8.5 空间直线、平面的平行

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8.5 空间直线、平面的平行

在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理。类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容。本节我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质。

8.5.1 直线与直线平行

我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行。在空间中，是否也有类似的结论？

观察

如图 8.5-1，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中， $DC \parallel AB$ ， $A'B' \parallel AB$ 。DC 与 $A'B'$ 平行吗？

观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？

可以发现， $DC \parallel A'B'$ 。再观察我们所在的教室（图8.5-2），黑板边所在直线 $AA'$ 和门框所在直线 $CC'$ 都平行于墙与墙的交线 $BB'$ ，那么 $CC' \parallel AA'$ 。这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质。我们把它作为基本事实。

基本事实 4 平行于同一条直线的两条直线平行.

基本事实 4 表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行。它给出了判断空间两条直线平行的依据。基本事实 4 表述的性质通常叫做平行线的传递性。

图8.5-2

例 1 如图 8.5-3，空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点。求证：四边形 EFGH 是平行四边形。

分析：要证明四边形 $EFGH$ 是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等．而 $EH$ ， $FG$ 分别是 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 的中位线，从而它们都与 $BD$ 平行且等于 $BD$ 的一半．应用基本事实4，即可证明 $EH \perp \perp FG$

证明：连接 BD.

∵ EH 是△ABD 的中位线，

∴ $EH \parallel BD$ ，且 $EH = \frac{1}{2} BD$ .

同理 $FG \parallel BD$ ，且 $FG = \frac{1}{2} BD$ .

$\therefore \quad E H \perp F G.$

在本例中，如果再加上条件 $AC = BD$ ，那么四边形EFGH是什么图形？

∴ 四边形 EFGH 为平行四边形.

思考

在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。在空间中，这一结论是否仍然成立呢？

与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图8.5-4所示的两种位置.

对于图 8.5-4(1)，我们可以构造两个全等三角形，使 $\angle BAC$ 和 $\angle B'A'C'$ 是它们的对应角，从而证明 $\angle BAC = \angle B'A'C'$ .

如图 8.5-5，分别在 $\angle BAC$ 和 $\angle B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime}$ 的两边上截取 AD，AE 和 $A^{\prime}D^{\prime}$ ， $A^{\prime}E^{\prime}$ ，使得 $AD = A^{\prime}D^{\prime}$ ， $AE = A^{\prime}E^{\prime}$ 。连接 $AA^{\prime}$ ， $DD^{\prime}$ ， $EE^{\prime}$ ，DE， $D^{\prime}E^{\prime}$ 。

$\because A D \underline {{\parallel}} A ^ {\prime} D ^ {\prime},$