1.1 空间向量及其运算

文字转写

1.1 空间向量及其运算

章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景。可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。

1.1.1 空间向量及其线性运算

与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），空间向量的大小叫做空间向量的长度或模（modulus）。空间向量用字母 $a^{\text{①}}$，$b$，$c$，…表示。空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示。

与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模。如图1.1-1，向量 $a$ 的起点是$A$ ，终点是 $B$ ，则向量 $a$ 也可以记作 $\overrightarrow{AB}$ ，其模记为 $|a|$ 或$|\overrightarrow{AB}|$ 。图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点 $O$ 的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为 $\overrightarrow{OA}$ ， $\overrightarrow{OB}$ ， $\overrightarrow{OC}$ ，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量。

与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记为0。当有向线段的起点A与终点B重合时， $\overrightarrow{AB}=0$ 。模为1的向量叫做单位向量（unit vector）。与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a。

。

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量（collinear vectors）或平行向量（parallel vectors）。我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 a，都有 0//a。

①印刷用黑体 a，书写用 $\vec{a}$ .

…

空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致。

方向相同且模相等的向量叫做相等向量（equal vectors）。因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合。因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。如图1.1-3，已知空间向量 $a$，$b$，以任意点 $O$ 为起点，作向量 $\overrightarrow{OA} = a$，$\overrightarrow{OB} = b$，我们就可以把它们平移到同一个平面 $\alpha$ 内。

数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算。由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算。由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法（图1.1-4）以及数乘运算（图1.1-5）：

(1) $a+b=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB};$

(2) $a - b = \overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CA}$

(3) 当 $\lambda > 0$ 时， $\lambda a = \lambda \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{PQ}$ ;

当 $\lambda<0$ 时， $\lambda a=\lambda\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MN}$ ;

当 $\lambda=0$ 时， $\lambda a=0$ .

想一想，向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？

与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中 $\lambda, \mu \in R$ ）：

交换律： $a+b=b+a$ ;

结合律： $(a+b)+c=a+(b+c)$ ， $\lambda(\mu a)=(\lambda\mu)a$ ;

分配律： $(\lambda +\mu)a = \lambda a + \mu a$ ， $\lambda (a + b) = \lambda a + \lambda b$

你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？

探究

如图1.1-6，在平行六面体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，分别标出 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ ， $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD}$ 表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？

可以发现， $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC'}$ ．一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量．另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.

探究

对任意两个空间向量 $a$ 与 $b$ ，如果 $a = \lambda b (\lambda \in \mathbb{R})$ ，$a$ 与 $b$ 有什么位置关系？反过来，$a$ 与 $b$ 有什么位置关系时，$a = \lambda b$？

类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量 $a, b (b \neq 0), a // b$ 的充要条件是存在实数 $\lambda$，使

$\boldsymbol {a} = \lambda \boldsymbol {b}.$

如图 1.1-7，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于直线 l 上任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 $\lambda$ ，使得

$\overrightarrow {O P} = \lambda \boldsymbol {a}.$

我们把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量（direction vector）。这样，直线 l 上任意一点都可以由直线 l 上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。

如图 1.1-8，如果表示向量 a 的有向线段 $\overrightarrow{OA}$ 所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l。如果直线 OA 平行于平面 $\alpha$ 或在平面 $\alpha$ 内，那么称向量 a 平行于平面 $\alpha$ 。平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 (coplanar vectors)。

我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情况下三个空间向量共面呢？

探究

对平面内任意两个不共线向量 $a, b$，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量 $p$ 可以写成 $p = xa + yb$，其中 $(x, y)$ 是唯一确定的有序实数对。对两个不共线的空间向量 $a, b$，如果 $p = xa + yb$，那么向量 $p$ 与向量 $a, b$ 有什么位置关系？反过来，向量 $p$ 与向量 $a, b$ 有什么位置关系时，$p = xa + yb$？

可以发现，如果两个向量 $a$ ， $b$ 不共线，那么向量 $p$ 与向量 $a$ ， $b$ 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 $(x, y)$，使

$\boldsymbol {p} = x \boldsymbol {a} + y \boldsymbol {b}.$

例1 如图1.1-9，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使 $\frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OB}=\frac{OG}{OC}=\frac{OH}{OD}=k$ 。求证：E，F，G，H四点共面。

分析：欲证 $E, F, G, H$ 四点共面，只需证明 $\overrightarrow{EH}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EG}$ 共面。而由已知 $\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ 共面，可以利用向量运算由 $\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ 共面的表达式推得 $\overrightarrow{EH}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EG}$ 共面的表达式。

图1.1-9

证明：因为 $\frac{OE}{OA} = \frac{OF}{OB} = \frac{OG}{OC} = \frac{OH}{OD} = k$ ，所以

$\overrightarrow {O E} = k \overrightarrow {O A}, \overrightarrow {O F} = k \overrightarrow {O B}, \overrightarrow {O G} = k \overrightarrow {O C}, \overrightarrow {O H} = k \overrightarrow {O D}.$

因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以

$\overrightarrow {A C} = \overrightarrow {A B} + \overrightarrow {A D}.$

…

选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法.

因此

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {E G} & = \overrightarrow {O G} - \overrightarrow {O E} = k \overrightarrow {O C} - k \overrightarrow {O A} = k \overrightarrow {A C} \\ & = k (\overrightarrow {A B} + \overrightarrow {A D}) = k (\overrightarrow {O B} - \overrightarrow {O A} + \overrightarrow {O D} - \overrightarrow {O A}) \\ & = \overrightarrow {O F} - \overrightarrow {O E} + \overrightarrow {O H} - \overrightarrow {O E} = \overrightarrow {E F} + \overrightarrow {E H}. \end{array}$

由向量共面的充要条件可知， $\overrightarrow{EH}$ ， $\overrightarrow{EF}$ ， $\overrightarrow{EG}$ 共面，又 $\overrightarrow{EH}$ ， $\overrightarrow{EF}$ ， $\overrightarrow{EG}$ 过同一点 E，从而 E，F，G，H 四点共面.

练习

1. 举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.

2. 如图，E，F 分别是长方体 $ABCD-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ 的棱 AB，CD 的中点．化简下列表达式，并在图中标出化简结果： (1) $\overrightarrow{AA^{\prime}}-\overrightarrow{CB}$ ; (2) $\overrightarrow{AA^{\prime}}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}$ ; (3) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B^{\prime}D^{\prime}}$ ; (4) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CF}$ .

3. 在图 1.1-6 中，用 $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AD}$ ， $\overrightarrow{AA'}$ 表示 $\overrightarrow{A'C}$ ， $\overrightarrow{BD'}$ 及 $\overrightarrow{DB'}$ .

4. 如图, 已知四面体 $ABCD, E, F$ 分别是 $BC, CD$ 的中点. 化简下列表达式, 并在图中标出化简结果: (1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$; (2) $\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC})$; (3) $\overrightarrow{AF} - \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.