1.1.2 空间向量的数量积运算

文字转写

5. 如图，已知正方体 $ABCD - A'B'C'D'$，$E$，$F$ 分别是上底面 $A'C'$ 和侧面 $CD'$ 的中心。求下列各式中 $x$，$y$ 的值：

(1) $\overrightarrow{AC'} = x(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'})$; (2) $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AA'} + x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD}$; (3) $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AA'}$.

1.1.2 空间向量的数量积运算

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.

如图1.1-10，已知两个非零向量 $a, b$ ，在空间任取一点 $O$ ，作 $\overrightarrow{OA} = a$ ， $\overrightarrow{OB} = b$ ，则 $\angle AOB$ 叫做向量 $a, b$ 的夹角，记作 $\langle a, b \rangle$

通常规定， $0 \leqslant \langle a, b \rangle \leqslant \pi$。这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且 $\langle a, b \rangle = \langle b, a \rangle$。

如果 $\langle a,b\rangle=\frac{\pi}{2}$ ，那么向量a，b互相垂直，记作 $a\perp b$ .

已知两个非零向量 a, b，则 $\left|a\right|\left|b\right|\cos\langle a, b\rangle$ 叫做 a, b 的数量积（inner product），记作 $a \cdot b$ ．即

$\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} = | \boldsymbol {a} | | \boldsymbol {b} | \cos \langle \boldsymbol {a}, \boldsymbol {b} \rangle .$

特别地，零向量与任意向量的数量积为0.

由向量的数量积定义，可以得到：

$a \perp b \Leftrightarrow a \cdot b = 0;$

$\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {a} = | \boldsymbol {a} | | \boldsymbol {a} | \cos \langle \boldsymbol {a}, \boldsymbol {a} \rangle = | \boldsymbol {a} | ^ {2}.$

$a \cdot a$ 也记作 $a^2$.

思考

在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影．类似地，在空间，向量 a 向向量 b 的投影有什么意义？向量 a 向直线 l 的投影呢？向量 a 向平面 $\beta$ 的投影呢？

如图1.1-11(1)，在空间，向量 $a$ 向向量 $b$ 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 $\alpha$ 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 $b$ 共线的向量 $c, c = |a| \cos \langle a, b \rangle \frac{b}{|b|}$，向量 $c$ 称为向量 $a$ 在向量 $b$ 上的投影向量。类似地，可以将向量 $a$ 向直线 $l$ 投影（图1.1-11(2))。

如图1.1-11（3），向量 $a$ 向平面 $\beta$ 投影，就是分别由向量 $a$ 的起点 $A$ 和终点 $B$ 作平面 $\beta$ 的垂线，垂足分别为 $A^{\prime}, B^{\prime}$，得到向量 $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$，向量 $\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ 称为向量 $a$ 在平面 $\beta$ 上的投影向量。这时，向量 $a, \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}$ 的夹角就是向量 $a$ 所在直线与平面 $\beta$ 所成的角。

空间向量的数量积满足如下的运算律：

$(\lambda a) \cdot b = \lambda (a \cdot b), \lambda \in \mathbf{R};$

$a \cdot b = b \cdot a$ (交换律);

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ (分配律).

思考

1. 对于三个均不为 0 的数 $a, b, c$，若 $ab = ac$，则 $b = c$。对于向量 $a, b, c$，由 $a \cdot b = a \cdot c$，你能得到 $b = c$ 吗？如果不能，请举出反例。

2. 对于三个均不为 0 的数 $a, b, c$，若 $ab = c$，则 $a = \frac{c}{b}$（或 $b = \frac{c}{a}$）。对于向量 $a, b$，若 $a \cdot b = k$，能不能写成 $a = \frac{k}{b}$（或 $b = \frac{k}{a}$）的形式？

3. 对于三个均不为 0 的数 $a, b, c$, 有 $(ab)c = a(bc)$. 对于向量 $a, b, c, (a \cdot b)c = a(b \cdot c)$ 成立吗? 为什么?

例 2 如图 1.1-12，在平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，AB = 5，AD = 3， $AA' = 7$ ， $\angle BAD = 60^{\circ}$ ， $\angle BAA' = \angle DAA' = 45^{\circ}$ 。求：

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$; (2) $AC'$ 的长 (精确到 0.1).

解：(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AD}| \cos \langle \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \rangle = 5 \times 3 \times \cos 60^{\circ} = 7.5;$

$\begin{array}{r l} & {| \overrightarrow {A C ^ {\prime}} | ^ {2} = (\overrightarrow {A B} + \overrightarrow {A D} + \overrightarrow {A A ^ {\prime}}) ^ {2}} \\ & {\quad = | \overrightarrow {A B} | ^ {2} + | \overrightarrow {A D} | ^ {2} + | \overrightarrow {A A ^ {\prime}} | ^ {2} + 2 (\overrightarrow {A B} \cdot \overrightarrow {A D} + \overrightarrow {A B} \cdot \overrightarrow {A A ^ {\prime}} + \overrightarrow {A D} \cdot \overrightarrow {A A ^ {\prime}})} \\ & {\quad = 5 ^ {2} + 3 ^ {2} + 7 ^ {2} + 2 (5 \times 3 \times \cos 6 0 ^ {\circ} + 5 \times 7 \times \cos 4 5 ^ {\circ} + 3 \times 7 \times \cos 4 5 ^ {\circ})} \\ & {\quad = 9 8 + 5 6 \sqrt {2},} \end{array}$

所以 $AC^{\prime}\approx 13.3.$

由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决.

例3 如图1.1-13， $m$ ， $n$ 是平面 $\alpha$ 内的两条相交直线．如果 $l\bot m$ ， $l\bot n$ ，求证： $l\bot \alpha$

分析：要证明 $l \perp \alpha$，就是要证明 $l$ 垂直于 $\alpha$ 内的任意一条直线 $g$（直线与平面垂直的定义）。如果我们能在 $g$ 和 $m, n$ 之间建立某种联系，并由 $l \perp m, l \perp n$，得到 $l \perp g$，那么就能解决此问题。

证明：在平面 $\alpha$ 内作任意一条直线 $g$ ，分别在直线 l$$m, n, g 上取非零向量 $l, m, n, g$.

因为直线 m 与 n 相交，所以向量 m，n 不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对 $(x, y)$ ，使

$\mathbf {g} = x \mathbf {m} + y \mathbf {n}.$

将上式两边分别与向量 l 作数量积运算，得

$l \cdot g = x l \cdot m + y l \cdot n.$

因为 $l \cdot m = 0$ , $l \cdot n = 0$ （为什么？），所以 $l \cdot g = 0$ . 所以 $l \perp g$ .

这就证明了直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的任意一条直线，所以 $l \perp \alpha$.

练习

例 3 即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程。尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？

1. 如图，在正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，若 $AB=\sqrt{2}BB_{1}$ ，则 $AB_{1}$ 与 $BC_{1}$ 所成角的大小为（）. (A) $60^{\circ}$ (B) $90^{\circ}$ (C) $105^{\circ}$ (D) $75^{\circ}$

2. 如图，正方体 $ABCD-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ 的棱长为 1，设 $\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AD}=b,\overrightarrow{AA^{\prime}}=c$ ，求：

(1) $a \cdot (b + c)$; (2) $a \cdot (a + b + c)$; (3) $(a + b) \cdot (b + c)$.

3. 如图，在平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，$AB=4$，$AD=3$，$AA'=5$，$\angle BAD=90^\circ$，$\angle BAA'=\angle DAA'=60^\circ$。求：

(1) $\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AB}$; (2) $AB'$ 的长; (3) $AC'$ 的长.

4. 如图，线段 $AB$ ， $BD$ 在平面 $\alpha$ 内， $BD \perp AB$ ， $AC \perp \alpha$ ，且 $AB = a$ ， $BD = b$ ， $AC = c$ ，求 $C$ ， $D$ 两点间的距离.

习题 1.1

复习巩固

1. 如图，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，E，F 分别为棱 $AA'$ ，AB 的中点.

(1) 写出与向量 $\overrightarrow{BC}$ 相等的向量；

(2) 写出与向量 $\overrightarrow{BC}$ 相反的向量；

(3) 写出与向量 $\overrightarrow{EF}$ 平行的向量.

2. 如图，已知平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$，化简下列表达式，并在图中标出化简结果： (1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$; (2) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CC'}$; (3) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CC'}$; (4) $\frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'})$.

3. 证明：如果向量 $a, b$ 共线，那么向量 $2a + b$ 与 $a$ 共线.

4. 如图，已知四面体 ABCD 的所有棱长都等于 a, E, F, G 分别是棱 AB, AD, DC 的中点. 求: (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ; (2) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DB}$ ; (3) $\overrightarrow{GF} \cdot \overrightarrow{AC}$ ; (4) $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{BC}$ ; (5) $\overrightarrow{FG} \cdot \overrightarrow{BA}$ ; (6) $\overrightarrow{GE} \cdot \overrightarrow{GF}$ .

(第4题)

5. 如图, 在平行六面体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $AC$ 与 $BD$ 的交点为 $M$. 设 $\overrightarrow{A_{1}B_{1}}=a$, $\overrightarrow{A_{1}D_{1}}=b$, $\overrightarrow{A_{1}A}=c$, 则下列向量中与 $\overrightarrow{B_{1}M}$ 相等的向量是 ( ).

(A) $-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+c$

(B) $\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+c$

(C) $\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b+c$

(D) $-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b+c$

6. 如图，已知 $E, F, G, H$ 分别为四面体ABCD的棱 $AB, BC, CD, DA$ 的中点，求证：$E, F, G, H$ 四点共面.

7. 如图，正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱长为 a. (1) 求 $A'B$ 和 $B'C$ 的夹角；(2) 求证： $A'B \perp AC'$ .

8. 用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）.

拓广探索

9. 如图，在四面体 $OABC$ 中，$OA \perp BC$，$OB \perp AC$。求证：$OC \perp AB$。

10. 如图，在四面体 $OABC$ 中，$OA = OB$，$CA = CB$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $OA$，$OB$，$BC$，$CA$ 的中点．求证：四边形 $EFGH$ 是矩形.