ 轴、拱顶放在 $y$ 轴上，于是圆心必在 $y$ 轴上， 待定的量从三个（$a,b,r$）降到两个（$b,r$）。把对称轴取成坐标轴，是建系的第一条准则。
• 单位长度怎么取。 例 4 取 $10\ \mathrm{km}$ 为一个单位，半径 $20\ \mathrm{km}$ 的圆就写成 $x^2+y^2=4$，数小了一个量级而位置关系分毫不变——位置关系在相似变换下不变，这一步是白拿的便宜。

例 3 还有一处值得单独记：圆心不在原点，而且在水面以下。 拱高 $4\ \mathrm{m}$ 远小于圆的半径， 所以圆心的纵坐标 $b<0$；设 $(0,b)$、让拱顶 $(0,4)$ 与端点 $(10,0)$ 都在圆上，两个方程解出 $b=-10.5$、$r=14.5$。“拱高不是半径”是这类桥拱题唯一的关键。

例 4 的收口也别省：算出 $\Delta<0$ 只说明方程组无解，还要翻译成”直线与圆相离，轮船不会触礁”。 实际问题停在代数结论上，等于没答。

六、易错清单（按失分频率排）

1. 一般方程没配方就读半径。 $x^2+y^2-2x=0$ 的圆心是 $(1,0)$、半径是 $1$； 直接从常数项去猜半径必错。配方之前顺手验一眼 $D^2+E^2-4F>0$。
2. 距离公式写漏。 分子忘了绝对值（算出负距离）、分母写成 $A^2+B^2$ 没开根号—— 这两处占了本节计算错误的一半。
3. 求切线只设点斜式，漏掉竖直的那条。 见第四节。判据是”点在圆外必有两条”。
4. 弦长忘了乘 $2$。 $\sqrt{r^2-d^2}$ 是半弦。
5. 比错了量。 $d$ 要和 $r$ 比；把点代进圆方程左边得到的是距离的平方，那要和 $r^2$ 比。 两套东西别串。
6. 用 $\Delta$ 时展开出错。 例 2 解法 2 的 $\Delta$ 是四次式，符号错一处就解不出 $k=0$。 能用 $d=r$ 就别用 $\Delta$。
7. 实际问题不回答、或精度不合要求。 例 3 要求”精确到 $0.01\ \mathrm{m}$“就真的四舍五入到两位， 例 4 要答”不会触礁”。
8. 把”一个公共点”当成”相切”搬到非圆曲线上。 圆上等价，别处不等价。

七、这一节考过的真题（怎么读）

页面下方「考过本节的真题」那一块现在是空的：它由”哪些实体的教材出处指向本节这几页”派生， 而本节的第 96–100 页目前还没有实体引到，所以那条边还没长出来（补它是攻略侧的事，不在这一份里做）。 语料里真正考本节这套判据的有三道，按由易到难读：

• 2020 年第 15 题（两个半径都是 $1$ 的圆都与直线 $l$ 相切，求 $k$ 与 $b$）—— 把”相切”逐字翻译两遍就是两个 $d=r$，正是第二节四步流程的直接应用。 它同时是”公切线有几条”的入口：两圆外离时四条，题目给的 $k>0$ 才把答案筛成一组。 圆与圆的位置关系在下一小节 §2.5.2，读完这道题再去看那一节最顺。
• 2025 年第 7 题（圆上到某直线距离为 $1$ 的点恰好 $2$ 个，求半径范围）—— 它把 $d$ 与 $r$ 的比较用活了：与已知直线平行、距离 $1$ 的直线有两条， 数”圆与这两条线的交点个数”就是把本节判据用三次。
• 2023 年第 6 题（圆外一点引两条切线，求两切线的夹角）—— 走第四节末尾那个切线长直角三角形，比设两条切线的方程再解斜率短得多。 这道是本节的上限：它考的不是”判断位置关系”，是”把相切换成一个直角三角形”。

这一份收本节（§2.5.1 直线与圆的位置关系）印在第 96–100 页上的两组 练习， 共 6 道：第 98 页 3 道、第 100 页 3 道。习题2.5 印在下一小节 §2.5.2 的页上， 按”题落在印它那几页所在的那一份里”归到那一节，这里不收。本节没有开放式的实习作业。

六道题里，前三道练的是同一套流程（圆化标准式 $\to$ 直线化一般式 $\to$ 比 $d$ 与 $r$）， 后三道是坐标法的实际问题（建系 $\to$ 求方程 $\to$ 翻译回结论）。

练习（第 98 页）第 1 题

1. 判断下列各组直线 l 与圆 C 的位置关系：

(1) l: $x - y + 1 = 0$ ,

圆 $C: x^{2} + y^{2} = 3$;

(2) l: $3x + 4y + 2 = 0$ ,

圆 $C: x^{2} + y^{2} - 2x = 0;$

(3) $l: x + y + 3 = 0$,

圆 C: $x^{2}+y^{2}+2y=0.$

三小问都走同一条路：把圆化成标准式读出圆心与半径，算圆心到直线的距离 $d$，与半径 $r$ 比大小。 比较之前先确认每个方程真的是圆（半径的平方为正）。

(1) 圆 $C: x^2+y^2=3$ 已经是标准式，圆心 $C(0,0)$，$r=\sqrt3>0$。 直线 $l: x-y+1=0$ 的三个系数依次是 $1$、$-1$、$1$（为免与圆心 $C$ 撞名，这里不给它们起字母），于是

因为 $\dfrac{\sqrt2}{2}<\sqrt3\approx 1.732$，即 $d<r$，所以直线 $l$ 与圆 $C$ 相交，有两个公共点。

(2) 圆 $C: x^2+y^2-2x=0$ 配方：$(x-1)^2+y^2=1$。这里 $D=-2$、$E=0$、$F=0$， $D^2+E^2-4F=4>0$，确实是圆；圆心 $C(1,0)$，$r=1$。直线 $l: 3x+4y+2=0$，

$d=r=1$，所以相切，只有一个公共点。

用代数判据复核一遍：由 $3x+4y+2=0$ 得 $y=-\dfrac{3x+2}{4}$，代入 $(x-1)^2+y^2=1$， 两边乘 $16$ 整理得

重根 $x=\dfrac{2}{5}$，对应 $y=-\dfrac{4}{5}$——切点是 $\left(\dfrac25,-\dfrac45\right)$， 代回圆方程 $\left(\dfrac25-1\right)^2+\left(-\dfrac45\right)^2=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1$ ✓， 与几何判据一致。

(3) 圆 $C: x^2+y^2+2y=0$ 配方：$x^2+(y+1)^2=1$，圆心 $C(0,-1)$，$r=1>0$。 直线 $l: x+y+3=0$，

$\sqrt2>1$，即 $d>r$，所以相离，没有公共点。

这道题的动作：先配方，再算一个距离。 三小问的圆分别以原点、$(1,0)$、$(0,-1)$ 为圆心， 后两个都是一般式给出的——不配方就读半径是这类小题唯一的失分点。

练习（第 98 页）第 2 题

2. 已知直线 $4x + 3y - 35 = 0$ 与圆心在原点的圆 C 相切，求圆 C 的方程.

圆心在原点，所以圆 $C$ 的方程可设为 $x^2+y^2=r^2$（$r>0$），未知的只有半径。

“相切”就是圆心到直线的距离等于半径，而圆心是原点，这个距离直接算得出来：

$r=7>0$ 合法，所以圆 $C$ 的方程是

自检（把切点找出来验一次）。 直线的法向量是 $(4,3)$，单位化为 $\left(\dfrac45,\dfrac35\right)$； 从原点沿法向走 $r=7$ 到 $\left(\dfrac{28}{5},\dfrac{21}{5}\right)$。它在圆上： $\left(\dfrac{28}{5}\right)^2+\left(\dfrac{21}{5}\right)^2=\dfrac{784+441}{25}=49$ ✓； 也在直线上：$4\times\dfrac{28}{5}+3\times\dfrac{21}{5}-35=\dfrac{112+63}{5}-35=0$ ✓。 一个公共点，确实相切。

这道题的动作：把”相切”当方程用，反解半径。 与例 2（已知圆求切线）方向相反， 是同一个条件 $d=r$ 的另一种用法。

练习（第 98 页）第 3 题

3. 判断直线 $2x - y + 2 = 0$ 与圆 $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ 的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长.

圆 $(x-1)^2+(y-2)^2=4$ 是标准式：圆心 $C(1,2)$，半径 $r=2$。直线 $2x-y+2=0$，于是

因为 $d\approx 0.894<2=r$，所以直线与圆相交，有两个公共点。

既然 $d<r$，垂径定理的前提成立（根号里为正），弦长为

自检（联立求交点再算一次）。 由 $y=2x+2$ 代入圆方程：

对应 $y_1=4$、$y_2=\dfrac45$，两交点 $A(1,4)$、$B\left(-\dfrac35,\dfrac45\right)$，

两条路同一个数。注意这一步顺带说明了几何法为什么值得：上面两行 vs 下面五行。

这道题的动作：$d$ 与 $r$ 比大小定位置，$2\sqrt{r^2-d^2}$ 出弦长。 弦长公式里 $\sqrt{r^2-d^2}$ 只是半弦，忘了那个 $2$ 就答成 $\dfrac{4\sqrt5}{5}$。

练习（第 100 页）第 1 题

1. 赵州桥的跨度是 $37.4 \mathrm{~m}$，圆拱高约为 $7.2 \mathrm{~m}$。求这座圆拱桥的拱圆的方程。

建系。 照例 3 的办法：把跨度所在的那条水平线取作 $x$ 轴、拱圆的对称轴取作 $y$ 轴。 于是拱的两个端点是 $A(-18.7,\,0)$、$B(18.7,\,0)$（跨度 $37.4$ 的一半是 $18.7$）， 拱顶是 $P(0,\,7.2)$。圆心在对称轴上，设为 $(0,b)$、半径为 $r$，则拱圆的方程为

定 $b$ 与 $r$。 $P$、$B$ 都在圆上，把坐标代进去：

两式相减消去 $r^2$（这一步是解这类方程组的关键：直接硬解带两个平方的方程组会很乱）：

所以

$b<0$ 是应该的：拱高 $7.2$ 远小于半径，圆心必在 $x$ 轴下方。$r>0$ 合法。

结论。 拱圆的方程为

把 $b$、$r$ 四舍五入到两位小数就是常见的写法

其中拱本身是这个圆位于 $0\le y\le 7.2$ 的那一段弧（$-18.7\le x\le 18.7$）。 两个右端相差 $0.23$ 完全来自那次舍入（半径只差 $0.004$），要严谨就用上面的精确形式。

自检（用精确值）。 代 $B(18.7,0)$： $18.7^2+\left(\dfrac{5957}{288}\right)^2=349.69+427.829\ldots=777.519\ldots$； 代 $P(0,7.2)$：$\left(7.2+\dfrac{5957}{288}\right)^2=\left(\dfrac{40153}{1440}\right)^2=777.519\ldots$ ——两式严格相等，正是 $r^2$。

这道题的动作：建系让圆心落在 $y$ 轴上，再用”两点在圆上”列方程组、相减消 $r^2$。 跨度要先折半——把 $37.4$ 当成端点的横坐标是这道题最常见的错。

练习（第 100 页）第 2 题

2. 某圆拱桥的水面跨度 20 m，拱高 4 m。现有一船，宽 10 m，水面以上高 3 m，这条船能否从桥下通过？

先求拱圆的方程。 跨度与拱高与例 3 完全相同，按上一题的做法建系（水面为 $x$ 轴、 拱圆的对称轴为 $y$ 轴），端点 $(\pm 10,0)$、拱顶 $(0,4)$，设圆心 $(0,b)$、半径 $r$：

所以拱圆的方程是 $x^2+(y+10.5)^2=14.5^2$（与课本例 3 同一个圆）。

再看船能不能过。 船宽 $10\ \mathrm{m}$、水面以上高 $3\ \mathrm{m}$，设船身居中通过 （对称轴与拱的对称轴重合），那么船顶两个角在 $x=\pm 5$、$y=3$ 处。 只要拱在 $x=\pm 5$ 处的高度大于 $3$，船就过得去。把 $x=5$ 代进拱圆方程：

拱在水面以上，$y>0$，故 $y+10.5>0$，平方根取正值：

$3.11>3$，所以这条船能从桥下通过，两侧船角上方各留出约 $0.11\ \mathrm{m}$ 的余量。

这个”居中”的前提必须说出来，因为余量只有 $0.11\ \mathrm{m}$。 若船偏离中线 $1\ \mathrm{m}$， 外侧船角落在 $x=6$ 处，那里拱高

就过不去了。答案依赖于居中通过这一条，不是无条件的”能过”。

这道题的动作：把”能不能过”翻译成”拱在 $x=\pm\frac{\text{船宽}}{2}$ 处的高度和船高比大小”。 比的不是拱顶高度（$4>3$ 什么也说明不了），是船最外侧那条竖线处的拱高。

练习（第 100 页）第 3 题

3. 在一个平面上，机器人从与点 $C(5, -3)$ 的距离为9的地方绕点 $C$ 顺时针而行，在行进过程中保持与点 $C$ 的距离不变。它在行进

过程中到过点 $A(-10,0)$ 与 $B(0,12)$ 的直线的最近距离和最远距离分别是多少？

（课本这道题的题面被插在中间的图注「(第1题)」分成了两段，上面两个引用块合起来才是完整题面。）

先把两个几何对象写成方程。 机器人始终与 $C(5,-3)$ 保持距离 $9$，所以它的轨迹是圆

过 $A(-10,0)$、$B(0,12)$ 的直线用截距式最快：$\dfrac{x}{-10}+\dfrac{y}{12}=1$， 两边乘 $-60$ 得 $6x-5y=-60$，即

验一下：$A$ 代入 $-60-0+60=0$ ✓，$B$ 代入 $0-60+60=0$ ✓。

再算圆心到直线的距离。

因为 $d\approx 13.44>9=r$，直线与圆相离，机器人始终在直线的同一侧。

圆上的点到直线的距离，范围恰是 $[\,d-r,\ d+r\,]$。 理由：过圆心作直线 $l$ 的垂线， 设垂足方向的单位向量为 $\vec n$，圆上任一点可写成 $P=C+r\vec u$（$|\vec u|=1$）， 它到 $l$ 的距离等于 $d$ 减去 $r\vec u$ 在 $\vec n$ 上的投影，而这个投影遍历 $[-r,\;r]$； 两个端点在过圆心的那条垂线与圆的两个交点上取到。于是

自检。 最近的那个点就是从 $C$ 沿指向直线的法向走 $9$： $l$ 在 $C$ 处的值 $6\times5-5\times(-3)+60=105>0$，所以要沿 $-\dfrac{(6,-5)}{\sqrt{61}}$ 走，

它到 $l$ 的距离 $\dfrac{|6\times(-1.914)-5\times 2.762+60|}{\sqrt{61}}\approx\dfrac{34.706}{7.8102}\approx 4.44$ ✓， 与 $d-r$ 相符；而 $d_{\min}>0$ 也再次印证”相离”。

这道题的动作：把”绕定点保持距离不变”读成圆，把”到直线的最近/最远距离”读成 $d\mp r$。 前提是 $d>r$（相离）；若 $d\le r$（相交或相切），最近距离就是 $0$，那时 $d-r$ 这个式子不能用。