2.3.4 两条平行直线间的距离

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2.3.4 两条平行直线间的距离

前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式。关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的。

两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.

思考

已知两条平行直线 $l_{1}, l_{2}$ 的方程，如何求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离？

根据两条平行直线间距离的含义，在直线 $l_{1}$ 上任取一点 $P(x_0, y_0)$，点 $P(x_0, y_0)$ 到直线 $l_{2}$ 的距离就是直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 间的距离。这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离。

例 7 已知两条平行直线 $l_{1}$ : 2x-7y-8=0, $l_{2}$ : 6x-21y-1=0, 求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离.

分析：在 $l_{1}$ 上选取一点，如 $l_{1}$ 与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到 $l_{2}$ 的距离，即 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离.

解：先求 $l_{1}$ 与 x 轴的交点 A 的坐标．容易知道，点 A 的坐标为 $(4, 0)$ .

点 A 到直线 $l_{2}$ 的距离

$d = \frac {\mid 6 \times 4 - 2 1 \times 0 - 1 \mid}{\sqrt {6 ^ {2} + 2 1 ^ {2}}} = \frac {2 3}{3 \sqrt {5 3}} = \frac {2 3}{1 5 9} \sqrt {5 3},$

所以 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离为 $\frac{23}{159}\sqrt{53}$ .

如何取点，可使计算简单？

例8 求证：两条平行直线 $Ax + By + C_1 = 0$ 与 $Ax + By + C_2 = 0$ 间的距离为

$d = \frac {| C _ {1} - C _ {2} |}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}}.$

分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离.

证明：在直线 $Ax + By + C_1 = 0$ 上任取一点 $P(x_0, y_0)$，点 $P(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax + By + C_2 = 0$ 的距离就是这两条平行直线间的距离，即

$d = \frac {\mid A x _ {0} + B y _ {0} + C _ {2} \mid}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}}.$

因为点 $P(x_0, y_0)$ 在直线 $Ax + By + C_1 = 0$ 上，所以 $Ax_0 + By_0 + C_1 = 0$ ，即 $Ax_0 + By_0 = -C_1$ ，因此

$d = \frac {\mid A x _ {0} + B y _ {0} + C _ {2} \mid}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} = \frac {\mid - C _ {1} + C _ {2} \mid}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} = \frac {\mid C _ {1} - C _ {2} \mid}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}}.$

练习

1. 求下列两条平行直线间的距离：

(1) $l_{1}: 2x + 3y - 8 = 0, \quad l_{2}: 2x + 3y + 18 = 0;$

(2) $l_{1}: 3x + 4y = 10, \quad l_{2}: 3x + 4y = 0.$

2. 已知两条平行直线 $l_{1}: 3x - 4y + 6 = 0$ 与 $l_{2}: 3x - 4y + C = 0$ 间的距离为3，求 $C$ 的值.

3. 如图，已知直线 $l_{1}: x - 2y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}: x - 2y + 4 = 0$ ，在 $l_{1}$ 上任取一点 $A$ ，在 $l_{2}$ 上任取一点 $B$ ，连接 $AB$ ，取 $AB$ 的靠近点 $A$ 的三等分点 $C$ ，过点 $C$ 作 $l_{1}$ 的平行线 $l_{3}$. 求 $l_{1}$ 与 $l_{3}$ 间的距离.

(第3题)

习题2.3

复习巩固

1. 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标:

(1) $l_{1}:2x-y+7=0,\quad l_{2}:x+y=1;$

(2) $l_{1}: x - 3y - 10 = 0, \quad l_{2}: y = \frac{x + 5}{3}$;

(3) $l_{1}: 3x - 5y + 10 = 0, \quad l_{2}: 9x - 15y + 30 = 0.$

2. 求满足下列条件的直线 $l$ 的方程：

（1）经过两条直线 $2x-3y+10=0$ 和 $3x+4y-2=0$ 的交点，且垂直于直线 $3x-2y+4=0$ ;

(2) 经过两条直线 $2x + y - 8 = 0$ 和 $x - 2y + 1 = 0$ 的交点，且平行于直线 4x - 3y - 7 = 0.

3. 已知 $A(1, 2)$, $B(2, 0)$, $M(1, 0)$, $N(-4, 0)$, $P(0, 3)$, $Q(-1, 1)$ 六个点, 线段 $AB$, $MN$, $PQ$ 能围成一个三角形吗? 为什么?

4. 已知 $P(a, 2)$, $Q(-2, -3)$, $M(1, 1)$ 三点，且 $|PQ| = |PM|$，求 $a$ 的值.

5.（1）求在 $x$ 轴上与点 $A(5,12)$ 的距离为13的点的坐标；

(2) 已知点 P 的横坐标是 7，点 P 与点 N(-1, 5) 间的距离等于 10，求点 P 的纵坐标.

6. 求点 $P(-5, 7)$ 到直线 $12x + 5y - 3 = 0$ 的距离.

7. 求两条平行直线 3x-2y-1=0 与 $3x-2y+1=0$ 间的距离.

8. □ABCD 的一组对边 AB 和 CD 所在直线的方程分别是 $6x + 8y - 3 = 0$ 与 $6x + 8y + 5 = 0$ ，过 □ABCD 的两条对角线的交点作与 AB 所在直线的平行线 l，求 l 与 CD 所在直线的距离.

综合运用

9. 三条直线 $ax + 2y + 8 = 0$ ， $4x + 3y = 10$ 与 $2x - y = 10$ 相交于一点，求 $a$ 的值.

10. 已知 $\triangle ABC$ 的顶点 $A(5, 1)$, 边 $AB$ 上的中线 $CM$ 所在直线方程为 $2x - y - 5 = 0$, 边 $AC$ 上的高 $BH$ 所在直线方程为 $x - 2y - 5 = 0$. 求: (1) 顶点 $C$ 的坐标; (2) 直线 $BC$ 的方程.

11. 在 $x$ 轴上求一点 $P$，使以 $A(1, 2)$，$B(3, 4)$ 和 $P$ 为顶点的三角形的面积为 10.

12. 已知 $AO$ 是 $\triangle ABC$ 边 $BC$ 的中线，用坐标法证明 $|AB|^2 + |AC|^2 = 2(|AO|^2 + |OC|^2)$.

13. 已知点 $A(a, 6)$ 到直线 $3x - 4y = 2$ 的距离 $d$ 分别为下列各值：（1）$d = 4$；（2）$d > 4$，求 $a$ 的取值范围.

14. 已知 $A(-3, -4)$, $B(6, 3)$ 两点到直线 $l: ax + y + 1 = 0$ 的距离相等, 求 $a$ 的值.

15. □ABCD 的四条边所在直线的方程分别是 $l_{1}: x-4y+5=0, l_{2}: 2x+y-8=0, l_{3}: x-4y+14=0, l_{4}: 2x+y+1=0$ ，求 □ABCD 的面积.

拓广探索

16. 已知 $\lambda$ 为任意实数，当 $\lambda$ 变化时，方程

$3 x + 4 y - 2 + \lambda (2 x + y + 2) = 0$

表示什么图形？图形有何特点？

17. 已知 $0 < x < 1, 0 < y < 1$.

（1）求证： $\sqrt{x^2 + y^2} +\sqrt{x^2 + (1 - y)^2} +\sqrt{(1 - x)^2 + y^2} +\sqrt{(1 - x)^2 + (1 - y)^2}\geqslant 2\sqrt{2}$ ，并求使等式成立的条件.

(2) 说明上述不等式的几何意义.

? 阅读与思考

笛卡儿与解析几何

解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要。法国数学家笛卡儿（Descartes，1596—1650）是解析几何的创始人之一。他对当时的几何方法和代数方法进行比较，分析了它们各自的优缺点。他认为，没有任何东西比几何图形更容易印入人脑，用图形表达事物非常有益。但他对欧几里得几何中许多定理的证明需要某种奇巧的想法深感不安，他还批评古希腊人的几何过

多地依赖图形。他看到了代数的力量，认为代数在提供广泛的方法论方面高于欧几里得的几何学。他认为，代数具有一般性，例如用字母代替数时，可以代表各种数：正数、负数和0；代数中的公式可以使解题过程机械化；代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。

笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来。他说：“我决心放弃那个仅仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何。”

笛卡儿曾计划写一本书《思想的指导法则》，在书中他大胆地提出了一个解决一切问题的方案：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程。可能不久他自己就发现这个设想过于大胆，根本无法实现，这本书没有写完就搁下了（在他去世后人们将它出版）。他的这个方案虽然失败了，但确有很多问题可以用列方程的方法来解。

1637年笛卡儿发表了《更好地指导推理和寻找科学真理的方法论》，这是一本哲学的经典著作，包含了三个附录，《几何学》就是其中之一。《几何学》是笛卡儿所写的唯一一本数学书。笛卡儿在《几何学》中引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想。于是后人就把这本《几何学》的发表作为解析几何创立的标志。

笛卡儿最初所使用的坐标系中，两条坐标轴的夹角不要求一定是直角，而且y轴并没有明显地出现。至于“坐标”“坐标系”“横坐标”“纵坐标”等名词，也都是后来人们逐渐使用的。虽然笛卡儿当初的坐标系还不够完善，但是笛卡儿当初迈出的第一步具有决定意义，所以人们仍然把后来的直角坐标系，叫做笛卡儿直角坐标系。

差不多与笛卡儿同时，另一位法国数学家费马（Fermat，1601—1665）在自己的研究中也独立地形成了用方程表示曲线的思想。因此，费马和笛卡儿同为解析几何的创始人。

解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑。它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期。正如恩格斯在《自然

辩证法》一书中所指出的：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”

解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究。这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系。从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展。