用空间向量研究直线、平面的位置关系：把「垂直」「平行」翻译成两个数

一、本节要装的两件工具

前三节把向量、基底、坐标都备齐了，但立体几何的题面说的还是「直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行」这类话。 要让坐标派上用场，必须先把「直线」和「平面」本身变成向量。本节给出的答案只有两样东西：

• 直线用它的方向向量代表——任取一个与它平行的非零向量；
• 平面用它的法向量代表——任取一个与它垂直的非零向量。

一旦每条直线、每个平面都缩成一个向量，六种位置关系（线线、线面、面面各有平行与垂直） 就全部落到「两个向量平行还是垂直」上，而这两件事早已有了坐标算法。 这就是本节的全部策略。

二、点、直线、平面的向量表示

点：取定基点 $O$，空间任意一点 $P$ 由 $\overrightarrow{OP}$ 唯一确定，称 $\overrightarrow{OP}$ 为点 $P$ 的位置向量。

直线：给定一点 $A$ 和一个方向就能唯一确定一条直线 $l$。设 $\boldsymbol{a}$ 是 $l$ 的方向向量， 在 $l$ 上取 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，则

换到任意基点 $O$，就得到课本的两个空间直线的向量表示式：

结论一句话：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。

平面（第一种表示）：平面 $\alpha$ 由内部两条相交直线确定。设它们交于 $O$，方向向量为 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ （不共线），则由平面向量基本定理，$P \in \alpha$ 当且仅当存在唯一的 $(x,\ y)$ 使

换到任意基点 $O$、并把两个方向向量取成 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$，得到空间平面 $ABC$ 的向量表示式：

结论一句话：空间中任意平面由一点及两个不共线向量唯一确定。

三、法向量：一个点 $+$ 一个方向也能定平面

上面那种表示要两个向量，用起来嫌重。但我们还知道另一件事：过一点且垂直于一条给定直线的平面是唯一的。 于是有了更省的表示。

设 $l \perp \alpha$，取 $l$ 的方向向量 $\boldsymbol{a}$，就称 $\boldsymbol{a}$ 为平面 $\alpha$ 的法向量（normal vector）。 给定点 $A$ 和向量 $\boldsymbol{a}$，过 $A$ 且以 $\boldsymbol{a}$ 为法向量的平面完全确定，可以写成集合

这个集合式值得停一下：它说「$P$ 在平面上」这件几何事，等价于「一个数量积等于零」这件算术事。 后面所有判定的源头都在这里。

三条要记住的性质：

1. 法向量不唯一。若 $\boldsymbol{n}$ 是 $\alpha$ 的法向量，则 $\lambda\boldsymbol{n}\ (\lambda\neq 0)$ 也是。 所以题目总是说「求一个法向量」——取一组最简的整数解就行。
2. 法向量必须非零。零向量与任何向量数量积都是 $0$，用它做法向量，上面那个集合会变成整个空间， 什么也定不了。方向向量同理。
3. 同一个平面的任意两个法向量互相平行。所以「两平面平行」可以说成「两法向量平行」。

四、怎么求一个平面的法向量（例 1 的算法）

若平面与某条坐标轴垂直，法向量直接写出来。 例 1 (1) 中平面 $BCC_1B_1$ 与 $y$ 轴垂直， 所以 $\boldsymbol{n}_1 = (0,\ 1,\ 0)$ 就是一个法向量，一步都不用算。建系时若能让待求平面与某条轴垂直，就赚了。

一般情形走「待定系数 $+$ 两个方程」，这是本章最常用的一段计算，四步：

1. 在平面内找两个不共线的向量（通常取平面上三个已知点两两相减，如 $\overrightarrow{MC}$、$\overrightarrow{MA_1}$）；
2. 设 $\boldsymbol{n} = (x,\ y,\ z)$，列出两个方程 $\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{MC} = 0$、$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{MA_1} = 0$；
3. 解这个齐次方程组。三个未知数、两个方程，解不唯一，把 $x$、$y$ 都用 $z$ 表示；
4. 给 $z$ 取一个值，把分母凑掉。例 1 里 $x = \dfrac23 z$、$y = z$，取 $z = 3$ 得 $\boldsymbol{n}_2 = (2,\ 3,\ 3)$。

第 4 步的取值技巧：把两个表达式的分母求最小公倍数，让 $z$ 取它，得到的就是最简整数解。 取 $z = 6$ 也对，只是答案变成 $(4,\ 6,\ 6)$，与 $(2,\ 3,\ 3)$ 平行、同样合格。

为什么两个方程就够：法向量要垂直于平面内一切向量，而平面内任意向量都能写成 $x\overrightarrow{MC} + y\overrightarrow{MA_1}$，所以只要对这两个基向量垂直，对全体自动垂直 （例 2 的证明用的正是这一步）。关键是那两个向量必须不共线——共线的话它们只张成一条直线，方程组会解出一整张平面的方向，答案不唯一。

五、六条判定，其实只有一条规律

平行的三条（$\boldsymbol{u}$ 表方向向量，$\boldsymbol{n}$ 表法向量）：

垂直的三条：

六条排成一张表，规律一眼可见：

规律：线用方向向量、面用法向量。同类相比（线线、面面）时，几何关系与向量关系一致； 异类相比（线面）时，两者正好反过来——因为法向量本身就与平面垂直，多绕了一个直角。 记住这一句，六条都不用背。

唯一需要额外小心的是 $l \parallel \alpha$ 那一条：必须补上 $l \not\subset \alpha$。 $\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n} = 0$ 只说明直线的方向躺在平面里，直线本身可能就在平面内。 所以用坐标证线面平行，算完数量积还要多一步：取直线上一个点，验证它不在平面上。 面面平行同理要排除「两平面重合」。

六、两个例题的读法

例 2 教的是「怎样把一个判定定理证出来」：证面面平行，取 $\alpha$ 的法向量 $\boldsymbol{n}$， 由 $a\parallel\alpha$、$b\parallel\alpha$ 得 $\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{u} = \boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v} = 0$； 再对 $\beta$ 内任意点 $Q$ 写 $\overrightarrow{PQ} = x\boldsymbol{u}+y\boldsymbol{v}$，于是

说明 $\boldsymbol{n}$ 也是 $\beta$ 的法向量，两平面法向量相同（当然平行），故 $\alpha \parallel \beta$。 「$a$、$b$ 相交」这个条件用在哪里：只有相交（不共线）时 $\{\boldsymbol{u},\ \boldsymbol{v}\}$ 才张成 $\beta$ 的全部方向， $\overrightarrow{PQ} = x\boldsymbol{u}+y\boldsymbol{v}$ 才对一切 $Q$ 成立。这正是判定定理里「两条相交直线」的来处。

例 3 教的是「存在性问题怎么设参数」，套路固定：

1. 建系写坐标，求出平面 $ACD_1$ 的法向量 $\boldsymbol{n} = (4,\ 3,\ 6)$；
2. 把动点写成一个参数：$P$ 在线段 $B_1C$ 上，就设 $\overrightarrow{B_1P} = \lambda\,\overrightarrow{B_1C}$， 并写清 $0 \leqslant \lambda \leqslant 1$（在线段上，不是在整条直线上）；
3. 把要求的条件写成方程：$A_1P \parallel$ 平面 $\Rightarrow \boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{A_1P} = 0$，解出 $\lambda = \dfrac12$；
4. 验根：$\lambda = \dfrac12$ 落在 $[0,\ 1]$ 内 ✓，且 $A_1P \not\subset$ 平面 $ACD_1$ ✓。两条都过了，点才真的存在。

第 4 步不是形式。若解出 $\lambda = 2$，点就跑到线段外去了，答案应是「不存在」； 若忘了验 $A_1P\not\subset\alpha$，可能把「直线在平面内」误判成「平行」。

七、坐标法与基底法各用在哪

例 1、例 3 是长方体，三条共点棱两两垂直，建系最省事。 例 4 是平行六面体（三个 $60^\circ$，棱不垂直），建系反而麻烦，课本改用 §1.2 的基底法： 取 $\{\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AA_1}\}$ 为基底，把 $\overrightarrow{A_1C}$ 与平面 $BDD_1B_1$ 内的向量都用基向量写出来， 再算数量积。

两条路的分界线很清楚：

• 图中现成有三条两两垂直的共点棱 → 建系用坐标；
• 图中全是斜的（平行六面体、一般棱锥）→ 取三条共点棱作基底，把六个数量积数据先算好。

注意例 4 的证法里有一个通用技巧：要证 $A_1C \perp$ 平面 $BDD_1B_1$， 它没有去找那个平面的法向量，而是反过来证明 $\overrightarrow{A_1C}$ 自己就是法向量—— 对平面内任意 $\overrightarrow{BP} = \lambda\overrightarrow{BD} + \mu\overrightarrow{BB_1}$ 验证数量积为零。 这与例 2 是同一个思路：只要对张成平面的那两个向量垂直，就对平面内一切向量垂直。

基底法证线面平行：不必求法向量，只看那一个系数

上面这条通用技巧还有一个更省事的兄弟，专门对付线面平行。

法向量那条路（$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}=0$）要先把 $\boldsymbol{n}$ 求出来，而求 $\boldsymbol{n}$ 通常要建系。可是如果题里现成有一张平面 $\alpha$，且平面内有两条相交的线段可以当基向量，那就直接把基底取成

于是空间任一向量都唯一地写成 $x\boldsymbol{e}_1+y\boldsymbol{e}_2+z\boldsymbol{e}_3$，而

证线面平行就退化成”算出那一个系数，看它是不是 $0$“——一个数量积都不用算，$\boldsymbol{e}_3$ 甚至不必与另两个垂直（这正是基底法比坐标法宽的地方，§1.2 的空间向量基本定理只要求三个基向量不共面）。

这其实就是把 §1.2 的共面向量条件倒过来读：$z=0$ 说的正是 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 共面。但”平行或在平面内”这个”或”字仍在，所以第五节末尾那句提醒一个字都不能省：还要取直线上一个点，验证它不在 $\alpha$ 上。

倒过来用，它就是例 3 那类存在性问题的基底版。例 3 把动点写成一个参数 $\lambda$，再让 $\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{A_1P}=0$ 解出 $\lambda$；换成基底，就是把定比设成 $\lambda$，把要平行的那个向量按基底展开，然后

方程有唯一解，就说明那个”看起来很随意”的定比是被平行条件逼出来的、不能改。举个现成的例子：浙江 2013 年 q20 的第 (1) 问给的是 $AQ=3QC$，取基底 $\{\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\}$（$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{DC}$ 躺在要平行的那张平面里）算得

令 $\overrightarrow{DA}$ 的系数为零即得 $\lambda=3$——题面那个 $3$ 是唯一解，不是出题人挑的漂亮数字。这一句比证明本身更值钱：它告诉你条件之间是怎么咬合的，而卷面标准答案里”取 $F$ 使 $DF=3CF$“那个辅助点，不过是同一个方程的几何写法。

八、这一节在本章的位置

本节只处理「是不是平行 / 垂直」这类是非题，还不涉及「差多少」。 下一节把同样的方向向量与法向量再用一次，把角度和距离也算出来—— 到那时，立体几何里几乎所有的常规问题都有了统一的向量解法。

本节目录里有七页（page-0031–page-0037），印着 §1.4 的引言与 §1.4.1「用空间向量研究直线、平面的位置关系」 的全部正文（点线面的向量表示、法向量、平行的三条、垂直的三条）和例 1–例 5， 以及两组「练习」共 6 道题：第 29 页（page-0034）3 道，第 31 页（page-0036）3 道。逐题全做。

「习题 1.4」印在 §1.4.2 的目录下，归那一份详解，这里不收。

全篇反复用到的判定，先列在这里（$\boldsymbol{u}$ 表直线的方向向量，$\boldsymbol{n}$ 表平面的法向量，都要求非零）：

• $l_1 \parallel l_2 \iff \boldsymbol{u}_1 \parallel \boldsymbol{u}_2$；$l_1 \perp l_2 \iff \boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_2 = 0$。
• $l \parallel \alpha \iff \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n} = 0$，外加 $l \not\subset \alpha$；$l \perp \alpha \iff \boldsymbol{u} \parallel \boldsymbol{n}$。
• $\alpha \parallel \beta \iff \boldsymbol{n}_1 \parallel \boldsymbol{n}_2$；$\alpha \perp \beta \iff \boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2 = 0$。
• 求法向量：在平面内取两个不共线向量，设 $\boldsymbol{n} = (x,\ y,\ z)$，令两个数量积为零，解出比例后取一组最简整数解。

练习（第 29 页）第 1 题

1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”.

(1) 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； （）

(2) 若 v 是直线 l 的方向向量，则 $\lambda v (\lambda \in \mathbf{R})$ 也是直线 l 的方向向量； （）

(3) 在空间直角坐标系中, $j = (0, 0, 1)$ 是坐标平面 $Oxy$ 的一个法向量. ( )

答案：(1) √；(2) ×；(3) ×。

(1) 正确。 方向向量与法向量的作用都是「指出一个方向」，而零向量没有确定的方向。 更要命的是，若允许 $\boldsymbol{n} = \boldsymbol{0}$，那么过点 $A$ 以它为法向量的「平面」

就是整个空间——因为任何向量与零向量的数量积都是 $0$。同理，若 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$， 直线的表示式 $\overrightarrow{AP} = t\boldsymbol{a}$ 只能给出 $P = A$ 一个点，画不出直线。 所以定义里必须把零向量排除。

(2) 错误。 错在 $\lambda$ 的范围写成了 $\lambda \in \mathbf{R}$，其中包含 $\lambda = 0$。 $\lambda = 0$ 时 $\lambda\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$，由 (1) 它不能作方向向量。

把条件改成 $\lambda \neq 0$ 就对了：若 $\boldsymbol{v}$ 是 $l$ 的方向向量，则 $\lambda\boldsymbol{v}$（$\lambda\neq 0$）也是。 而且 $l$ 的方向向量恰好就是这些。 $\lambda < 0$ 时方向相反，但仍与 $l$ 平行，照样合格——方向向量只要求「平行」，不要求「同向」。

(3) 错误。 课本 §1.3.1 已经把三个坐标向量固定下来了： $\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$、$\boldsymbol{k}$ 依次沿 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，也就是

所以命题里的等号 $\boldsymbol{j} = (0,\ 0,\ 1)$ 本身就写错了：那是 $\boldsymbol{k}$，不是 $\boldsymbol{j}$。

而且这个混淆恰好把结论也带错：$\boldsymbol{j} = (0,\ 1,\ 0)$ 是 $y$ 轴方向的向量， 它落在 $Oxy$ 平面内（$Oxy$ 平面由 $\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$ 张成），与该平面平行而不是垂直， 当然不是它的法向量。$Oxy$ 平面的法向量必须沿 $z$ 轴，一个法向量是

一般地是 $(0,\ 0,\ t)$，$t \neq 0$。

把命题改对有两种改法：把符号换成 $\boldsymbol{k}$（「$\boldsymbol{k} = (0,\ 0,\ 1)$ 是 $Oxy$ 平面的一个法向量」，√）， 或者把平面换成 $Ozx$（「$\boldsymbol{j} = (0,\ 1,\ 0)$ 是 $Ozx$ 平面的一个法向量」，√）。 这道题考的正是「别把 $\boldsymbol{j}$ 与 $\boldsymbol{k}$ 记混」，以及「哪条轴垂直于哪张坐标平面」。

顺带把三条对应关系摆齐，以后不会再错：

规律：法向量正是「名字里没出现的那个坐标向量」。

练习（第 29 页）第 2 题

2. 在平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$\overrightarrow{AB} = a$，$\overrightarrow{AD} = b$，$\overrightarrow{AA_1} = c$，$O$ 是 $BD_1$ 与 $B_1D$ 的交点。以 $\{a, b, c\}$ 为空间的一个基底，求直线 $OA$ 的一个方向向量。

先把 $O$ 定位。 关键是看出 $BDD_1B_1$ 是一个平行四边形：

即 $BB_1$ 与 $DD_1$ 平行且相等，所以四边形 $BDD_1B_1$ 是平行四边形，$BD_1$ 与 $B_1D$ 正是它的两条对角线。 平行四边形的对角线互相平分，所以交点 $O$ 就是 $BD_1$ 的中点（也是 $B_1D$ 的中点）。

用中点公式算 $\overrightarrow{AO}$（起点取 $A$）。先写出两个端点：

于是

自检（换另一条对角线）：$\overrightarrow{AB_1} = \boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$、$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，

两条路同一个结果。

写出答案。 直线 $OA$ 的方向向量是任何与 $\overrightarrow{OA}$ 平行的非零向量，而

取最简的一个：

（它与 $\overrightarrow{OA}$ 相差因子 $-2$，方向相反但仍平行，合格。$-\dfrac12(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$、 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$、$2(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$ 都是正确答案，题目只要「一个」。）

顺带一条几何事实：$\overrightarrow{AC_1} = \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$ 正是平行六面体的体对角线， 而 $\overrightarrow{AO} = \dfrac12\overrightarrow{AC_1}$，说明 $O$ 恰是体对角线 $AC_1$ 的中点，也就是整个平行六面体的中心。 所以直线 $OA$ 就是体对角线 $AC_1$ 所在的直线——平行六面体的四条体对角线交于一点并互相平分， 这道题实际上顺手证了这个结论的一半。

练习（第 29 页）第 3 题

3. 在长方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 4$，$BC = 3$，$CC_1 = 2$。以 $D$ 为原点，以 $\left\{\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}, \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}, \frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1}\right\}$ 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系 $Oxyz$，求平面 $ACD_1$ 的一个法向量。

先确认基底真的是单位正交的。 长方体里 $DA = BC = 3$、$DC = AB = 4$、$DD_1 = CC_1 = 2$，三条棱两两垂直，所以

三个基向量的长都恰好是 $1$，单位长度就是普通的长度单位，于是三个点的坐标直接读出来：

（它们分别在 $x$、$y$、$z$ 轴上，符合「$D$ 为原点、三条棱为轴」的建法。）

在平面内取两个不共线向量：

它们不共线（若 $\overrightarrow{AC} = \lambda\overrightarrow{AD_1}$，由第二个分量得 $4 = 0$，矛盾）， 所以 $A$、$C$、$D_1$ 三点确实定出一个平面 ✓。

设 $\boldsymbol{n} = (x,\ y,\ z)$，列方程组：

由第一式 $y = \dfrac34 x$，由第二式 $z = \dfrac32 x$。取 $x = 4$ 把两个分母一次凑掉，得

验算：

所以 $\boldsymbol{n} = (4,\ 3,\ 6)$ 是平面 $ACD_1$ 的一个法向量。

答案不唯一：$(8,\ 6,\ 12)$、$(-4,\ -3,\ -6)$ 等任何非零倍数都对，题目只要「一个」，取最简整数解即可。 课本例 3 里对同一个平面取的是 $z = 6$ 那条路，得到的也是 $(4,\ 3,\ 6)$。

一个可以记住的模式：平面 $ACD_1$ 在三条轴上的截距分别是 $3$、$4$、$2$， 它的方程是 $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{2} = 1$，两边乘 $12$ 得 $4x+3y+6z = 12$， 系数 $(4,\ 3,\ 6)$ 正是法向量。截距式与法向量的这个对应，验算时很好用。

练习（第 31 页）第 1 题

1. 用向量方法证明 “直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

已知：$a \not\subset \alpha$，$b \subset \alpha$，$a \parallel b$。

求证：$a \parallel \alpha$。

证明：取直线 $a$ 的方向向量 $\boldsymbol{u}$、直线 $b$ 的方向向量 $\boldsymbol{v}$、平面 $\alpha$ 的法向量 $\boldsymbol{n}$ （三者都非零）。

因为 $a \parallel b$，所以 $\boldsymbol{u} \parallel \boldsymbol{v}$，即存在 $\lambda \neq 0$ 使

因为 $b \subset \alpha$，而 $\boldsymbol{n}$ 是 $\alpha$ 的法向量、与平面内一切向量垂直，所以

于是

即 $\boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{n}$。

又已知 $a \not\subset \alpha$，由线面平行的向量判定

得 $a \parallel \alpha$。$\blacksquare$

「平面外」这个条件绝不能丢。 若去掉 $a\not\subset\alpha$，取 $a$ 就等于 $b$（它躺在 $\alpha$ 内）， 上面的推导一字不改仍然成立，但结论 $a\parallel\alpha$ 就假了。 直线在平面内时，方向向量同样与法向量垂直。 所以数量积为零只证到了「方向躺平」，还差「直线本身不在平面里」这一步， 这一步只能由题设提供。

这道题也解释了课本为什么把 $l\not\subset\alpha$ 写进判定式里，而不是当成可有可无的附注。

练习（第 31 页）第 2 题

2. 如图，在四面体 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 的中点。直线 $AD$ 上是否存在点 $F$，使得 $AE \parallel CF$?

答案：不存在。

取基底。 四面体 $ABCD$ 的三条共点棱不共面，所以

构成空间的一个基底，分解系数唯一。

把两条直线的方向向量写出来。 $E$ 是 $BC$ 的中点，

设 $F$ 是直线 $AD$ 上的点，则存在 $t \in \mathbf{R}$ 使 $\overrightarrow{AF} = t\boldsymbol{d}$，于是

用反证法。 假设存在这样的 $F$ 使 $AE \parallel CF$。两条直线平行要求方向向量平行， 且 $\overrightarrow{AE} \neq \boldsymbol{0}$，故存在 $\mu$ 使

移项整理成基底下的分解：

由 $\{\boldsymbol{b},\ \boldsymbol{c},\ \boldsymbol{d}\}$ 是基底，零向量的分解系数必须全为零：

第一式给出 $\mu = 0$，代入第二式得 $-1 = 0$，矛盾。所以这样的 $F$ 不存在。$\blacksquare$

换个纯几何的说法，结论更直观：若 $CF \parallel AE$，则两条平行直线共面， 这张平面同时含 $A$、$E$、$C$，也就是平面 $ABC$（因为 $E$ 在 $BC$ 上）。于是 $F$ 必在平面 $ABC$ 内。 可是 $F$ 又在直线 $AD$ 上，而直线 $AD$ 与平面 $ABC$ 只交于点 $A$（$D$ 不在平面 $ABC$ 内，否则四点共面、构不成四面体）。 故只能 $F = A$，此时 $CF$ 就是直线 $CA$；但 $CA \parallel AE$ 会推出 $A$、$C$、$E$ 三点共线， 即 $E$ 落在直线 $AC$ 上，这与「$E$ 是 $BC$ 的中点」矛盾（$E$ 在 $AC$ 上要求 $B$ 在直线 $AC$ 上，四点共面）。 两条路都指向同一个结论：不存在。

顺带看清一件事：$AE$ 与 $CF$ 若不平行，它们是什么关系？当 $F \neq A$ 时， $AE \subset$ 平面 $ABC$ 而 $F \notin$ 平面 $ABC$，所以 $AE$ 与 $CF$ 是异面直线。

练习（第 31 页）第 3 题

3. 如图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$，$F$ 分别是面 $AB_1$，面 $A_1C_1$ 的中心。求证：$EF //$ 平面 $ACD_1$。

先把两个「面」读对。 立体几何里用一条对角线上的两个顶点给面命名： 「面 $AB_1$」指的是含 $A$ 与 $B_1$ 的那个侧面 $ABB_1A_1$；「面 $A_1C_1$」指的是含 $A_1$ 与 $C_1$ 的上底面 $A_1B_1C_1D_1$。 所以 $E$ 是侧面 $ABB_1A_1$ 的中心，$F$ 是上底面的中心。

建系：棱长设为 $1$。以 $D$ 为原点，$x$ 轴沿 $DA$、$y$ 轴沿 $DC$、$z$ 轴沿 $DD_1$：

两个中心（矩形的中心就是对角线的中点）：

于是

求平面 $ACD_1$ 的法向量。 平面内取

两者不共线。设 $\boldsymbol{n} = (x,\ y,\ z)$：

取 $x = 1$，得 $\boldsymbol{n} = (1,\ 1,\ 1)$。

第一步：验数量积为零。

第二步：验 $EF$ 不在平面内（这一步不能省）。平面 $ACD_1$ 过 $A(1,\ 0,\ 0)$、法向量 $(1,\ 1,\ 1)$， 所以它的方程是

把 $E$ 代进去：$1 + \dfrac12 + \dfrac12 = 2 \neq 1$，所以 $E \notin$ 平面 $ACD_1$，于是 $EF \not\subset$ 平面 $ACD_1$。

两步都成立，故

换一条更短的路（不建系）：$F$ 既是上底面的中心，也就是对角线 $B_1D_1$ 的中点； 而 $E$ 是 $AB_1$ 的中点。于是在 $\triangle AB_1D_1$ 中，$EF$ 是中位线，故

而 $AD_1 \subset$ 平面 $ACD_1$，且 $EF \not\subset$ 平面 $ACD_1$，由线面平行的判定定理（正是本组第 1 题证的那条） 即得 $EF \parallel$ 平面 $ACD_1$。

用坐标核对这条路：$\overrightarrow{AD_1} = (-1,\ 0,\ 1)$，而 $\overrightarrow{EF} = \left(-\dfrac12,\ 0,\ \dfrac12\right) = \dfrac12\overrightarrow{AD_1}$ ✓， 两者确实平行且长度减半，与中位线的结论完全一致。

这道题很能说明两条路的分工：坐标法不需要看出中位线，照着算就行； 综合法一旦看出 $F$ 是 $B_1D_1$ 的中点，三行就写完了。先按坐标法把结论算稳，再回头找简洁证法，是稳妥的顺序。