2.1 直线的倾斜角与斜率

这一节是解析几何的第一步：把”直线朝哪边”这件几何的事，换成一个数。 换成数之后，后面所有关于直线的问题——平行、垂直、求交点、算距离—— 才有可能全部交给代数去做。

我们知道，点是构成直线的基本元素。在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来。

一、先找出确定一条直线的几何要素

确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线 $l$ （图2.1-1），如何利用坐标系确定它的位置？

我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线。设 $A$ ， $B$ 为直线上的两点，则 $\overrightarrow{AB}$ 就是这条直线的方向向量。所以，两点确定一条直线可以归结为一

P 可以作无数条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ ，…，它们组成一个直线束（图 2.1-2），这些直线的区别是什么？

这两行之间转写掉了一小段：课本原文是”两点确定一条直线可以归结为一 点和一个方向确定一条直线”，随后才接”如图 2.1-2，过定点 $P$ 可以作无数条直线”。 读的时候把这句话补回去，逻辑才连得上。

在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向。因此，这些直线的区别是它们的方向不同。如何表示这些直线的方向？

我们看到，这些直线相对于 $x$ 轴的倾斜程度不同，也就是它们与 $x$ 轴所成的角不同。因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向。

这段推理的走向要看清楚：两点 $\to$ 一点加一个方向 $\to$ 方向怎么表示。 过定点 $P$ 的那一束直线，位置全都被 $P$ 钉死了，彼此的区别只剩方向。 所以刻画一条直线，本质上就是刻画它的方向。

注意课本先给方向定了向：水平直线的方向朝右，其余直线向上的方向为其方向。 这个约定看着像小节，其实是后面倾斜角范围只到 $180^\circ$ 的根本原因—— 一条直线有两个相反的方向，只取”向上”那个，才不会一条直线配出两个角。

二、倾斜角

当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，我们以 $x$ 轴为基准，$x$ 轴正向与直线 $l$ 向上的方向之间所成的角 $\alpha$ 叫做直线 $l$ 的倾斜角（angle of inclination）。图2.1-2中直线 $l_{1}$ 的倾斜角 $\alpha_{1}$ 为锐角，直线 $l'$ 的倾斜角 $\alpha'$ 为钝角。当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 $0^{\circ}$。因此，直线的倾斜角 $\alpha$ 的取值范围为

$0 ^ {\circ} \leqslant \alpha < 1 8 0 ^ {\circ}.$

这个定义有三个点要单独记：

• 以 $x$ 轴正向为基准，量的是 $x$ 轴正向转到直线”向上方向”的角；
• 与 $x$ 轴平行或重合时规定为 $0^\circ$，这是补定义，不是算出来的 （这时直线没有”向上”的方向，定义本身用不上，所以要另行规定）；
• 范围是 $0^\circ\leqslant\alpha<180^\circ$，左闭右开。 $180^\circ$ 取不到，因为转满 $180^\circ$ 就回到了水平方向，那属于 $0^\circ$ 那一档。

这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等。因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向。

这句话说的是倾斜角与方向的一一对应：方向相同 $\iff$ 倾斜角相等。 有了它，“用倾斜角代表直线的方向”才是合法的，不会出现 一个方向对两个角、或两个方向共一个角的混乱。

三、从倾斜角到斜率：向量法的推导

设 $P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$ （其中 $x_{1}\neq x_{2}$ ）是直线 $l$ 上的两点．由两点确定一条直线可知，直线 $l$ 由点 $P_{1},P_{2}$ 唯一确定．所以，可以推断，直线 $l$ 的倾斜角一定与 $P_{1}$ $P_{2}$ 两点的坐标有内在联系.

在平面直角坐标系中，设直线 l 的倾斜角为 $\alpha$ .

(1) 已知直线 l 经过 $O(0, 0)$ ， $P(\sqrt{3}, 1)$ ， $\alpha$ 与 O，P 的坐标有什么关系？

（2）类似地，如果直线 $l$ 经过 $P_{1}(-1,1), P_{2}(\sqrt{2},0), \alpha$ 与 $P_{1}, P_{2}$ 的坐标又有什么关系？

（3）一般地，如果直线 $l$ 经过两点 $P_{1}(x_{1},y_{1}), P_{2}(x_{2},y_{2}), x_{1} \neq x_{2}$，那么 $\alpha$ 与 $P_{1}, P_{2}$ 的坐标有怎样的关系？

下面我们利用向量法探究上述问题.

两个具体例子

对于问题（1），如图2.1-3（1），向量 $\overrightarrow{OP} = (\sqrt{3}, 1)$，且直线 $OP$ 的倾斜角为 $\alpha$。由正切函数的定义，有

$\tan \alpha = \frac {1}{\sqrt {3}} = \frac {\sqrt {3}}{3}.$

对于问题（2），如图2.1-3（2）， $\overrightarrow{P_{2}P_{1}}=(-1-\sqrt{2},1-0)=(-1-\sqrt{2},1)$ 。平移向量 $\overrightarrow{P_{2}P_{1}}$ 到 $\overrightarrow{OP}$ ，则点P的坐标为 $(-1-\sqrt{2},1)$ ，且直线OP的倾斜角也是 $\alpha$ 。由正切函数的定义，有

$\tan \alpha = \frac {1}{- 1 - \sqrt {2}} = 1 - \sqrt {2}.$

第二个例子里”平移向量”这一步是关键。$\overrightarrow{P_2P_1}$ 的起点不在原点， 没法直接用正切函数的定义；把它平移到以原点为起点的 $\overrightarrow{OP}$， 平移不改变向量的方向，所以直线 $OP$ 的倾斜角仍然是 $\alpha$， 这时终点坐标 $(-1-\sqrt2,\,1)$ 就直接是三角函数定义里的 $(x,y)$， 于是 $\tan\alpha=\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{-1-\sqrt2}=1-\sqrt2$。

注意这里选的是 $\overrightarrow{P_2P_1}$ 而不是 $\overrightarrow{P_1P_2}$： $P_1(-1,1)$ 在 $P_2(\sqrt2,0)$ 的上方，所以从 $P_2$ 指向 $P_1$ 才是”向上”的那个方向， 符合前面的约定。

一般情形

一般地，如图2.1-4，当向量 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 的方向向上时， $\overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。平移向量 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 到 $\overrightarrow{OP}$，则点 $P$ 的坐标为 $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，且直线 $OP$ 的倾斜角也是 $\alpha$，由正

切函数的定义，有

$\tan \alpha = \frac {y _ {2} - y _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}}.$

同样，当向量 $\overrightarrow{P_2P_1}$ 的方向向上时，如图2.1-5， $\overrightarrow{P_2P_1} = (x_1 - x_2,y_1 - y_2)$ ，也有

$\tan \alpha = \frac {y _ {1} - y _ {2}}{x _ {1} - x _ {2}} = \frac {y _ {2} - y _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}}.$

这两段合起来是在说：结果与你从哪个点出发无关。 不论”向上”的是 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 还是 $\overrightarrow{P_2P_1}$， 算出来的 $\tan\alpha$ 都是同一个 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$—— 因为分子分母同时变号，比值不变。课本把两种情形都算一遍，正是为了堵住”要不要分类”这个疑问。

思考：与 $x$ 轴平行或重合时式子还成立吗

当直线 $P_{1}P_{2}$ 与 $x$ 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

成立。 这时 $\alpha=0^\circ$（由前面的规定），左边 $\tan 0^\circ=0$； 右边因为两点纵坐标相同，$y_2-y_1=0$，而 $x_1\neq x_2$ 保证分母不为零， 所以右边也是 $0$，两边相等。

要留意这不是”顺理成章”而是”恰好对上”：$\alpha=0^\circ$ 是人为规定的， 式子在这里成立是一次验证，不是推论。规定得好，就体现在这种地方。

四、斜率

综上可知，直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$ 与直线 $l$ 上的两点 $P_{1}(x_{1},y_{1}), P_{2}(x_{2},y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 的坐标有如下关系：

$$\tan \alpha = \frac {y _ {2} - y _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}}.\tag{\text{\textcircled{1}}}$$

我们把一条直线的倾斜角 $\alpha$ 的正切值叫做这条直线的斜率（slope）. 斜率常用小写字母 $k$ 表示，即

$$k = \tan \alpha .\tag{\text{\textcircled{2}}}$$

日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度= $\frac{\text{铅直高度}}{\text{水平宽度}}$ . 当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.

坡度这个类比只在锐角时成立，课本原话就限定了”当直线的倾斜角为锐角时”。 钝角时斜率为负，而坡度是不谈负数的。

倾斜角是 $90^{\circ}$ 的直线没有斜率，倾斜角不是 $90^{\circ}$ 的直线都有斜率。例如，倾斜角 $\alpha = 30^{\circ}$ 时，这条直线的斜率

$k = \tan 3 0 ^ {\circ} = \frac {\sqrt {3}}{3};$

倾斜角 $\alpha = 120^{\circ}$ 时，这条直线的斜率

$k = \tan 1 2 0 ^ {\circ} = - \tan 6 0 ^ {\circ} = - \sqrt {3}.$

$90^\circ$ 没有斜率，这是本节最容易出事的一句话。 $\tan 90^\circ$ 无定义，所以竖直直线没有斜率—— 不是”斜率为 $0$“，也不是”斜率无穷大”。 以后凡是设直线为 $y=kx+b$，都等于默认排除了竖直线， 必须回头单独检查这一支。

由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同。因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于 $90^{\circ}$ 的直线相对于 $x$ 轴的倾斜程度，进而表示直线的方向。

如果直线经过两点 $P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})(x_{1}\neq x_{2})$ ，那么由 $\text{\textcircled{1}}\text{\textcircled{2}}$ 可得如下的斜率公式：

$k = \frac {y _ {2} - y _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}}.$

我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于 $x$ 轴的倾斜程度.

倾斜角从 $0^\circ$ 增大到 $180^\circ$ 时，斜率怎么变

?

当直线的倾斜角由 $0^{\circ}$ 逐渐增大到 $180^{\circ}$ 时，其斜率如何变化？为什么？

答案分两段，而且整体不是单调的：

理由是正切函数在 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 内单调递增， 而 $(90^\circ,180^\circ)$ 这一段相当于把 $\left(-90^\circ,0^\circ\right)$ 平移过来， 在每一段内部 $k$ 都是递增的，但跨过 $90^\circ$ 时 $k$ 从 $+\infty$ 跳到 $-\infty$。

所以”倾斜角越大斜率越大”是错的，它只在同一段内成立。 $\alpha=45^\circ$ 时 $k=1$，$\alpha=135^\circ$ 时 $k=-1$，倾斜角大了，斜率反而小了。 这条是选择题里最常见的陷阱。

思考：与两点顺序有关吗，什么时候不适用

（1）已知直线上的两点 $A(a_{1},a_{2}),B(b_{1},b_{2})$ ，运用上述公式计算直线 $AB$ 的斜率时，与 $A,B$ 两点的顺序有关吗？

(2) 当直线平行于 y 轴，或与 y 轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

(1) 与顺序无关。 交换 $A$、$B$ 后

$\frac{a_2-b_2}{a_1-b_1}=\frac{-(b_2-a_2)}{-(b_1-a_1)}=\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}$

分子分母同时变号，比值不变。

(2) 不适用。 直线平行于 $y$ 轴或与 $y$ 轴重合时，两点横坐标相同， $b_1-a_1=0$，分母为零，式子根本没有意义。 这与前一段”倾斜角 $90^\circ$ 的直线没有斜率”是同一件事的两种说法： 几何上讲是 $\tan 90^\circ$ 无定义，代数上讲是分母为零。

五、方向向量与斜率

我们知道，直线 $P_{1}P_{2}$ 上的向量 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量. 直线 $P_{1}P_{2}$ 的方向向量 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 的坐标为

$(x _ {2} - x _ {1}, y _ {2} - y _ {1}).$

当直线 $P_{1}P_{2}$ 与 $x$ 轴不垂直时，$x_{1} \neq x_{2}$。此时向量 $\frac{1}{x_{2} - x_{1}} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ 也是直线 $P_{1}P_{2}$ 的方向向量，且它的坐标为 $\frac{1}{x_{2} - x_{1}} (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$，即 $(1, \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}) = (1, k)$，其中 $k$ 是直线 $P_{1}P_{2}$ 的斜率。因此，若直线 $l$ 的斜率为 $k$，它的一个方向向量的坐标为 $(x, y)$，则 $k = \frac{y}{x}$。

这段把斜率和方向向量接上了头，值得单独提炼：

$\text{斜率为 }k\text{ 的直线，有一个方向向量 }(1,k)$

$\text{方向向量为 }(x,y)\text{ 且 }x\neq0\text{ 的直线，斜率 }k=\frac{y}{x}$

取 $(1,k)$ 的好处是把方向向量标准化了：一条不竖直的直线有无穷多个方向向量 （差一个非零倍数），但第一个坐标为 $1$ 的那个是唯一的。 竖直线的方向向量是 $(0,y)$，$x=0$，正好对应斜率不存在。

六、例 1

例 1 如图 2.1-6，已知 $A(3, 2)$ ， $B(-4, 1)$ ， $C(0, -1)$ ，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

解：直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB} = \frac{1 - 2}{-4 - 3} = \frac{1}{7}$

直线 $BC$ 的斜率 $k_{BC} = \frac{-1 - 1}{0 - (-4)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$;

直线 CA 的斜率 $k_{CA}=\frac{2-(-1)}{3-0}=\frac{3}{3}=1$ .

由 $k_{AB}>0$ 及 $k_{CA}>0$ 可知，直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角；由 $k_{BC}<0$ 可知，直线 BC 的倾斜角为钝角.

三个斜率里，$k_{BC}$ 最容易算错符号： $k_{BC}=\dfrac{-1-1}{0-(-4)}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac12$， 分母那个 $0-(-4)=4$ 的双负号一定要写出来再算。

由斜率的正负判断倾斜角是锐角还是钝角，靠的就是上面那张表： $k>0\iff\alpha\in(0^\circ,90^\circ)$ 是锐角，$k<0\iff\alpha\in(90^\circ,180^\circ)$ 是钝角。 $k=0$ 对应 $\alpha=0^\circ$，既不是锐角也不是钝角，这一档不要漏掉。

七、斜率最常用的下游：一族平行线，以及”谁更靠上”

本节只讲了”一条直线的斜率”，但斜率真正好用的地方，是一次比较两条乃至一族直线。

其一：斜率相等 $\iff$ 平行（或重合）。 倾斜角相同的直线互相平行，而倾斜角与斜率是一一对应的 （$90^\circ$ 那一档除外），所以

$$k_{1}=k_{2}\iff l_{1}\parallel l_{2}\ \text{或}\ l_{1}\ \text{与}\ l_{2}\ \text{重合}.$$

竖直线要单拎出来：两条竖直线一定平行，但它们的斜率都不存在，不能用这条判据。

其二：$y=kx+b$ 里，$k$ 定方向、$b$ 定高低。 固定 $k$、让 $b$ 变，得到的是一族互相平行的直线； $b$ 就是纵截距，$b$ 越大直线越靠上。于是”把一条直线平行地推上去”这件事， 在代数上只是”把 $b$ 调大”。

其三：含两个字母的一次式 $z=ax+y$，在 $z$ 取定时是一条直线。 移项得

$$y=-ax+z ,$$

斜率恒为 $-a$，纵截距恰是 $z$。所以”求 $z$ 的最大值”就是”这族斜率为 $-a$ 的平行线里， 截距最多能推到多高”——一个代数问题被翻译成了本节的语言。

注意符号：写成 $z=ax+by$（$b\neq0$）时，纵截距是 $\dfrac{z}{b}$。 $b>0$ 时 $z$ 与截距同增同减，$b<0$ 时反着来——这是这类题的头号符号坑。

其四：一族平行线推上去，最后离开哪个顶点，只要逐条边比一次斜率。 设 $P$ 是凸多边形的一个顶点， 从 $P$ 出发有两条边；把一族斜率为 $m$ 的直线往上推，$P$ 是最后离开的那个点，当且仅当两条边都落在 过 $P$ 的那条直线下方，写成斜率就是：

• 边的另一端在 $P$ 的左边（横坐标变小）：要求这条边的斜率 $>m$；
• 边的另一端在 $P$ 的右边：要求这条边的斜率 $<m$。

推导只用点斜式：过 $P(x_{0},y_{0})$、斜率为 $m$ 的直线是 $y=m(x-x_{0})+y_{0}$； 另一端点 $Q(x_{1},y_{1})$ 在它下方即 $y_{1}<m(x_{1}-x_{0})+y_{0}$， 两边同除以 $x_{1}-x_{0}$——除数为正还是为负，决定不等号翻不翻，这就是上面两条分左右的来历。

八、常见错法

• 说竖直线”斜率为无穷大”或”斜率为 $0$“。正确说法是斜率不存在。 $k=0$ 对应的是水平线。
• 认为倾斜角越大斜率越大。只在 $[0^\circ,90^\circ)$ 内或 $(90^\circ,180^\circ)$ 内成立， 跨过 $90^\circ$ 就断了。
• 把倾斜角的范围写成 $0^\circ\leqslant\alpha\leqslant180^\circ$。右端是开的， $180^\circ$ 与 $0^\circ$ 是同一个方向。
• 设直线为 $y=kx+b$ 后忘了竖直线。凡是用斜截式、点斜式的题， 都要么说明直线不竖直，要么把竖直的情况单独验一遍。
• 用斜率公式时不检查 $x_1\neq x_2$。分母为零时公式无意义， 不是算出一个”很大的数”。
• 算 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 时上下顺序错开。 分子是后减前，分母也必须是后减前，两处的顺序必须一致（一致地反过来也行）。

九、这一节考过的真题

页面下方「考过本节的真题」是构建期派生的完整清单。倾斜角与斜率极少单独成题， 它们几乎总是别人题目里的一步——也正因为这样，认出”这一步该比斜率”比会算斜率更值钱。

2013 年浙江卷第 13 题（$z=kx+y$，$x$、$y$ 受三条一次不等式约束，已知 $z$ 的最大值为 $12$，求 $k$） 正是第七段第三、四条的现场。约束围出三角形 $A(4,4)$、$B(0,2)$、$C(2,0)$， 目标式移项得 $y=-kx+z$——斜率 $-k$ 是未知的，截距就是要求的 $z$。

把这族线往上推，$A$ 是最后离开的那个点当且仅当：$B$ 在 $A$ 左边、边 $AB$ 的斜率 $\dfrac{4-2}{4-0}=\dfrac12$ 要大于 $-k$；$C$ 也在 $A$ 左边、边 $AC$ 的斜率 $\dfrac{4-0}{4-2}=2$ 也要大于 $-k$。两条合起来就是 $-k<\dfrac12$，即 $k>-\dfrac12$。 这一档里最大值是 $z(A)=4k+4$，令它等于 $12$ 得 $k=2$，与 $k>-\dfrac12$ 相容，成立。 剩下的 $k\leqslant-\dfrac12$ 那一档最后离开的是 $B$，最大值恒为 $2$，凑不出 $12$。

这道题把本节的两个坑同时摆了出来：其一，$-k$ 未知，所以”最大值在哪个顶点”是要算的结论， 不是看图能指的；其二，比较的是 $-k$ 而不是 $k$，符号一漏就整体反向——正对着第七段那条注。