9.1.1 简单随机抽样

本节要回答的是一个很实际的问题：抽样调查已经决定了只看一部分，那么这”一部分”该怎么挑？ 挑法不同，结论可以差得很远。简单随机抽样就是最基本的一种挑法，也是后面所有抽样方法的地基。

一、为什么样本要”像”总体

抽样调查的目的从来不是了解抽中的那几个个体，而是了解整个总体。 抽查一批待售袋装牛奶的细菌数，关心的是整批奶合不合格，不是被拆开那几袋合不合格。

既然要用样本去说总体的事，就得要求样本里含有的信息和总体基本相同—— 说得通俗些，样本要”像”总体。这句话是本章一切方法的出发点：

一个抽样方法好不好，唯一的标准是它抽出来的样本像不像总体。

麻烦在于，“像不像”事先无法验证——总体的情况本来就是不知道的， 知道了还抽什么样。所以我们只能退一步，从抽取的过程上想办法： 不让任何一类个体在抽取时占便宜。这就是”随机”两个字的全部含义。

二、从摸球说起：放回还是不放回

课本用一个口袋起头：袋中有红、白两色共 $1000$ 个小球，除颜色外大小、质地完全相同， 要估计红球所占的比例。

这里先要把三个词对上号（这是上一节的功课，务必对准）：

• 总体：袋中所有小球（共 $1000$ 个）；
• 个体：每一个小球；
• 变量：小球的颜色。

放回摸球：摸出一个球，记下颜色，放回去，摇匀，再摸，重复 $n$ 次。 按初中的概率知识，摸球次数越多，摸到红球的频率越接近摸到红球的概率， 而这个概率恰好就是袋中红球所占的比例。所以放回摸球是可行的。

但放回摸球有个明显的浪费：同一个球可能被摸中多次。极端情况是 $n$ 次全摸到同一个球， 这时你花了 $n$ 次力气，却只拿到一个球的颜色信息。

不放回摸球：摸出一个球后不再放回，每次都在剩下的球里随机摸。这样就不会重复。 把这件事推到极端最能说明问题：

当 $n=1000$ 时，不放回摸球已经把袋里的球全部取出，红球比例就被完全掌握了；而放回摸球摸 $1000$ 次，一般仍然给不出准确的比例。

这就是”不放回的效率更高”这句话的直观来源：不重复，就不浪费。

三、简单随机抽样的定义

设总体含有 $N$ 个个体（$N$ 为正整数），从中逐个抽取 $n$ 个个体作为样本， 其中 $1\leqslant n<N$。

• 抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等—— 叫做放回简单随机抽样；
• 抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等—— 叫做不放回简单随机抽样。

两者统称简单随机抽样（simple random sampling）， 由此获得的样本称为简单随机样本。

定义里有三处必须逐字读准。

其一，$1\leqslant n<N$。 样本量至少是 $1$，且严格小于总体容量。 $n=N$ 时抽的就是全部个体，那已经是全面调查，不叫抽样了。

其二，“每次抽取时”这四个字。 等概率不是只对第一次的要求，而是对每一次抽取的要求。 很多错误抽法败就败在这里：第一次看着挺公平，往后就偏了。

其三，不放回那一条里多了”未进入样本的”。 已经被抽走的个体不在候选之列，等概率只在剩下的个体之间要求。 放回抽样里没有这个限制词，因为每次面对的都是完整的总体。

一个常被忽略的等价说法： 从总体中逐个不放回地随机抽取 $n$ 个个体， 与一次性批量随机抽取 $n$ 个个体，这两种做法是等价的。 所以实践中抓一把、或者一次生成 $n$ 个不重复的随机数，都属于不放回简单随机抽样。

由于不放回的效率更高，实践中用得更多。除非特别声明，本章所说的简单随机抽样都指不放回的。

四、怎样把”等概率”真正做出来

道理讲完了，动手时才发现难点在于：人是做不到随机的。 让你在心里”随便想”一个 $1\sim 712$ 的数，想出来的数一定带着偏好。 所以必须借助外部的、机械的手段。课本给了两种。

课本的场景是：树人中学高一年级有 $712$ 名学生，家具厂想知道全年级学生的平均身高， 以便设定可调节课桌椅的标准高度。总体是全体高一学生，个体是每一位学生，变量是身高。

1. 抽签法

先给 $712$ 名学生编号，例如按 $1\sim 712$ 编。 把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（卡片、小球亦可）上作为号签， 放进不透明的盒子，充分搅拌，再从盒中不放回地逐个抽取，直到抽足人数。

这三处黑体字都是等概率的保证，缺一不可：

• 号签无差别——否则手能摸出区别，某些签就更容易被抽中；
• 盒子不透明——否则眼睛替手做了选择；
• 充分搅拌——否则后放进去的签总浮在上面。

抽签法简单易行，但总体一大就极其麻烦（想想给 $10$ 万人写号签）， 所以它一般只适用于总体中个体数不多的情形。

2. 随机数法

同样先编号，然后用随机数工具产生 $1\sim 712$ 范围内的整数随机数， 产生的数就是被抽中的编号，重复到抽足为止。

如果生成的随机数有重复怎么办？ 剔除重复的编号，重新产生， 直到不同编号的个数达到样本所需的人数。这一步正是把”放回”改造成”不放回”的做法。

产生随机数有三条路：

（1）用随机试验生成。 准备 $10$ 个大小、质地一样的小球，写上 $0,1,2,\dots,9$， 放进不透明的袋子。有放回地摸 $3$ 次（每次摸前充分搅拌）， 把第一、二、三次摸到的数字分别作百位、十位、个位，就得到一个三位随机数。 落在 $1\sim 712$ 内就取，否则舍弃。这样产生的随机数可能重复。

这里的”有放回”是关键：只有放回，每一位上出现各个数字的机会才都是 $\dfrac{1}{10}$， 三位数字才互不影响。

（2）用信息技术生成。

• 计算器：进入计算模式，调出随机数函数并设参数，例如 RandInt#(1，712)， 按 = 键生成一个，重复按可生成多个。可能重复。
• 电子表格软件：在任一单元格输入 =RANDBETWEEN(1，712)，得到一个随机数； 再用自动填充功能可以快速生成大量随机数。可能重复。
• R 统计软件：在控制台输入 sample(1:712, 50, replace=F) 并回车， 直接得到 $50$ 个 $1\sim 712$ 范围内互不重复的整数随机数。

注意最后一条与前两条的区别：replace=F 就是”不放回”， 所以 R 一次就给出不重复的 $50$ 个，省掉了人工剔重那一步。 一般说来，计算器和计算机软件在没有特殊设定时，生成的随机数都是可重复的。 想确认手里的工具属于哪种，可以查说明书，也可以做个小测试： 看它能不能生成 $3$ 个整数随机数 $1$ 或 $2$—— 若能出现重复，就说明是可重复的。

3. 两种方法对照

为什么非要先编号？ 因为随机数工具吐出来的是数， 必须有一张”数 $\leftrightarrow$ 个体”的对照表，抽中的数才落得到具体的人身上。 编号还顺带保证了每个个体恰好对应一个数，不重不漏，等概率才有意义。

编号能不能直接用学号？ 可以，但有前提： 学号必须不重、不漏，且能覆盖成一段便于生成随机数的整数范围。 若学号形如 20240315 这种带年级、班级信息的长串， 直接拿来生成随机数既不方便，还容易把班级的结构带进抽样里， 这时不如另编一套 $1\sim N$ 的连续号。

五、样本量是不是越大越好

结论：一般说来样本量大的代表性更好，但并不是越大越好。

好的一面，和重复试验里”次数越多、频率越接近概率”是同一个道理： 样本量越大，样本中不同身高的比例接近总体中相应比例的可能性越大， 样本平均身高接近总体平均身高的可能性也越大。 尤其是样本量本来就不大时，增加样本量能明显改善估计效果。

代价的一面：样本量增大会带来人力、费用、时间等成本的增加。 所以样本量要根据实际问题的需要来定。

还有一个边界值得记住：在简单随机抽样调查中， 当样本量和总体一样大时，做的就是全面调查了。 ——这也从另一面解释了定义里为什么要求 $n<N$。

六、总体均值与样本均值

估计平均身高，就要把”平均数”这件事写清楚。本节引入一套贯穿全章的记号约定：

大写字母管总体，小写字母管样本。

设总体中有 $N$ 个个体，变量值分别为 $Y_1,Y_2,\dots,Y_N$，称

$$\overline{Y}=\frac{Y_1+Y_2+\cdots+Y_N}{N}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Y_i$$

为总体均值（population mean），又称总体平均数。

如果这 $N$ 个变量值中不同的值共有 $k$ 个（$k\leqslant N$），记为 $Y_1,Y_2,\dots,Y_k$， 其中 $Y_i$ 出现的频数为 $f_i$（$i=1,2,\dots,k$），则总体均值还可以写成加权平均数的形式

$$\overline{Y}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}f_iY_i .$$

从总体中抽取一个容量为 $n$ 的样本，变量值分别为 $y_1,y_2,\dots,y_n$，称

$$\overline{y}=\frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$$

为样本均值（sample mean），又称样本平均数。

在简单随机抽样中，我们常用样本平均数 $\overline{y}$ 去估计总体平均数 $\overline{Y}$。

求和符号 $\sum$ 读作 /sigmə/，用来简写多项式求和：

$$\sum_{i=1}^{N}Y_i=Y_1+Y_2+\cdots+Y_N .$$

两个记号上的细节，考试常在这里做文章：

• $\overline{Y}$ 是一个确定的数——总体一旦给定，它就定了，只是我们不知道它是多少；
• $\overline{y}$ 是一个随机的数——换一个样本就换一个值。

课本举的例子：用随机数法从树人中学高一年级抽取容量为 $50$ 的简单随机样本， 算出样本平均数为 $164.3$，据此估计全年级学生的平均身高为 $164.3\ \mathrm{cm}$ 左右。 “左右”两个字不是客气话，是这个估计的真实身份。

七、样本平均数的随机性

课本用一个模拟实验把上一段的话坐实了。

小明从医务室拿到了高一年级学生身高的全部数据，算出总体平均身高为 $165.0\ \mathrm{cm}$ （注意：这是上帝视角，实际调查中拿不到）。 然后他用简单随机抽样，从这些数据里抽取样本量为 $50$ 和 $100$ 的样本各 $10$ 个， 分别算出样本平均数（表 9.1-1、图 9.1-3，图中红线是总体平均数）。

三条结论，条条重要：

1. 不管样本量是 $50$ 还是 $100$，不同样本的平均数往往是不同的。 样本的选取是随机的，所以样本平均数也具有随机性—— 这与总体平均数是一个确定的数完全不同。

2. 样本平均数在总体平均数附近波动。 $20$ 个样本平均数中， 与总体平均数完全一致的很少，但除了样本量为 $50$ 的第 $2$ 个样本以外， 其余偏离都不超过 $1\ \mathrm{cm}$。

3. 样本量为 $100$ 的波动幅度明显小于样本量为 $50$ 的。 这与”增加样本量可以提高估计效果”的认识一致。

第 2 条里那个例外值得说一句：它说明单独一次抽样是可能抽偏的。 随机抽样保证的是”长期看不偏”，不是”这一次一定准”。 这正是随机抽样最容易被误解的地方。

八、比例：均值的一个特例

除了平均数，人们同样关心某类个体在总体中所占的比例—— 合格品占全部产品的比例、赞成某项政策的人占整个人群的比例，等等。

课本的问题 2：树人中学想了解全校 $2174$ 名学生中视力不低于 $5.0$ 的学生所占的比例。

这里有一个漂亮的转化：把”是不是”变成 $0$ 和 $1$，比例就变成了平均数。

记”视力不低于 $5.0$“为 $1$，“视力低于 $5.0$“为 $0$，第 $i$ 个学生的视力变量值为

$$Y_i=\begin{cases}1, & \text{视力不低于 }5.0,\\[2pt] 0, & \text{视力低于 }5.0.\end{cases}$$

于是全校”视力不低于 $5.0$“的人数就是 $Y_1+Y_2+\cdots+Y_{2174}$， 而这类学生所占的比例 $P$ 恰好就是总体平均数：

$$P=\frac{Y_1+Y_2+\cdots+Y_{2174}}{2174}=\overline{Y} .$$

同样地，容量为 $n$ 的样本中这类学生所占的比例 $p$ 就是样本平均数：

$$p=\frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}=\overline{y} .$$

所以：用 $\overline{y}$ 估计 $\overline{Y}$，也就是用样本比例 $p$ 估计总体比例 $P$。 比例的估计不需要另起炉灶——它就是均值估计的特例。

课本给出的样本（容量 $50$）算得 $\overline{y}=0.54$， 据此估计全校学生中”视力不低于 $5.0$“的比例约为 $0.54$。

这个 $0$-$1$ 化的技巧在整个统计里反复出现，往后学到二项分布、独立性检验时还会遇到， 现在就要把它当成一个标准动作记住。

九、简单随机抽样的局限

简单随机抽样方法简单、直观，用样本平均数估计总体平均数也很方便， 它是最基本的抽样方法，是其他抽样方法的基础。但实际应用中它有明显的局限：

• 编号等准备工作费事。总体很大时，给所有个体编号非常麻烦，甚至难以做到；
• 抽中的个体往往很分散。要找到样本中的个体并实施调查会遇到很多困难 （想象一下抽中的 $50$ 个人散落在全国各地）；
• 没有利用其他辅助信息，估计效率不是很高。 比如明知男女生身高差别大，简单随机抽样却完全不管这件事，白白浪费了这条信息。

因此，规模较大的调查中直接采用简单随机抽样的并不多，一般是把它和其他抽样方法组合使用。 第三条局限正是下一节分层随机抽样的动机—— 既然知道总体里有结构，就该把这个结构用起来。

本节自己的页里只印了一处习题——第 $177\sim 178$ 页的「练习」共 $5$ 题，全部收在下面。 本节没有「习题 9.1」，那一组题印在 §9.1.2 的页上，归那一份收。

练习（第 177 页）第 1 题

1. 在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？

（1）调查一个班级学生每周的体育锻炼时间；

(2) 调查一个地区结核病的发病率;

（3）调查一批炮弹的杀伤半径；

(4) 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.

请你再举一些不宜用全面调查的例子，并说明理由.

这道题考的是上一节三个词的对号入座，外加一条判断标准。

先把”总体、个体”的写法口径定死，这是最容易失分的地方。 上一节说过，总体既可以写成调查对象的全体，也可以写成 调查对象某个指标的全体（课本讲身高时用的就是后一种）。 两种口径都对，但必须成对使用—— 个体必须是总体里的一个元素。写成”总体是全体学生的锻炼时间、个体是每一名学生”就是错的， 因为”学生”不是”时间”里的元素。

本题四问都关心一个具体的指标，所以下面一律采用指标口径： 总体 $=$ 全体对象的该项指标，个体 $=$ 每一个对象的该项指标。

再说判断标准，后面四问都按它判：

第一问：全面调查会不会把个体毁掉？ 会 $\Rightarrow$ 只能抽样。 第二问：全面调查花得起吗？ 花不起（人太多、找不到、来不及）$\Rightarrow$ 抽样。 两条只要中一条，就得抽样；两条都不中，才轮得到全面调查。

（1）调查一个班级学生每周的体育锻炼时间。

• 总体：这个班级全体学生每周的体育锻炼时间；个体：每一名学生每周的体育锻炼时间。
• 适合全面调查。 一个班几十人，逐个问一遍花不了多少工夫， 而且要了解的本来就是这个班自己的情况，全面调查得到的是准确值，没有估计误差。

（2）调查一个地区结核病的发病率。

• 总体：这个地区全体居民是否患结核病（患病情况）；个体：每一位居民是否患结核病。
• 适合抽样调查。 一个地区少则几十万人，给每个人做一次结核检查， 人力、费用、时间都承受不起，而且等全查完，发病率早就变了。

（3）调查一批炮弹的杀伤半径。

• 总体：这批炮弹的杀伤半径；个体：每一发炮弹的杀伤半径。
• 必须用抽样调查。 测一发炮弹的杀伤半径就要把它打出去， 这是破坏性的检测。全面调查等于把整批炮弹全部炸光—— 数据是拿到了，可炮弹一发不剩，调查也就失去了意义。

（4）调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例。

• 总体：水库中所有的鱼是不是草鱼（鱼的种类）；个体：每一条鱼是不是草鱼。
• 适合抽样调查。 鱼在水下游动，总数本来就不知道， 想一条不漏地捞上来数清楚，实际做不到；就算做得到，也会把水库里的鱼折腾坏。

再举一些不宜用全面调查的例子。 按上面两条标准分成两类，理由才说得清楚：

第一类：一查就毁，属于破坏性（消耗性）检测。

第二类：查得起但花不起，成本或时间不可承受，甚至根本拿不到名单。

最后一行其实还带出第三类理由：有些总体是开放的、随时间变动的（用户在变、生产线还在出产品）， 根本没有一个固定的边界，“全面”二字无从谈起，只能抽样。

练习（第 177 页）第 2 题

2. 如图，由均匀材质制成的一个正二十面体（每个面都是正三角形），将 20 个面平分成 10 组，第 1 组标上 0，第 2 组标上 1，…，第 10 组标上 9. （1）投掷正二十面体，若把朝上一面的数字作为投掷结果，则出现 0, 1, 2, …, 9 是等可能的吗？

(2) 三个正二十面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色，分别代表百位、十位、个位，同时投掷可以产生一个三位数（百位为 0 的也看作三位数），它是 000～999 范围内的随机数吗？

（1）是等可能的。

正二十面体由均匀材质制成，$20$ 个面都是全等的正三角形， 所以投掷时每一个面朝上的概率都相等，都是 $\dfrac{1}{20}$。

$20$ 个面被平分成 $10$ 组，每组 $2$ 个面，分别标上 $0,1,2,\dots,9$。 于是对每一个 $k\in\{0,1,\dots,9\}$，

$$P(\text{朝上的数字为}k)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10},$$

这个值与 $k$ 无关，所以出现 $0,1,2,\dots,9$ 是等可能的。

两个条件缺一不可，答题时都要点到：

• 均匀材质——保证每个面等概率。材质不均匀，重的一侧就更容易朝下，各面概率不等；
• 平分成 $10$ 组——保证每个数字占的面数一样多。 若把 $0$ 标在 $3$ 个面上、$1$ 标在 $1$ 个面上，即使各面等概率，数字也不再等可能。

（2）是 $000\sim 999$ 范围内的随机数。

三个正二十面体分别涂红、黄、蓝，代表百位、十位、个位。由（1）， 每一个二十面体给出的数字在 $0\sim 9$ 上是等可能的；三个多面体同时投掷、互不影响， 所以对任意一个数字组合 $(a,b,c)$，

$$P(\text{百位}=a,\ \text{十位}=b,\ \text{个位}=c)=\frac{1}{10}\times\frac{1}{10}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{1000}.$$

$000\sim 999$ 共 $1000$ 个三位数（百位为 $0$ 的也算），每一个出现的概率都是 $\dfrac{1}{1000}$， 等可能且不遗漏，所以它确实是 $000\sim 999$ 范围内的随机数。

这道题其实是正文那个”摸球生成随机数”的实物改良版。 摸球法要靠”有放回”和”充分搅拌”两条人工纪律去保证等概率与互不影响， 稍不注意就破功；而三个二十面体同时投掷，等概率来自形体的对称、 互不影响来自三个物体本就分离，两条纪律都由器具本身保证了，这正是它的好处。

练习（第 177 页）第 3 题

3. 实验室的笼子里共有 100 只小白鼠，现要从中抽取 10 只作试验用。下列两种情况是否属于简单随机抽样？请说明理由。

（1）每次不经任何挑选地抓一只，抓满10只为止；

（2）将笼中的100只小白鼠按 $1\sim 100$ 编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号

的小白鼠作为试验用的小白鼠.

（1）不属于简单随机抽样。

“不经任何挑选地抓一只”听上去很随机，但手抓做不到等概率：

• 靠近笼门的、行动迟缓的、体弱跑不动的小白鼠明显更容易被抓到；
• 抓过几只之后，笼里的鼠受了惊扰，位置和状态都变了，各只被抓到的概率还会继续变化；
• 抓的人手大手小、从哪个方向下手，也会影响抓到谁。

简单随机抽样要求”每次抽取时，总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等”， 这里连第一次抽取都做不到等概率，所以不属于。

要害一句话：随机不等于随便。 “随便抓”是人（或场景）的主观动作，谁被抓到说不清楚； “随机”是一套能把概率说清楚的机制。说不清概率的，就不是随机抽样。

（2）属于简单随机抽样。

题目的做法是：先按 $1\sim 100$ 编号，再选出 $10$ 个不重复的编号。 这正是正文里的随机数法——“编号 $+$ 随机地取编号范围内的整数”， 而”不重复”正对应不放回。

按定义验一遍：每一次抽取时，尚未入样的小白鼠被选中的概率都相等； 最终每只小白鼠入样的概率都是 $\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$， 每一个容量为 $10$ 的样本被抽到的概率也都相等。所以它是不放回简单随机抽样。

题面里的”任意选出”就是这套等概率机制的课本说法， 不要把它读成”想挑哪几个就挑哪几个”。

（1）和（2）的分水岭在机制上： （1）靠的是人的手，谁被抓到说不清概率； （2）靠的是编号加随机数，每一步的概率都写得出来。 能把概率写出来的才叫随机抽样。

（顺带提醒一句，这是另一道题了） 如果换成”由人随口报 $10$ 个编号”—— 挑自己的生日、挑 $10,20,\dots,100$ 这样的整数——那就不是简单随机抽样了， 因为人的偏好会让某些编号系统性地更容易或更难被选中。 但本题给的做法不是这一种。

练习（第 178 页）第 4 题

4. 如果计算器只能生成 $[0, 1)$ 内的随机数，你有办法把它转化为 $1 \sim 100$ 范围内的整数随机数吗？转化为 $1 \sim 712$ 范围内的整数随机数呢？

有办法，用”乘以范围再向下取整”即可。

转化为 $1\sim 100$ 的整数随机数。 设计算器生成的随机数为 $X\in[0,1)$，令

$$y=\lfloor 100X\rfloor+1 .$$

为什么对？ 因为 $100X\in[0,100)$，而对每个整数 $k\in\{0,1,\dots,99\}$，

$$\lfloor 100X\rfloor=k \iff X\in\left[\frac{k}{100},\ \frac{k+1}{100}\right),$$

这 $100$ 个区间长度都是 $\dfrac{1}{100}$、互不重叠、恰好铺满 $[0,1)$， 所以 $\lfloor 100X\rfloor$ 等可能地取 $0,1,\dots,99$， 从而 $y$ 等可能地取 $1,2,\dots,100$，每个的概率都是 $\dfrac{1}{100}$。

转化为 $1\sim 712$ 的整数随机数。 完全同理，令

$$y=\lfloor 712X\rfloor+1 ,$$

则 $y$ 等可能地取 $1,2,\dots,712$，每个的概率都是 $\dfrac{1}{712}$。

一般地，要生成 $1\sim N$ 的整数随机数，取 $y=\lfloor NX\rfloor+1$。

两种常见的错法

• 向上取整 $\lceil 100X\rceil$。 $X=0$ 时得 $0$，跑到了 $1\sim 100$ 之外； 而且 $X$ 恰好落在 $\dfrac{k}{100}$ 上时归属混乱。
• 四舍五入 $\mathrm{round}(100X)$。 结果落在 $0\sim 100$ 上共 $101$ 个值，多出一个； 更要命的是 $0$ 只对应 $X\in\left[0,\dfrac{1}{200}\right)$、 $100$ 只对应 $X\in\left[\dfrac{199}{200},1\right)$， 这两个值的概率只有中间那些值的一半，不等可能。

所以必须是”向下取整再加 $1$“，不能用别的取整方式。

另一条思路：取小数位（舍弃法）

也可以直接把 $X$ 的小数位当随机数字用：

• $1\sim 100$：取小数点后两位组成 $00\sim 99$，再加 $1$—— 这和 $\lfloor 100X\rfloor+1$ 是同一件事；
• $1\sim 712$：取小数点后三位组成 $000\sim 999$， 落在 $001\sim 712$ 内就采用，否则舍弃重来。

后一种要付出浪费的代价：约有 $\dfrac{1000-712}{1000}=28.8\%$ 的随机数被扔掉。 正文里”用摸球生成三位随机数、不在 $1\sim 712$ 内就舍弃”用的正是这条思路， 而 $y=\lfloor 712X\rfloor+1$ 一个也不浪费，效率更高。

练习（第 178 页）第 5 题

5. 在抽样调查中，请你说说通过“随机”选择样本的优、缺点.

先把话说准：这里问的是”随机”这件事本身的优缺点， 不是”简单随机抽样”这一种方法的优缺点。 两者要分开算账， 否则很容易把该记在别处的账记到”随机”头上（本题最后一节专门辨这一点）。

优点：全都来自”谁进样本由随机机制决定”

1. 排除主观挑选带来的系统偏差。 挑谁进样本这件事交给了抽签、随机数这类机械装置， 调查者的偏好（挑好说话的、挑离得近的、挑结论对自己有利的）进不来。 这是随机抽样最根本的价值。
2. 每个个体的入样概率是已知的、写得出来的。 在简单随机抽样里它是 $\dfrac{n}{N}$，在别的随机抽样方法里也算得出来。 这一条是后面一切统计推断的地基。
3. 估计量在期望的意义下不偏。 样本平均数会随样本而变，但它围绕总体平均数波动，没有系统性地偏向某一侧。 本节正文第 $179$ 页的探究把这件事画了出来： $20$ 个样本平均数散落在总体平均数（红线）两侧。
4. 抽样误差可以量化。 正因为抽取过程的概率是清楚的，才谈得上”这个估计有多准""增大样本量能提高多少精度”。 非随机的挑法连误差都无从评估——你不知道它偏了多少，甚至不知道它偏没偏。
5. 抽法公开、可复核，结论有公信力。 别人不能指责你”专挑对自己有利的样本”，因为样本是机器挑的，过程可以复现。

这里有一句话千万不能写： 等概率”只”保证每个个体入样的概率相同，推不出”某一次样本里各类个体恰好按总体比例出现”。 让各类按比例进入样本，是分层随机抽样的设计目标，不是”随机”本身的性质—— 下一节要学的分层，正是为了补上这一块。

缺点

1. 单次抽样仍有误差，可能抽偏。 随机保证的是”长期看不偏”，不是”这一次一定准”。 本节正文第 $179$ 页的探究里就出现过一个偏离比较大的样本平均数。
2. 需要一份完整的抽样框（名单），且编号等准备工作费事。 总体很大时非常麻烦，有时根本编不出来—— 例如”全国居民”就没有一份可供随机抽取的完整名单。
3. 抽中的个体往往很分散。 找到他们并实施调查会遇到很多困难，实地走访的交通、时间成本可能远超调查本身。
4. 随机管得住”谁被抽中”，管不住”谁愿意回答”。 抽中的人拒答、联系不上，会造成无回答偏差， 而这一层是随机抽样本身防不住的，必须另想办法（跟催、替换规则、如实报告回收率）。

一句话总结

随机换来的是”谁进样本这件事概率清楚”，因而换来了无系统偏差和可量化的误差； 它换不来低成本，也管不住抽中之后的事。

附：两笔常被记错的账

这两条是”简单随机抽样”的局限，不是”随机”的缺点，答题时不要混：

• “没有利用总体的已知结构，估计效率不高”。 明知总体里有男女、城乡这样的结构却一概不管，说的是简单随机抽样。 分层随机抽样同样是随机的，它照样随机选样本，只是先把结构用上了。
• “总体中占比很小的一类，可能一个都没抽到”。 这同样是简单随机抽样的局限，把小类单独列成一层就能解决， 而分层并没有放弃随机。

能把这两笔账分清楚，这道题才算真答到位。