8.5 空间直线、平面的平行

本目录装的是 §8.5 的开场与 §8.5.1 直线与直线平行（第 140—141 页）。整节 §8.5 要讲三层平行，这两页只走完第一层：

$$\text{线线平行} \longrightarrow \text{线面平行} \longrightarrow \text{面面平行}$$

后两层都要靠第一层去兑现：判定线面平行（§8.5.2），得先在面内找到一条与它平行的直线；判定面面平行（§8.5.3），得先找两条相交直线分别与另一个面平行——又落回找平行线。所以这两页不是过场，是地基。

这一层交付的东西只有两件：一条基本事实（空间里平行的传递性）和一条定理（等角定理）。下面按”先拿到工具，再看它能造什么”的顺序讲，与课本的叙述顺序一致。

一、基本事实 4：为什么它是”基本事实”，不是定理

课本先让你看一眼长方体 $ABCD\text{-}A'B'C'D'$：已知 $DC \parallel AB$、$A'B' \parallel AB$，那么 $DC$ 与 $A'B'$ 平行吗？再让你抬头看教室：黑板边所在直线 $AA'$ 与门框所在直线 $CC'$ 都平行于墙与墙的交线 $BB'$，那么 $CC' \parallel AA'$ 吗？两处的答案都是”平行”。课本把这件事作为基本事实接受下来：

基本事实 4 平行于同一条直线的两条直线平行。

符号表示：

$$a \parallel c, \quad b \parallel c \quad \Rightarrow \quad a \parallel b .$$

它表明：空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行。这条性质通常叫做平行线的传递性。

为什么不证它

初中在平面内学过同样的话，那时它是平行公理的推论，同样没有从更底下的东西证起。到了空间更没有可依托的东西：$a$ 与 $b$ 可能压根不在同一个平面上，而平行的定义是”在同一平面内且不相交”——想从定义出发证 $a \parallel b$，第一步就得先证 $a$、$b$ 共面，而证共面又要用到平行。这是个循环。 于是课本把它列为第 4 条基本事实，与 §8.4.1 的三条平面基本事实并列，不加证明。

顺带记住一件在空间里特别容易忘的事：两条直线不相交，不一定平行——还可能是异面。基本事实 4 给出的结论是”平行”（因而共面），这正是它比”看上去不相交”值钱的地方。

它在这两页里的位置：唯一的”造平行线”工具

请留意此刻你手上有什么：线面平行（§8.5.2）还没学，面面平行（§8.5.3）也没学。在这两页里，要断定空间中两条直线平行，除了平面几何的老办法（中位线、平行四边形、同位角……）之外，就只剩基本事实 4。

所以它的用法是固定的一句话：要证 $a \parallel b$，就去找一条”中介”直线 $c$，让 $a \parallel c$ 且 $b \parallel c$。 底下的例 1 与等角定理的证明，用的都是这一句。

二、例 1：四个点不共面，四个中点却一定围出平行四边形

例 1 空间四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是边 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点。求证：四边形 $EFGH$ 是平行四边形。

“空间四边形”的意思是 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点不共面——这正是题目的分量所在。四个顶点都翘在空间里，凭什么这四个中点就共面了、还偏偏围成平行四边形？

证明

连接 $BD$。

$E$、$H$ 分别是 $AB$、$AD$ 的中点，故 $EH$ 是 $\triangle ABD$ 的中位线，由三角形的中位线定理，

$$EH \parallel BD, \qquad EH = \frac{1}{2} BD .$$

同理，$F$、$G$ 分别是 $CB$、$CD$ 的中点，$FG$ 是 $\triangle CBD$ 的中位线，

$$FG \parallel BD, \qquad FG = \frac{1}{2} BD .$$

$EH$ 与 $FG$ 都平行于 $BD$，由基本事实 4 得 $EH \parallel FG$；又两者都等于 $\frac{1}{2} BD$，故 $EH = FG$。一组对边平行且相等，所以四边形 $EFGH$ 是平行四边形。

课本把”平行且相等”缩写成 $EH \; \underline{\parallel} \; FG$（平行号底下加一横）。看扫描图时认得这个记号就行，自己写证明时把两句话分开写更稳妥——漏掉”且相等”只能得到梯形，这是这道题最常见的失分处。

三处值得停一停

1. $BD$ 就是那条”中介”，它是连出来的。 题面里本来没有 $BD$。连它的理由很明确：$E$、$H$ 在 $\triangle ABD$ 里，$F$、$G$ 在 $\triangle CBD$ 里，这两个三角形共用的那条边正是 $BD$——中介直线要能同时够到两组中点，只能是它。若改连 $AC$，得到的是另一组对边 $EF \parallel GH$，也对，只是配的中点换了一对。
2. “四个中点共面”是白拿的，不必另证。 $EH \parallel FG$ 一旦成立，两条平行直线就确定了一个平面（平行的定义里已经含着共面），$E$、$F$、$G$、$H$ 自动落在这个平面上。所以不必担心”它们会不会在空间里翘起来”——平行本身把它们摁平了。
3. $ABCD$ 共不共面都不影响结论。 上面的推理一次都没用到四点不共面。共面时它退化成初中那道”顺次连接四边形四边中点得平行四边形”；不共面时结论一字不改。这正是基本事实 4 的价值：它让平面几何的中位线论证原样搬进空间。

课本的追问：再加上 $AC = BD$ 会怎样

课本在例 1 后面问了一句：如果再加上条件 $AC = BD$，四边形 $EFGH$ 是什么图形？

同样的手法，改连另一条对角线 $AC$：$EF$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，故 $EF \parallel AC$ 且 $EF = \frac{1}{2} AC$。于是平行四边形 $EFGH$ 的两条邻边分别是

$$EH = \frac{1}{2} BD, \qquad EF = \frac{1}{2} AC .$$

加上 $AC = BD$ 就得到 $EF = EH$——邻边相等的平行四边形是菱形。

把这一族结论记全，它们全都只是”换一条对角线当中介”：

第三、四行用到的”夹角随之是直角”不是显然的：$EF$、$EH$ 与 $AC$、$BD$ 并不在同一个平面上，凭什么它们的夹角跟着相等？这正是下一段那条定理管的事。

三、等角定理：把角”平移”到别处，角不变

平面内有一条熟悉的结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 课本在这里问：在空间中，这一结论是否仍然成立？

成立。而且”相等或互补”这两支的来历，看图就明白：两个角的两边分别对应平行时，只有两种摆法（课本图 8.5-4 画的就是这两种）——两组对应边同向，两角相等；有一组对应边反向，两角互补。所以这条定理的结论天生是两支的，不能只记”相等”那一半。

相等那一支怎么证

课本对图 8.5-4(1) 的办法是造一对全等三角形，让 $\angle BAC$ 与 $\angle B'A'C'$ 成为它们的对应角。

作法（课本图 8.5-5）：分别在 $\angle BAC$ 和 $\angle B'A'C'$ 的两边上截取 $AD$、$AE$ 和 $A'D'$、$A'E'$，使得 $AD = A'D'$，$AE = A'E'$；再连接 $AA'$、$DD'$、$EE'$、$DE$、$D'E'$。

接下来每一步都只用两样东西——“平行且相等 $\Rightarrow$ 平行四边形”和基本事实 4：

1. $AD \parallel A'D'$ 且 $AD = A'D'$，故 $ADD'A'$ 是平行四边形，于是 $DD' \parallel AA'$ 且 $DD' = AA'$；
2. 同理 $AEE'A'$ 是平行四边形，于是 $EE' \parallel AA'$ 且 $EE' = AA'$；
3. $DD'$ 与 $EE'$ 都平行于 $AA'$——由基本事实 4 得 $DD' \parallel EE'$；又都等于 $AA'$，故 $DD' = EE'$；
4. 于是 $DD'E'E$ 是平行四边形，得 $DE = D'E'$；
5. $\triangle ADE$ 与 $\triangle A'D'E'$ 三边对应相等，全等，故 $\angle DAE = \angle D'A'E'$，即 $\angle BAC = \angle B'A'C'$。

第 3 步是整条链的枢纽，而它就是基本事实 4。注意 $AA'$ 在这里扮演的正是例 1 里 $BD$ 的角色：一条自己连出来的中介直线。 这两页真正教的就是这一套动作。

课本正文到第 141 页末停在第 1 步的 $AD \; \underline{\parallel} \; A'D'$，后面的收尾（以及互补那一支）印在第 142 页起，那一页归 §8.5.2 的目录。要对着原文读，翻那一节的扫描图。

这条定理平时怎么用

它给的是一张搬运角度的许可证：两条边各自平移到别处，只要方向不变，角就不变。上一段表格里”$AC \perp BD$ $\Rightarrow$ $EFGH$ 是矩形”用的就是它。再往后，异面直线所成的角之所以能”把两条线都平移到一点再量”，靠的也是这条定理——平移之后角不变这件事需要被证明，而证明就在这里。

四、这两页的易错清单

按容易失手的程度排：

1. 把”不相交”当成”平行”。 空间里两条直线不相交有两种可能：平行，或者异面。只有基本事实 4（或平面几何的老办法）能给出”平行”，“看着不相交”给不出。
2. 中位线配错了边。 $EH$ 在 $\triangle ABD$ 里绕开的是顶点 $A$，配的就是 $A$ 所对的边 $BD$；随手写成 $EH \parallel AC$ 全盘皆错。中位线永远平行于它绕开的那个顶点所对的边。
3. 只写平行、漏掉相等。 “一组对边平行”只能得到梯形；平行四边形的这条判定要的是一组对边平行且相等，两个条件都得落到纸上。
4. 找中介直线时不找公共边。 例 1 里连 $BD$ 不是随便连的——它是那两个三角形共用的边。等角定理证明里连 $AA'$ 同理。选错了中介，两边够不到一块儿。
5. 等角定理只记住了”相等”。 它说的是”相等或互补”。题目里看不出两组对应边的方向时，两种情形都得留着。

五、往下读

这两页学完，手上就有了在空间里”造平行线”的唯一工具。接着往下：

• §8.5.2 直线与平面平行——判定定理把线线平行翻译成线面平行，它的例题证法与本节例 1 几乎一模一样：连一条中位线，再加一句话；
• §8.5.3 平面与平面平行——再把线面平行翻译成面面平行。

三节连起来是一条单向的翻译链，每一层都要回到前一层去找一条平行线。所以例 1 那套动作——连一条公共边当中介、用中位线造平行、用基本事实 4 收口——值得练熟，后面两节还要反复用。