2.1 直线的倾斜角与斜率

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2.1 直线的倾斜角与斜率

我们知道，点是构成直线的基本元素。在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来。

2.1.1 倾斜角与斜率

思考

确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线 $l$ （图2.1-1），如何利用坐标系确定它的位置？

我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线。设 $A$ ， $B$ 为直线上的两点，则 $\overrightarrow{AB}$ 就是这条直线的方向向量。所以，两点确定一条直线可以归结为一

P 可以作无数条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ ，…，它们组成一个直线束（图 2.1-2），这些直线的区别是什么？

在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向。因此，这些直线的区别是它们的方向不同。如何表示这些直线的方向？

我们看到，这些直线相对于 $x$ 轴的倾斜程度不同，也就是它们与 $x$ 轴所成的角不同。因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向。

图2.1-2

当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，我们以 $x$ 轴为基准，$x$ 轴正向与直线 $l$ 向上的方向之间所成的角 $\alpha$ 叫做直线 $l$ 的倾斜角（angle of inclination）。图2.1-2中直线 $l_{1}$ 的倾斜角 $\alpha_{1}$ 为锐角，直线 $l'$ 的倾斜角 $\alpha'$ 为钝角。当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 $0^{\circ}$。因此，直线的倾斜角 $\alpha$ 的取值范围为

$0 ^ {\circ} \leqslant \alpha < 1 8 0 ^ {\circ}.$

这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等。因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向。

下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法.

设 $P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$ （其中 $x_{1}\neq x_{2}$ ）是直线 $l$ 上的两点．由两点确定一条直线可知，直线 $l$ 由点 $P_{1},P_{2}$ 唯一确定．所以，可以推断，直线 $l$ 的倾斜角一定与 P_{1}$$P_{2} 两点的坐标有内在联系.

探究

在平面直角坐标系中，设直线 l 的倾斜角为 $\alpha$ .

(1) 已知直线 l 经过 $O(0, 0)$ ， $P(\sqrt{3}, 1)$ ， $\alpha$ 与 O，P 的坐标有什么关系？

（2）类似地，如果直线 $l$ 经过 $P_{1}(-1,1), P_{2}(\sqrt{2},0), \alpha$ 与 $P_{1}, P_{2}$ 的坐标又有什么关系？

（3）一般地，如果直线 $l$ 经过两点 $P_{1}(x_{1},y_{1}), P_{2}(x_{2},y_{2}), x_{1} \neq x_{2}$，那么 $\alpha$ 与 $P_{1}, P_{2}$ 的坐标有怎样的关系？

下面我们利用向量法探究上述问题.

对于问题（1），如图2.1-3（1），向量 $\overrightarrow{OP} = (\sqrt{3}, 1)$，且直线 $OP$ 的倾斜角为 $\alpha$。由正切函数的定义，有

$\tan \alpha = \frac {1}{\sqrt {3}} = \frac {\sqrt {3}}{3}.$

对于问题（2），如图2.1-3（2）， $\overrightarrow{P_{2}P_{1}}=(-1-\sqrt{2},1-0)=(-1-\sqrt{2},1)$ 。平移向量 $\overrightarrow{P_{2}P_{1}}$ 到 $\overrightarrow{OP}$ ，则点P的坐标为 $(-1-\sqrt{2},1)$ ，且直线OP的倾斜角也是 $\alpha$ 。由正切函数的定义，有

$\tan \alpha = \frac {1}{- 1 - \sqrt {2}} = 1 - \sqrt {2}.$

一般地，如图2.1-4，当向量 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 的方向向上时， $\overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。平移向量 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 到 $\overrightarrow{OP}$，则点 $P$ 的坐标为 $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，且直线 $OP$ 的倾斜角也是 $\alpha$，由正

切函数的定义，有

$\tan \alpha = \frac {y _ {2} - y _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}}.$

同样，当向量 $\overrightarrow{P_2P_1}$ 的方向向上时，如图2.1-5， $\overrightarrow{P_2P_1} = (x_1 - x_2,y_1 - y_2)$ ，也有

$\tan \alpha = \frac {y _ {1} - y _ {2}}{x _ {1} - x _ {2}} = \frac {y _ {2} - y _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}}.$

思考

当直线 $P_{1}P_{2}$ 与 $x$ 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

综上可知，直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$ 与直线 $l$ 上的两点 $P_{1}(x_{1},y_{1}), P_{2}(x_{2},y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 的坐标有如下关系：

\tan \alpha = \frac {y _ {2} - y _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}}.\tag{①}

我们把一条直线的倾斜角 $\alpha$ 的正切值叫做这条直线的斜率（slope）. 斜率常用小写字母 $k$ 表示，即

k = \tan \alpha .\tag{②}

日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度= $\frac{铅直高度}{水平宽度}$ . 当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.

倾斜角是 $90^{\circ}$ 的直线没有斜率，倾斜角不是 $90^{\circ}$ 的直线都有斜率。例如，倾斜角 $\alpha = 30^{\circ}$ 时，这条直线的斜率

$k = \tan 3 0 ^ {\circ} = \frac {\sqrt {3}}{3};$

倾斜角 $\alpha = 120^{\circ}$ 时，这条直线的斜率

?

当直线的倾斜角由 $0^{\circ}$ 逐渐增大到 $180^{\circ}$ 时，其斜率如何变化？为什么？

$k = \tan 1 2 0 ^ {\circ} = - \tan 6 0 ^ {\circ} = - \sqrt {3}.$

由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同。因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于 $90^{\circ}$ 的直线相对于 $x$ 轴的倾斜程度，进而表示直线的方向。

如果直线经过两点 $P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})(x_{1}\neq x_{2})$ ，那么由 $①②$ 可得如下的斜率公式：

$k = \frac {y _ {2} - y _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}}.$

我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于 $x$ 轴的倾斜程度.

思考

（1）已知直线上的两点 $A(a_{1},a_{2}),B(b_{1},b_{2})$ ，运用上述公式计算直线 $AB$ 的斜率时，与 $A,B$ 两点的顺序有关吗？

(2) 当直线平行于 y 轴，或与 y 轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

我们知道，直线 $P_{1}P_{2}$ 上的向量 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量. 直线 $P_{1}P_{2}$ 的方向向量 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 的坐标为

$(x _ {2} - x _ {1}, y _ {2} - y _ {1}).$

当直线 $P_{1}P_{2}$ 与 $x$ 轴不垂直时，$x_{1} \neq x_{2}$。此时向量 $\frac{1}{x_{2} - x_{1}} \overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ 也是直线 $P_{1}P_{2}$ 的方向向量，且它的坐标为 $\frac{1}{x_{2} - x_{1}} (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$，即 $(1, \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}) = (1, k)$，其中 $k$ 是直线 $P_{1}P_{2}$ 的斜率。因此，若直线 $l$ 的斜率为 $k$，它的一个方向向量的坐标为 $(x, y)$，则 $k = \frac{y}{x}$。

例 1 如图 2.1-6，已知 $A(3, 2)$ ， $B(-4, 1)$ ， $C(0, -1)$ ，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

解：直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB} = \frac{1 - 2}{-4 - 3} = \frac{1}{7}$

直线 $BC$ 的斜率 $k_{BC} = \frac{-1 - 1}{0 - (-4)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$;

直线 CA 的斜率 $k_{CA}=\frac{2-(-1)}{3-0}=\frac{3}{3}=1$ .

由 $k_{AB}>0$ 及 $k_{CA}>0$ 可知，直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角；由 $k_{BC}<0$ 可知，直线 BC 的倾斜角为钝角.