2.3.2 两点间的距离公式

文字转写

练习

1. 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： (1) $l_{1}: 2x + 3y = 12, \quad l_{2}: x - 2y = 4;$ (2) $l_{1}: x = 2, \quad l_{2}: 3x + 2y - 12 = 0.$

2. 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标: (1) $l_{1}: 2x - 3y = 7$ , $l_{2}: 4x + 2y = 1$ ; (2) $l_{1}: 2x - 6y + 4 = 0, \quad l_{2}: y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3};$ (3) $l_{1}:(\sqrt{2}-1)x+y=3,\quad l_{2}:x+(\sqrt{2}+1)y=2.$

3. 直线 $l$ 经过原点，且经过直线 $2x - 2y - 1 = 0$ 与直线 $6x - 4y + 1 = 0$ 的交点，求直线 $l$ 的方程.

2.3.2 两点间的距离公式

我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的。因此，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式。

探究

如图2.3-2，已知平面内两点 $P_{1}(x_{1},y_{1}), P_{2}(x_{2},y_{2})$ 如何求 $P_{1}, P_{2}$ 间的距离 $|P_{1}P_{2}|$？

我们用平面向量的知识来解决. 如图 2.3-3, 由点 $P_{1}(x_{1}, y_{1}), P_{2}(x_{2}, y_{2})$, 得 $\overrightarrow{P_{1}P_{2}} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$. 于是,

$| \overrightarrow {P _ {1} P _ {2}} | = \sqrt {(x _ {2} - x _ {1}) ^ {2} + (y _ {2} - y _ {1}) ^ {2}}.$

由此得到 $P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$ 两点间的距离公式

$| P _ {1} P _ {2} | = \sqrt {(x _ {2} - x _ {1}) ^ {2} + (y _ {2} - y _ {1}) ^ {2}}.$

特别地，原点 $O(0,0)$ 与任一点 $P(x,y)$ 间的距离

\(| O P | = \sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}.

思考

你能利用 $P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$ 构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？

例3 已知点 $A(-1, 2)$, $B(2, \sqrt{7})$, 在 $x$ 轴上求一点 $P$, 使 $|PA| = |PB|$, 并求 $|PA|$ 的值.

解：设所求点为 $P(x,0)$ ，则

$| P A | = \sqrt {(x + 1) ^ {2} + (0 - 2) ^ {2}} = \sqrt {x ^ {2} + 2 x + 5},$

$| P B | = \sqrt {(x - 2) ^ {2} + (0 - \sqrt {7}) ^ {2}} = \sqrt {x ^ {2} - 4 x + 1 1}.$

由 $|PA| = |PB|$，得

$x ^ {2} + 2 x + 5 = x ^ {2} - 4 x + 1 1.$

解得 x=1.

所以，所求点为 $P(1,0)$，且

$| P A | = \sqrt {(1 + 1) ^ {2} + (0 - 2) ^ {2}} = 2 \sqrt {2}.$

例 4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.

分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系.

证明：如图 2.3-4，四边形 ABCD 是平行四边形．以顶点 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

在□ABCD中，点A的坐标是 $(0,0)$ ，设点B的坐标为 $(a,0)$ ，点D的坐标为 $(b,c)$ ，由平行四边形的性质，得点C的坐标为 $(a+b,c)$ .

如何由平行四边形的性质，得到点 C 的坐标为 $(a+b, c)$ ?

由两点间的距离公式，得

$| A C | ^ {2} = (a + b) ^ {2} + c ^ {2}, \quad | B D | ^ {2} = (b - a) ^ {2} + c ^ {2}, \quad | A B | ^ {2} = a ^ {2}, \quad | A D | ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}.$

所以

$| A C | ^ {2} + | B D | ^ {2} = 2 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}),$

所以

$| A B | ^ {2} + | A D | ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}.$

$| A C | ^ {2} + | B D | ^ {2} = 2 (| A B | ^ {2} + | A D | ^ {2}),$

即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.