2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

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2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系。前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系。下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系。

2.5.1 直线与圆的位置关系

我们知道，直线与圆有三种位置关系：

(1) 直线与圆相交，有两个公共点；

(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；

(3) 直线与圆相离，没有公共点.

思考

在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

下面，我们通过具体例子进行研究.

例1 已知直线 $l: 3x + y - 6 = 0$ 和圆心为 $C$ 的圆 $x^{2} + y^{2} - 2y - 4 = 0$，判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系；如果相交，求直线 $l$ 被圆 $C$ 所截得的弦长.

分析：思路1：将判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.

思路 2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长.

解法 1: 联立直线 l 与圆 C 的方程，得

\left\{ \begin{array}{l} 3 x + y - 6 = 0, \\ x ^ {2} + y ^ {2} - 2 y - 4 = 0. \end{array} \right.\tag{①}

②

消去 $y$ ，得 $x^{2} - 3x + 2 = 0$ ，解得 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 1$

所以，直线 l 与圆 C 相交，有两个公共点.

把 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 1$ 分别代入方程①，得 $y_{1} = 0$ ， $y_{2} = 3$

所以，直线 l 与圆 C 的两个交点是 $A(2, 0)$ ， $B(1, 3)$ .

因此 $|AB| = \sqrt{(1 - 2)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{10}$.

解法2：圆 $C$ 的方程 $x^{2} + y^{2} - 2y - 4 = 0$ 可化为 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ ，因此圆心 $C$ 的坐标为 $(0,1)$ ，半径为 $\sqrt{5}$ ，圆心 $C(0,1)$ 到直线 $l$ 的距离

$d = \frac {\mid 3 \times 0 + 1 - 6 \mid}{\sqrt {3 ^ {2} + 1 ^ {2}}} = \frac {5}{\sqrt {1 0}} < \sqrt {5}.$

所以，直线 l 与圆 C 相交，有两个公共点.

如图 2.5-1，由垂径定理，得 $\left|AB\right|=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=\sqrt{10}$ .

通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与圆 $C: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组

图2.5-1

$\left\{ \begin{array}{l} A x + B y + C = 0, \\ (x - a) ^ {2} + (y - b) ^ {2} = r ^ {2} \end{array} \right.$

的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系。若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长。

我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径 r，从而求得圆心到直线的距离 d，通过比较 d 与 r 的大小，判断直线与圆的位置关系。若相交，则可利用勾股定理求得弦长。

• •

适当地利用已知图形的几何性质，有助于简化计算.

思考

与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？

例 2 过点 $P(2, 1)$ 作圆 O: $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 l，求切线 l 的方程.

分析：如图2.5-2，容易知道，点 $P(2,1)$ 位于圆 $O: x^{2} + y^{2} = 1$ 外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切。我们设切线方程为 $y - 1 = k(x - 2)$，$k$ 为斜率。由直线与圆相切可求出 $k$ 的值。

解法1：设切线 $l$ 的斜率为 $k$ ，则切线 $l$ 的方程为 $y - 1 = k(x - 2)$ ，即 $kx - y + 1 - 2k = 0.$

由圆心（0，0）到切线 $l$ 的距离等于圆的半径1，得

$\frac {\mid 1 - 2 k \mid}{\sqrt {k ^ {2} + 1}} = 1,$

解得 k=0 或 $\frac{4}{3}$ .

因此，所求切线 l 的方程为 y=1，或 4x-3y-5=0.

解法2：设切线 $l$ 的斜率为 $k$ ，则切线 $l$ 的方程为 $y - 1 = k(x - 2)$

因为直线 $l$ 与圆相切，所以方程组

$\left\{ \begin{array}{l} y - 1 = k (x - 2), \\ x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \end{array} \right.$

只有一组解.

消元，得

(k ^ {2} + 1) x ^ {2} + (2 k - 4 k ^ {2}) x + 4 k ^ {2} - 4 k = 0.\tag{①}

因为方程①只有一个解，所以

$\Delta = 4 k ^ {2} (1 - 2 k) ^ {2} - 1 6 k (k ^ {2} + 1) (k - 1) = 0,$

解得 k=0 或 $\frac{4}{3}$ .

所以，所求切线 l 的方程为 y=1，或 4x-3y-5=0.

练习

1. 判断下列各组直线 l 与圆 C 的位置关系：

(1) l: $x - y + 1 = 0$ ,

圆 $C: x^{2} + y^{2} = 3$;

(2) l: $3x + 4y + 2 = 0$ ,

圆 $C: x^{2} + y^{2} - 2x = 0;$

(3) $l: x + y + 3 = 0$,

圆 C: $x^{2}+y^{2}+2y=0.$

2. 已知直线 $4x + 3y - 35 = 0$ 与圆心在原点的圆 C 相切，求圆 C 的方程.

3. 判断直线 $2x - y + 2 = 0$ 与圆 $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ 的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长.

例 3 图 2.5-3 是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度 $AB = 20 \, m$ ，拱高 $OP = 4 \, m$ ，建造时每间隔 $4 \, m$ 需要用一根支柱支撑，求支柱 $A_{2}P_{2}$ 的高度（精确到 $0.01 \, m$ ）.

分析：建立如图2.5-4所示的直角坐标系，要得到支柱 $A_{2}P_{2}$ 的高度，只需求出点$P_{2}$ 的纵坐标.

解：建立如图2.5-4所示的直角坐标系，使线段 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴，$O$ 为坐标原点，圆心在 $y$ 轴上。由题意，点 $P, B$ 的坐标分别为 $(0, 4)$，$(10, 0)$。设圆心坐标是 $(0, b)$，圆的半径是 $r$，那么圆的方程是

$x ^ {2} + (y - b) ^ {2} = r ^ {2}.$

点 $O$ 是圆拱所在圆的圆心吗？

下面确定 b 和 r 的值.

因为 $P, B$ 两点都在圆上，所以它们的坐标 $(0, 4)$，$(10, 0)$ 都满足方程 $x^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$。于是，得到方程组

$\left\{ \begin{array}{l} 0 ^ {2} + (4 - b) ^ {2} = r ^ {2}, \\ 1 0 ^ {2} + (0 - b) ^ {2} = r ^ {2}. \end{array} \right.$

解得

$b = - 1 0. 5, r ^ {2} = 1 4. 5 ^ {2}.$

所以，圆的方程是

$x ^ {2} + (y + 1 0. 5) ^ {2} = 1 4. 5 ^ {2}.$

把点 $P_{2}$ 的横坐标 x = -2 代入圆的方程，得

$(- 2) ^ {2} + (y + 1 0. 5) ^ {2} = 1 4. 5 ^ {2},$

即 $y + 10.5 = \sqrt{14.5^2 - (-2)^2}$ ($P_2$ 的纵坐标 $y > 0$，平方根取正值). 所以

$y = \sqrt {1 4 . 5 ^ {2} - (- 2) ^ {2}} - 1 0. 5 \approx 1 4. 3 6 - 1 0. 5 = 3. 8 6 (\mathrm{m}).$

答：支柱 $A_{2}P_{2}$ 的高度约为 3.86 m.

思考

如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？由此比较综合法和坐标法的特点.

例 4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 20 km 的圆形区域内。已知小岛中心位于轮船正西 40 km 处，港口位于小岛中心正北 30 km 处。如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？

分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离。如图2.5-5，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险。

解：以小岛的中心为原点 $O$ ，东西方向为 $x$ 轴，建立如图 2.5-5 所示的直角坐标系. 为了运算的简便, 我们取 10 km 为单位长度, 则港口所在位置的坐标为 (0, 3), 轮船所在位置的坐标为 (4, 0).

这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为

$x ^ {2} + y ^ {2} = 4;$

轮船航线所在直线 $l$ 的方程为

$\frac{x}{4} +\frac{y}{3} = 1$ ，即 $3x + 4y - 12 = 0.$

联立直线 $l$ 与圆 $O$ 的方程，得

$\left\{ \begin{array}{l} 3 x + 4 y - 1 2 = 0, \\ x ^ {2} + y ^ {2} = 4. \end{array} \right.$

消去 $y$ ，得

$2 5 x ^ {2} - 7 2 x + 8 0 = 0.$

由 $\Delta=(-72)^{2}-4\times25\times80<0$ ，可知方程组无解.

所以直线 l 与圆 O 相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.

思考

你还能用其他方法解决上述问题吗？

用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论。这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.

比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？

练习

1. 赵州桥的跨度是 $37.4 \mathrm{~m}$，圆拱高约为 $7.2 \mathrm{~m}$。求这座圆拱桥的拱圆的方程。

2. 某圆拱桥的水面跨度 20 m，拱高 4 m。现有一船，宽 10 m，水面以上高 3 m，这条船能否从桥下通过？

3. 在一个平面上，机器人从与点 $C(5, -3)$ 的距离为9的地方绕点 $C$ 顺时针而行，在行进过程中保持与点 $C$ 的距离不变。它在行进

(第1题)

过程中到过点 $A(-10,0)$ 与 $B(0,12)$ 的直线的最近距离和最远距离分别是多少？