2.2 直线的方程

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2.2 直线的方程

我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线。这样，在平面直角坐标系中，给定一个点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ 和斜率 $k$ （或倾斜角），就能唯一确定一条直线。也就是说，这条直线上任意一点的坐标 $(x,y)$ 与点 $P_{0}$ 的坐标 $(x_0,y_0)$ 和斜率 $k$ 之间的关系是完全确定的。那么，这一关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题。

2.2.1 直线的点斜式方程

如图2.2-1，直线 $l$ 经过点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ ，且斜率为 $k$ 设$P(x,y)$ 是直线 $l$ 上不同于点 $P_{0}$ 的任意一点，因为直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，由斜率公式得

$k = \frac {y - y _ {0}}{x - x _ {0}},$

即

$y - y _ {0} = k (x - x _ {0}).$

由上述推导过程可知：

（1）直线 $l$ 上每一个点的坐标（$x, y$）都满足关系式 $y - y_0 = k(x - x_0)$；反过来，我们还可以验证

（2）坐标满足关系式 $y - y_{0} = k(x - x_{0})$ 的每一个点都在直线 l 上.

事实上，若点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$ 的坐标 $x_{1}, y_{1}$ 满足关系式 $y - y_{0} = k(x - x_{0})$ ，则

$y _ {1} - y _ {0} = k (x _ {1} - x _ {0}).$

当 $x_{1} = x_{0}$ 时， $y_{1} = y_{0}$ ，这时点 $P_{1}$ 与 $P_{0}$ 重合，显然有点 $P_{1}$ 在直线 $l$ 上；

点 $P_{0}$ 的坐标 $(x_{0}, y_{0})$ 满足关系式 $y - y_{0} = k(x - x_{0})$ 吗?

当 $x_{1} \neq x_{0}$ 时，有 $k = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$，这表明过点 $P_{1}$，$P_{0}$ 的直线 $l_{1}$ 的斜率为 $k$。因为直线 $l$，$l_{1}$ 的斜率都为 $k$，且都过

。

建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标 x，纵坐标 y 所满足的关系式.

点 $P_{0}$ ，所以它们重合．所以，点 $P_{1}$ 在直线 $l$ 上.

由（1）（2）可得：坐标满足关系式 $y - y_0 = k(x - x_0)$ 的点一定在直线 $l$ 上；直线 $l$ 上任意一点的坐标一定满足关系式 $y - y_0 = k(x - x_0)$。我们把方程

$y - y _ {0} = k (x - x _ {0})$

称为过点 $P_0(x_0, y_0)$，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 的方程.

方程 $y - y_{0} = k(x - x_{0})$ 由直线上一个定点 $(x_{0}, y_{0})$ 及该直线的斜率 k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）.

思考

(1) 当直线 l 的倾斜角为 $0^{\circ}$ 时，直线 l 的方程是什么？为什么？

(2) 当直线 l 的倾斜角为 $90^{\circ}$ 时，直线 l 的方程如何表示？为什么？

当直线 $l$ 的倾斜角为 $0^{\circ}$ 时（图2.2-2），$\tan 0^{\circ} = 0$，即 $k = 0$，这时直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合，直线 $l$ 的方程是

$y-y_{0}=0$ ，即 $y=y_{0}$ .

当直线 $l$ 的倾斜角为 $90^{\circ}$ 时（图2.2-3），由于 $\tan 90^{\circ}$ 无意义，直线没有斜率，这时直线 $l$ 与 $y$ 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。又因为这时直线 $l$ 上每一点的横坐标都等于 $x_0$ ，所以它的方程是

$x - x _ {0} = 0, \text {即} x = x _ {0}.$

例 1 直线 l 经过点 $P_{0}(-2, 3)$ ，且倾斜角 $\alpha = 45^{\circ}$ ，求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l.

解：直线 $l$ 经过点 $P_{0}(-2,3)$，斜率 $k = \tan 45^{\circ} = 1$，代入点斜式方程得

$y - 3 = x + 2.$

画图时，只需再找出直线 $l$ 上的另一点 $P_{1}(x_{1},y_{1})$ ，例如，取 $x_{1} = -1$ ，则 $y_{1} = 4$ ，得点 $P_{1}$ 的坐标为 $(-1,4)$ ，过 $P_{0},P_{1}$ 两点的直线即为所求，如图2.2-4所示.

图2.2-4

下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过点 $P_{0}(0, b)$，这时 $P_{0}$ 是直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点，代入直线的点斜式方程，得

$y - b = k (x - 0),$

即

$y = k x + b.$

我们把直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点 $(0, b)$ 的纵坐标 $b$ 叫做直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距 (intercept). 这样, 方程 $y = kx + b$ 由直线的斜率 $k$ 与它在 $y$ 轴上的截距 $b$ 确定, 我们把方程 $y = kx + b$ 叫做直线的斜截式方程, 简称斜截式 (slope intercept form). 其中, $k$ 和 $b$ 均有明显的几何意义: $k$ 是直线的斜率, $b$ 是直线在 $y$ 轴上的截距.

截距是距离吗？

思考

方程 $y = kx + b$ 与我们学过的一次函数表达式类似。我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数 $y = kx + b$？你能说出一次函数 $y = 2x - 1$，$y = 3x$ 及 $y = -x + 3$ 图象的特点吗？

例2 已知直线 $l_{1}: y = k_{1}x + b_{1}, l_{2}: y = k_{2}x + b_{2}$，试讨论：（1）$l_{1} // l_{2}$ 的条件是什么？（2）$l_{1} \perp l_{2}$ 的条件是什么？

分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现 $l_{1} / / l_{2}$ 或 $l_{1} \perp l_{2}$ 时，$k_{1}, k_{2}$ 与 $b_{1}, b_{2}$ 应满足的关系.

解：（1）若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $k_{1} = k_{2}$ ，此时 $l_{1}, l_{2}$ 与 $y$ 轴的交点不同，即 $b_{1} \neq b_{2}$ ；反之，若 $k_{1} = k_{2}$ ，且 $b_{1} \neq b_{2}$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$

(2) 若 $l_{1} \perp l_{2}$ ，则 $k_{1}k_{2} = -1$ ；反之，若 $k_{1}k_{2} = -1$ ，则 $l_{1} \perp l_{2}$ .

由例 2 我们得到，对于直线 $l_{1}: y = k_{1}x + b_{1}, l_{2}: y = k_{2}x + b_{2}$ ,

$\begin{array}{l} {l _ {1} / / l _ {2} \Leftrightarrow k _ {1} = k _ {2}, \text {且} b _ {1} \neq b _ {2};} \\ {l _ {1} \bot l _ {2} \Leftrightarrow k _ {1} k _ {2} = - 1.} \end{array}$

练习

1. 写出下列直线的点斜式方程:

(1) 经过点 $A(3, -1)$ ，斜率是 $\sqrt{2}$ ;

(2) 经过点 $B(-\sqrt{2}, 2)$ ，倾斜角是 $30^{\circ}$ ;

(3) 经过点 $C(0, 3)$ ，倾斜角是 $0^{\circ}$ ;