2.3 直线的交点坐标与距离公式

上一节把直线写成了方程。方程写出来之后，几何问题就可以整个交给代数去做： 两条直线相交不相交、交在哪里，都变成”这个方程组有没有解、解是什么”。 本节的第一小节就把这层翻译建立起来。

在平面几何中，我们对直线作了定性研究。引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式。这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等。

一、交点坐标就是方程组的解

已知两条直线

$\begin{array}{l} l _ {1}: A _ {1} x + B _ {1} y + C _ {1} = 0, \\ l _ {2}: A _ {2} x + B _ {2} y + C _ {2} = 0 \end{array}$

相交，它们的交点坐标与直线 $l_{1}$，$l_{2}$ 的方程有什么关系？你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗？

设这两条直线的交点为 $P$ ，则点 $P$ 既在直线 $l_{1}$ 上，也在直线 $l_{2}$ 上．所以点 $P$ 的坐标既满足直线 $l_{1}$ 的方程 $A_{1}x + B_{1}y + C_{1} = 0$ ，也满足直线 $l_{2}$ 的方程 $A_{2}x + B_{2}y + C_{2} = 0$ ，即点 $P$ 的坐标是方程组

$\left\{ \begin{array}{l} A _ {1} x + B _ {1} y + C _ {1} = 0, \\ A _ {2} x + B _ {2} y + C _ {2} = 0 \end{array} \right.$

的解. 解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.

这段推理只有一句话，但这句话是整章的地基： 点在直线上 $\iff$ 点的坐标满足直线的方程。 把它对两条直线各用一次，就得到

$\text{点 }P\text{ 是两条直线的公共点}\iff P\text{ 的坐标同时满足两个方程}$

$\iff P\text{ 的坐标是这个二元一次方程组的解}$

于是”求交点”被彻底翻译成了”解方程组”， 不再需要作图，也不再需要任何几何直觉。

二、例 1

例 1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：

$\begin{array}{l} l _ {1}: 3 x + 4 y - 2 = 0, \\ l _ {2}: 2 x + y + 2 = 0. \end{array}$

解：解方程组

$\left\{ \begin{array}{l} 3 x + 4 y - 2 = 0, \\ 2 x + y + 2 = 0, \end{array} \right.$

得

$\left\{ \begin{array}{l} x = - 2, \\ y = 2. \end{array} \right.$

所以， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点是 $M(-2,2)$ （图2.3-1）.

代入验算一遍是好习惯：$3\times(-2)+4\times 2-2=-6+8-2=0$， $2\times(-2)+2+2=-4+4=0$，两个方程都满足，所以 $M(-2,2)$ 确实是交点。 方程组只要解错一步，交点就整个错掉，而验算只要两次代入。

三、例 2：三种位置关系对应三种解的情况

例 2 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标:

(1) $l_{1}: x - y = 0, \quad l_{2}: 3x + 3y - 10 = 0;$

(2) $l_{1}: 3x - y + 4 = 0, \quad l_{2}: 6x - 2y - 1 = 0;$

(3) $l_{1}: 3x + 4y - 5 = 0, \quad l_{2}: 6x + 8y - 10 = 0.$

分析：解直线 $l_{1}$，$l_{2}$ 的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则 $l_{1} // l_{2}$；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 重合。

这段”分析”把对应关系说全了，值得做成一张表：

这张表是双向的：既可以由解的情况判断位置关系， 也可以由已知的位置关系反推方程组该有几个解。

三小题的算法

解：（1）解方程组

$\left\{ \begin{array}{l} x - y = 0, \\ 3 x + 3 y - 1 0 = 0, \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac {5}{3}, \\ y = \frac {5}{3}. \end{array} \right.$

所以， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交，交点是 $M\left(\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right)$

(2) 解方程组

$$\left\{ \begin{array}{l} 3 x - y + 4 = 0, \\ 6 x - 2 y - 1 = 0, \end{array} \right.\tag{\text{\textcircled{1}}}$$

①×2-②得9=0，矛盾，这个方程组无解，所以 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 无公共点， $l_{1}//l_{2}$ .

(3) 解方程组

$$\left\{ \begin{array}{l} 3 x + 4 y - 5 = 0, \\ 6 x + 8 y - 1 0 = 0, \end{array} \right.\tag{\text{\textcircled{1}}}$$

①×2得 $6x+8y-10=0$ .

①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 重合.

转写里的编号被 OCR 弄乱了：第 (2)、(3) 两小题的方程组都被打上了 $\text{\textcircled{1}}$， 而本该标在第二个方程上的 $\text{\textcircled{2}}$ 掉成了单独一行。 按扫描页应读作：方程组里上面那个方程是 $\text{\textcircled{1}}$、下面那个是 $\text{\textcircled{2}}$， 后文的”①×2−②”才对得上。

三小题分别演示了三种结局：

• (1) 唯一解：解得 $x=y=\dfrac53$，两直线相交于 $M\left(\dfrac53,\dfrac53\right)$；
• (2) 无解：①$\times2$ 减 ② 得到 $9=0$，这是一个恒假的等式， 说明方程组无解，两直线没有公共点，即平行；
• (3) 无穷多解：①$\times2$ 恰好就是 ②，两个方程根本是同一个， 所以两直线重合。

第 (2) 小题里出现”$9=0$ 矛盾”时不要慌，它不是算错， 恰恰是”无解”这一结论的标志。

同理，第 (3) 小题消元后得到"$0=0$"也不是白算，它标志着两个方程等价。

四、思考：用斜率判断和解方程组，各有什么长短

思考

你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？

先把三小题用斜率各判一遍（都先化成斜截式）：

结论与解方程组完全一致。两种方法的体会可以归成三条：

• 斜率法快，但有盲区。它要求两条直线都有斜率； 一旦出现与 $x$ 轴垂直的直线（方程形如 $x=c$），斜率不存在， 必须把这种情况单独拿出来讨论。解方程组没有这个例外。
• 斜率法只回答”什么关系”，不回答”交在哪里”。 判断出相交之后，还是得回头解方程组求交点。
• 解方程组是通法，斜率法是快法。 只问位置关系、且两条直线都不竖直时，用斜率一眼就能看出来； 要交点坐标、或者不能保证斜率存在时，老老实实解方程组。

还有一条更省事的系数判据，对 $l_1:A_1x+B_1y+C_1=0$、$l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$：

$A_1B_2-A_2B_1\neq 0\ \Longrightarrow\ \text{相交}$

它是方程组系数行列式不为零的说法，好处是不需要讨论斜率存不存在。 当 $A_1B_2-A_2B_1=0$ 时再比 $C$：能整体成比例就重合，否则平行。 用它验一下第 (2) 小题：$3\times(-2)-6\times(-1)=-6+6=0$， 而 $3\times(-1)-6\times 4=-3-24\neq 0$，所以平行，与前面一致。

五、常见错法

• 由”方程组解出矛盾”就说题目错了。得到 $9=0$ 是正常结论， 它说明两直线平行。
• 用斜率判断时忘了斜率可能不存在。$x=1$ 与 $x=2$ 是平行的， 但两条都没有斜率，套”斜率相等”会漏掉。
• 只比斜率就断定平行。斜率相等还可能重合，必须再比截距 （或看两个方程是否成比例）。
• 求出交点不代回验算。二元一次方程组的验算只要两次代入，成本极低。
• 把”方程组的解”和”交点”当成两回事。它们是同一个东西的两种说法， 这正是解析几何的起点。