2.2.2 直线的两点式方程

点斜式要”一点 + 斜率”，可题目更常给的是两个点。这一节把两点直接塞进方程，得到两点式

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1},$$

再取两个特殊的点（两个坐标轴上的交点），得到截距式

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1.$$

两个式子都是点斜式的变形，没有新东西。真正要学会的是它们各自在什么时候失效—— 两点式与截距式的”不能用”的情形比点斜式还多，而题目最爱考的正是那些情形。

一、两点式：它就是点斜式换了个写法

已知直线过 $P_1(x_1,\ y_1)$、$P_2(x_2,\ y_2)$。

第一步，当 $x_1 \neq x_2$ 时斜率存在，$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，取 $P_1$ 用点斜式：

$$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1).$$

第二步，再要求 $y_2 \neq y_1$，就可以把 $y_2 - y_1$ 除到左边去：

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}.$$

这就是两点式。注意第二步才是”两点式”与”点斜式”真正的分界： 第一步那个式子只需要 $x_1 \neq x_2$，第二步为了把式子写得左右对称，额外付出了 $y_1 \neq y_2$ 这个条件。

所以两点式要两个前提，缺一个都写不出来：

• $x_1 = x_2$（两点在同一条竖直线上）：直线是 $x = x_1$；
• $y_1 = y_2$（两点在同一条水平线上）：直线是 $y = y_1$。

这两种情形直接写答案，不必也不能套两点式。做题时先比两个坐标，再决定用不用两点式， 这一秒钟能省掉整道题的分。

两点式的好处是对称：左边是”纵坐标的相对位置”，右边是”横坐标的相对位置”， 两个点的地位完全平等，写反 $P_1$、$P_2$ 结果一样（把四处下标同时对换，等式两边同时变号，仍成立）。 课本在 §2.2.3 前还留了一个问题：直线上任取四个不同点， 由前两点确定的方程与由后两点确定的方程是同一个——理由就是它们都是同一条直线的方程， 而”直线的方程”按定义是解集与点集相同的那一个，同一条直线只有一个点集。

二、截距式：两点式的一个特例

设直线与 $x$ 轴交于 $A(a,\ 0)$、与 $y$ 轴交于 $B(0,\ b)$，且 $a \neq 0$、$b \neq 0$。 把这两点代进两点式（前提满足：$a \neq 0$ 保证横坐标不同，$b \neq 0$ 保证纵坐标不同）：

$$\frac{y - 0}{b - 0} = \frac{x - a}{0 - a},$$

整理即得

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1.$$

$a$ 叫做直线在 $x$ 轴上的截距（与 $x$ 轴交点的横坐标），$b$ 是在 $y$ 轴上的截距。 截距是坐标，不是距离，可正可负；这一点在斜截式那里已经强调过一次，这里再强调一次， 因为截距式里它是分母，符号写错整条直线就跑到别的象限去了。

截距式写不出来的三种直线

比两点式还多一种，全都要会单独处理：

1. 竖直线 $x = c$（$c \neq 0$）：与 $y$ 轴不相交，没有纵截距；
2. 水平线 $y = c$（$c \neq 0$）：与 $x$ 轴不相交，没有横截距；
3. 过原点的直线：两个截距都是 $0$，分母为零，截距式没有意义。

第 3 种是最容易漏的，因为它”看起来有截距”。凡是题目里出现两截距相等、两截距互为相反数、两截距之和或之积为定值，都要先把过原点那一支单独讨论一遍。 理由很直白：“截距相等”是包含”都等于 $0$“的。

截距式的好处

它把两个交点直接写在了方程里：看见 $\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{-3} = 1$， 立刻知道直线过 $(4,\ 0)$ 与 $(0,\ -3)$，画图不用算。 反过来，画一条一般式给出的直线时，标准做法也是先令 $y = 0$、再令 $x = 0$ 求出两个交点再连线。

三、中点坐标公式：例 4 里用到的那一件工具

线段 $P_1P_2$ 的中点是

$$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right).$$

横纵各取平均，没有更多内容。它在这一章里出现得极其频繁：中线、垂直平分线、 平行四边形的对角线交点、弦的中点，全都从它起步。

课本例 4 求”边 $BC$ 上的中线 $AM$ 所在直线的方程”，流程是固定的三步：

1. 用中点坐标公式求出 $M$；
2. 检查 $A$ 与 $M$ 的横坐标是否相同（决定用不用两点式）；
3. 代两点式或写成 $x = x_A$，最后化成一般式。

四、五种形式怎么挑

到这里点斜式、斜截式、两点式、截距式都齐了，选择的口径可以固定下来：

不论从哪一种起步，最后都化成一般式作答：一般式没有失效情形，也便于与标准答案比对。

五、易错清单

按考场上真正丢分的顺序排：

1. 用两点式前没比两个坐标。 两点横坐标相同或纵坐标相同时，两点式的分母为零。
2. 用截距式前没排除过原点。 “两截距相等”类题目漏掉过原点的那一条，是这一节最经典的失分。
3. 把截距当成距离，负截距写成正的，或者写成绝对值。
4. 中点坐标公式写成相减。 是 $\dfrac{x_1 + x_2}{2}$，不是 $\dfrac{x_2 - x_1}{2}$。
5. 两点式的分子分母配错。 左边是 $y$ 的事、右边是 $x$ 的事，且两边的”减去的那个点”必须是同一个 $P_1$。
6. 算完不化简、不验点。 化成一般式后把两个已知点代回去验一遍，几秒钟就能挡住绝大多数计算错误。

六、这一节往后连到哪

页面下方那一段”考过本节的真题”是派生的、也是完整的，这里只给一个读的顺序：

• 先看直接写方程的题：给两点、给两截距，代公式化一般式。练的是前提检查与运算。
• 再看三角形里的”三线”题：中线、高、垂直平分线、中位线。 这类题的骨架是”中点坐标公式 + 两点式（或点斜式）“，难点在认清”过哪个点、朝哪个方向”。
• 最后看截距带条件的题：“截距相等""在两轴上截距之和为定值""与两轴围成的三角形面积为定值”。 这类题一定要分”过原点”与”不过原点”两支，而且用截距式设方程时要把 $a \neq 0$、$b \neq 0$ 写出来。

再往后，§2.2.3 的一般式把这几种形式统一起来，并把所有失效情形一次性消掉。

本节目录下这两页上印着一组「练习」的后半（第 62 页，page-0067），共 4 道，逐题全做。 这一组题印在「2.2.2 直线的两点式方程」这个标题之前，练的是上一小节 §2.2.1 的点斜式与斜截式， 而且它被页边界劈成了两半：第 1 题的 (1)(2)(3) 三小问印在上一页（第 61 页）， 那一页属于 §2.2 的目录、已在那一份详解里做过；印在这一页上的是第 1 题的 (4) 以及第 2、3、4 题。 引文比对靶只取本份所在目录的 page-*.md，所以这一份从第 1 题的 (4) 收起。 这两页上没有「习题 2.2」，那一组印在 §2.2.3 的页上。 第 63 页（page-0068）上只有例 3、例 4 与截距式的正文，没有练习。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

四道题反复用到的三条：

• 点斜式：$y - y_0 = k(x - x_0)$，前提是斜率 $k$ 存在（倾斜角不是 $90^\circ$）。
• 倾斜角与斜率：$k = \tan\alpha$，$\alpha \in [0^\circ,\ 180^\circ)$，在这个范围内一一对应。
• 斜截式判平行与垂直：对 $l_1: y = k_1x + b_1$、$l_2: y = k_2x + b_2$， $l_1 \parallel l_2 \Leftrightarrow k_1 = k_2$ 且 $b_1 \neq b_2$；$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow k_1k_2 = -1$。

练习（第 62 页）第 1 题第 (4) 小问

(4) 经过点 $D(-4, -2)$ ，倾斜角是 $\frac{2\pi}{3}$ .

（本题的题干”写出下列直线的点斜式方程”与前三小问印在上一页，属于 §2.2 的目录； 这一页上只印着这一小问，所以在这里做。要求的是点斜式方程。）

倾斜角 $\alpha = \dfrac{2\pi}{3} = 120^\circ$。它不等于 $90^\circ$，所以斜率存在，点斜式可用。

$$k = \tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}.$$

定点是 $D(-4,\ -2)$，代入 $y - y_0 = k(x - x_0)$：

$$y - (-2) = -\sqrt{3}\Big(x - (-4)\Big),$$

即

$$y + 2 = -\sqrt{3}\,(x + 4).$$

自检：把 $D(-4,\ -2)$ 代回，左边 $-2 + 2 = 0$，右边 $-\sqrt{3}(-4 + 4) = 0$，相等，直线过 $D$。 又 $k = -\sqrt{3} < 0$，与”倾斜角 $120^\circ$ 是钝角”相符。

这一小问的两个坑：一是 $\dfrac{2\pi}{3}$ 是弧度制，先换成 $120^\circ$ 再查正切值； 二是两个坐标都是负数，点斜式里 $y - (-2) = y + 2$、$x - (-4) = x + 4$， 两处的负负得正都不能丢。

练习（第 62 页）第 2 题

2. 填空题.

(1) 已知直线的点斜式方程是 y-2=x-1，那么此直线的斜率是 ____，倾斜角是 ____；

(2) 已知直线的点斜式方程是 $y + 2 = \sqrt{3}\left( {x + 1}\right)$ ,那么此直线的斜率是____,倾斜角是____.

点斜式的标准形状是 $y - y_0 = k(x - x_0)$，括号前面的那个系数就是斜率。 两小问都是把方程与标准形状对齐，读出 $k$，再由 $k = \tan\alpha$、$\alpha \in [0^\circ,\ 180^\circ)$ 反求倾斜角。 （这个范围内正切值与倾斜角一一对应，所以倾斜角的答案唯一。）

(1) $y - 2 = x - 1$ 写成标准形状是

$$y - 2 = 1 \times (x - 1),$$

所以斜率是 $1$。（顺带可以读出这条直线过点 $(1,\ 2)$。）

由 $\tan\alpha = 1$ 且 $\alpha \in [0^\circ,\ 180^\circ)$：$1 > 0$ 说明倾斜角是锐角，故 $\alpha = 45^\circ$。 倾斜角是 $45^\circ$（即 $\dfrac{\pi}{4}$）。

(2) $y + 2 = \sqrt{3}(x + 1)$ 写成标准形状是

$$y - (-2) = \sqrt{3}\Big(x - (-1)\Big),$$

所以斜率是 $\sqrt{3}$。（这条直线过点 $(-1,\ -2)$。）

由 $\tan\alpha = \sqrt{3}$ 且 $\alpha \in [0^\circ,\ 180^\circ)$：$\sqrt{3} > 0$ 说明倾斜角是锐角，故 $\alpha = 60^\circ$。 倾斜角是 $60^\circ$（即 $\dfrac{\pi}{3}$）。

自检：把两个答案代回上一题的公式反向验一次——$\tan 45^\circ = 1$、$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$， 与读出的斜率一致。

这道题的关键动作：第 (1) 问的方程右边没有写系数，容易被看成”没有斜率”， 其实省略的系数就是 $1$。把它补写成 $1 \times (x - 1)$ 再读，就不会看错。

练习（第 62 页）第 3 题

3. 写出下列直线的斜截式方程:

（1）斜率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，在y轴上的截距是-2；

(2) 斜率是 -2，在 y 轴上的截距是 4.

斜截式是 $y = kx + b$，其中 $k$ 是斜率、$b$ 是在 $y$ 轴上的截距。 两小问都直接给了这两个量，代入即可；两个斜率都存在，斜截式都写得出来。

(1) $k = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$b = -2$，所以

$$y = \frac{\sqrt{3}}{2}x - 2.$$

注意截距是 $-2$，所以常数项写 $-2$、方程里是”减 $2$“。截距是交点的纵坐标，本来就可以是负数， 不要因为”截距”两个字就取正。

自检：令 $x = 0$ 得 $y = -2$，直线与 $y$ 轴交于 $(0,\ -2)$，截距对；$x$ 的系数是 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，斜率对。

(2) $k = -2$，$b = 4$，所以

$$y = -2x + 4.$$

自检：令 $x = 0$ 得 $y = 4$，截距对；$x$ 的系数是 $-2$，斜率对。 又 $k < 0$，直线从左上向右下走，与”斜率为负、倾斜角是钝角”相符。

练习（第 62 页）第 4 题

4. 判断下列各对直线是否平行或垂直：

(1) $l_{1}: y = \frac{1}{2} x + 3, l_{2}: y = \frac{1}{2} x - 2;$ (2) $l_{1}: y = \frac{5}{3} x, l_{2}: y = -\frac{3}{5} x.$

两小问的四条直线都是斜截式给出的，斜率都存在，可以直接用斜截式的两条判据。

(1) $l_1$ 的斜率 $k_1 = \dfrac{1}{2}$、纵截距 $b_1 = 3$；$l_2$ 的斜率 $k_2 = \dfrac{1}{2}$、纵截距 $b_2 = -2$。

$$k_1 = k_2 = \frac{1}{2}, \qquad b_1 = 3 \neq -2 = b_2,$$

斜率相等而纵截距不等，所以 $l_1 \parallel l_2$（两条直线不重合）。

$b_1 \neq b_2$ 这一步不能省：只有 $k_1 = k_2$ 时两条直线可能平行也可能重合， 纵截距不同才排除了重合。这里 $l_1$ 过 $(0,\ 3)$ 而 $l_2$ 过 $(0,\ -2)$， $(0,\ 3)$ 代入 $l_2$ 得 $-2 \neq 3$，确实不在 $l_2$ 上。

顺带：$k_1k_2 = \dfrac{1}{4} \neq -1$，两条不垂直。

(2) $l_1$ 的斜率 $k_1 = \dfrac{5}{3}$，$l_2$ 的斜率 $k_2 = -\dfrac{3}{5}$。

$$k_1k_2 = \frac{5}{3} \times \left(-\frac{3}{5}\right) = -1,$$

所以 $l_1 \perp l_2$。

顺带：$k_1 = \dfrac{5}{3} \neq -\dfrac{3}{5} = k_2$，两条不平行。 （两条直线的纵截距都是 $0$，都过原点——它们相交于原点，这与”垂直”是相容的： 垂直的两条直线本来就相交于一点。）

这道题的关键动作：判平行要多验一步纵截距，判垂直不用。 原因是 $k_1k_2 = -1$ 蕴含 $k_1 \neq k_2$（否则 $k_1^2 = -1$ 无实数解）， 所以垂直的两条直线自动不重合。