9.2.3 总体集中趋势的估计

前两节问的都是同一件事：数据是怎么散开的。频率分布直方图画的是分布，百分位数切的是位置。 这一节换一个问法：能不能用一个数代表一组数？

课本开门见山地说了为什么要换这个问法：

为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律。 但有时候，我们可能不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某一方面的特征。

例子举得很实在：关心某县小麦收成，看的是总产量或每公顷平均产量，不是产量的分布； 关心一个国家国民的身高，看的是平均数或中位数，不是身高的分布。

初中已经见过平均数、中位数、众数，它们都是刻画”中心位置”的量。 这一节要做三件事：弄清它们各自的脾气、弄清它们之间的关系、 弄清在只有一张频率分布直方图时怎么把它们估出来。

一、三个量的定义先摆齐

设一组数据为 $x_1,x_2,\dots,x_n$。

这张表的第三列就是整节的钥匙。 一个量用到的数据越多， 它受”某一个数据变了”的影响就越大——下面所有的结论都是从这一条推出来的。

二、例 4：用样本的平均数、中位数估计总体的

题目：利用 §9.2.1 中 $100$ 户居民月均用水量的调查数据， 算样本的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数。

解：由样本平均数的定义，

$$\overline{y}=\frac{y_1+y_2+\cdots+y_{100}}{100}=8.79 ,$$

即 $100$ 户居民月均用水量的平均数为 $8.79\ \mathrm{t}$。

中位数怎么取：$n=100$ 是偶数，排序后第 $50$ 个数和第 $51$ 个数都是 $6.8$， 所以中位数是 $6.8\ \mathrm{t}$。

关键的一句在最后：

因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为 8.79 t，其中位数约为 6.8 t.

“因为……简单随机样本”这五个字不是客套。 §9.1.1 讲过， 只有简单随机样本才保证样本平均数是总体平均数的无偏估计； 如果这 $100$ 户是”挑用水多的问”，$8.79$ 就只代表这批被挑出来的人，推不到全市。 每一次”用样本估计总体”，都要先回头确认抽样方式撑不撑得住这一步。

顺带一个练手的问题（课本旁注）：某小区有 $2\,000$ 户，能估计该小区的月用水总量吗？ 可以：

$$2\,000\times 8.79=17\,580\ (\mathrm{t}) .$$

注意这里只能用平均数，不能用中位数。 总量等于”户数 $\times$ 每户平均数”，这是平均数的定义直接给的； 中位数乘户数没有任何意义（$2\,000\times 6.8=13\,600$ 不是任何东西）。 要”总量”就找平均数——这是平均数不可替代的一个用途。

三、思考：把 7.7 录成 77，谁变得更厉害

课本的思考题：小明录入数据时把一个 $7.7$ 录成了 $77$， 请算录入数据的平均数和中位数，与真值比较，哪个变化更大？

平均数：总和多加了 $77-7.7=69.3$，于是

$$\overline{y}'=8.79+\frac{69.3}{100}=8.79+0.693=9.483 ,$$

即由 $8.79\ \mathrm{t}$ 变成 $9.483\ \mathrm{t}$，涨了将近 $8\%$。

中位数：$7.7$ 原本排在中位数 $6.8$ 的右边，改成 $77$ 之后还在右边， 排序中第 $50$、$51$ 位上的数一个也没动，中位数仍是 $6.8\ \mathrm{t}$，一点没变。

课本给的原因值得逐字记：

样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变； 但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据， 所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变。

由此得到这一节最重要的一句判断：

与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感。

“更多信息”和”更敏感”是同一件事的两面，不是一个优点加一个缺点： 正因为平均数把每个数都用上了，它才装得下更多信息； 也正因为把每个数都用上了，一个离谱的数就能把它拽走。 选哪个量，看的是你更怕丢信息，还是更怕被极端值带偏。

再补一个中位数的边界情况：如果录错的是中间那个数（比如把第 $50$ 位的 $6.8$ 录成 $68$）， 中位数也会变——变成第 $50$、$51$ 位重排后的值。 所以准确的说法是”不是任何一个数据的改变都会引起中位数改变”， 而不是”中位数永远不变”。

四、探究：分布的形态决定平均数与中位数的大小关系

问题：图 9.2-8 的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？

课本的结论（对单峰的频率分布直方图）：

一句话记法，课本自己给了：

和中位数相比，平均数总是在”长尾巴”那边。

为什么？ 用第三节的结论一推就通。中位数只认”左右各一半个体”， 尾巴上那几个极端值再远，也只算”几个个体”，拉不动中位数； 而平均数认的是”值有多大”，尾巴伸得越长，那几个数贡献的和越大，平均数就被拽向尾巴。 中位数数的是个数，平均数称的是分量——所以称分量的那个跟着长尾巴跑。

这条关系有个很实用的反用法： 拿到一份数据，若发现平均数明显大于中位数， 基本可以断定它右偏（少数很大的值拖着长尾），比如收入、房价、用水量； 反过来平均数明显小于中位数，则是左偏，比如考试特别容易时的分数。 §9.2.1 那份用水量数据正是右偏的：$\overline{y}=8.79>6.8=$ 中位数， 和图 9.2-1 右边那条又长又矮的尾巴完全对得上。

五、例 5：分类型数据要用众数

题目：某学校要定制高一年级校服，学生按厂家提供的参考身高选规格。 高一女生需要不同规格校服的频数如表 9.2-5。若用一个量代表该校高一女生所需校服的规格， 中位数、平均数、众数中哪个合适？并讨论用这份数据估计全国高一女生校服规格的合理性。

表 9.2-5（下列数值读自本节目录中的 page-0213.png 扫描图）：

分析里的一句话是整道题的题眼：

虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是几种不同的类别。 对于这样的分类数据，用众数作为这组数据的代表比较合适。

解：用条形图表示表中数据（图 9.2-9）， 选"$165$"的女生频数最高（$167$ 人），所以用众数 $165$ 作为该校高一女生校服的规格比较合适。

第二问：由于全国各地高一女生的身高存在一定差异， 用一个学校的数据估计全国高一女生的校服规格不合理。 （说到底就是 §9.1.1 那条：这不是从全国抽的简单随机样本， 一个学校的学生构成受地域、生源影响，不能代表全国这个总体。）

这道题藏着一个漂亮的巧合，值得算一算

把这 $386$ 个数当数值算，会发现：

$$\overline{x}=\frac{155\times 39+160\times 64+165\times 167+170\times 90+175\times 26}{386} =\frac{63\,690}{386}=165 ,$$

而 $386/2=193$，累计频数为 $39,\ 103,\ 270$，第 $193$、$194$ 位都落在"$165$"这一档里， 中位数也是 $165$。三个量数值上完全相同。

那是不是说选哪个都行？不是。 关键在于这些数能不能做加法。校服规格 $155$ 与 $175$ 相加得 $330$， $330$ 不对应任何一件衣服；把它除以 $2$ 得 $165$，也不是”两件衣服的平均衣服”。 分类数据只能数个数、比多少，不能求和、不能求平均， 所以即便算出来 $\overline{x}=165$，这个 $165$ 也是没有意义的巧合； 只有众数说的那句”要 $165$ 码的人最多”，是真的能拿去下单的信息。

推广一点说：本题若把”规格”换成”身高”，平均数立刻就有意义了—— 同样一批数字，是不是分类数据取决于它代表什么，不取决于它长什么样。

众数的短板

课本紧接着补了众数的代价：

众数只利用了出现次数最多的那个值的信息。 众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度。 因此，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感。

“对极端值也不敏感”在这里不算优点：把表 9.2-5 中 $175$ 的频数从 $26$ 改成 $166$， 众数仍然是 $165$，但这个学校的身高结构已经完全变了，众数一个字也没告诉你。

于是有了整节的选用总则：

一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数； 而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数.

六、探究：只有一张频率分布直方图时怎么办

问题的由来很现实：

我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图。 这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？

难点只有一个：在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的。 课本给的对策也只有一句：

此时，通常假设它们在组内均匀分布。

这个假设是本节后半段一切公式的唯一前提， 下面三个估计式全部由它推出，得到的也全部是近似值。

1. 平均数：中点 $\times$ 频率，再求和

推理只有一步：样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和； 假设组内均匀分布，则每组内部数据的平均值就是该组的中点； 于是

$$\overline{x}\approx\sum_{i}(\text{第 } i \text{ 组中点})\times(\text{第 } i \text{ 组频率}) .$$

在直方图上，频率就是小矩形的面积，所以这句话等价于课本的说法： 样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。

代入图 9.2-10（即图 9.2-1）的高度：

$$0.077\times 3\times\frac{1.2+4.2}{2}+0.107\times 3\times\frac{4.2+7.2}{2} +\cdots+0.007\times 3\times\frac{25.2+28.2}{2}=8.96 .$$

与原始数据算出的 $8.79$ 相差不大。

这里把九项都摊开算一遍，用 §9.2 那份复原出的表 9.2-1 的九个频率 （$23\%,32\%,13\%,9\%,9\%,5\%,3\%,4\%,2\%$）和九个组中点：

算得 $8.94$，课本按图上量出的高度算得 $8.96$， 两者的零点几之差来自”量高度”时的读数误差（$0.077\times 3=0.231$ 而不是恰好 $0.23$）， 不影响任何结论。

注意估计值 $8.9$ 左右比真值 $8.79$ 偏大了一点，这不是偶然。 这份数据右偏，每一组内部的数也往左边挤， 用组中点代表整组，等于把组内偏左的数往右推，加起来就系统性地偏大。 组距越宽，这种偏差越大——这正是 §9.2.2 里”组距越细、分位数越准”那条规律的同一个来源。

2. 中位数：让直方图左右两块面积相等

依据：在样本中，有 $50\%$ 的个体小于或等于中位数，也有 $50\%$ 的个体大于或等于中位数， 所以在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等（各为 $0.5$）。

第一步，定位它在哪一组。 逐组累加面积：

$$0.077\times 3=0.231,\qquad (0.077+0.107)\times 3=0.552 .$$

$0.231<0.5<0.552$，因此中位数落在区间 $[4.2,7.2)$ 内。

第二步，在组内按均匀分布切一刀。 设中位数为 $x$，则

$$0.077\times 3+0.107\times(x-4.2)=0.5 ,$$ $$0.107\times(x-4.2)=0.269,\qquad x-4.2\approx 2.51,\qquad x\approx 6.71 .$$

因此中位数约为 $6.71$（图 9.2-11），与原始数据求得的 $6.8$ 很接近。

这一步和 §9.2.2 求第 $50$ 百分位数是同一个动作： 中位数就是第 $50$ 百分位数， 上一节在”用频率分布直方图估计百分位数”里做的那条比例式，和这里一字不差。 记一个通式就够了：设中位数落在 $[a,b)$，该组之前累计频率为 $F$、该组频率为 $f$，则

$$x=a+\frac{0.5-F}{f}\times(b-a) .$$

3. 众数：最高的那个矩形的中点

在图 9.2-1 中，月均用水量在区间 $[4.2,7.2)$ 内的居民最多（矩形最高）， 可以将这个区间的中点 $5.7$ 作为众数的估计值（图 9.2-12）。

这里的”众数”和第一节定义的众数不是一回事，要说清楚。 原始数据里的众数是”出现次数最多的那个具体数值”； 分了组之后，我们只知道哪一组人最多，组内谁最多是看不见的， 所以只能拿组中点顶上，得到的其实是众数所在组的代表值。 课本自己也提醒了它的意义在哪：

众数常用在描述分类型数据中，在这个实际问题中，众数”5.7”让我们知道 月均用水量在区间[4.2，7.2）内的居民用户最多。这个信息具有实际意义。

一句话：这里有意义的是那个区间，不是 $5.7$ 这个数。

三个估计放在一起看

注意这三个数的排列顺序：$5.7<6.71<8.96$，即众数 $<$ 中位数 $<$ 平均数， 正是本节第四段说的”右边拖尾时平均数最大”， 而众数在最左、平均数在最右、中位数夹在中间——右偏分布的标准队形。 遇到单峰右偏的数据，这个大小顺序可以直接拿来做选择题的判断依据。

七、当心被特征量误导

课本用一个很生活的场景收尾：

假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元”， 你该如何理解这句话？

课本的分析：这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况。

第二种情形里有人年收入甚至达到 $100$ 万，平均数就比中位数大得多。 尽管这时用中位数或众数比用平均数更合理，但老板为了招揽员工，用了平均数。

这不是老板算错了，是他选对了对自己有利的那个量。 防身的办法很具体：

• 听到”平均”，先问中位数——两者差得远，就说明有长尾；
• 问分布，不问一个数——“多少人在 $10$ 万以下”比”平均 $20$ 万”有用得多；
• 问口径——含不含年终奖、社保、加班费，覆盖不覆盖实习生。

所以课本最后强调：

我们要强调”用数据说话”，但同时又要防止被数据误导，这就需要掌握更多的统计知识和方法.

八、附：阅读与思考——二战德国坦克总量的估计

这一节后面的”阅读与思考”是全章最漂亮的一个统计故事，值得读透。

背景：二战期间盟军要估计德军坦克的月产量。除常规情报外，盟军请统计学家参与分析。 德国战后公布的生产记录显示，统计估计与真实值非常接近，常规情报的估计则相去甚远。

表 1（下列数值读自本节目录中的 page-0217.png 扫描图）：

差距有多大一眼可见：情报估计动辄高出真实值 $4$ 到 $8$ 倍， 统计估计的三次误差分别是 $+47$、$-27$、$-15$ 辆。

线索：每辆坦克上都有独一无二的发动机序列号， 前 $6$ 位表示生产年月，最后 $4$ 位是按生产顺序从 $1$ 开始的连续编号。

模型：设德军某月生产坦克总数为 $N$，缴获的该月坦克编号从小到大为 $x_1,x_2,\dots,x_n$， 最大编号为 $x_n$，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的。

因为编号连续，这 $n$ 个编号相当于从 $[1,N]$ 中随机抽取的 $n$ 个整数， 它们把区间 $[0,N]$ 分成 $(n+1)$ 个小区间（图 1）。 除了最右边那个区间，其他 $n$ 个区间都是已知的。

估计的那一步，正是本节的”用平均数”： 由于这 $n$ 个数是随机抽取的，可以用前 $n$ 个区间的平均长度 $\dfrac{x_n}{n}$ 估计所有 $(n+1)$ 个区间的平均长度 $\dfrac{N}{n+1}$，进而得到 $N$ 的估计：

$$\frac{x_n}{n}=\frac{N}{n+1}\quad\Longrightarrow\quad \widehat{N}=\frac{n+1}{n}\,x_n .$$

课本给的例子：缴获坦克编号为 $2,4,5,12$，则 $n=4$、$x_n=12$，

$$\frac{12}{4}=\frac{N}{4+1}\quad\Longrightarrow\quad N=15 .$$

这个公式为什么合理，可以自己验一验。 它等价于 $\widehat{N}=x_n+\dfrac{x_n}{n}$，即”已见的最大编号，再往后补一个平均间隔”。 一定有 $\widehat{N}\geqslant x_n$（总数不会小于见过的最大号），这是它最起码的合理性； 而 $n$ 越大，补的那一截 $x_n/n$ 越短，估计越贴近 $x_n$—— 样本越多，“没见到的那一段”就越短，与 §9.1.1 里”样本量越大越准”是同一回事。

这段阅读材料真正想说的是： 统计方法能把”缴获的几十辆坦克”这么一点点信息榨出总量来， 靠的不是更多的情报，而是对抽样机制的正确假设（随机缴获、连续编号）。 假设一旦不成立——比如德军故意打乱编号、或者缴获的坦克集中来自某一批——公式立刻失效。 这也是全章反复强调的那句话：用样本估计总体，先看样本是怎么来的。

本节目录（page-0212～page-0217，印刷页 $205$～$210$）里只印了一组练习， 在第 $209$ 页（page-0216），共 $3$ 题，都收在这里。

第 $1$ 题要用到的表 9.2-2 是 §9.2.1 例 1 的表， 它印在 page-0203（属于 §9.2 那一份目录），本份按”哪一页印的就归哪一份”的规矩 不重复引它的题面，只把用到的数值抄过来，并注明出处。

练习第 1 题

1. 根据表9.2-2中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数和第80百分位数。（注：已知该市属于“严重污染”等级的空气质量指数不超过400）

一、先把表 9.2-2 的数据和分组边界摆出来

表 9.2-2 的数值转自 §9.2 那一份目录中的 page-0203（不是本目录的转写）， 等级的区间边界取该表自己给出的定义，最后一档的上界取本题注释给的 $400$：

题目那句注释是必须的，不是多余的。 表 9.2-2 里”严重污染”写的是 $\mathrm{AQI}>300$， 是一个没有上界的区间；没有上界就没有组中点，平均数根本算不出来。 注释把它封成 $(300,400]$，这一档才有中点 $350$，题目才成立。 遇到”最后一组开口”的频率表，第一件事就是找题目有没有给上界——没给就只能算中位数、 算不了平均数。

还要提醒一句：这六组的组距不相等（前四组各 $50$，后两组各 $100$）。 所以本题不能画等距的频率分布直方图去比高度， 所有计算都必须回到”频率”本身，不能用”高度”代替。

二、平均数

原始的 $365$ 个 AQI 数值已经拿不到了，只有分好组的频数表， 于是按 §9.2.3 探究里的办法：假设每组内的数据均匀分布，用组中点代表整组。

$$\overline{x}\approx\frac{1}{365}\sum_{i=1}^{6}(\text{第 }i\text{ 组中点})\times(\text{第 }i\text{ 组频数}) .$$

逐项算：

$$\overline{x}\approx\frac{40\,625}{365}\approx 111.3 .$$

答：估计该市 $2015$ 年全年空气质量指数的平均数约为 $111.3$。

三、中位数

中位数就是第 $50$ 百分位数。

先把口径说死，这是本题最容易做错的地方。 §9.2.2 讲过两套算法：原始数据按”$np$ 是不是整数”决定取第几项或哪两项的平均； 分组数据（只有频率分布表或直方图）则是在累计频率上按组内均匀分布插值。 本题拿不到 $365$ 个原始 AQI，只能用后一套； 下面自始至终用累计频率，不再出现”第几项”。

第一步，定位在哪一组。 逐组累加频率：

$$\frac{83}{365}\approx 0.2274,\qquad \frac{83+121}{365}\approx 0.5589 .$$

$0.2274<0.5<0.5589$，所以中位数落在”良”这一组 $(50,100]$ 内。

第二步，在组内按均匀分布插值。 该组之前的累计频率为 $F=\dfrac{83}{365}$，本组频率为 $f=\dfrac{121}{365}$，组长 $100-50=50$，于是

$$x\approx 50+\frac{0.5-F}{f}\times 50 =50+\frac{0.5\times 365-83}{121}\times 50 =50+\frac{99.5}{121}\times 50\approx 91.1 .$$

（把分子分母同乘 $365$，比例式就写成频数的形式 $\dfrac{182.5-83}{121}$， $182.5=365\times 50\%$ 在这里只是”半数个体”这条水平线与累计曲线的交点，不是第 $182.5$ 项。）

答：估计中位数约为 $91.1$。

这个数落在”良”里，是有实际含义的：全年有一半以上的日子空气质量在”良”或更好， $2015$ 年这个市的空气多数日子不算差。

四、第 80 百分位数

仍然只用累计频率这一套，不去数”第几项”。

第一步，定位。 累计频率依次为

$$0.2274,\quad 0.5589,\quad 0.7452,\quad 0.8795,\quad 0.9616,\quad 1 ,$$

而 $0.7452<0.80<0.8795$，所以第 $80$ 百分位数落在”中度污染”组 $(150,200]$ 内。

第二步，插值。 该组之前的累计频率 $F=\dfrac{272}{365}$，本组频率 $f=\dfrac{49}{365}$，组长 $200-150=50$：

$$x\approx 150+\frac{0.80-F}{f}\times 50 =150+\frac{0.80\times 365-272}{49}\times 50 =150+\frac{20}{49}\times 50\approx 170.4 .$$

答：估计第 $80$ 百分位数约为 $170.4$。

这个结果读出来是一句很有分量的话：全年大约有 $20\%$ 的日子 AQI 超过 $170$， 即差不多每五天就有一天达到中度污染或更重。

五、三个量放在一起看

平均数 $111.3$ 明显大于中位数 $91.1$，按 §9.2.3 探究里那条规律， 说明这组数据右边拖尾——大多数日子集中在 $100$ 以下， 少数重度、严重污染的日子（$44$ 天，$12\%$）把平均数往上拽。

所以只报一个”全年平均 AQI 约 $111$“是会误导人的： 它既不是典型的一天（典型的一天在 $91$ 左右，属于”良”）， 也没告诉你最坏的日子有多坏（有 $20\%$ 的日子超过 $170$）。 这正是下一题要写的那份报告的核心问题。

最后强调本题所有结果都只是估计：真值要用 $365$ 个原始 AQI 才能算， 这里只有分组数据，组内均匀分布这个假设是估计误差的唯一来源； 组距越宽误差越大，本题最后两组组距达 $100$，那两档的中点 $250$、$350$ 尤其粗糙。

练习第 2 题

2. 假设你是某市一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额。已知国家对本市一条新公路的建设投资为2000万元人民币，对另外25个公路项目的投资是 $20\sim 100$ 万元，这26个投资金额的中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。请你根据上面的信息给市长写一份简要的报告。

一、先把题目给的数字对一遍——它们是自洽的

这是本题最容易被跳过、却最该做的一步。 $26$ 个项目的平均数是 $100$ 万元，所以

$$\text{投资总额}=26\times 100=2\,600\ (\text{万元}) .$$

减去那条新公路的 $2\,000$ 万元，其余 $25$ 个项目一共只有

$$2\,600-2\,000=600\ (\text{万元}) ,$$

平均每个项目

$$\frac{600}{25}=24\ (\text{万元}) .$$

$24$ 万元落在题目说的 $20\sim 100$ 万元区间内，并且与中位数 $25$ 万、众数 $20$ 万彼此吻合， 说明题目给的四个数字互相自洽。算到这一步，本题的结论其实已经出来了。

有一处必须说准，否则就多推了一步。 $n=26$ 是偶数， 中位数 $25$ 万元是第 $13$、$14$ 两项投资额的平均数，即

$$x_{13}+x_{14}=50\ (\text{万元}),\qquad x_{13}\leqslant 25\leqslant x_{14} .$$

由此只能知道第 $13$ 项不超过 $25$ 万； 推不出”其余 $25$ 个项目的中位数也是 $25$ 万”。

把这件事算准。那笔 $2\,000$ 万一定排在第 $26$ 位（其余各项都在 $20\sim 100$ 万内）， 所以去掉它以后，其余 $25$ 项的排序与原来的前 $25$ 位完全一致， 其余 $25$ 项的中位数就是 $x_{13}$。记 $x_{13}=s$，则 $x_{14}=50-s$， 而前 $12$ 项每项至少 $20$、第 $14$ 到第 $25$ 项每项至少 $50-s$，于是

$$600=\sum_{i=1}^{25}x_i\geqslant 12\times 20+s+12\,(50-s)=840-11s \ \Longrightarrow\ s\geqslant \frac{240}{11}\approx 21.8 .$$

再配上 $s\leqslant 25$，得

$$\frac{240}{11}\leqslant s\leqslant 25 .$$

下端的等号还要再排掉一次。 若 $s=\dfrac{240}{11}$，上面那串不等式必须全部取等， 即前 $12$ 项都是 $20$、第 $14$ 到第 $25$ 项都等于 $50-s=\dfrac{310}{11}$。 这时 $20$ 与 $\dfrac{310}{11}$ 各出现 $12$ 次，众数并列， 与题面把众数写成单独一个”$20$ 万元”不合。所以可行范围是左开右闭的

$$\frac{240}{11}<s\leqslant 25 ,$$

即其余 $25$ 项的中位数落在 $21.8$ 万到 $25$ 万之间，下端取不到，具体是多少题目没给，算不出来。 举两个都合规的例子：

• $s=25$（右端点，取得到），例如 $12$ 个 $20$、$11$ 个 $25$、一个 $40$、一个 $45$ （合计 $240+275+40+45=600$ ✓）。此时 $x_{13}=x_{14}=25$，其余 $25$ 项的中位数是 $25$， 众数 $20$ 出现 $12$ 次、唯一 ✓；
• $s=22$（区间内部），例如 $12$ 个 $20$、一个 $22$、$11$ 个 $28$、一个 $30$ （合计 $240+22+308+30=600$ ✓）。全部 $26$ 项的中位数仍是 $\dfrac{22+28}{2}=25$ 万、 众数仍是唯一的 $20$ 万，但其余 $25$ 项自己的中位数是 $22$ 万，不是 $25$ 万。

所以下面写报告时，中位数 $25$ 万只能挂在”全部 $26$ 个项目”上， 不能悄悄挪到”其余 $25$ 个项目”那一组去——那一组的中位数是未知的。

顺带还能卡出一个题面没写的事实。 要让其余 $25$ 项中最大的一笔 $x_{25}$ 尽量大， 就得把第 $14$ 到第 $24$ 项都压到最小值 $50-s$，于是

$$600=12\times 20+s+11\,(50-s)+x_{25}\ \Longrightarrow\ x_{25}=10s-190\leqslant 10\times 25-190=60 .$$

而 $x_{25}=60$ 这个等号同样取不到：它要求前 $12$ 项都是 $20$、第 $13$ 到第 $24$ 项都是 $25$， 于是 $20$ 与 $25$ 各出现 $12$ 次，众数又并列了。所以

$$x_{25}<60 .$$

也就是说，尽管题面允许其余项目取到 $100$ 万，总额 $600$ 万这个约束把它们压在了 $60$ 万以下。

二、三个量为什么差这么远

差距的来源只有一个数：那笔 $2\,000$ 万元。 它一个项目就占了总额的 $\dfrac{2\,000}{2\,600}\approx 76.9\%$， 是其余项目平均水平（$24$ 万元）的八十多倍，是一个不折不扣的极端值。 按 §9.2.3 的结论，平均数对极端值最敏感，所以它被这一笔拉到了 $100$ 万； 中位数只看正中间那两个项目（第 $13$、$14$ 项），$2\,000$ 这个数排在第 $26$ 位，动不了中位数。

做个反事实检验最能说明问题：若这条新公路的投资不是 $2\,000$ 万而是 $100$ 万， 总额变成 $700$ 万，平均数立刻降到 $\dfrac{700}{26}\approx 26.9$ 万元， 与中位数 $25$ 万只差 $2$ 万；而中位数和众数几乎不动。 平均数的 $100$ 万里，有约 $73$ 万是那一笔独自贡献的。

三、写给市长的报告

报告的写法要求：不能只报一个数，必须把”一大二十五小”的结构说出来。 下面是一份可以直接用的稿子。

关于国家对本市 $26$ 个公路项目投资情况的报告

一、总体情况。 国家对本市 $26$ 个公路项目共投资 $2\,600$ 万元， 其中新建公路一条，投资 $2\,000$ 万元；其余 $25$ 个项目投资合计 $600$ 万元。

二、投资额的分布特征。 $26$ 个项目投资额的平均数为 $100$ 万元， 中位数为 $25$ 万元，众数为 $20$ 万元。 平均数远高于中位数和众数，原因是那条新公路的 $2\,000$ 万元属于极端值， 它一项就占全部投资的近 $77\%$，把平均数抬高了约 $73$ 万元。 因此”平均每个项目投资 $100$ 万元”不能代表本市公路项目投资的一般水平。

三、更能代表一般水平的数字。 除新建公路外的 $25$ 个项目， 合计 $600$ 万元，平均为 $24$ 万元；受这个合计的约束，其中最大的一笔也到不了 $60$ 万元。 全部 $26$ 个项目投资额的中位数为 $25$ 万元、众数为 $20$ 万元， 这两个数与上面的 $24$ 万元彼此接近，说明绝大多数项目的投资额都在二三十万元这个量级。 用全部 $26$ 项的中位数 $25$ 万元描述本市公路项目投资的典型水平最为合适。

四、建议的表述方式。 对外通报时建议采用以下口径： “国家对本市 $26$ 个公路项目共投资 $2\,600$ 万元，其中新建公路一条投资 $2\,000$ 万元； 其余 $25$ 个项目合计投资 $600$ 万元，平均每项 $24$ 万元。 全部 $26$ 个项目投资额的中位数为 $25$ 万元、众数为 $20$ 万元。” 即把那条新公路单独列出、其余项目报合计与平均，中位数与众数一律注明是全部 $26$ 项的， 既不隐瞒总量，也不让一个大项目掩盖二十五个小项目的真实情况。

注意这里绝不能写成”其余 $25$ 个项目的中位数为 $25$ 万元”—— 第一节已经算过，那一组的中位数只知道大于 $\dfrac{240}{11}\approx 21.8$ 万、不超过 $25$ 万， 题目给的信息定不下它。

四、这道题真正考的是什么

考的是敢不敢不用平均数。 题面上写着”你打算向市长报告……平均资金数额”， 这个”打算”正是要被推翻的东西。 一份合格的报告要说清三件事：

• 总量（$2\,600$ 万元）——回答”一共投了多少”，这必须用总额或平均数；
• 典型水平（中位数 $25$ 万元）——回答”一般一个项目能拿多少”，这必须用中位数；
• 结构（一大二十五小）——回答”为什么前两个数差这么远”。

任何一件缺了，报告都会误导。 这与 §9.2.3 末尾那个”企业年平均收入 $20$ 万元”的例子 是同一件事：数字都是真的，选哪个数字报出去，决定了听的人会不会被带偏。

练习第 3 题

3. 某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下：

甲 7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.9

乙 7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5

选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数。那么，这两个选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？为什么？

一、去掉一个最低分和一个最高分后的得分

甲：$10$ 个分数已按从小到大排好，去掉最低分 $7.5$（只去掉一个）和最高分 $9.9$， 剩下 $8$ 个是 $7.5,\ 7.8,\ 7.8,\ 8.0,\ 8.0,\ 8.2,\ 8.3,\ 8.4$，

$$\frac{7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4}{8}=\frac{64.0}{8}=8.0 .$$

乙：去掉最低分 $7.5$ 和最高分 $8.5$（只去掉一个）， 剩下 $8$ 个是 $7.8,\ 7.8,\ 7.8,\ 8.0,\ 8.0,\ 8.3,\ 8.3,\ 8.5$，

$$\frac{7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5}{8}=\frac{64.5}{8}=8.062\,5 .$$

答：甲的最后得分是 $8.0$ 分，乙的最后得分是 $8.062\,5$ 分，乙的名次在甲之前。

这里有两个细节容易做错：

• “去掉一个最低分”是去掉一个，不是去掉所有等于最低分的。 甲有两个 $7.5$、乙有两个 $8.5$，都只去掉其中一个，剩下的那一个仍参与计算；
• 剩下的是 $8$ 个数，分母写 $8$，不是 $10$。

二、直接用 10 位评委评分的平均数

$$\overline{x}_{\text{甲}}=\frac{81.4}{10}=8.14 ,\qquad \overline{x}_{\text{乙}}=\frac{80.5}{10}=8.05 .$$

（甲的总分：$7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.9=81.4$； 乙的总分：$7.5+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5=80.5$。）

答：改用 $10$ 位评委的平均数，甲 $8.14$ 分、乙 $8.05$ 分，甲在乙之前——两位选手的排名发生了变化。

排名反转，全部由一个数造成。

三、哪种办法更好，为什么

答：去掉一个最低分和一个最高分的办法更好。

理由一：这个反转是被一个极端值造出来的，不是实力差异。 把两组分数并排看：

甲、乙的中位数都是 $8.0$，最低分都是 $7.5$， 两人在十位评委心中的一般水平其实相当接近； 唯一的大差别是甲拿到了一个 $9.9$， 这个分比甲自己的第二高分 $8.4$ 还高出 $1.5$ 分，明显脱离了其余九位评委的共识。 按 §9.2.3 的结论，平均数对极端值最敏感： 这一个 $9.9$ 就把甲的平均分抬高了

$$\frac{9.9-8.4}{10}=0.15\ (\text{分}) ,$$

而甲、乙的平均分之差只有 $8.14-8.05=0.09$ 分—— $0.09<0.15$，也就是说，若没有这个异常高分，甲根本排不到乙前面。 让一位评委的一个离谱打分决定名次，显然不合理。

理由二：这种办法能抑制评委的偏向，让比赛更公平。 演讲比赛的评分带有主观性，个别评委可能因为偏爱或成见给出畸高、畸低的分。 去掉一个最高分和一个最低分，等于把最可能有偏向的两端各切掉一个， 剩下 $8$ 个分数的平均数受单个评委的操纵空间大大减小。 这在统计上叫截尾平均数，它是”平均数用满全部信息”与”中位数抗极端值”之间的折中： 比平均数稳，比中位数用到的信息多。

理由三：从数值上也能看出它更贴近共识。 甲的截尾平均 $8.0$ 恰好等于甲的中位数 $8.0$，乙的截尾平均 $8.062\,5$ 也贴着乙的中位数 $8.0$， 两个截尾平均都落在各自数据的”中心”附近； 而甲的算术平均 $8.14$ 被那个 $9.9$ 拉到了中位数 $8.0$ 以上， 落在从高往低数第 $4$、第 $5$ 个分（$8.2$ 与 $8.0$）之间， $10$ 个评分里有 $6$ 个低于它、只有 $4$ 个高于它，比截尾平均偏离共识更远。

补一句边界上的诚实话：截尾平均并非万能。 若十位评委里有两位以上串通着给高分，只去掉一个是切不干净的； 真正的防线还是评委人数足够多、评分标准足够细。 去一最高一最低只是成本最低、最容易执行的那一道防线， 它不能保证绝对公平，但能把”一个人说了算”的情形挡在门外。