前面八小节把统计的三段路各走了一遍：§9.1 讲怎么把数据拿回来，§9.2 讲怎么把数据画出来、 怎么用样本的取值规律与特征数去估计总体。这一节没有新概念，它要的是一次完整的实践—— 从一份真实的体检数据出发，走完”提出问题 → 取数 → 作图 → 算特征数 → 作估计 → 给建议”， 产物是一份统计分析报告。

课本把这件事做成了”案例”而不是”例题”，用意很明确：例题的终点是一个数， 案例的终点是一段能给别人看、别人能据此做决定的文字。

一、背景：BMI 是什么，四档标准怎么读

国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写 BMI）衡量人体胖瘦程度，

$$\mathrm{BMI}=\frac{\text{体重（单位：kg）}}{\text{身高}^{2}\ (\text{单位：m}^{2})} .$$

它是一个派生变量：不是量出来的，是由身高、体重两个原始变量算出来的，单位是 $\mathrm{kg/m^{2}}$。 中国成人的 BMI 数值标准分四档：

读这张表要抓住两点。其一，四个区间左闭右开、首尾开口，恰好把整条数轴分完， 既不重也不漏——这正是 §9.2.1 作频率分布表时对分组的要求，端点归哪一边必须事先说死。 一个 BMI 恰为 $24.0$ 的人算偏胖不算正常，靠的就是这个约定。 其二，BMI 只是胖瘦的一个代理指标：它不区分肌肉与脂肪，肌肉量大的人 BMI 会偏高， 所以后面所有结论都只在”以 BMI 衡量”这个口径下成立。口径先说清楚，是统计报告的第一件事。

二、数据是怎么来的

课本的取数方式一句话带过，但那一句话里有三个要点：

从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了 90 名男员工、50 名女员工。

第一，抽样框是公司员工体检数据，不是街上随机拦人——名单完整、覆盖全体，这是样本能代表这家公司的前提。

第二，分层变量取的是性别。按 §9.1.2 的标准，分层变量要与考察变量相关、层间差异明显而层内较匀， 且抽样前就能确定每层人数。男女的体格差异是公认的，公司花名册上性别也是现成的，两条都满足。

第三，比例分配。样本里男女之比是 $90:50=9:5$，比例分配意味着总体里的男女之比也是 $9:5$， 即全公司男员工占 $\dfrac{9}{14}$、女员工占 $\dfrac{5}{14}$。这个比不是随手写的， 它就是后面把两层合起来估计全公司时要用的层权

$$w_{\text{男}}=\frac{90}{140}=\frac{9}{14},\qquad w_{\text{女}}=\frac{50}{140}=\frac{5}{14}.$$

样本量 $140$ 也值得说一句。增大样本量能提高代表性，但调查成本随之上升； $140$ 是在这两者之间取的一个折中，够用来估计比例和均值，不够用来给每个员工建档。 样本量该多大，取决于要回答什么问题，没有一个放之四海的数。

三、本站写的这份分析报告

课本给了报告的四段结构——标题、前言、主体、结尾。下面按这个结构走一遍， 所有数值都由本节目录中 page-0227.png 上的 $140$ 个 BMI 原始数据算得。

标题

某公司员工肥胖情况统计分析报告

前言

为了解本公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中， 用比例分配的分层随机抽样方法抽取男员工 $90$ 名、女员工 $50$ 名， 由其身高、体重计算 BMI，以中国成人 BMI 四档标准作为判定口径。 本报告要回答三个问题：全公司员工胖瘦分布是什么样子；男女员工有没有差别、差在哪里； 据此该提什么建议。

主体（一）：先看分布长什么样

$140$ 个数据的最小值是 $13.9$、最大值是 $35.3$，极差 $21.4$。 取组距 $3$、从 $13$ 起分组，得到 $8$ 组：

频数合计 $3+36+45+32+13+8+1+2=140$ ✓，频率合计 $1$ ✓。 按这张表画频率分布直方图，形状是单峰、右偏：峰在 $[19,22)$， 左边只到 $13.9$ 就没有了，右边却拖出一条长尾一直到 $35.3$。

右偏这件事有一个不用画图也能看出来的判据：

$$\overline{x}=21.6514>\text{中位数}=21.15 .$$

平均数被右尾的几个大值拽着往上走，中位数不受影响，两者的差就是偏斜的方向（§9.2.3）。

主体（二）：男、女员工的差异

把两层分开算：

再按四档标准数人：

这张表里藏着这份数据最值得说的一件事：

男、女员工偏胖及以上的比例都恰好是 $20.0\%$。 也就是说， “男员工比女员工更容易胖”这个想当然的结论，在这份数据上并不成立。 男女真正的差别在另一头——女员工偏瘦的比例 $32.0\%$ 是男员工 $12.2\%$ 的两倍半还多， 正常档的比例则反过来（男 $67.8\%$、女 $48.0\%$）。

这也解释了两个特征数之间看似矛盾的现象：女员工的平均数更低（$20.69<22.18$）， 方差却更大（$16.11>14.17$）。低是因为左边偏瘦的人多，散是因为她们两头都占—— 既有 $13.9$ 这样的最小值，也有 $31.6$ 的肥胖者。只报平均数会漏掉一半信息， 这正是 §9.2.4 反复强调的：集中趋势与离散程度必须一起看。

用百分位数再验一次（按 §9.2.2 的规则算）：

女员工的四个百分位数条条低于男员工，四处的差依次是 $1.2$、$1.95$、$0.9$、$1.25$， 差得最开的是中位数。也就是说，女员工的分布不是被整体平移下去的， 而是中段塌下去、两端与男员工相去不远——这与上面的比例表说的是同一件事： 差别集中在”正常”与”偏瘦”之间的那条界线附近，而不在高 BMI 那一端。

主体（三）：全公司的整体情况

全公司的估计有两条路，两条路必须给出同一个答案。

第一条：把 $140$ 个数据当一组直接算。

$$\overline{x}=\frac{3031.2}{140}=21.6514,\qquad s^{2}=15.3766,\qquad s=3.9213 .$$

第二条：用两层的特征数按层权合并（§9.2.4 例 6 的公式）。先合并平均数：

$$\overline{x}=w_{\text{男}}\overline{x}_{\text{男}}+w_{\text{女}}\overline{x}_{\text{女}} =\frac{9}{14}\times 22.1844+\frac{5}{14}\times 20.6920=21.6514 ；$$

再合并方差——注意不能直接把两个方差加权平均，还要补上两层均值偏离总均值的那一块：

$$s^{2}=w_{\text{男}}\left[s_{\text{男}}^{2}+(\overline{x}_{\text{男}}-\overline{x})^{2}\right] +w_{\text{女}}\left[s_{\text{女}}^{2}+(\overline{x}_{\text{女}}-\overline{x})^{2}\right]=15.3766 .$$

两条路的结果分毫不差，这是对上面所有分层计算的一次交叉检验。 补的那一块 $w_{\text{男}}(\overline{x}_{\text{男}}-\overline{x})^{2}+w_{\text{女}}(\overline{x}_{\text{女}}-\overline{x})^{2}$ 量值是 $0.5114$，占总方差的 $3.3\%$——层间差异只贡献了总变异的三十分之一， 说明这家公司员工 BMI 的散布主要来自个体之间，而不是来自男女之别。

全公司四档的估计：

据此估计：该公司约有 $60.7\%$ 的员工 BMI 处在正常范围， 约 $20.0\%$ 的员工偏胖或肥胖，约 $19.3\%$ 的员工偏瘦。 中位数 $21.15$ 落在正常档中部，平均数 $21.6514$ 也在正常档内。

由于是比例分配的分层抽样，四档比例既可以用上表的层权合并得到， 也可以直接用 $140$ 人的样本比例——这两种算法在比例分配下必然一致 （$\frac{90}{140}\times\frac{11}{90}+\frac{50}{140}\times\frac{16}{50}=\frac{27}{140}$）， 但换成不按比例分配的分层抽样就只有前者对。

结尾：结论与建议

结论有三条：员工 BMI 总体上以正常为主，分布单峰右偏； 偏胖及以上占两成，男女比例相同；偏瘦占近两成，且集中在女员工。

建议相应地也是三条，而不是笼统的一句”注意减肥”：

1. 面向偏胖及以上的两成员工（约每五人一位），可组织体重管理， 在膳食与规律运动两方面提供条件，如工作餐提供低油低糖选项、设置活动场地与固定活动时间。
2. 面向偏瘦的近两成员工，尤其是女员工，同样需要关注—— BMI 过低并不比过高安全，建议一并纳入健康咨询范围，不要只把”减重”当作唯一目标。
3. 建立定期体检与 BMI 跟踪，用同一口径逐年比较，才能判断措施是否有效。 只有一年的横断面数据，说不了趋势。

最后必须写进报告的是结论的边界。第一，这些数字是由 $140$ 人的样本估计出来的， 样本有随机性，换一批 $140$ 人算出的比例会有出入，因此所有结论都是带误差的估计， 不是精确的事实（这就是统计推断的或然性）。第二，总体是”该公司全体员工”， 把 $60.7\%$ 说成全国成年人的正常率是把结论用出了它的范围。第三，口径是 BMI， 它不区分脂肪与肌肉，个体层面还需要结合体脂率、腰围等指标才能下判断。

四、这一节真正教的三件事

一是先想清楚统计问题是什么。 拿到 $140$ 个数就急着算平均数，是本末倒置。 “要比较男女差异”决定了必须分层算；“要估计整体情况”决定了必须用层权合并； “要提控制体重的建议”决定了四档比例比平均数更有用。问题决定算什么，不是反过来。

二是样本代表性与成本之间要作权衡。 样本量越大代表性越好，成本也越高。 抽样调查的核心问题始终是代表性，而代表性首先由抽样方法保证，其次才由样本量保证—— 一个有偏的抽样方法，样本量再大也纠正不过来。

三是统计推断的结果具有或然性。 对一个具体的总体，它的取值规律、百分位数、 集中趋势参数、离散程度参数都是确定的但未知的；我们用样本去估计它们， 而样本是随机的，所以估计值也是随机的。因此报告里该写”约 $20\%$“而不是”恰好 $20\%$”， 该写”估计”而不是”证明”。

五、小结·回顾与思考

课本在本章小结里留了五个问题。逐个作答如下——它们是全章的骨架。

问题 1：你能从自己的学习、生活中提出一些统计问题吗？

能提得出来的标志是：说得清总体是谁、考察的变量是什么、要估计的是哪个特征。 例如”本班同学每周课外阅读时长的分布”（总体是本班同学，变量是周阅读时长， 要估计的是均值与分布形态），“本校学生上学通勤时间的第 $90$ 百分位数” （用来给校车发车时间定档）。研究这些问题有意义，是因为答案能落到一个具体决定上—— 调整作业量、定发车时间。提不出可用的决定，就只是在收集数字。

问题 2：简单随机抽样和分层随机抽样有什么联系与区别？分层的目的是什么？

联系：两者都是概率抽样，都要求每个个体有确定的入样机会，都靠随机化避免主观选择； 分层随机抽样在每一层内部用的正是简单随机抽样。

区别：简单随机抽样把总体当作没有结构的一堆个体，直接抽 $n$ 个； 分层随机抽样先按某个变量把总体分成互不重叠的层，再在各层内独立抽取，最后按层权合并。 前者适用于总体差异不大、或者对总体结构一无所知的情形，操作简单； 后者要求分层变量在抽样前已知、各层人数已知，适用于层间差异明显的总体。

分层的目的是降低估计的波动。层内越匀、层间差越大，分层带来的好处越大： 把总变异中”层间”那一块从抽样误差里剔除出去，用同样的样本量得到更稳的估计。 本节的数据正好给了一个反例——层间差异只占总方差的 $3.3\%$， 所以在这份数据上按性别分层对精度的帮助有限，它的价值主要在于能分别报告男女的情况。 分层还有这层用处：保证每层都有足够样本，可以对每层单独作估计。

问题 3（1）：频率分布表或频率分布直方图能给出哪些信息？

分布的形状（单峰还是多峰、对称还是偏斜、有没有长尾）、数据集中在哪一段、 任一分组内数据所占的比例，以及由此近似读出的中位数与百分位数。 本节的直方图一眼就看出”单峰、峰在 $[19,22)$、右边拖尾”。 代价是分组丢掉了组内的具体取值，由直方图算出的平均数、百分位数都是近似值。

问题 3（2）：百分位数告诉我们什么？

一个数在整批数据里的相对位置：第 $p$ 百分位数是这样一个值， 至少有 $p\%$ 的数据不大于它、至少有 $(100-p)\%$ 的数据不小于它。 它回答”多少比例的个体在这条线以下”，因此天然适合定标准线—— 定销售指标、定阶梯电价的分档、定进货量，都是先说要覆盖百分之几，再去取对应的百分位数。

问题 3（3）：平均数、中位数、众数各有什么特点？

平均数用上了每一个数据，代数性质好（可加权合并，见问题 4），但对极端值敏感； 中位数只看排序后中间的位置，对极端值稳健，代价是不反映极端值的具体大小； 众数是出现次数最多的取值，是唯一适用于分类数据的集中趋势度量， 但可能不唯一，也可能在连续数据里毫无意义。 数据近似对称时三者接近；右偏时平均数最大、众数最小，本节 $21.65>21.15$ 就是这个格局。

问题 3（4）：方差、标准差、极差各有什么特点？

极差只用最大值与最小值，算起来最快，但完全被两个端点决定，极不稳健； 方差是各数据到平均数距离平方的平均，用上了全部数据，代数性质好（可按层权合并）， 缺点是量纲变成了原量纲的平方；标准差是方差的算术平方根，量纲与原数据一致， 可以直接和平均数放在一起说话，是最常用的离散程度度量。

问题 4：已知每班的平均数、方差和人数，能算出全年级的平均数和方差吗？

能，而且这正是本节主体（三）用过的合并公式。设第 $i$ 个班有 $n_i$ 人、 平均数 $\overline{x}_i$、方差 $s_i^{2}$，全年级共 $n=\sum n_i$ 人，则

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i} n_i\overline{x}_i ,\qquad s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i} n_i\left[s_i^{2}+(\overline{x}_i-\overline{x})^{2}\right].$$

平均数是按人数加权的平均，这一条容易接受；方差的关键在于那个补偿项 $(\overline{x}_i-\overline{x})^{2}$。道理是：$s_i^{2}$ 量的是班内相对于本班均值的离散， 而全年级方差量的是相对于年级均值的离散，两者差着班均值到年级均值的那段距离。 只把各班方差按人数加权平均，得到的是”组内方差”，会系统性地偏小； 补上的那一项正是”组间方差”。本节的数是 $14.1735$ 与 $16.1103$ 按 $9:5$ 加权得 $14.8652$，补上 $0.5114$ 才是 $15.3766$。

问题 5：为什么说统计推断结果具有或然性？

因为估计的依据是样本，而样本是随机抽取的。总体的参数是确定的常数， 但我们看不见它；我们看得见的样本每抽一次就换一批，由它算出的平均数、 方差、百分位数因而都是随机的，与真值之间总有一段随机误差。 所以同一个总体，两次独立抽样几乎必然给出两个不同的估计值， 任何一次的结论都只能说”很可能如此”，不能说”必定如此”。

举例：从本节的 $140$ 人里随机抽 $20$ 人重算 BMI 平均数， 抽到的若多是那几位 $30$ 以上的，均值会明显偏高；抽到的若多是 $16$ 附近的， 均值又会偏低。样本量越小，这种摆动越大——这也解释了为什么样本量太小的调查不能轻信。

六、常见错法

• 把四档标准的端点搞错。 $\mathrm{BMI}=24$ 属偏胖不属正常，$\mathrm{BMI}=28$ 属肥胖不属偏胖。 分档一律左闭右开，端点归右边那一档。
• 合并方差时直接加权平均。 漏掉 $(\overline{x}_i-\overline{x})^{2}$ 这一项，结果必定偏小。 自检办法：算出来的合并方差如果比各层方差的最大值还小，就一定错了。
• 只报平均数就下结论。 女员工均值更低而方差更大，只看均值会得出”女员工更瘦”， 漏掉”女员工两头都占”这个真正有用的信息。
• 把样本的分层结构当成总体的分层结构。 只有比例分配时，样本比例才等于层权； 不按比例分配时必须用总体层权 $N_i/N$ 重新加权，否则估计有系统偏差。
• 把结论用出总体的范围。 这份数据的总体是这家公司的员工， 推不出全市、全国的肥胖率，也推不出任何一位具体员工的健康状况。

本节目录（page-0227～page-0234，印刷页 $220$～$227$）里印着两批材料： 第 $222$～$223$ 页（page-0229、page-0230）的小结·回顾与思考 $5$ 问， 以及第 $224$～$226$ 页（page-0231～page-0233）的复习参考题 9 共 12 题。

小结那 $5$ 问是全章的复习提问，没有唯一解答，本站把它们答在讲解里 （见讲解第五节），不重复收在这一份。这一份收的是复习参考题 9 的 $12$ 道，全收。

第 8、9、10、11 题的数据在课本里是表格插图，本目录的转写未采到， 下面用到的数值是本份对 page-0232.png、page-0233.png 扫描图的逐个读数， 不是课本原文，每处都另行标明。第 $6$ 题要读者自己去数一本英语书的句子， 第 $12$ 题要读者自己去实施调查——这两题的数据只能由做题人自己产生， 本份给的是可复核的方案与判据，不替读者编数据。

本站解答没有官方答案可比（人教A版学生用书不含答案），所以每道题都过了一次独立 verifier 的复核。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

复习参考题 9 第 1 题

1. 为了了解某地参加计算机水平测试的 5 000 名学生的成绩，从中抽取了 200 名学生进行调查分析. 在这个问题中，被抽取的 200 名学生是（）. (A) 总体 (B) 个体 (C) 样本 (D) 样本量

选 (C)。

四个名词在 §9.1.1 里是一组配套的定义，对着这道题逐个落位：

所以被抽取的 $200$ 名学生（的成绩）构成样本，选 (C)。

(A) 错在总体是全部 $5\,000$ 名学生的成绩，不是抽出来的那一部分； (B) 错在个体是单个学生的成绩，不是 $200$ 名学生这一整批； (D) 错在样本量是一个数（$200$），而 $200$ 名学生是一批对象， “是样本量”这句话在语法上就不成立——只能说”样本量是 $200$”。

一个容易被忽略的措辞：严格按定义，统计里的总体、个体、样本都是数据的集合， 不是人的集合，所以这里说”$200$ 名学生是样本”是一句简略说法， 完整的说法是”这 $200$ 名学生的成绩是样本”。选项里没有更严格的写法，(C) 仍是唯一正确的。

这道题的动作：先问”考察的变量是什么”（这里是成绩）， 总体、个体、样本三个词都跟着这个变量走，样本量则是一个数。

复习参考题 9 第 2 题

2. 四名同学各掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数。根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数 6 的是（）。 （A）平均数为 3，中位数为 2 （B）中位数为 3，众数为 2 （C）平均数为 2，方差为 2.4 （D）中位数为 3，方差为 2.8

选 (C)。

骰子的点数只能取 $1,2,3,4,5,6$，每人记 $5$ 个数。 “一定没有出现点数 $6$“要求的是：在给定的统计结果下，$6$ 不可能出现。 所以对四个选项，要么证明 $6$ 不可能，要么举出一组含 $6$ 的反例。

(C) 一定没有 $6$。 平均数为 $2$ 给出 $\sum x_i=10$；方差为 $2.4$ 给出

$$\sum_{i=1}^{5}(x_i-2)^{2}=5\times 2.4=12 .$$

假如某一次掷出 $6$，那一项就贡献 $(6-2)^{2}=16>12$， 而其余四项都是非负数，总和不可能只有 $12$，矛盾。故 $6$ 不可能出现。

(A) 可能有 $6$。 取 $1,1,2,5,6$：和为 $15$，平均数 $3$；排序后正中间是 $2$，中位数 $2$。两个条件都满足，且含 $6$。

(B) 可能有 $6$。 取 $2,2,3,4,6$：排序后正中间是 $3$，中位数 $3$；$2$ 出现两次、其余各一次，众数 $2$。两个条件都满足，且含 $6$。

(D) 可能有 $6$。 取 $1,2,3,3,6$：排序后正中间是 $3$，中位数 $3$；和为 $15$，平均数 $3$，

$$\frac{(1-3)^{2}+(2-3)^{2}+0+0+(6-3)^{2}}{5}=\frac{4+1+0+0+9}{5}=2.8 .$$

两个条件都满足，且含 $6$。

自检：三个反例的每个数都在 $1$ 到 $6$ 之间 ✓，都恰好 $5$ 个数 ✓， (C) 的论证只用到”平方非负”，不依赖别的假设 ✓。

这道题的动作：方差是一把尺——它给出了所有数据到平均数的平方距离之和。 一旦这个和被限死，离平均数太远的取值就直接被排除了。 中位数和众数管不住极端值（它们只看位置与频次），所以只有含方差的选项才可能”一定没有”， 而 (D) 的 $2.8$ 恰好够大，放得进一个 $6$。

复习参考题 9 第 3 题

3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面哪种叙述一定是错误的？为什么？

(1) 数据中可能有异常值;

(2) 这组数据是近似对称的；

（3）数据中可能有极端大的值；

(4) 数据中众数可能和中位数相同.

一定错误的是 (2)。

前提”中位数比平均数小很多”意味着这组数据明显右偏： 中位数只看排序后的中间位置，平均数用上每一个数据。 两者拉开很大差距，只能是因为右边（大值那一侧）有少量数据特别大， 把平均数拽了上去，而中位数纹丝不动。

(2) 这组数据是近似对称的——一定错。 如果分布近似对称，那么以中心为轴，左右两侧的数据大致互相抵消， 平均数与中位数应当很接近。这与”小很多”直接冲突。所以 (2) 不可能成立。

其余三条都只是”可能”，各举一个成立的例子即可：

(1) 数据中可能有异常值——可能对。 如 $1,2,2,2,3,3,4,200$， 中位数 $\dfrac{2+3}{2}=2.5$，平均数 $\dfrac{217}{8}=27.125$， 中位数远小于平均数，而 $200$ 正是一个异常值。

(3) 数据中可能有极端大的值——可能对。 上面这组数据里的 $200$ 就是。 事实上这是”中位数远小于平均数”最常见的成因。

(4) 数据中众数可能和中位数相同——可能对。 如 $1,2,2,2,100$， 排序后正中间是 $2$，中位数 $2$；出现次数最多的也是 $2$，众数 $2$，两者相同。 而平均数 $\dfrac{107}{5}=21.4$，中位数比它小很多。

自检：(1) 与 (3) 用的是同一组数据，(4) 另给一组， 三组都满足”中位数比平均数小很多”这个前提 ✓；(2) 的排除用的是对称性与两个统计量的定义，不依赖具体数据 ✓。

这道题的动作：把”中位数与平均数的大小关系”当作偏斜方向的指示器。 平均数大于中位数指向右偏（右侧有长尾或极端大值），小于则指向左偏， 两者接近才谈得上近似对称。§9.3 里那 $140$ 个 BMI 数据的 $\overline{x}=21.6514>21.15=$ 中位数，就是同一个判据的一次应用。

复习参考题 9 第 4 题

4.（1）在已分组的若干数据中，每组的频数是指____，每组的频率是指____

(2) 一个公司共有 N 名员工，下设一些部门，要采用样本量比例分配的分层随机抽样方法从全体员工中抽取样本量为 n 的样本。如果某部门有 m 名员工，那么从该部门抽取的员工人数是 ____。

(1) 每组的频数是指落在该组内的数据的个数； 每组的频率是指该组的频数与数据总个数（样本量）的比值。

两点补充：频数是非负整数，各组频数之和等于样本量； 频率是 $[0,1]$ 内的数，各组频率之和等于 $1$。 这两个”合计”是作频率分布表时必查的两道自检。

(2) 从该部门抽取的员工人数是 $\dfrac{mn}{N}$。

理由：样本量比例分配的分层随机抽样，要求每层的抽样比与总体的抽样比相同。 总体抽样比是 $\dfrac{n}{N}$，该部门有 $m$ 名员工，于是抽

$$m\times\frac{n}{N}=\frac{mn}{N}\ (\text{名}).$$

自检：把各部门的人数记为 $m_1,m_2,\dots,m_k$，则 $\sum m_i=N$， 各部门抽取人数之和为 $\sum \dfrac{m_i n}{N}=\dfrac{n}{N}\sum m_i=n$ ✓，正好抽满样本量。

这道题的动作：比例分配的分层抽样只有一个参数——抽样比 $\dfrac{n}{N}$， 每层各自乘上自己的层大小即可。实际操作中 $\dfrac{mn}{N}$ 未必是整数， 需要按四舍五入等规则取整，再微调使各层之和恰为 $n$；这一步不影响本题的答案形式。

复习参考题 9 第 5 题

5. 一家著名的全国性连锁服装店进行了一项关于当年秋季服装流行色的民意调查。调查者通过向顾客发放饮料，并让顾客通过挑选饮料杯上印着的颜色来对自己喜欢的服装颜色“投票”。根据这次调查结果，在某大城市 A，服装颜色的众数是红色，而当年全国服装协会发布的调查结果是咖啡色。

(1) 这个结果是否代表 A 城市的人的看法?

(2) 你认为这两种调查的差异是由什么引起的?

(1) 不能代表 A 城市的人的看法。

题面能坐实的硬伤有两处，任何一处单独出现都足以让结论失去代表性：

一是抽样框错了。 只有走进这家连锁服装店的顾客才有机会”投票”， 没去这家店的人入样机会为零。这些顾客本身就偏向该店的风格、价位和客群年龄， 他们的颜色偏好不是 A 城市全体居民的偏好。这是覆盖偏差。

二是测量工具与考察变量不一致。 调查真正记录下来的是”顾客挑了哪种颜色的饮料杯”， 而要考察的是”喜欢哪种颜色的服装”。喜欢红色饮料杯不等于喜欢红色衣服， 杯子的摆放位置、剩余数量、图案都会影响挑选。这一步引入的偏差与抽样无关， 是测量偏差。

两者叠加，得到的众数”红色”只能说明”在这家店参与投票的顾客里挑红杯子的最多”， 推不到 A 城市的人。

还有一处隐患，但题面没有把它写死，答题时只能作为要追问的细节提出来： 如果顾客可以不接饮料、接了也可以不挑，那么参与就是自愿的， 愿意”投票”的人和不愿意的人在偏好上可能不同，样本会成为自选样本。 可题面只写了”向顾客发放饮料”，既没说顾客能否拒绝，也没说是不是人手一杯， 所以这一条是合理的怀疑，不是已经坐实的硬伤—— 好在上面两条已经足够否定代表性，结论并不依赖它。

(2) 差异有两个能从题面站住的来源：总体不同，以及服装店这一侧的调查方法有硬伤。

先划一条界：题面只告诉了我们协会发布的结果（咖啡色）， 没有告诉我们协会怎么抽样、覆盖多大范围、怎么提问。 所以下面只对服装店那一侧下方法上的结论， 不能断言协会用的是设计良好的概率抽样——它同样可能是便利样本或另一种有偏调查。 把”协会的调查更规范”当成差异的原因，是题面推不出来的。

• 总体不同（确定成立）。 服装店调查的实际总体是”该店某段时间的到店顾客”， 协会发布的是全国的结果。一个城市的流行色本来就可以与全国不同， 即使两次调查都无偏，结果也未必一致。
• 服装店这一侧的方法有硬伤（确定成立）。 便利样本，加上用饮料杯颜色 代理服装颜色——第（1）问已经逐条说过。 一个有偏的方法，样本量再大也纠正不过来， 所以它的”红色”根本不能拿来与协会的结果直接比较。
• 协会那一侧无从判断（题面没给）。 要判断两个结果谁更可信， 还需要知道协会的抽样框、样本量与提问方式。这些题面都没有， 诚实的回答是”这一侧不能下结论”，而不是替它补上一套假设。

一条补充提醒（不是本次差异已被证实的原因）：众数只取”出现最多”的那一个取值， 红色比咖啡色多一票也能当众数。当几种颜色的比例接近时，换一批样本众数就可能换一个颜色。 但题面没有给出各颜色的频数，所以无法判断这次的两个众数是不是都建立在微弱领先上—— 这只是提醒你，凡是用众数报”流行色”，都要同时看频数分布。

这道题的动作：判断一次调查能不能代表某个总体， 只问三件事——谁有机会入样（抽样框与覆盖）、谁真的入了样（随机化与自选）、 量到的是不是要量的那个变量（测量口径）。三关有一关不过，样本量再大也白搭。

复习参考题 9 第 6 题

6. 从一本英语书中随机抽取 100 个句子，数出每个句子中的单词数，作出这 100 个数据的频率分布表，由此你可以作出什么估计？

这道题要用的 $100$ 个数据必须由做题人自己去数， 课本没有给、本份也不代为编造。下面给的是一套可复核的做法， 以及”由此能作出什么估计”的完整回答。

第一步：先把总体与个体钉住，再把”随机抽取”落实。

总体与个体必须是同一类对象，下面两种写法二选一，选定就不能混：

• 调查单元取”句子”：总体是这本书里的全部句子，个体是每一个句子， 而”单词数”是这些个体上考察的变量；
• 直接以数值为对象：总体是全部句子的单词数的全体，个体是每一个句子的单词数。

不能把总体说成”全部句子”、却把个体说成”每个句子的单词数”—— 一个是句子、一个是数，不是同一类东西（§9.1 讲总体与个体时强调过）。 本份按第一种写法：总体是全书的句子，个体是每一个句子，变量是它的单词数。

“随机”不等于”随手翻”——随手翻到的页、随眼看到的句子都带主观倾向 （人容易停在版面显眼、长度惹眼的地方）。可行的三种做法：

• 简单随机抽样：先给全书句子按页、按段、按句顺序统一编号， 再用随机数工具产生 $100$ 个编号，抽到重复的舍去重抽。 它的定义特征是：每个容量为 $100$ 的样本被抽到的可能性都相等（见 §9.1.2）。 各句入样概率相等只是这条定义的推论，并不是简单随机抽样独有的性质。
• 系统抽样：数出全书约有 $M$ 个句子，取间隔 $k=\left[\dfrac{M}{100}\right]$， 在 $1\sim k$ 中随机取一个起点，此后每隔 $k$ 个句子取一个。 随机起点的系统抽样同样能让各句入样概率相等：起点在 $1\sim k$ 中等可能， 每个句子恰好落在一条”每隔 $k$ 个”的序列上，入样概率都是 $\dfrac1k$。 它与简单随机抽样的真正差别在于可能被抽到的样本一共只有 $k$ 个， 绝大多数容量 $100$ 的子集根本抽不到。
• 两阶段抽样：先随机抽若干页，再在抽中的页内随机抽句。 这一条要单列出来，它不是简单随机抽样—— 每页的句子数不同，页内再抽固定条数时， 句少的页里每个句子入样概率更大，各句入样概率一般并不相等。 用它就必须按各页句子数加权（或每页按比例分配抽取条数）， 不能直接把它当作简单随机抽样来汇总。

同时要把口径说死：什么算一个句子（以句号、问号、感叹号结尾）， 什么算一个单词（缩写 don't 算一个还是两个，带连字符的 well-known 算几个， 数字与专有名词怎么算）。口径不统一，$100$ 个数就不可比。

第二步：作频率分布表。 按 §9.2.1 的四步走：

1. 求极差 $R=\max-\min$；
2. 定组数与组距。$n=100$ 时通常取 $8\sim 12$ 组，组距 $d$ 取 $\dfrac{R}{\text{组数}}$ 向上凑整 （句长数据取 $d=5$ 常常合适）；
3. 分组：起点取比最小值略小的整齐数，各组左闭右开， 但最后一组必须右闭（写成 $[a_{k-1},a_k]$）， 或者把终点 $a_k$ 取得严格大于最大值。 否则最大值恰好落在最后一个右端点上时就无组可归—— 例如最小 $5$、最大 $45$、组距 $5$，分到 $[40,45)$ 就把 $45$ 漏掉了。 “不重不漏”这四个字，漏的往往就在这一头；
4. 逐组计数，列出下表——

两道自检：频数合计必须是 $100$；频率合计必须是 $1$。

“合计”这一格对累计频率栏是空的，别顺手也填个 $1$： 累计频率是一列递增的数（$0.12,\ 0.35,\ 0.61,\dots$），把它们加起来没有任何意义。 等于 $1$ 的是最后一组的累计频率，不是这一列的和。

第三步：由这张表能作出哪些估计。 至少有下面五类：

• 取值规律（分布形态）：由各组频率看出峰在哪一组、是单峰还是多峰、 是对称、右偏还是左偏，据此估计”这本书的句子长度大致集中在哪一段”。 形态只能从你自己数出来的这 $100$ 个数据的表里读，不能事先写上答案。 （句长数据常常呈右偏——多数句子中等长度、少数长句拖出右尾—— 但这是一个待检验的预期，你的表若不是这样，就照表如实写。）
• 比例：任一分组或若干相邻分组的频率，就是全书中句长落在该范围内的句子所占比例的估计。 例如”$[10,20)$ 个单词的句子约占 $60\%$”。
• 集中趋势：用组中值加权得平均数的估计 $\overline{x}\approx\sum(\text{组中值}\times\text{频率})$， 即这本书的平均句长；由累计频率跨过 $0.5$ 的那一组内插得中位数。
• 百分位数：由累计频率跨过 $p\%$ 的那一组内插，得第 $p$ 百分位数。 例如第 $90$ 百分位数告诉你”$90\%$ 的句子不超过多少个单词”， 可用来判断这本书对读者的阅读负担。
• 离散程度：用组中值按 §9.2.4 的公式估计方差与标准差 $s^{2}\approx\sum(\text{组中值}-\overline{x})^{2}\times\text{频率}$， 看这本书的句长是齐整还是长短悬殊。 这一类和集中趋势同等重要，不能只报平均句长就交差—— 平均句长 $18$ 个单词、标准差 $3$ 与标准差 $12$，读起来完全是两本书。

用组距表算中位数、百分位数时，内插用的是”组内近似均匀分布”这个假设。 原始数据一旦分了组，组内的具体取值就丢了， 所以这些数都是近似值，写结论时要说”约”。

第四步：把结论的边界写清楚。 这些估计的总体只是这一本书，换一本书、换一位作者、换一种文体（教材、小说、报刊） 句长分布都会不同，不能外推。而且样本只有 $100$ 个句子， 估计值带随机误差，换一次抽样结果会有出入——所以该说”约”，不该说”恰好”。 分组本身也丢了组内的具体取值，由表算出的平均数与百分位数都是近似值。

这道题的动作：一道开放题的可复核之处不在数字，而在流程： 总体与个体说清楚了没有，随机化怎么实现的，口径统一了没有， 分组是否不重不漏，两个合计对不对，结论有没有超出总体的范围。

复习参考题 9 第 7 题

7. 在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分. 下面是两组评委对同一名选手的打分：

小组A 42 45 48 46 52 47 49 55 42 51 47 45
小组B 55 36 70 66 75 49 46 68 42 62 58 47

（1）选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值.

(2) 你能据此判断小组 A 与小组 B 中哪一个更像是由专业人士组成的吗?

(1) 选标准差（或方差）。

“每一组评委打分的相似性”说的是组内这 $12$ 个分数彼此有多接近， 也就是这组数据的离散程度：越集中越相似，越分散越不相似。 刻画离散程度的量有极差、方差、标准差，其中标准差用上了全部数据、 量纲又与原数据一致（都是”分”），最适合直接拿来比较，所以选它。

小组 A：$12$ 个分数之和

$$42+45+48+46+52+47+49+55+42+51+47+45=569,\qquad \overline{x}_A=\frac{569}{12}\approx 47.42 .$$

平方和 $\sum x_i^{2}=27147$，于是

$$s_A^{2}=\frac{27147}{12}-\left(\frac{569}{12}\right)^{2} =\frac{325764-323761}{144}=\frac{2003}{144}\approx 13.91, \qquad s_A=\frac{\sqrt{2003}}{12}\approx 3.73 .$$

小组 B：

$$55+36+70+66+75+49+46+68+42+62+58+47=674,\qquad \overline{x}_B=\frac{674}{12}\approx 56.17 .$$

平方和 $\sum x_i^{2}=39524$，于是

$$s_B^{2}=\frac{39524}{12}-\left(\frac{674}{12}\right)^{2} =\frac{474288-454276}{144}=\frac{20012}{144}\approx 138.97, \qquad s_B=\frac{\sqrt{20012}}{12}\approx 11.79 .$$

(2) 小组 A 更像是由专业人士组成的。

$s_A\approx 3.73$，$s_B\approx 11.79$，后者约是前者的 $3.16$ 倍； 方差之比更悬殊，约 $10$ 倍。极差也印证同一件事： A 组的分数全落在 $42\sim 55$ 之间，极差 $13$； B 组从 $36$ 到 $75$，极差 $39$，是 A 组的三倍。

专业人士受过同一套评判训练，掌握的标准接近， 对同一位选手的判断应当高度一致；普通观众各凭喜好， 有人给 $36$ 有人给 $75$ 是很自然的。打分越集中，越像专业组，所以判 A。

自检：两组平方和各自复核一次—— $1764+2025+2304+2116+2704+2209+2401+3025+1764+2601+2209+2025=27147$

$3025+1296+4900+4356+5625+2401+2116+4624+1764+3844+3364+2209=39524$

两个和都对得上 ✓。 两个方差都为正且小于各自的极差平方 ✓。

两点要说明白，否则这个判断会被用过头：

• 只能比离散程度，不能比平均数。 两组的平均分差了近 $9$ 分（$47.42$ 与 $56.17$）， 但”打分偏高偏低”是尺度问题，与专业不专业无关。 题目问的是”相似性”，对应的量只有一个，就是离散程度。
• 这是”更像”，不是证明。 打分一致也可能出于别的原因 （互相看了别人的分、从众、事先商量），$12$ 个数据也不足以下定论。 统计给出的是有依据的倾向性判断，不是确定性结论。

复习参考题 9 第 8 题

8. 一名学生通过计步仪器，记录了自己100天每天走的步数，数据如下：

（1）画出这组数据的频率分布直方图，并分析数据的分布特点；

（2）计算这组数据的平均数、中位数和标准差，并根据这些数值描述这名学生的运动情况.

题面的 $100$ 个数据在课本里是一张表格插图，下面用到的数值是本份对 本目录 page-0232.png 扫描图的逐个读数（按原表逐行录出，每行 $10$ 个，共 $10$ 行）：

(1) 频率分布直方图与分布特点

最小值 $1301$，最大值 $20142$，极差 $18841$。取组距 $2000$、起点 $1000$， 恰好分成 $10$ 组，不重不漏（一律左闭右开）：

以分组为横轴、频率/组距为纵轴画出的直方图有三个特点：

• 单峰，峰在 $[7000,9000)$，该组频率 $0.26$，是唯一明显高出的一组；
• 略右偏。左边到 $[1000,3000)$ 就止住了，右边一直拖到 $[19000,21000)$ 才断， 右侧的尾更长更薄；
• 中段集中。$[5000,13000)$ 这四组合计频率 $0.11+0.26+0.20+0.15=0.72$，近四分之三的日子落在这个区间。

(2) 平均数、中位数、标准差

$$\overline{x}=\frac{917048}{100}=9170.48\ (\text{步}).$$

$100$ 个数据排序后第 $50$、$51$ 两项分别是 $8897$ 与 $8922$，故

$$\text{中位数}=\frac{8897+8922}{2}=8909.5\ (\text{步}).$$

标准差用平方和公式算（中间量一并写出，便于复核）：

$$\sum_{i=1}^{100} x_i=917\,048 ,\qquad \sum_{i=1}^{100} x_i^{2}=9\,820\,827\,810 ,$$ $$s^{2}=\frac{1}{100}\sum x_i^{2}-\overline{x}^{2} =98\,208\,278.10-9170.48^{2} =98\,208\,278.10-84\,097\,703.4304 =14\,110\,574.6696 ,$$ $$s=\sqrt{14\,110\,574.6696}\approx 3756.40\ (\text{步}).$$

据此描述这名学生的运动情况：

• 总量。日均约 $9170$ 步，中位数约 $8910$ 步，都接近但没有达到通常说的每天一万步； 实际步数达到 $10\,000$ 步的只有 $35$ 天，占三成半。
• 偏斜。平均数比中位数大 $261$ 步，说明有少数几天走得特别多（最高 $20142$ 步）把均值拉高了。 换句话说，日均 $9170$ 这个数高估了他大多数日子的实际水平， 看中位数 $8910$ 更贴近”典型的一天”。
• 稳定性差。标准差 $3756$ 步约为平均数的 $41\%$，波动很大； 低于 $6000$ 步的有 $22$ 天，而第 $25$、$75$ 百分位数分别是 $7035$ 与 $11225.5$， 中间一半的日子跨了四千多步。这说明他没有形成稳定的运动习惯， 多半是”想起来走一大截、忙起来就不走”。
• 建议。与其追求个别日子的高步数，不如把目标放在减小波动、提高达标天数上， 例如把每天的下限先稳定在 $8000$ 步（目前有 $68$ 天做到）。

自检：频数合计 $6+8+11+26+20+15+6+5+2+1=100$ ✓，频率合计 $1$ ✓； 累计频率在第 $4$ 组首次超过 $0.5$（$0.51$），与中位数 $8909.5$ 落在 $[7000,9000)$ 内相符 ✓； 最大值 $20142$ 落在最后一组 $[19000,21000)$ 内 ✓； 平均数与中位数都落在峰组附近，与单峰略右偏的形状相符 ✓。

复习参考题 9 第 9 题

9. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去 30 天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：

（1）请计算该水果店过去30天苹果日销售量的中位数、平均数、极差和标准差.

(2) 一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求。店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能 $80\%$ 地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求）。请问，每天应该进多少千克苹果？

题面的 $30$ 个数据在课本里是一张表格插图，下面用到的数值是本份对 本目录 page-0232.png 扫描图的逐个读数（按原表逐行录出，每行 $10$ 个，共 $3$ 行）：

排序后为

$$55,\ 70,\ 74,\ 75,\ 75,\ 80,\ 80,\ 83,\ 84,\ 84,\ 85,\ 85,\ 85,\ 86,\ 87,$$ $$89,\ 91,\ 93,\ 94,\ 94,\ 96,\ 97,\ 99,\ 99,\ 100,\ 101,\ 104,\ 107,\ 107,\ 117 .$$

(1) 四个特征数

$30$ 个数据之和为 $2676$，故

$$\overline{x}=\frac{2676}{30}=89.2\ (\text{kg}).$$

$n=30$ 为偶数，中位数取排序后第 $15$、$16$ 两项的平均：

$$\text{中位数}=\frac{87+89}{2}=88\ (\text{kg}).$$ $$\text{极差}=117-55=62\ (\text{kg}),\qquad s^{2}=158.2267,\qquad s\approx 12.58\ (\text{kg}).$$

(2) 每天应进 $99$ kg

”$80\%$ 地满足顾客的需求”的意思题目已经写明：在 $100$ 天中大约有 $80$ 天能满足。 设进货量为 $Q$，某一天能满足需求当且仅当那天的销售量不超过 $Q$。 于是要求”销售量 $\leqslant Q$“的日子占 $80\%$，这正是第 $80$ 百分位数的定义。

按 §9.2.2 的规则算：$n\times p\% = 30\times 80\% = 24$ 是整数， 所以第 $80$ 百分位数取排序后第 $24$、$25$ 两项的平均：

$$P_{80}=\frac{99+100}{2}=99.5\ (\text{kg}).$$

验证：不超过 $99.5$ kg 的日子恰有 $24$ 天，$\dfrac{24}{30}=80\%$ ✓。

最后一步要用上”尽量新鲜”这个条件，不能顺手取整。 题目给的是两个方向相反的要求：尽量新鲜（进得越少越好） 与约 $80\%$ 地满足需求（进得够多）。 所以要找的是能达到 $80\%$ 满足率的最小进货量。

$30$ 个数据全是整数，排序后第 $24$ 项是 $99$、第 $25$ 项是 $100$，于是

$Q$ 在 $[99,100)$ 上满足率都是 $80\%$，其中最小的是 $99$。 $Q=98$ 掉到 $73.3\%$，不够；$Q=100$ 虽然满足率更高， 但多进的那 $1$ kg 每天都可能剩下，与”尽量新鲜”直接冲突。

答：每天应进 $99$ kg 苹果。

顺带说清楚 $99.5$ 与 $99$ 的关系：$P_{80}=99.5$ 是第 $80$ 百分位数本身， 它是按 §9.2.2 的规则由第 $24$、$25$ 两项取平均得到的； 而这道题问的是进货量，进货量取 $99$ 就已经达到 $80\%$， 不必也不该把 $99.5$ 向上取整成 $100$。 （若店长坚持只按整十千克备货，那才轮到取 $100$ kg， 此时要说明满足率被抬到了 $83.3\%$、新鲜度相应打了折扣。）

两点说明：

• 这个 $100$ kg 是由过去 $30$ 天的样本估计出来的， 隐含假设是今后的日销售量与这 $30$ 天同分布。 若遇上节假日、水果季节更替或竞争店开张，这个估计就要重算。
• 店长的两个目标（新鲜、满足需求）方向相反，$80\%$ 是他给出的权衡点。 想把满足率提到 $90\%$，就得进到 $P_{90}$，代价是更多的日子有剩余。

自检：排序后共 $30$ 项，与原表 $30$ 个数一一对应 ✓； 极差 $117-55=62$ 与首末两项之差相符 ✓； 平均数 $89.2$ 与中位数 $88$ 只差 $1.2$，说明分布接近对称， 与”右端有 $104,107,107,117$ 四个较大值、左端只有 $55$ 一个孤低值，两侧大致抵消”的观察相符 ✓； 标准差 $12.58$ 约为极差的五分之一，量级正常 ✓； 第 $80$ 百分位数 $99.5$ 落在第 $24$ 项与第 $25$ 项之间，两侧计数 $24$ 与 $6$ 合计 $30$ ✓。

复习参考题 9 第 10 题

10. 一家保险公司决定对推销员实行目标管理，即给推销员确定一个具体的销售目标。确定的销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益。如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力。下面一组数据是部分推销员的月销售额（单位：千元）：

请根据这组样本数据提出使 $65\%$ 的职工能够完成销售指标的建议.

题面的 $50$ 个数据在课本里是一张表格插图，下面用到的数值是本份对 本目录 page-0232.png 扫描图的逐个读数（按原表逐行录出，每行 $9$ 个，末行 $5$ 个，共 $50$ 个，单位：千元）：

建议把月销售目标定在 $17.5$ 千元（即 $17\,500$ 元）左右。

为什么是第 $35$ 百分位数。 设目标为 $T$。 一名推销员完成任务当且仅当他的月销售额不低于 $T$。 要让 $65\%$ 的人完成，就是要让不低于 $T$ 的人占 $65\%$， 等价于低于 $T$ 的人占 $35\%$——这正是第 $35$ 百分位数的位置。 所以 $T$ 取 $P_{35}$，而不是 $P_{65}$（取 $P_{65}$ 只会让 $35\%$ 的人完成，把目标定反了）。

算 $P_{35}$。 把 $50$ 个数据从小到大排序：

$$12.34,\ 13.45,\ 14.00,\ 14.65,\ 14.78,\ 14.89,\ 15.45,\ 15.54,\ 16.11,\ 16.34,$$ $$16.45,\ 16.78,\ 17.14,\ 17.16,\ 17.32,\ 17.43,\ 17.45,\ 17.52,\ 17.55,\ 17.86,$$ $$17.88,\ 17.96,\ 18.02,\ 18.12,\ 18.22,\ 18.29,\ 18.42,\ 18.51,\ 18.51,\ 18.55,$$ $$18.78,\ 18.78,\ 18.94,\ 19.21,\ 19.35,\ 19.35,\ 19.58,\ 19.58,\ 19.58,\ 19.91,$$ $$19.98,\ 20.24,\ 20.45,\ 20.55,\ 21.34,\ 21.66,\ 22.45,\ 23.00,\ 24.56,\ 25.14 .$$

$n\times p\%=50\times 35\%=17.5$ 不是整数，向上取整得 $18$， 故第 $35$ 百分位数是排序后的第 $18$ 项：

$$P_{35}=17.52\ (\text{千元}).$$

验证：小于 $17.52$ 的有 $17$ 人（占 $34\%$），不低于 $17.52$ 的有 $33$ 人（占 $66\%$）✓， 最接近 $65\%$。取整齐一点的 $17.5$ 千元也一样： 低于 $17.5$ 的仍是那 $17$ 人，完成的仍是 $33$ 人，占 $66\%$。

顺带给出这组数据的轮廓（便于公司判断目标定得合不合理）：

$$\overline{x}=\frac{915.12}{50}=18.3024,\qquad \text{中位数}=\frac{18.22+18.29}{2}=18.255,\qquad s\approx 2.55\ (\text{千元}).$$

目标 $17.5$ 比平均数低约 $0.8$ 千元，比中位数低约 $0.76$ 千元， 落在 $\overline{x}-s$（约 $15.75$）与 $\overline{x}$ 之间—— 既不是多数人踮脚够不着的高目标，也没有低到人人躺着完成，与题目”不高不低”的要求相符。

三点提醒：

• 这 $50$ 个是部分推销员的数据，是样本不是全体。 样本的第 $35$ 百分位数只是全体第 $35$ 百分位数的估计，带随机误差， 真按这个目标执行，完成比例在 $65\%$ 上下浮动是正常的。
• 目标一经公布就会改变行为（有人为达标而努力，也有人可能突击冲量）， 历史数据算出的比例不会原样重现，需要过一段时间用新数据复核、调整。
• 若各区域、各产品线的销售条件差异明显，应先分层再分别定目标， 用一条全国统一线会对条件差的区域不公平。

复习参考题 9 第 11 题

11. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了 200 户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），数据从小到大排序如下：

为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档。请确定各档的范围。

题面的 $200$ 个数据在课本里是一张表格插图，且跨了两页，下面用到的数值是本份对 本目录 page-0232.png（前 $45$ 个）与 page-0233.png（后 $155$ 个）扫描图的逐个读数， 按课本原表的行序录出（每行 $15$ 个，末行 $5$ 个，单位：kW·h），数据已从小到大排好：

分档的原理。 阶梯电价的两个档界 $a<b$ 要满足： 月均用电量不超过 $a$ 的居民占 $75\%$，在 $(a,b]$ 之间的占 $20\%$，超过 $b$ 的占 $5\%$。 “不超过 $a$ 的占 $75\%$“就是 $a=P_{75}$； “不超过 $b$ 的占 $75\%+20\%=95\%$“就是 $b=P_{95}$。 所以两个档界正是这组数据的第 $75$ 与第 $95$ 百分位数。

算两个百分位数（$n=200$，数据已排序）：

$$200\times 75\%=150\ (\text{整数}),\qquad P_{75}=\frac{x_{150}+x_{151}}{2}=\frac{178+178}{2}=178 ;$$ $$200\times 95\%=190\ (\text{整数}),\qquad P_{95}=\frac{x_{190}+x_{191}}{2}=\frac{289+304}{2}=296.5 .$$

给出的方案：

电价文件里的档界总要取整齐的数，实际可写成

为什么第一档只能是 $75.5\%$ 而不是恰好 $75\%$。 数值 $178$ 在这 $200$ 个数据里出现了两次，正好是第 $150$ 项与第 $151$ 项。 把界线定在 $178$，第一档就有 $151$ 户（$75.5\%$）； 退到 $177$，第一档只剩 $149$ 户（$74.5\%$）。 $75\%$ 这条线恰好卡在两个相同数值之间，用离散数据取不到，只能取最接近的一个。 $75.5\%$ 与 $74.5\%$ 离 $75\%$ 一样近，取 $178$ 的好处是档界是数据中真实出现的值，且宽进一户。

第三档的界线从 $296.5$ 放宽到 $300$ 不改变任何一户的归档—— 第 $190$ 项是 $289$、第 $191$ 项是 $304$，$296.5$ 与 $300$ 之间没有数据， 所以取整齐的 $300$ 更便于执行。

自检：三档户数 $151+39+10=200$ ✓； 第三档的 $10$ 户是 $304,319,320,324,339,462,498,530,542,626$，正好是最大的 $10$ 个 ✓； $\dfrac{10}{200}=5\%$ ✓。

这组数据还值得说一句：平均数 $\overline{x}=\dfrac{29427}{200}=147.135$， 中位数是第 $100$、$101$ 项的平均 $\dfrac{130+130}{2}=130$， 平均数比中位数大 $17$ 以上，最大值 $626$ 是中位数的近五倍——分布严重右偏。 正因为如此，分档才必须用百分位数而不能用平均数： 若拿平均数 $147$ 当第一档界线，落进第一档的只有 $128$ 户（$64\%$）， 与 $75\%$ 差着 $11$ 个百分点；右偏越厉害，平均数离 $P_{75}$ 越远，这个偏差越大。

复习参考题 9 第 12 题

12. 要了解全校学生的体重情况，请你设计一个调查方案，并实施调查，完成一份统计调查分析报告.

这道题的产物是一份调查方案加一份分析报告，其中”实施调查”这一步只能由做题人在自己学校完成， 本份不代为编造数据。下面给出一套完整的、可复核的方案， 以及报告应当写成什么样——判据就是 §9.1 到 §9.3 立下的那几条规矩。

一、明确统计问题

• 总体：全校学生的体重（注意是体重数据的全体，不是学生的全体）。
• 个体：每一名学生的体重。
• 考察的变量：体重，单位 kg。
• 要估计什么：全校学生体重的取值规律（频率分布）、集中趋势（平均数、中位数、众数）、 离散程度（标准差、极差）、若干百分位数，以及各年级、各性别之间的差异。

建议同时记录身高。体重脱离身高说明不了胖瘦——一名 $180$ cm 的 $70$ kg 学生 和一名 $155$ cm 的 $70$ kg 学生完全不是一回事。多记一个身高， 就能顺带算出 BMI，做成 §9.3 那样的分档分析，报告的价值会高得多。

二、确定抽样方法与样本量

抽样框：学校学籍名单（全体在校学生），逐人编号。名单必须完整， 否则从一开始就有覆盖偏差。

抽样方法：采用比例分配的分层随机抽样，按年级分层（若男女差异也关心， 可按年级与性别交叉分层）。理由是三条，缺一不可：

1. 年级与体重明显相关（年龄差几岁，体重差很多），层间差异大；
2. 同一年级内部相对整齐，层内较匀；
3. 分层变量在抽样之前就已知，且每层人数从学籍名单上直接可得。

比例分配意味着：若全校 $N$ 人、某年级 $N_i$ 人、总样本量为 $n$， 则该年级抽 $n_i=\dfrac{N_i}{N}\cdot n$ 人，各层内部用随机数法作简单随机抽样。

样本量：在精度与成本之间权衡。以全校 $1200$ 人为例，取 $n=120$（抽样比 $10\%$） 一般够用来估计全校平均体重与分布形态；若还想对每个年级单独作估计， 每层至少要有 $30\sim 50$ 人，需相应提高 $n$。 样本量不是越大越好，够回答问题就行——这是 §9.3 强调的那个权衡。

三、统一测量口径

这一步最容易被跳过，但它决定了数据可不可比：

• 同一台已校准的体重秤，读数精确到 $0.1$ kg；
• 统一测量时段（如同一周的上午课间），统一着装要求（如校服、脱鞋），空腹与否说清楚；
• 由固定的、经过培训的测量员记录，避免每个人自报（自报体重普遍偏低，是典型的回答偏差）；
• 记录缺测：谁没测到、为什么（请假、拒测）。 无回答率必须写进报告——如果拒测的人在体重上与受测的人系统不同，估计就会有偏。

四、数据整理与分析

1. 作频率分布表与频率分布直方图：求极差，取 $8\sim 12$ 组，组距取整， 分组左闭右开、不重不漏；查两个合计（频数合计为 $n$、频率合计为 $1$）。
2. 算特征数：平均数、中位数、众数、标准差、方差、极差， 以及第 $25$、$50$、$75$、$90$ 百分位数。
3. 分层比较：各年级（或各性别）分别算平均数与标准差，横向对比。
4. 合并回全校：用层权公式由各层结果得到全校估计——

$$\overline{x}=\sum_i w_i\overline{x}_i,\qquad s^{2}=\sum_i w_i\left[s_i^{2}+(\overline{x}_i-\overline{x})^{2}\right].$$

方差合并必须带上 $(\overline{x}_i-\overline{x})^{2}$ 这一项， 只把各层方差加权平均会系统性偏小。

这里有一个极容易混的地方：权 $w_i$ 到底取什么？两种取法各有各的用途，不能混。

只有第二行那一套才能拿来做自检。 按课本的样本方差 $s^{2}=\dfrac1n\sum_j (x_j-\overline{x})^{2}$ 展开，得到的恒等式是

$$\overline{x}=\sum_i\frac{n_i}{n}\overline{x}_i,\qquad s^{2}=\sum_i\frac{n_i}{n}\left[s_i^{2}+(\overline{x}_i-\overline{x})^{2}\right],$$

权是 $\dfrac{n_i}{n}$，不是 $\dfrac{N_i}{N}$。

举个反例就明白为什么不能混：设高一 $N_1=900$ 人体重全是 $55$ kg、 高三 $N_2=100$ 人体重全是 $70$ kg，但两层各抽 $30$ 人（没有按比例分配）。 用 $\dfrac{N_i}{N}=0.9,0.1$ 算得 $\overline{x}=56.5$、$s^{2}=20.25$； 把 $60$ 个样本数据当一组直接算却是 $\overline{x}=62.5$、$s^{2}=56.25$， 两者相差甚远。原因很简单：前者估的是总体，后者算的是样本，本来就是两回事。

本方案采用比例分配，此时 $\dfrac{n_i}{n}=\dfrac{N_i}{N}$（取整误差之内）， 两套权数值上才重合——“直接算等于合并公式”这条自检也只在此时才成立， 而且要求层内与合并都用同一个除数（本章一律除以 $n$）。 若你没按比例分配，就不要做这条自检，请老老实实分开写： 估计总体用 $\dfrac{N_i}{N}$，分解样本用 $\dfrac{n_i}{n}$。

五、写成报告

按 §9.3 给的四段结构：

• 标题：如”××中学学生体重情况统计分析报告”。
• 前言：交代调查目的、总体、抽样方法、样本量、测量口径与调查时间。
• 主体：先出图表说明分布形态，再给特征数，再作年级/性别比较，最后给全校的估计。 每一个数字都要说清是”样本算出来的”还是”对总体的估计”。
• 结尾：概括结论，提出建议（如针对偏轻或偏重的学生群体的营养与运动建议）， 并写明结论的边界——结论只对本校学生的体重成立，推不到别的学校； 结果是样本估计，带随机误差，具有或然性；单看体重不足以判断健康，需结合身高等指标。

这道题的动作：一份调查方案好不好，看的不是它写得多长， 而是这五个环节有没有一处漏掉——总体与变量说清楚了没有， 抽样框完整不完整，随机化怎么落实，测量口径统不统一， 以及最后有没有把结论的适用范围写明白。