1.1 空间向量及其运算

这一节把平面向量整体搬到空间。绝大部分内容是照搬——概念、记号、加减与数乘、运算律， 一个字都不用改。真正新的东西只有一件：平面里任意两个向量必定共面， 空间里三个向量却可能不共面，于是「共面」第一次成为一个需要判定的性质。 读这一节的正确姿势，是把注意力全部放在这一处差别上。

（下面用 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 表示向量，与课本的黑体一致；手写时写成 $\vec{a}$。）

概念：逐条照搬

具有大小和方向的量叫空间向量，大小叫它的长度或模。空间向量同样用有向线段表示， 起点 $A$、终点 $B$ 的向量记作 $\overrightarrow{AB}$，模记作 $|\boldsymbol{a}|$ 或 $|\overrightarrow{AB}|$。

以下几个概念与平面向量逐字相同：

• 零向量：长度为 $0$，记作 $\boldsymbol{0}$。有向线段起终点重合时 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{0}$。
• 单位向量：模为 $1$。
• 相反向量：与 $\boldsymbol{a}$ 等长反向的向量，记作 $-\boldsymbol{a}$。
• 相等向量：方向相同且模相等。所以同向等长的有向线段表示同一个向量。
• 共线（平行）向量：表示它们的有向线段所在直线互相平行或重合。规定 $\boldsymbol{0}$ 与任意向量平行。

注意「共线向量」这个名字：它不要求那些有向线段真的落在同一条直线上， 只要方向相同或相反就算。这一点在空间里格外要留心——两条异面直线上的向量也可以是共线向量。

关键一步：任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内

空间向量是自由的，可以任意平移。于是对任意两个非零向量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$， 取任意点 $O$ 作 $\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$、$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$， 两条相交直线确定一个平面，$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 就都落在这个平面里了。

这一句是整节的枢纽。它说明：任意两个空间向量的运算，都可以转化为平面向量的运算。 所以加法、减法、数乘的定义与平面向量完全一样：

$$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}, \qquad \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CA},$$

数乘 $\lambda\boldsymbol{a}$ 的模是 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$，方向在 $\lambda > 0$ 时与 $\boldsymbol{a}$ 相同、 $\lambda < 0$ 时相反、$\lambda = 0$ 时为 $\boldsymbol{0}$。

运算律也照搬（$\lambda,\ \mu \in \mathbf{R}$）：

$$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}, \qquad (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}), \qquad \lambda(\mu\boldsymbol{a}) = (\lambda\mu)\boldsymbol{a},$$ $$(\lambda + \mu)\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{a}, \qquad \lambda(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \lambda\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}.$$

证结合律时与平面有什么不同：平面里 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{c}$ 天然共面， 一张图就画完了；空间里这三个向量可能不共面，画出来是一个平行六面体而不是平面图形。 但证明本身仍然只用「首尾相接」：从 $O$ 出发依次接上三段，终点只由三段的总和决定， 与如何加括号无关。

三个不共面向量的和：平行六面体的对角线

在平行六面体 $ABCD\text{-}A'B'C'D'$ 中，

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}.$$

一般地，以任意点 $O$ 为起点、以三个不共面的向量为邻边作平行六面体， 三个向量的和就是以 $O$ 为起点的那条体对角线所表示的向量。

这是平面里「两个不共线向量的和是平行四边形对角线」的直接升维。 由交换律与结合律还得到：有限个向量求和，交换相加的顺序，和不变。

共线的判定

对任意两个空间向量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$（$\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$），

$$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b} \iff \text{存在实数 } \lambda,\ \text{使 } \boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}.$$

$\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$ 这个前提不能丢：若 $\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$ 而 $\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}$， 两者按规定是平行的，但 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{0}$ 无解。

由此得到直线的向量表示：设 $O$ 是直线 $l$ 上一点，$\boldsymbol{a}$ 是 $l$ 上的非零向量， 则 $l$ 上任意一点 $P$ 都满足

$$\overrightarrow{OP} = \lambda\boldsymbol{a}$$

（$\lambda$ 是某个实数）。与 $\boldsymbol{a}$ 平行的非零向量叫做直线 $l$ 的方向向量。 于是——直线由其上一点和它的方向向量确定。这句话是后面用向量做立体几何的起点： 以后判断线线平行、线面平行，都是在比较方向向量。

共面：这一节唯一真正新的概念

如果表示 $\boldsymbol{a}$ 的有向线段 $\overrightarrow{OA}$ 所在直线 $OA$ 与直线 $l$ 平行或重合， 就说向量 $\boldsymbol{a}$ 平行于直线 $l$；如果直线 $OA$ 平行于平面 $\alpha$ 或在 $\alpha$ 内， 就说向量 $\boldsymbol{a}$ 平行于平面 $\alpha$。平行于同一个平面的向量叫做共面向量。

任意两个空间向量总是共面的（上一节那个「平移到同一平面」的论证）； 三个空间向量则可能共面、也可能不共面。判定如下：

若 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线，则

$$\boldsymbol{p} \text{ 与 } \boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b} \text{ 共面} \iff \text{存在唯一的有序实数对 } (x,\ y),\ \text{使 } \boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}.$$

三处细节都要紧：

• 前提是 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线。若它们共线，$x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$ 只能张出一条直线，判定不成立。
• 是「唯一」。这与平面向量基本定理同源：不共线的两个向量在它们决定的那张平面里构成一组基。
• 它是充要条件，两个方向都能用：由共面写出分解式，或由分解式断定共面。

例：证四点共面

已知平行四边形 $ABCD$，过平面 $AC$ 外一点 $O$ 作射线 $OA$、$OB$、$OC$、$OD$， 在四条射线上取 $E$、$F$、$G$、$H$ 使

$$\frac{OE}{OA} = \frac{OF}{OB} = \frac{OG}{OC} = \frac{OH}{OD} = k,$$

求证 $E$、$F$、$G$、$H$ 四点共面。

思路的转换是关键：「四点共面」不是向量语言，先把它翻译成向量语言—— 取其中一点 $E$ 作公共起点，四点共面等价于 $\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{EG}$、$\overrightarrow{EH}$ 共面。

由比例条件得 $\overrightarrow{OE} = k\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF} = k\overrightarrow{OB}$， $\overrightarrow{OG} = k\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OH} = k\overrightarrow{OD}$。 又因 $ABCD$ 是平行四边形，$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$。于是

$$\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OE} = k\overrightarrow{OC} - k\overrightarrow{OA} = k\overrightarrow{AC} = k\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\right),$$ $$= k\left(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}\right) = \left(\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OE}\right) + \left(\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OE}\right) = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH}.$$

这正是 $\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$ 的形状（$x = y = 1$），故三向量共面； 又它们过同一点 $E$，所以四点共面。$\blacksquare$

最后那半句不能省：共面向量只说明三个向量平行于同一张平面， 要由此断定四个点在同一张平面上，必须让三个向量有公共起点。

这一节该记住的方法

选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系—— 这是用向量做立体几何的基本套路。具体到操作，通常是三步：

1. 选基：挑一组从同一点出发、便于表达的向量（常取几何体过一个顶点的三条棱）。
2. 翻译：把题目中的点、线、面条件写成这组向量的线性组合。
3. 回译：算出来的向量关系再翻回几何结论（共线 $\Rightarrow$ 平行或三点共线， 共面 $\Rightarrow$ 四点共面，等等）。

第 1 步选得好不好，直接决定后面两步长短——这与坐标法里「建系」的地位完全一样。

本节目录下这四页上只印着一组题，第 5 页（page-0010）末尾的「练习」4 道，逐题全做。 这一节（含 §1.1.1）的习题就这一组——「习题 1.1」印在 §1.1.2 的页上，归那一节。 第 1 题是开放式的举例题，没有唯一答案，下面给出若干合规的例子并说明判据。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

全篇反复用到的几条，写在这里，后面不再重复推导：

• 首尾相接：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$。 化简向量算式的第一招，就是把式子凑成首尾相接的链。
• 同起点相减：$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$（指向被减向量的终点）。
• 平行四边形里的相等向量：$ABCD$ 是平行四边形时 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$。 长方体、平行六面体的每一个面都是平行四边形，这条到处能用。
• 中点公式：$M$ 是线段 $BC$ 的中点 $\iff \overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)$（$A$ 任取）。 凡是式子里出现 $\dfrac{1}{2}(\cdots + \cdots)$，先往中点上想。
• 平行六面体的对角线：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$。
• 记号约定：长方体 / 平行六面体一律记作 $ABCD\text{-}A'B'C'D'$，其中 $ABCD$ 与 $A'B'C'D'$ 是上下两个面， $AA'$、$BB'$、$CC'$、$DD'$ 是四条侧棱，且 $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'}$。

练习（第 5 页）第 1 题

1. 举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.

先说判据：三个向量共面，指的是它们平行于同一个平面（把它们平移到同一个起点后， 三条有向线段落在同一张平面里）。所以「不共面」就是——平移到同一起点后，三条有向线段张成整个空间。 最好找的例子，是从一个点出发的三条棱或三条射线，且它们所表示的三个向量不共面。

（措辞要小心：共点的任意两条棱一定相交、一定共面，所以不能说「三条棱两两不共面」； 「不共面」是对三个向量作为一组说的，不是对每一对说的。）

实例一（正方体或长方体）：正方体 $ABCD\text{-}A'B'C'D'$ 中，过同一顶点 $A$ 的三条棱所表示的向量

$$\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AD},\qquad \overrightarrow{AA'}$$

不共面。理由：若三者共面，则 $B$、$D$、$A'$ 与 $A$ 就都在同一张平面里， 于是正方体的八个顶点会被压进一张平面，与它是立体图形矛盾。

实例二（墙角）：教室的一个墙角处，两面墙的交线、以及地面上从这个角出发的两条边， 这三条互相垂直的线上的向量不共面。这就是空间直角坐标系的原型。

实例三（三棱锥）：四面体 $ABCD$ 中，从顶点 $A$ 出发的三条棱 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$ 不共面 （若共面，四个顶点共面，四面体退化）。这一组两两都不垂直，说明「不共面」与「垂直」无关。

实例四（位移）：一只蜜蜂在长方体房间里，先贴着地面向东飞 $3$ m，再贴着地面向北飞 $4$ m， 最后竖直上升 $2$ m。这三段位移向量不共面。

实例五（坐标向量）：空间直角坐标系中三条坐标轴正方向上的单位向量 $\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$、$\boldsymbol{k}$ 不共面。

两个提醒。

一，「静止物体受的三个力」不是合格的例子。 三力平衡意味着 $\boldsymbol{F}_1 + \boldsymbol{F}_2 + \boldsymbol{F}_3 = \boldsymbol{0}$，于是 $\boldsymbol{F}_3 = -\boldsymbol{F}_1 - \boldsymbol{F}_2$，第三个力是前两个的线性组合，三者必定共面 （这就是静力学里的三力共面定理）。所以吊灯、悬挂物这类平衡问题举不出不共面的例子； 要用力做例子，得取一个不平衡的力系，或者三个以上的力。

二，「两两垂直」是充分条件，不是必要条件。

• 不必要：实例三里四面体从一顶点出发的三条棱两两成 $60^\circ$，照样不共面。
• 但确实充分：设非零向量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{c}$ 两两垂直。 若三者共面，则 $\boldsymbol{c} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$，两边点乘 $\boldsymbol{c}$ 得 $|\boldsymbol{c}|^2 = x\,\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} + y\,\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c} = 0$， 于是 $\boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}$，与非零矛盾。故两两垂直的三个非零向量一定不共面。

所以找例子时，取三条两两垂直的棱最稳妥（一定对），但不取垂直的也完全可以。

练习（第 5 页）第 2 题

2. 如图，E，F 分别是长方体 $ABCD-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ 的棱 AB，CD 的中点．化简下列表达式，并在图中标出化简结果： (1) $\overrightarrow{AA^{\prime}}-\overrightarrow{CB}$ ; (2) $\overrightarrow{AA^{\prime}}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}}$ ; (3) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B^{\prime}D^{\prime}}$ ; (4) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CF}$ .

底面 $ABCD$ 是矩形，故 $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$； 四条侧棱给出 $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'}$； 上下底面全等给出 $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{BD}$。下面反复用这几条。

(1) $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AD}$，所以

$$\overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD'}.$$

最后一步是因为 $ADD'A'$ 是平行四边形：$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$，而 $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AA'}$。

在图中的标法：从 $A$ 指向 $D'$ 的那条面对角线。

(2) $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$，所以

$$\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}.$$

这正是「三条共顶点的棱之和等于体对角线」。在图中的标法：从 $A$ 指向 $C'$ 的体对角线。

(3) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$（同起点相减，指向被减向量的终点 $B$）； 又 $\overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{DB}$。于是

$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD} = \boldsymbol{0}.$$

结果是零向量，图中标不出一条有向线段——这本身就是答案， 可以标成「起点与终点重合的一点」。这一问考的正是「化简结果可以是 $\boldsymbol{0}$」。

(4) $F$ 是 $CD$ 的中点，故 $\overrightarrow{CF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}$， 而 $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AB}$，所以 $\overrightarrow{CF} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。于是

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AE},$$

最后一步用了 $E$ 是 $AB$ 的中点。在图中的标法：底面前棱上从 $A$ 指向 $E$ 的那一半 （也等于 $\overrightarrow{EB}$、$\overrightarrow{DF}$、$\overrightarrow{FC}$ 的反向……更准确地说， 凡是与 $\overrightarrow{AB}$ 同向、长为其一半的有向线段都表示这个向量，标 $\overrightarrow{AE}$ 最直观）。

四问的共同套路：先把所有向量用从同一顶点出发的三条棱 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AA'}$ 换掉， 再合并同类项。用这个视角复核一遍：(1) $= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$， (2) $= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$，(3) $= \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = \boldsymbol{0}$， (4) $= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ✓ 与上面逐一相符。

练习（第 5 页）第 3 题

3. 在图 1.1-6 中，用 $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AD}$ ， $\overrightarrow{AA'}$ 表示 $\overrightarrow{A'C}$ ， $\overrightarrow{BD'}$ 及 $\overrightarrow{DB'}$ .

图 1.1-6 是平行六面体 $ABCD\text{-}A'B'C'D'$。注意这里不要求是长方体， 所以只能用平行四边形的性质，不能用垂直或等长。可用的等式是

$$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'}, \qquad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.$$

统一的做法：把要求的向量拆成一条从 $A$ 出发的链，或者用「同起点相减」。

$\overrightarrow{A'C}$：

$$\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AA'} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\right) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA'}.$$

$\overrightarrow{BD'}$：

$$\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}.$$

$\overrightarrow{DB'}$：

$$\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}.$$

自检：这三条都是从底面一个顶点连到上（下）底面对角顶点的面对角线之外的体对角线类线段， 系数应当各是 $\pm 1$，且三项齐全——上面三式正是如此。 再核一条：$\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{CB'}$ 应等于 $\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB}$。 由 $\overrightarrow{CB'} = -\overrightarrow{B'C} = -\left(\overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BC}\right) = \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AD}$， 相加得 $\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA'}\right) + \left(\overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AD}\right) = \overrightarrow{AB}$ ✓。

顺带看出一条规律：记 $\boldsymbol{a} = \overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol{b} = \overrightarrow{AD}$、$\boldsymbol{c} = \overrightarrow{AA'}$， 平行六面体的四条体对角线所对应的向量，恰是 $\pm\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}\pm\boldsymbol{c}$ 这八个组合。 整体变号只是把同一条对角线反向，八个组合因此两两配对，正好给出四条：

$$\overrightarrow{AC'} = \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}, \qquad \overrightarrow{A'C} = \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c},$$ $$\overrightarrow{BD'} = -\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}, \qquad \overrightarrow{DB'} = \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}.$$

本题的三个答案就是其中的后三条。三项齐全、系数都是 $\pm1$，这是体对角线的标志； 面对角线只含两项（如 $\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$），棱只含一项。

练习（第 5 页）第 4 题

4. 如图, 已知四面体 $ABCD, E, F$ 分别是 $BC, CD$ 的中点. 化简下列表达式, 并在图中标出化简结果: (1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$; (2) $\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC})$; (3) $\overrightarrow{AF} - \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.

(1) 三段首尾相接：

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}.$$

在图中的标法：棱 $AD$ 上从 $A$ 指向 $D$ 的有向线段。

(2) 看见 $\dfrac{1}{2}(\cdots + \cdots)$ 就往中点上想。$F$ 是 $CD$ 的中点，由中点公式（起点取 $B$）

$$\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC}\right) = \overrightarrow{BF},$$

于是

$$\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC}\right) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AF}.$$

在图中的标法：从 $A$ 指向 $CD$ 中点 $F$ 的有向线段，也就是 $\triangle ACD$ 中 $CD$ 边上的中线。

(3) 同样用中点公式，这次起点取 $A$、中点是 $BC$ 的中点 $E$：

$$\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right) = \overrightarrow{AE},$$

于是

$$\overrightarrow{AF} - \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right) = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{EF}.$$

在图中的标法：从 $BC$ 的中点 $E$ 指向 $CD$ 的中点 $F$ 的有向线段。

多得到的一条结论：$E$、$F$ 分别是 $\triangle BCD$ 中 $BC$、$CD$ 的中点，故 $EF$ 是中位线，

$$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$$

用它复核 (3)：$\overrightarrow{AF} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\right)$， $\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)$，两式相减得 $\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ ✓ 与中位线的结论一致。

三问的共同点：全都靠「首尾相接」与「中点公式」两条，一步不用坐标。 这正是这一节要练的东西——在还没有基底、没有坐标的阶段，只用线性运算就能把几何关系算清楚。