1.3 空间向量及其运算的坐标表示

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1.3 空间向量及其运算的坐标表示

学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算。所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础。

在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与 $x$ 轴、$y$ 轴方向相同的两个单位向量 $i, j$ 为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算。类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题。

1.3.1 空间直角坐标系

我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成。利用单位正交基底概念，我们还可以这样理解平面直角坐标系：如图1.3-1，在平面内选定一点 $O$ 和一个单位正交基底 $\{i, j\}$，以 $O$ 为原点，分别以 $i, j$ 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：$x$ 轴、$y$ 轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系。

类似地，在空间选定一点 $O$ 和一个单位正交基底 $\{i, j, k\}$ （图1.3-2）。以点 $O$ 为原点，分别以 $i, j, k$ 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系 $Oxyz$，$O$ 叫做原点，$i, j, k$ 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 $Oxy$ 平面，$Oyz$ 平面，$Ozx$ 平面，它们把空间分成八个部分。

画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使 $\angle xOy = 135^{\circ}$ （或 $45^{\circ}$ ）， $\angle yOz = 90^{\circ}$ .

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 $x$ 轴的正方向，食指指向 $y$ 轴的正方向，如果中指指向 $z$ 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。

探究

在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？

在空间直角坐标系 Oxyz 中（图 1.3-3），i, j, k 为坐标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量 $\overrightarrow{OA}$ ，且点 A 的位置由向量 $\overrightarrow{OA}$ 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 $(x, y, z)$ ，使

$\overrightarrow {O A} = x \mathbf {i} + y \mathbf {j} + z \mathbf {k}.$

在单位正交基底 $\{i, j, k\}$ 下与向量 $\overrightarrow{OA}$ 对应的有序实数组 $(x, y, z)$，叫做点 $A$ 在空间直角坐标系中的坐标，记作 $A(x, y, z)$，其中 $x$ 叫做点 $A$ 的横坐标，$y$ 叫做点 $A$ 的纵坐标，$z$ 叫做点 $A$ 的竖坐标.

在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a，作 $\overrightarrow{OA}=a$ （图 1.3-4）。由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 $(x, y, z)$ ，使

$\boldsymbol {a} = x \boldsymbol {i} + y \boldsymbol {j} + z \boldsymbol {k}.$

有序实数组 $(x, y, z)$ 叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，上式可简记作

$\boldsymbol {a} = (x, y, z).$

符号 $(x, y, z)$ 具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分.

。

这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.

探究

在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，对空间任意一点 $A$ ，或任意一个向量 $\overrightarrow{OA}$ ，你能借助几何直观确定它们的坐标 $(x, y, z)$ 吗？

事实上，如图1.3-5，过点 $A$ 分别作垂直于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴的平面，依次交 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴于点 $B$，$C$ 和 $D$。可以证明 $\overrightarrow{OA}$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴上的投影向量分别为 $\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$，且 $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$。设点 $B$，$C$ 和 $D$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的坐标分别是 $x$，$y$ 和 $z$，那么点 $A$（向量 $\overrightarrow{OA}$）的坐标为 $(x, y, z)$。

例 1 如图 1.3-6，在长方体 $OABC-D'A'B'C'$ 中，OA=3，OC=4， $OD'=2$ ，以 $\left\{\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}, \frac{1}{4}\overrightarrow{OC}, \frac{1}{2}\overrightarrow{OD'}\right\}$ 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.

你能给出证明吗？

(1) 写出 $D'$ , C, $A'$ , $B'$ 四点的坐标;

(2) 写出向量 $\overrightarrow{A'B'}$ , $\overrightarrow{B'B}$ , $\overrightarrow{A'C'}$ , $\overrightarrow{AC'}$ 的坐标.

解：（1）点 $D^{\prime}$ 在 $z$ 轴上，且 $OD^{\prime} = 2$ ，所以 $\overrightarrow{OD^{\prime}} = 0i + 0j + 2k$ ，所以点 $D^{\prime}$ 的坐标是 $(0,0,2)$

同理，点 C 的坐标是 $(0, 4, 0)$ .

点 $A^{\prime}$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴上的射影分别为 $A, O, D^{\prime}$，它们在坐标轴上的坐标分别为 $3, 0, 2$，所以点 $A^{\prime}$ 的坐标是 $(3, 0, 2)$.

图1.3-6

点 $B^{\prime}$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴上的射影分别为 $A, C, D^{\prime}$，它们在坐标轴上的坐标分别为 $3, 4, 2$，所以点 $B^{\prime}$ 的坐标是（3，4，2）.

(2) $\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{OC}=0i+4j+0k=(0,4,0)$ ;

$\overrightarrow {B ^ {\prime} B} = - \overrightarrow {O D ^ {\prime}} = 0 \boldsymbol {i} + 0 \boldsymbol {j} - 2 \boldsymbol {k} = (0, 0, - 2);$

$\overrightarrow {A ^ {\prime} C ^ {\prime}} = \overrightarrow {A ^ {\prime} D ^ {\prime}} + \overrightarrow {D ^ {\prime} C ^ {\prime}} = - 3 i + 4 j + 0 k = (- 3, 4, 0);$

$\overrightarrow {A C ^ {\prime}} = \overrightarrow {A O} + \overrightarrow {O C} + \overrightarrow {C C ^ {\prime}} = - 3 i + 4 j + 2 k = (- 3, 4, 2).$

练习

1. 在空间直角坐标系中标出下列各点：

$A(0, 2, 4)$ , $B(1, 0, 5)$ , $C(0, 2, 0)$ , $D(1, 3, 4)$ .

2. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，

(1) 哪个坐标平面与 x 轴垂直？哪个坐标平面与 y 轴垂直？哪个坐标平面与 z 轴垂直？

(2) 写出点 $P(2, 3, 4)$ 在三个坐标平面内的射影的坐标.

(3) 写出点 $P(1, 3, 5)$ 关于原点成中心对称的点的坐标.

3. 在长方体 $OABC - D'A'B'C'$ 中，$OA = 3$，$OC = 4$，$OD' = 3$，$A'C'$ 与 $B'D'$ 相交于点 $P$，建立如图所示的空间直角坐标系 $Oxyz$.