2.2 直线的方程

上一节把”两条直线的位置关系”翻译成了斜率之间的等式，但直线本身还没有方程。 这一节补上第一块：给一个点、给一个斜率，直线的方程长什么样。答案是点斜式

以及它的一个特例——斜截式 $y = kx + b$。

两个式子都一眼能记住，所以这一节值得花力气的地方在别处：为什么这个方程恰好是那条直线，一个点不多、一个点不少； 以及它用不了的时候该怎么办——竖直线是没有点斜式的。

一、点斜式：先看它是怎么被”凑”出来的

设直线 $l$ 过点 $P_0(x_0,\ y_0)$、斜率为 $k$。取 $l$ 上任意一个不同于 $P_0$ 的点 $P(x,\ y)$， 由斜率公式

两边乘 $x - x_0$，得

这一步乘法不是”整理式子”，它实实在在地改变了解集，而且改得正好： 斜率公式那个分式要求 $x \neq x_0$，把 $P_0$ 自己排除在外；乘过去之后， $x = x_0$、$y = y_0$ 代进去得 $0 = 0$，$P_0$ 被收了回来。 所以点斜式方程比斜率公式”多一个点”，而多出来的那个点正是 $P_0$。

二、课本为什么要证两个方向

课本没有直接说”于是这就是直线的方程”，而是分两条写：

1. 直线 $l$ 上每一个点的坐标都满足 $y - y_0 = k(x - x_0)$；
2. 坐标满足 $y - y_0 = k(x - x_0)$ 的每一个点都在直线 $l$ 上。

两条缺一不可，这是”曲线与方程”这件事的定义本身：说”某方程是某图形的方程”， 意思就是解集与点集完全相同。只证第 1 条，方程可能”太松”（解集比直线大， 比如 $(y - y_0)(x - x_0) = k(x-x_0)^2$ 也被直线上的点全满足，但它还多出一整条竖直线）； 只证第 2 条，方程可能”太紧”（解集比直线小，比如把方程再配上 $x > x_0$）。

第 2 条的证法值得看一遍，因为它示范了怎么用上一节的结论： 设 $P_1(x_1,\ y_1)$ 的坐标满足方程，即 $y_1 - y_0 = k(x_1 - x_0)$。

• 若 $x_1 = x_0$，代入得 $y_1 = y_0$，于是 $P_1$ 就是 $P_0$，当然在 $l$ 上；
• 若 $x_1 \neq x_0$，可以两边除以 $x_1 - x_0$，得 $k = \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$， 这说明直线 $P_1P_0$ 的斜率也是 $k$。于是直线 $l$ 与直线 $P_1P_0$ 斜率相同且都过 $P_0$—— 按上一节，斜率相同只能平行或重合，而它们有公共点 $P_0$，所以重合。故 $P_1$ 在 $l$ 上。

注意这里又一次用到了”斜率相等 + 有公共点 $\Rightarrow$ 重合”， 和上一节证三点共线用的是同一条。

三、两种倾斜角的特殊情形

课本用”思考”提了两问，答案要分清”能不能写成点斜式”与”有没有方程”两件事。

倾斜角 $0^\circ$：$k = \tan 0^\circ = 0$，点斜式给出 $y - y_0 = 0$，即 $y = y_0$。 点斜式在这里完全可用，只是长得特别简单。这是一条水平直线。

倾斜角 $90^\circ$：$\tan 90^\circ$ 无意义，直线没有斜率，点斜式写不出来。 但直线当然有方程：这条直线上每个点的横坐标都是 $x_0$，方程是

“没有点斜式”不等于”没有方程”，这是本节最容易被记混的一句。 凡是题目里出现”过定点作直线”而斜率未给定，都要在开头写一句”当直线斜率不存在时， 方程为 $x = x_0$，此时……”，把这一支单独验一遍。漏掉竖直线是这一章最高频的失分点。

比「补一句」更高一层：换一个能标全的量

上面那句叮嘱是打补丁：承认 $k$ 标不全「过 $P$ 的直线」这一族，然后把漏掉的那一条单独捡回来。 补丁必须打，但还有第二条路——换一个能把这一族标全的量，例外档自然就不存在了。

常用的三个替身：

1. 倾斜角 $\theta$（或方向向量）。写成

   $$(x,\ y) = (x_0,\ y_0) + t(\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \theta \in [0,\ \pi).$$

   $\theta$ 取遍 $[0,\ \pi)$ 就取遍了所有方向，$\theta = \frac{\pi}{2}$ 只是其中一个普通的取值，不是例外。

2. 把 $x$ 解出来：$x = my + c$。 它覆盖除水平线之外的全部直线——漏掉的那一档换了个人当。 所以它不是万能的，而是看题：若题目本身保证了这条直线不可能水平（比如它要与某曲线交于上下两点）， 那这一换就是白赚，一句讨论都不用写。

3. 换一个几何量当主元。 若要求的那个量恰好只由「某个定点到这条直线的距离 $d$」决定，就直接以 $d$ 为变量。 这一换最彻底：$d$ 的取值范围往往是一个干净的闭区间，端点各自对应一个具体的极端位置， 连”这一档存不存在”都不必单独讨论。

换成功的判据只有一句：换完之后问「这个参数取遍它的范围时，原来那一族直线是不是被取遍了？」 答”是”才算换成功；答”不是”，那句补充讨论照样要写。

值得换的理由不只是省一行字。$k$ 漏掉的那一档常常正是退化档——三角形压成一条线、弦长为零、两点重合。 用一个标得全的参数时，退化档会自动表现为”目标函数在区间端点取 $0$”： 不用你去说它不成立，函数自己说了。

顺带一提，§2.2.3 的一般式 $Ax + By + C = 0$ 是同一个念头的另一个版本：它把竖直线一起装进去了。

四、斜截式：截距不是距离

把点斜式里的定点取成直线与 $y$ 轴的交点 $P_0(0,\ b)$，得

$b$ 叫做直线在 $y$ 轴上的截距。课本在旁边问了一句”截距是距离吗”，答案是不是：

• 截距是交点的纵坐标，是一个实数，可正、可负、可以是 $0$；
• 距离是长度，永远非负。

直线 $y = 2x - 1$ 在 $y$ 轴上的截距是 $-1$，不是 $1$。 把截距当成距离、答案自动取正，是这一节的第二个高频错。 （同理，后面遇到”在 $x$ 轴上的截距”，指的是与 $x$ 轴交点的横坐标。）

斜截式与一次函数

课本的第二个”思考”问的是它们的关系。可以这样对齐：

• 当 $k \neq 0$ 时，$y = kx + b$ 就是一次函数的表达式，图象是一条不与坐标轴平行的直线；
• 当 $k = 0$ 时，$y = b$ 是常函数，它不是一次函数，但仍然是一条直线（水平线）；
• 竖直线 $x = x_0$ 根本不是函数的图象（一个 $x$ 对应无穷多个 $y$），所以它写不成 $y = kx + b$。

所以”直线”这个集合比”一次函数的图象”这个集合严格更大。 课本举的三个例子按这个口径读：$y = 2x - 1$ 是斜率 $2$、截距 $-1$；$y = 3x$ 是斜率 $3$、截距 $0$， 过原点；$y = -x + 3$ 是斜率 $-1$、截距 $3$，倾斜角是钝角。

用斜截式重述平行与垂直

课本例 2 把上一节的两条判定换成斜截式的语言：对 $l_1: y = k_1x + b_1$、$l_2: y = k_2x + b_2$，

平行那一条里的 $b_1 \neq b_2$ 就是上一节”要排除重合”那一步，在斜截式下它变成了一个一眼可查的条件—— 这正是斜截式的好处：$k$ 管方向、$b$ 管位置，两件事被拆开了。 （垂直那一条不需要附加条件，因为 $k_1k_2 = -1$ 本身就蕴含 $k_1 \neq k_2$。）

五、点斜式怎么用：三种常见的问法

1. 给点给斜率（或给倾斜角）：直接代。给倾斜角时先算 $k = \tan\alpha$，$\alpha = 90^\circ$ 要改写成 $x = x_0$。
2. 给点、给”与某直线平行/垂直”：先由上一节的判定算出 $k$（平行取相同斜率，垂直取负倒数），再代点斜式。 垂直时若已知直线的斜率是 $0$，则所求直线竖直，要写成 $x = x_0$。
3. 给点、斜率待定：设 $l: y - y_0 = k(x - x_0)$ 去解，但必须在开头补一句竖直线的讨论， 因为这个设法已经默认了斜率存在。这一句常常正好是一个答案。

画图只要两个点。 课本例 1 的做法值得照搬：写出方程后，随便取一个 $x_1$ 算出 $y_1$， 连 $P_0$ 与 $P_1$ 即可。取值时挑能让运算变整的那个数。

六、易错清单

按考场上真正丢分的顺序排：

1. 斜率不存在的直线漏掉了。 设 $y - y_0 = k(x-x_0)$ 时就已经假定 $k$ 存在， 题目若没排除竖直线，必须单独讨论 $x = x_0$。
2. 把截距当成距离，答案自动取正、或者把 $|b|$ 写成 $b$。
3. 倾斜角 $90^\circ$ 时去算 $\tan 90^\circ$。 它无意义，不是”很大”，也不是 $0$。
4. 平行判定漏了 $b_1 \neq b_2$。 只写 $k_1 = k_2$ 会把重合放进来。
5. 点斜式的括号里写反符号。 过 $(-2,\ 3)$ 的直线是 $y - 3 = k\big(x - (-2)\big) = k(x+2)$， 括号里是”$x$ 减去横坐标”，横坐标是负数时要连着负号一起减。
6. 把”一次函数”与”直线”当成一回事，于是漏掉 $k = 0$ 与竖直线两种。

七、这一节往后连到哪

页面下方那一段”考过本节的真题”是派生的、也是完整的，这里只给一个读的顺序：

• 先看直接写方程的题：给点给斜率、给点给平行/垂直条件。这类题练的是代入不出错与竖直线的讨论。
• 再看”设直线”的题：题目求的是直线满足某条件时的参数或轨迹，标准开头是 “设 $l: y = kx + m$“，随后整段推导都建立在”斜率存在”上——所以开头那句竖直线的讨论是必须写的， 它不是形式，它常常是答案的一部分。
• 最后看圆锥曲线里的联立题：$y = kx + m$ 代入圆锥曲线方程，得到关于 $x$ 的二次方程， 再用韦达定理。这类题的骨架就是本节的斜截式，$k$ 与 $m$ 是全场的主角。 读这类题时留意一件事：凡是”设 $k$“的解法，开头那句竖直线的讨论都是它欠的账； 而换主元的解法（上面 §三 末尾那一段）连账都不欠。同一道题里两种写法并排放着时， 这个差别比”哪种算得快”更值得记。

再往后，§2.2.2 用两点式、§2.2.3 用一般式给出直线方程的另外两种写法。 一般式 $Ax + By + C = 0$ 的最大好处正是它把竖直线一起装进去了， 本节反复叮嘱的那句讨论，到那时可以省掉。

本节目录下这三页上只印着一组「练习」的开头（第 61 页，page-0066），且这一组题被页边界劈开了： 第 1 题的 (1)(2)(3) 三小问印在这一页上，(4) 以及第 2、3、4 题印在下一页（第 62 页，page-0067）， 而下一页属于 §2.2.2 直线的两点式方程的目录。引文比对靶只取本份所在目录的 page-*.md， 所以这一份只收印在这里的那三小问，其余的归 §2.2.2 那一份收。这几页上没有「习题 2.2」， 那一组印在 §2.2.3 直线的一般式方程的页上。 下面先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

三小问都在做同一件事：把”一个定点 + 一个斜率”直接塞进点斜式

所以每一问的流程固定为三步。第一步认出定点 $(x_0,\ y_0)$； 第二步求出斜率 $k$，给倾斜角就先算 $\tan\alpha$，并确认 $\alpha \neq 90^\circ$，否则没有点斜式； 第三步代入，括号里写的是 $x$ 减横坐标。

练习（第 61 页）第 1 题

1. 写出下列直线的点斜式方程:

(1) 经过点 $A(3, -1)$ ，斜率是 $\sqrt{2}$ ;

(2) 经过点 $B(-\sqrt{2}, 2)$ ，倾斜角是 $30^{\circ}$ ;

(3) 经过点 $C(0, 3)$ ，倾斜角是 $0^{\circ}$ ;

(1) 定点是 $A(3,\ -1)$，斜率直接给出 $k = \sqrt{2}$，斜率存在，点斜式可用。代入 $y - y_0 = k(x - x_0)$：

即

自检：把 $A(3,\ -1)$ 代回，左边 $-1 + 1 = 0$，右边 $\sqrt{2} \times (3 - 3) = 0$， 两边相等，直线确实过 $A$。再看斜率：把方程整理成 $y = \sqrt{2}x - 3\sqrt{2} - 1$， $x$ 的系数是 $\sqrt{2}$，与题给的斜率一致。

注意纵坐标是负数时的写法：$y - y_0 = y - (-1) = y + 1$， 减一个负数变成加，这一处写成 $y - 1$ 就错了。

(2) 定点是 $B(-\sqrt{2},\ 2)$。倾斜角 $\alpha = 30^\circ \neq 90^\circ$，所以斜率存在，

代入点斜式：

即

自检：把 $B(-\sqrt{2},\ 2)$ 代回，左边 $2 - 2 = 0$，右边 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\big(-\sqrt{2} + \sqrt{2}\big) = 0$，相等。 又 $k = \dfrac{\sqrt{3}}{3} > 0$，与”倾斜角 $30^\circ$ 是锐角”相符。

这一问的两个坑：一是 $\tan 30^\circ$ 要写成 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$（有些人记成 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$， 值一样但没有分母有理化，不是最简形式）；二是横坐标 $-\sqrt{2}$ 是负数， 括号里 $x - (-\sqrt{2})$ 要化成 $x + \sqrt{2}$，别把根号前的负号丢掉。

(3) 定点是 $C(0,\ 3)$。倾斜角 $\alpha = 0^\circ \neq 90^\circ$，斜率存在，

代入点斜式：

即

自检：$y = 3$ 是一条平行于 $x$ 轴的水平直线，它过 $C(0,\ 3)$，倾斜角确实是 $0^\circ$， 斜率 $\tan 0^\circ = 0$，与代入的值一致。

这一问要说清一件事：倾斜角 $0^\circ$ 时点斜式完全可用，只是右边整项为零、方程退化成 $y = y_0$。 这与倾斜角 $90^\circ$ 的情形有本质区别——后者 $\tan 90^\circ$ 无意义、直线没有斜率、 点斜式根本写不出来，那时方程只能写成 $x = x_0$。 本题三小问的倾斜角分别是”给定斜率""$30^\circ$""$0^\circ$"，没有一个是 $90^\circ$，所以三问都写得出点斜式。

这道题的关键动作：点斜式里的两个空——定点与斜率——分别从”经过点……”和”斜率是……／倾斜角是……” 两句话里各取一个，代进去就完事；真正要停下来想一秒的只有两处， 负坐标的减号和倾斜角是不是 $90^\circ$。