2.3 直线的交点坐标与距离公式

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2.3 直线的交点坐标与距离公式

在平面几何中，我们对直线作了定性研究。引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式。这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等。

2.3.1 两条直线的交点坐标

思考

已知两条直线

$\begin{array}{l} l _ {1}: A _ {1} x + B _ {1} y + C _ {1} = 0, \\ l _ {2}: A _ {2} x + B _ {2} y + C _ {2} = 0 \end{array}$

相交，它们的交点坐标与直线 $l_{1}$，$l_{2}$ 的方程有什么关系？你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗？

设这两条直线的交点为 $P$ ，则点 $P$ 既在直线 $l_{1}$ 上，也在直线 $l_{2}$ 上．所以点 $P$ 的坐标既满足直线 $l_{1}$ 的方程 $A_{1}x + B_{1}y + C_{1} = 0$ ，也满足直线 $l_{2}$ 的方程 $A_{2}x + B_{2}y + C_{2} = 0$ ，即点 $P$ 的坐标是方程组

$\left\{ \begin{array}{l} A _ {1} x + B _ {1} y + C _ {1} = 0, \\ A _ {2} x + B _ {2} y + C _ {2} = 0 \end{array} \right.$

的解. 解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.

例 1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：

$\begin{array}{l} l _ {1}: 3 x + 4 y - 2 = 0, \\ l _ {2}: 2 x + y + 2 = 0. \end{array}$

解：解方程组

$\left\{ \begin{array}{l} 3 x + 4 y - 2 = 0, \\ 2 x + y + 2 = 0, \end{array} \right.$

得

$\left\{ \begin{array}{l} x = - 2, \\ y = 2. \end{array} \right.$

所以， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点是 $M(-2,2)$ （图2.3-1）.

例 2 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标:

(1) $l_{1}: x - y = 0, \quad l_{2}: 3x + 3y - 10 = 0;$

图2.3-1

(2) $l_{1}: 3x - y + 4 = 0, \quad l_{2}: 6x - 2y - 1 = 0;$

(3) $l_{1}: 3x + 4y - 5 = 0, \quad l_{2}: 6x + 8y - 10 = 0.$

分析：解直线 $l_{1}$，$l_{2}$ 的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则 $l_{1} // l_{2}$；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 重合。

解：（1）解方程组

$\left\{ \begin{array}{l} x - y = 0, \\ 3 x + 3 y - 1 0 = 0, \end{array} \right.$

得

$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac {5}{3}, \\ y = \frac {5}{3}. \end{array} \right.$

所以， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交，交点是 $M\left(\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right)$

(2) 解方程组

\left\{ \begin{array}{l} 3 x - y + 4 = 0, \\ 6 x - 2 y - 1 = 0, \end{array} \right.\tag{①}

②

①×2-②得9=0，矛盾，这个方程组无解，所以 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 无公共点， $l_{1}//l_{2}$ .

(3) 解方程组

\left\{ \begin{array}{l} 3 x + 4 y - 5 = 0, \\ 6 x + 8 y - 1 0 = 0, \end{array} \right.\tag{①}

②

①×2得 $6x+8y-10=0$ .

①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 重合.

思考

你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？