8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

上一节（§8.3.1）处理的是多面体——棱柱、棱锥、棱台，它们的表面就是几个多边形，表面积是「把每个面 算出来再加」。这一节换一类：旋转体。圆柱、圆锥、圆台是平面图形绕轴旋转得到的，它们的表面没有 「面片」，但有一个共同点——可以沿母线剪开、摊平：圆柱侧面展开是矩形，圆锥侧面展开是扇形， 圆台侧面展开是扇环（图 8.3-3）。所以这一节全部表面积公式的来历都是同一句话：把侧面展开，算展开图的面积。

而球是唯一例外：球面不能摊成平面（地球仪无论怎么裁都平铺不成一个矩形），所以球的表面积和体积 公式只能当作结论记，并借助「分割求和」的办法理解它为什么长这样。

这一节的公式很多，但骨架只有三条：表面积靠「展开图」、体积靠「柱锥台统一公式」、球靠两个背下来的 式子。下面按这个顺序讲。

一、表面积：把侧面展开

设圆柱、圆锥的底面半径为 $r$、母线长为 $l$，圆台的上、下底面半径为 $r'$、$r$、母线长为 $l$。

圆柱。侧面展开是一个矩形：宽是母线 $l$，长是底面周长 $2\pi r$，所以侧面积 $S_{\text{侧}} = 2\pi rl$。 加上两个底面：

$S_{\text{圆柱}} = 2\pi r^2 + 2\pi rl = 2\pi r(r+l).$

圆锥。侧面展开是一个扇形，扇形的半径是母线 $l$，弧长是底面周长 $2\pi r$。扇形面积 = 半弧长 × 半径 （与三角形面积同款：$\frac12 \times \text{弧长} \times \text{半径}$），所以

$$S_{\text{圆锥}} = \pi r^2 + \pi rl = \pi r(r+l).$$

圆台。侧面展开是一个扇环。扇环不好直接量，但可以「补」：把圆台补成圆锥，扇环就是大扇形减去 小扇形。设补出来的小圆锥母线为 $l_0$，由相似三角形 $\frac{r'}{r} = \frac{l_0}{l_0 + l}$ 解得 $l_0 = \frac{r'l}{r - r'}$，于是

$S_{\text{侧}} = \pi r(l_0 + l) - \pi r'l_0 = \pi rl + \pi l_0(r - r') = \pi rl + \pi r'l = \pi(r + r')l,$

$S_{\text{圆台}} = \pi r'^2 + \pi r^2 + \pi(r + r')l.$

三个公式是一条。圆台公式里令 $r' = r$（上、下底面一样大），扇环变矩形，得到的就是圆柱公式 $2\pi r(r+l)$；令 $r' = 0$（上底面缩成一个点），扇环变扇形，得到的就是圆锥公式 $\pi r(r+l)$。 所以记忆顺序是：先记圆台，圆柱和圆锥都是它的退化情形——退化方向也对应着结构特征： 圆柱是「上下底面相等」的圆台，圆锥是「上底面缩成一点」的圆台。

展开图还多给一样东西：圆锥侧面展开扇形的圆心角。扇形弧长 = 底面周长，即 $\theta l = 2\pi r$， 所以 $\theta = \frac{2\pi r}{l} = \frac{2\pi r}{\sqrt{r^2 + h^2}}$。练习第 1 题就是从这里下手： 「侧面展开图是半圆」即 $\theta = \pi$，立刻得到 $l = 2r$。

二、体积：一条公式管三种台体

圆柱、圆锥的体积公式小学初中已经学过：$V_{\text{圆柱}} = \pi r^2h$，$V_{\text{圆锥}} = \frac13\pi r^2h$ （圆锥那个 $\frac13$ 的来历见本节末的「探究与发现·祖暅原理」）。新内容是圆台。

圆台由圆锥截成，所以圆台体积 = 大圆锥 − 小圆锥。设补出的小圆锥高为 $h_0$，由相似 $\frac{r'}{r} = \frac{h_0}{h_0 + h}$ 解得 $h_0 = \frac{r'h}{r - r'}$，于是

$$= \frac13\pi\left[r^2h + h_0(r^2 - r'^2)\right] = \frac13\pi h(r^2 + rr' + r'^2).$$

再看棱台那边（§8.3.1）的体积公式 $V_{\text{棱台}} = \frac13 h\left(S' + \sqrt{S'S} + S\right)$—— 把棱台和圆台放进同一个形式里，就是课本的「归纳」：

$$V_{\text{台体}} = \frac13\left(S' + \sqrt{S'S} + S\right)h,$$

其中 $S'$、$S$ 是上、下底面面积。验证统一性：台体公式里令 $S' = S$，得 $\frac13(3S)h = Sh$（台体变柱体）； 令 $S' = 0$，得 $\frac13 Sh$（台体变锥体）。圆台的底面积是圆（$S' = \pi r'^2$、$S = \pi r^2$）， 代进去 $\sqrt{S'S} = \pi r'r$，恰好还原成 $V_{\text{圆台}} = \frac13\pi h(r'^2 + r'r + r^2)$。

记忆法：台体体积 = $\frac{h}{3}$ ×（上底 + 上下底几何平均 + 下底）。中间的 $\sqrt{S'S}$ 就是 「上下底面积的几何平均」——面积量纲的东西取几何平均，是因为它要能夹在 $S'$ 和 $S$ 之间， 而 $S' \leqslant \sqrt{S'S} \leqslant S$ 恒成立。

三、球：两个背下来的公式

$S_{\text{球}} = 4\pi R^2, \qquad V_{\text{球}} = \frac43\pi R^3.$

体积公式的来路值得走一遍（课本的「思考」，图 8.3-5）：把球面分成 $n$ 个小网格，每个小网格与球心 连起来，得到一个「小锥体」。网格足够小时，小锥体近似于棱锥，高近似等于球半径 $R$，于是 $V_{\text{小锥}} \approx \frac13 S_{\text{小网格}} \cdot R$。把 $n$ 个加起来：所有小网格面积之和 就是球表面积 $4\pi R^2$，所以

$V_{\text{球}} = \frac13 \times 4\pi R^2 \times R = \frac43\pi R^3.$

这个推导与小学求圆面积的办法同构：圆面积 = $\frac12 \times \text{周长} \times \text{半径}$。共同的模式是 「从中心放射状分割，体积（面积）= $\frac1k$ × 表面（边界） × 半径」——圆是 $k = 2$，球是 $k = 3$。 理解了它，$S_{\text{球}} = 4\pi R^2$ 与 $V_{\text{球}} = \frac43\pi R^3$ 两个系数就不容易串。

两个值得背的结论：

• 球与同直径圆柱的体积比是 $2 : 3$（例 4）：圆柱底面直径和高都等于球直径时， $V_{\text{圆柱}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$，比 $V_{\text{球}} = \frac43\pi R^3$ 得 $\frac23$。
• 正方体的内切球与外接球：内切球半径 $\frac{a}{2}$（练习第 3 题），外接球半径 $\frac{\sqrt3}{2}a$——体对角线的一半（习题 8.3 第 5 题）。两条半径别混：一个「贴着六个面」， 一个「八个顶点在球上」。

四、组合体：加减法 + 暴露面

课本例 3 的浮标（两个半球 + 圆柱，图 8.3-4）与例 4（球内接于圆柱）说明这一节真正的考法： 组合体的表面积与体积。两个通用动作：

体积用加减法。 组合体的体积 = 各部分体积之和；挖去型（如习题 8.3 第 4 题的圆锥挖圆柱）= 大几何体 − 被挖部分。这一步没有歧义。

表面积只算暴露面。 这是出错最多的地方。浮标：两个半球拼起来是一个整球，圆柱的两个底面 被半球盖住了，所以浮标表面积 = 圆柱侧面积 + 球表面积，不是「圆柱全面积 + 两个半球面积」。 挖去型：圆锥挖掉圆柱后，底面剩一个圆环，而且挖空后露出来的圆柱内壁和顶面要加回来—— 「表面积 = 圆锥表面积 − 圆柱底面积」是错的，减掉的是体积，加回来的是新暴露的面。

判断暴露面有个笨但可靠的办法：想象从各个方向看过去，哪个面被别的部分挡住。挡住的不算， 看得到的都算。练习第 4 题（木球入水）是同款思路的变形：排开水的体积 = 浸入部分的体积， 「水是否会溢出」就是比「原有水 + 排水」与「水槽容积」两个数。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 圆锥侧面积 $\pi rl$ 里的 $l$ 是母线，不是高。 给了高 $h$ 要先算 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$， 拿高直接代是这一节最经典的错法。
2. 展开图与底面周长没挂钩。 圆锥侧面展开扇形的弧长 = 底面周长 $2\pi r$，圆心角 $\theta = \frac{2\pi r}{l}$。半圆展开即 $l = 2r$（练习第 1 题）；扇形圆心角 $120^\circ$ 即 $l = 3r$，一路推下去。
3. 圆台表面积少一项。 $S = \pi(r'^2 + r^2 + r'l + rl)$ 四个项各管各的：两个底、两条「腰」， 从展开图（扇环的内外两段弧）能数出来。
4. 球的 $S$ 与 $V$ 公式串台。 表面积是 $4\pi R^2$（系数 $4$、二次），体积是 $\frac43\pi R^3$ （系数 $\frac43$、三次）。记「$V$ 是 $S$ 乘 $\frac{R}{3}$」：$V = \frac13 SR$ 正是分割求和那条路。
5. 组合体表面积把被盖住的面算了进去，或忘了加挖空后的内壁。 用第四节「从各个方向看」的办法过一遍。
6. 台体体积公式漏 $\sqrt{S'S}$ 或丢 $\frac13$。 写出来之后验一下极端：$S' = S$ 时有没有变成 $Sh$， $S' = 0$ 时有没有变成 $\frac13 Sh$——两个退化方向都对，公式才没抄错。
7. 内切球、外接球半径搞混。 正方体：内切球 $\frac{a}{2}$、外接球 $\frac{\sqrt3}{2}a$； 球半径对体积的影响是三次方，半径错一倍体积错八倍。
8. 近似取太早。 $\pi$ 取 $3.14$ 的题，中间量多留几位小数，最后一步再按题目要求取整 （习题 8.3 第 9 题要求「结果取整数」，中间的四舍五入会造成末位不稳）。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方「考过本节的真题」是构建期从知识图谱派生的完整清单。按下面的顺序做：

• 入门先做 2020 年第 14 题（侧面展开图是半圆、侧面积 $2\pi$，求底面半径）： 全节最短的一道，两步——半圆的面积给出母线（$\frac12\pi l^2 = 2\pi$），半圆的弧长给出底面半径 （$\pi l = 2\pi r$）。它把易错清单第 2 条正面考了一次：半圆的半径是母线，不是底面半径。 做完顺手把「半圆 $\Leftrightarrow l=2r \Leftrightarrow$ 轴截面是等边三角形」记下来， 后面「圆心角 $120^\circ$ 即 $l=3r$」是同一条桥。
• 2024 年第 5 题（圆柱、圆锥侧面积相等，求圆锥体积）：最标准的动作题，练「侧面积 = 展开图面积」 与两个体积公式。它与上面那道的分工：一道考展开图读对应，一道考展开图列方程。
• 2021 年第 4 题（三视图还原，求体积）：柱体体积 $V = Sh$ 的直接应用，练「从三视图读出底面积和高」。
• 2022 年第 5 题（三视图还原组合体：半球 + 圆柱 + 圆台，求体积）：这一节的上限—— 组合体分块求和，每一块套一个公式（球、圆柱、台体各一个），方法与习题 8.3 第 9 题的奖杯完全同构。

需要说明的是：「由三视图还原立体」这一环节在现行人教A版教材里已不再要求（三视图概念在现行 5 册中 没有出处），这三道真题里与本节绑定的是体积公式与组合体分块求和——那部分依然是本节要求。

本份收 17 道，就是这个目录（第 123–130 页）里印出来的全部课本习题：

• 练习（第 123 页）第 1–4 题（正六棱台、涂色立方体分割、石凳、直三棱柱）——它们考的是 §8.3.1 的多面体，但印在第 123 页上，而第 123 页在本节的目录里（§8.3 那个目录只有 第 121、122 两页，一道练习都没印）。题面引文的比对靶只取本份所在目录的 page-*.md， 所以这四道只能在这儿收齐；换到 §8.3.1 那一份去写，谁也核不动。
• 练习（第 126 页）第 1–4 题——圆锥、球的表面积与体积。
• 习题 8.3 第 1–9 题——第 1、2、3、6、7 题是多面体（八面体、长方体截棱锥、直三棱柱容器、 烟筒、六角螺母），第 4、5、8、9 题是圆锥、球与含球的组合体；它们全印在第 126、127 页上， 同样只能在这儿收齐。
• 不收「探究与发现·祖暅原理」（第 128–130 页）：那是阅读材料，没有习题。

每道题先逐字引课本的题面（引用块，读图题连图引用行一起引），再写解答。

练习（第 123 页）第 1 题

1. 正六棱台的上、下底面边长分别是 $2 \mathrm{~cm}$ 和 $6 \mathrm{~cm}$, 侧棱长是 $5 \mathrm{~cm}$, 求它的表面积.

表面积 $=$ 上底面 $+$ 下底面 $+$ 六个侧面，没有公式可背，就是把各个面的面积加起来。

两个底面。 正六边形由六个正三角形拼成，边长为 $a$ 时面积

$$S_{6}(a)=6\times\frac{\sqrt3}{4}a^{2}=\frac{3\sqrt3}{2}a^{2}.$$

于是上底面 $S_{6}(2)=6\sqrt3\ \mathrm{cm}^{2}$，下底面 $S_{6}(6)=54\sqrt3\ \mathrm{cm}^{2}$。

六个侧面。 正棱台的侧面都是全等的等腰梯形（上、下底面是同心的正六边形，六个侧面绕轴 每转 $60^\circ$ 重合一次），每个梯形的两条平行边是 $2$ 与 $6$、两腰是侧棱 $5$。等腰梯形的腰在 下底上的投影等于两底之差的一半，即 $\dfrac{6-2}{2}=2$，所以梯形的高（棱台的斜高）

$$h'=\sqrt{5^{2}-2^{2}}=\sqrt{21}\ \mathrm{cm}.$$

侧面积

$$S_{\text{侧}}=6\times\frac{2+6}{2}\times\sqrt{21}=24\sqrt{21}\ \mathrm{cm}^{2}.$$

合起来。

$$S=6\sqrt3+54\sqrt3+24\sqrt{21}=60\sqrt3+24\sqrt{21}\ \mathrm{cm}^{2}\approx 213.9\ \mathrm{cm}^{2}.$$

先验一件事：这个棱台真的存在吗？正六边形的外接圆半径等于它的边长，所以侧棱在底面上的投影 是两个外接圆半径之差 $6-2=4$，棱台的高

$$h=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3\ \mathrm{cm}>0 ,$$

侧棱 $5$ 比投影 $4$ 长，条件相容。顺带注意斜高 $\sqrt{21}\approx4.58$ 与高 $3$ 不是一个数—— 算侧面积要的是斜高，代成 $3$ 会把侧面积算小。

这道题的动作：棱台的侧面积只认斜高，而斜高由「侧棱 + 两底之差的一半」勾股出来； 高由「侧棱 + 两外接圆半径之差」勾股出来。两个直角三角形长得像，别混用。

练习（第 123 页）第 2 题

2. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是 $4\mathrm{cm}$ 的立方体，将其适当分割成棱长为 $1\mathrm{cm}$ 的小立方体.

(1) 共得到多少个棱长是 $1 \mathrm{~cm}$ 的小立方体?

(2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？

（3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？

(4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？

(5) 六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？

先把这道题的性质看清：切完之后每个小立方体都是棱长 $1\ \mathrm{cm}$ 的正方体，表面积一律

$$6\times 1^{2}=6\ \mathrm{cm}^{2},$$

与它染了几面红色无关。所以后面四问的「表面积之和」都是 $6\times(\text{个数})$—— 这道题真正考的是数个数，涂色只是分类的标签。

按「小立方体在大立方体里的位置」分类（$4\times4\times4$，每个方向上分成 $4$ 层， 其中第 $1$、$4$ 层贴着表面、第 $2$、$3$ 层在里面）：

(1) $4\times4\times4=64$ 个。

(2) 三面红的是八个顶角，共 $8$ 个；表面积之和 $8\times6=48\ \mathrm{cm}^{2}$。

(3) 两面红的在棱上：每条棱 $4$ 个小立方体，去掉两端的两个顶角，剩 $2$ 个；十二条棱共 $12\times2=24$ 个；表面积之和 $24\times6=144\ \mathrm{cm}^{2}$。

(4) 一面红的在面上：每个面 $4\times4$ 个，去掉最外一圈，剩 $(4-2)^{2}=4$ 个；六个面共 $6\times4=24$ 个；表面积之和 $24\times6=144\ \mathrm{cm}^{2}$。

(5) 无色的是内部那个 $2\times2\times2$ 的小立方体堆，共 $8$ 个；表面积之和 $8\times6=48\ \mathrm{cm}^{2}$；它们占的空间 $8\times1^{3}=8\ \mathrm{cm}^{3}$。

自检两处，两处都对得上：

• 个数：$8+24+24+8=64$，与 (1) 的总数相同——四类不重不漏（每个小立方体染红的面数只能是 $3,2,1,0$ 这四种）。
• 红色面积：三面红贡献 $8\times3=24$ 个红面，两面红贡献 $24\times2=48$ 个，一面红贡献 $24\times1=24$ 个，共 $96$ 个单位红面，即 $96\ \mathrm{cm}^{2}$；而大立方体的表面积 $6\times4^{2}=96\ \mathrm{cm}^{2}$，正好相等——切开不会新增红色。

这道题的动作：先按位置分类（角 / 棱 / 面 / 内），再数。$n\times n\times n$ 的一般结论是 $8$、$12(n-2)$、$6(n-2)^{2}$、$(n-2)^{3}$，四项之和恒等于 $n^{3}$（这正是 $\left[(n-2)+2\right]^{3}$ 的展开），本题 $n=4$ 只是代进去。

练习（第 123 页）第 3 题

3. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的。如果被截正方体的棱长是 $50 \mathrm{~cm}$，那么石凳的体积是多少？

先把「截哪八个四面体」定死。 正方体有八个顶点，每个顶点处截去一个四面体；由图，截面是过 该顶点相邻三条棱上各一点的三角形。两个相邻顶点共用一条棱，而图上每条棱上只有一个截点， 再加上题面说八个四面体一样（全等），这个点到棱两端的距离必须相等——所以截点就是各棱的 中点。于是每个被截掉的四面体有三条互相垂直的棱，长都是

$$\frac{50}{2}=25\ \mathrm{cm}.$$

一个四面体的体积。 取其中两条垂直的棱围成的直角三角形作底面，第三条棱与该底面垂直、 正好是高：

$$V_{1}=\frac13\times\left(\frac12\times25\times25\right)\times25=\frac{25^{3}}{6}=\frac{15625}{6}\ \mathrm{cm}^{3}.$$

八个一起减掉。

$$V_{\text{石凳}}=50^{3}-8\times\frac{25^{3}}{6} =125000-\frac{125000}{6} =\frac{5}{6}\times 125000 =\frac{312500}{3}\ \mathrm{cm}^{3}\approx 1.04\times10^{5}\ \mathrm{cm}^{3},$$

即约 $104166.7\ \mathrm{cm}^{3}$（$\approx 104.2\ \mathrm{L}$）。

自检：$8\times\dfrac{25^{3}}{6}=\dfrac{8\times 25^{3}}{6}=\dfrac{50^{3}}{6}$，恰是正方体体积的 $\dfrac16$——所以石凳留下 $\dfrac56$。这个比例与棱长无关，换成棱长 $a$ 的正方体也是 $\dfrac56a^{3}$，可以拿棱长 $2$ 的小方块心算验一遍：截去八个直角边为 $1$ 的四面体， $8\times\dfrac16=\dfrac43$，而 $2^{3}-\dfrac43=\dfrac{20}{3}=\dfrac56\times 8$ ✓。

这道题的动作：三条棱互相垂直的四面体，体积就是三棱之积除以 $6$（$V=\frac{abc}{6}$）—— 本题 $\frac{25^{3}}{6}$、下面习题 8.3 第 2 题的 $\frac{abc}{6}$ 都是它。

练习（第 123 页）第 4 题

4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.

证明。 设直三棱柱的底面三角形三边长为 $a$、$b$、$c$，侧棱长为 $h$（$h>0$）。

直三棱柱的侧棱垂直于底面，所以每个侧面都是矩形：一边是底面的一条边，另一边是侧棱。 三个侧面的面积因此是

$$S_{a}=ah,\qquad S_{b}=bh,\qquad S_{c}=ch .$$

由三角形的两边之和大于第三边，$a+b>c$。两边同乘正数 $h$（$h>0$，不等号方向不变）：

$$ah+bh>ch,\qquad\text{即}\qquad S_{a}+S_{b}>S_{c}.$$

同理由 $b+c>a$、$c+a>b$ 得 $S_{b}+S_{c}>S_{a}$、$S_{c}+S_{a}>S_{b}$。三种取法都成立， 即任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积。$\blacksquare$

两处前提都要说清，缺一条证明就不成立：

• 侧面是矩形，才有「面积 $=$ 底边 $\times$ 侧棱」。斜棱柱的侧面是平行四边形，面积是 「底边 $\times$ 该侧面内的高」，三个侧面的那个高互不相同，就提不出公因子 $h$， 这条结论也就未必成立——题目限定「直」三棱柱不是多余的。
• $h>0$ 才能同乘而不改变不等号方向。

这道题的动作：把面积不等式除掉公因子，还原成三角形三边不等式。看到「面积和 $>$ 面积」 先找公因子，别去算具体数值。

练习（第 126 页）第 1 题

1. 已知圆锥的表面积为 $a \mathrm{~m}^{2}$，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.

设底面半径为 $r$，母线长为 $l$。侧面展开图是半圆，指的是展开扇形的弧长等于半径为 $l$ 的半圆的周长 $\pi l$；而这段弧展开前就是底面圆周，长 $2\pi r$。两者相等：

$\pi l = 2\pi r, \qquad l = 2r.$

于是表面积 $S = \pi r^2 + \pi rl = \pi r^2 + \pi r\cdot 2r = 3\pi r^2 = a$，所以

$r = \sqrt{\frac{a}{3\pi}}, \qquad \text{底面直径}\ d = 2r = 2\sqrt{\frac{a}{3\pi}} = \sqrt{\frac{4a}{3\pi}}\ \mathrm{m}.$

自检：把 $l = 2r$ 代回 $S = \pi r(r+l)$ 得 $S = 3\pi r^2$，正是题目给的 $a$，相符。

这道题的动作：展开图弧长 = 底面周长——「侧面展开图是什么形状」永远从这一条入手。

练习（第 126 页）第 2 题

2. 当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？

设球半径为 $R$（$R > 0$），体积 $V = \frac{4}{3}\pi R^3$，表面积 $S = 4\pi R^2$。题目要求数值相等：

$\frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^2.$

两边同除以 $4\pi R^2$（$R > 0$，可以放心除）得 $\frac{R}{3} = 1$，所以 $R = 3$。

当球的半径为 $3$ 时，体积与表面积的数值相等。注意比的是数值：$V$ 的单位是体积单位、$S$ 的单位是 面积单位，量纲不同，只有数字可以相等——这与「半径取 $3$ 个长度单位」的说法是一回事。

练习（第 126 页）第 3 题

3. 将一个棱长为 $6\mathrm{cm}$ 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.

球要能整个装进正方体里，最大时球与正方体的六个面都相切——也就是正方体的内切球： 直径等于棱长 $6\ \mathrm{cm}$，半径 $R = 3\ \mathrm{cm}$。于是体积

$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\times 3^3 = 36\pi\ \mathrm{cm}^3 \approx 113.1\ \mathrm{cm}^3.$

动作：内切球看棱长，外接球看体对角线——正方体内切球半径 $\frac{a}{2}$， 外接球半径 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$（习题 8.3 第 5 题就是外接球那一侧）。

练习（第 126 页）第 4 题

4. 一个长、宽、高分别是 $80 \mathrm{~cm}$, $60 \mathrm{~cm}$, $55 \mathrm{~cm}$ 的水槽中装有 $200000 \mathrm{~cm}^{3}$ 的水, 现放入一个直径为 $50 \mathrm{~cm}$ 的木球. 如果木球的三分之二在水中, 三分之一在水上, 那么水是否会从水槽中溢出?

先确认木球放得进去：球直径 $50\ \mathrm{cm}$ 小于水槽的长 $80$、宽 $60$，也小于高 $55$。

木球半径 $R = 25\ \mathrm{cm}$，三分之二浸入水中，排开水的体积等于浸入部分的体积：

$V_{\text{排水}} = \frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\pi\times 25^3 = \frac{125000\pi}{9} \approx 43611\ \mathrm{cm}^3.$

水槽容积 $V_{\text{槽}} = 80\times 60\times 55 = 264000\ \mathrm{cm}^3$，原有水 $200000\ \mathrm{cm}^3$。 水会溢出，当且仅当「原有水 + 排开的水」超过水槽容积：

$200000 + 43611 = 243611 < 264000.$

所以水不会溢出。

再核对水位：原水位 $\frac{200000}{80\times 60} \approx 41.7\ \mathrm{cm}$，放入木球后上涨 $\frac{43611}{80\times 60} \approx 9.1\ \mathrm{cm}$，水面约 $50.8\ \mathrm{cm}$，仍低于槽高 $55\ \mathrm{cm}$，结论一致。

这道题的动作：「会不会溢出」就是比两个数——「原有水 + 排开水的体积」与「容器容积」。 排开水的体积由浸入部分决定，与木球的形状无关地按球的体积公式算。

习题 8.3 第 1 题

1. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且 4 个顶点 $A, B, C, D$ 在同一个平面内．如果四边形 $ABCD$ 是边长为 $30 \mathrm{~cm}$ 的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？

先证「八条棱全是 $30$」。 八面体的八个面都是正三角形，而 $A,B,C,D$ 共面且 $ABCD$ 是正方形， 所以这个八面体由「正方形 $ABCD$ 上、下各接四个正三角形」组成：上方一个顶点 $P$ 与 $AB,BC,CD,DA$ 各连出一个面，下方一个顶点 $Q$ 同样连出四个面。 八个面每个都恰好以正方形的一条边为边，而正三角形三边相等，所以每个面的三条边都等于 $30\ \mathrm{cm}$。

表面积。 边长 $30$ 的正三角形面积 $\dfrac{\sqrt3}{4}\times30^{2}=225\sqrt3\ \mathrm{cm}^{2}$， 八个面：

$$S=8\times225\sqrt3=1800\sqrt3\ \mathrm{cm}^{2}\approx 3117.7\ \mathrm{cm}^{2}\approx 3118\ \mathrm{cm}^{2}.$$

自检这个八面体真的存在（也就是 $P$ 的位置放得下）：正方形 $ABCD$ 的中心到顶点的距离是 $\dfrac{\sqrt2}{2}\times30=15\sqrt2\approx21.2<30$，所以

$$PO=\sqrt{30^{2}-(15\sqrt2)^{2}}=\sqrt{900-450}=15\sqrt2\ \mathrm{cm}>0 ,$$

顶点确实在正方形上方（$O$ 是正方形中心），条件相容。顺带看出 $PQ=2\times15\sqrt2=30\sqrt2$， 它是这个八面体的一条对角线，不是棱——别把 $PQ$ 也当成 $30$。

这道题的动作：先把「每个面都是正三角形」传导成「所有棱等长」，再用一个三角形的面积乘 $8$。 表面积题的第一步永远是「有几个面、每个面是什么形状」，而不是急着套公式。

习题 8.3 第 2 题

2. 如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.

设长方体的三条棱长为 $a$、$b$、$c$（都大于 $0$），体积 $V=abc$。

截出来的是哪个棱锥。 「相邻三个面」指的是交于同一个顶点的三个面；由图，截面正是这三个面 各自的一条对角线围成的三角形。设那个公共顶点为 $B$，三个面上的对角线分别连接 $B$ 的三个邻点 （记为 $P,Q,R$），于是截下来的是三棱锥 $B\text{-}PQR$——它的三条棱 $BP$、$BQ$、$BR$ 就是 长方体交于 $B$ 的三条棱，长为 $a,b,c$ 且两两垂直。

它的体积。 取 $\triangle BPQ$（两条直角边 $a$、$b$）为底面，则第三条棱 $BR$ 与底面垂直， $BR=c$ 就是高：

$$V_{\text{锥}}=\frac13\times\left(\frac12ab\right)\times c=\frac{abc}{6}=\frac{V}{6}.$$

剩下的部分与比值。

$$V_{\text{剩}}=V-\frac{V}{6}=\frac56V, \qquad V_{\text{锥}}:V_{\text{剩}}=\frac{V}{6}:\frac{5V}{6}=1:5 .$$

比值里 $a,b,c$ 全约掉了——与长方体的形状、大小无关，正方体也一样。拿棱长 $2$ 的正方体验一遍： $V=8$，锥 $\dfrac{2\times2\times2}{6}=\dfrac43$，剩下 $8-\dfrac43=\dfrac{20}{3}$， 比 $\dfrac43:\dfrac{20}{3}=1:5$ ✓。

这道题的动作：认准「三条棱两两垂直」的三棱锥，$V=\dfrac{abc}{6}$——把其中一个直角面当底、 第三条棱当高，$\frac13\cdot\frac12abc$ 一步到位，不必去求截面三角形的面积和点到面的距离 （那条路要算 $\triangle PQR$ 的面积与 $B$ 到它的距离，答案相同但麻烦得多）。

习题 8.3 第 3 题

3. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱 $AA_{1} = 8$。若侧面 $AA_{1}B_{1}B$ 水平放置时，水面恰好过 $AC$，$BC$，$A_{1}C_{1}$，$B_{1}C_{1}$ 的中点。那么当底面 $ABC$ 水平放置时，水面高为多少？

水量不变，这是两种放法之间唯一的桥。设底面 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$。

① 侧面 $AA_{1}B_{1}B$ 水平放置时，水的形状。 这时容器躺着，那个侧面在最下方、棱 $CC_{1}$ 在最上方。取 $AC,BC$ 的中点 $M,N$ 与 $A_{1}C_{1},B_{1}C_{1}$ 的中点 $M_{1},N_{1}$：$MN$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，$MN\parallel AB$；同理 $M_{1}N_{1}\parallel A_{1}B_{1}$。于是四点 $M,N,N_{1},M_{1}$ 确定的平面平行于侧面 $AA_{1}B_{1}B$——它是一个水平平面，可以当水面。

水占的是这个平面以下的部分：横截面是梯形 $ABNM$（$\triangle ABC$ 被中位线 $MN$ 切成的 下面那块），沿棱 $AA_{1}$ 方向长 $8$。中位线切出的小三角形 $\triangle MNC$ 与 $\triangle ABC$ 相似、相似比 $\dfrac12$，故面积比 $\left(\dfrac12\right)^{2}=\dfrac14$：

$$S_{ABNM}=S-\frac{S}{4}=\frac34S .$$

水的体积（底面是梯形 $ABNM$、高是 $8$ 的柱体）

$$V_{\text{水}}=\frac34S\times 8=6S .$$

② 底面 $ABC$ 水平放置时。 这时水是一个以 $\triangle ABC$ 为底面、以水面高 $h$ 为高的柱体：

$$S\,h=V_{\text{水}}=6S\ \Longrightarrow\ h=6 .$$

所以当底面 $ABC$ 水平放置时，水面高为 $6$。

两处前提，都验一下：

• 水没溢出、也没漫过容器口：$h=6<8=AA_{1}$，容器直立时高就是侧棱 $8$，装得下。 （反过来看：躺着时水占了容器的 $\dfrac34$，直立时自然占高度的 $\dfrac34$，$\dfrac34\times8=6$。）
• 答案与三角形的形状无关：$S$ 在第 ② 步整个约掉了，题目没给底面尺寸正是因为不需要。

这道题的动作：两种放法之间只有”水量相等”这一条等式，两边各按「柱体 $=$ 底面积 $\times$ 高」 写一遍就够了。躺着那一次的关键是认出「中位线以下占 $\dfrac34$」而不是 $\dfrac12$—— 面积比是相似比的平方，这里最容易想成一半。

习题 8.3 第 4 题

4. 如图，圆锥 $PO$ 的底面直径和高均是 $a$ ，过 $PO$ 的中点 $O'$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积.

圆锥底面半径 $\frac{a}{2}$、高 $a$，母线

$l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}a.$

$O'$ 是 $PO$ 的中点，过它的截面与底面平行。在轴截面（等腰三角形）里，截面半径与到底面的距离 按同一比例变化（两个相似直角三角形），中点处半径是底面半径的一半，所以截面圆半径为 $\frac{a}{4}$。 挖去的圆柱以截面为底面、往圆锥底面方向挖：底面半径 $\frac{a}{4}$，高 $\frac{a}{2}$。

先算体积（剩下 = 圆锥 − 圆柱）：

$$- \pi\left(\frac{a}{4}\right)^2\cdot\frac{a}{2} = \frac{\pi a^3}{12} - \frac{\pi a^3}{32} = \frac{5\pi a^3}{96}.$$

再算表面积。挖掉圆柱后，剩下的表面由四块组成，一块一块加：

1. 圆锥的侧面：$\pi\times\frac{a}{2}\times\frac{\sqrt{5}}{2}a = \frac{\sqrt{5}\pi a^2}{4}$；
2. 底面剩下的圆环（大圆减去圆柱底圆）： $\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 - \pi\left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{16} = \frac{3\pi a^2}{16}$；
3. 挖空后露出的圆柱内壁（圆柱的侧面）：$2\pi\times\frac{a}{4}\times\frac{a}{2} = \frac{\pi a^2}{4}$；
4. 圆柱的顶面（截面处的圆盘）：$\pi\left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{16}$。

$$= \frac{\pi a^2}{16}\left(4\sqrt{5} + 8\right) = \frac{\pi a^2(\sqrt{5}+2)}{4}.$$

自检：挖去的圆柱体积是圆锥体积的 $\frac{\pi a^3/32}{\pi a^3/12} = \frac{3}{8}$，剩下应是 $\frac{5}{8}$ 个圆锥体积：$\frac{5}{8}\times\frac{\pi a^3}{12} = \frac{5\pi a^3}{96}$，与上面算出的体积相符。

这道题最容易漏的两处：底面的圆环（不是整圆）和挖空后新增的圆柱内壁与顶面——挖去之后 表面积不是「圆锥表面积减圆柱底面积」，而是要把新露出来的面加回来。

习题 8.3 第 5 题

5. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 $a \mathrm{~cm}$，求球的体积.

「顶点都在球面上」说明球是正方体的外接球：球心是正方体的中心，直径等于正方体的体对角线 $\sqrt{a^2+a^2+a^2} = \sqrt{3}a$，所以半径 $R = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。体积

$$= \frac{4}{3}\pi\times\frac{3\sqrt{3}}{8}a^3 = \frac{\sqrt{3}}{2}\pi a^3\ \mathrm{cm}^3.$$

自检：取 $a = 2$ 试——外接球半径 $\sqrt{3}$，体积 $\frac{4}{3}\pi(\sqrt{3})^3 = 4\sqrt{3}\pi$； 公式给出 $\frac{\sqrt{3}}{2}\pi\times 2^3 = 4\sqrt{3}\pi$，相符。

动作：外接球、内切球先找半径——外接球半径是体对角线的一半 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$， 内切球半径是棱长的一半 $\frac{a}{2}$（练习第 3 题），两条别混。

习题 8.3 第 6 题

6. 如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是一个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）。为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到 $1\mathrm{cm}^2$ ，可用计算工具）

图上的读数（单位 cm）：下部的正四棱台，下底面边长 $50$、上底面边长 $40$、高 $10$； 上部的正四棱柱，底面边长 $40$（与棱台的上底面重合，故与它相等）、高 $80$。

先定「贴哪些面」。 要贴的是外部的侧面，共两块：

• 棱台的四个侧面；
• 棱柱的四个侧面。

其余三个面都不贴：棱台的下底面着地；棱台的上底面被棱柱的底面完全盖住（题面说两者重合， 且边长都是 $40$，一点不露）；棱柱的顶面是烟筒的出烟口，不是外表面。

棱台的侧面积。 正四棱台的侧面是四个全等的等腰梯形，两条平行边为 $40$ 与 $50$。梯形的高 （棱台的斜高）由「棱台的高 $10$」与「两底之差的一半 $\dfrac{50-40}{2}=5$」勾股：

$$h'=\sqrt{10^{2}+5^{2}}=\sqrt{125}=5\sqrt5\ \mathrm{cm}\approx 11.18\ \mathrm{cm}.$$ $$S_{\text{台侧}}=4\times\frac{40+50}{2}\times 5\sqrt5=900\sqrt5\ \mathrm{cm}^{2}\approx 2012.46\ \mathrm{cm}^{2}.$$

棱柱的侧面积。 四个矩形，每个 $40\times80$：

$$S_{\text{柱侧}}=4\times40\times80=12800\ \mathrm{cm}^{2}.$$

合计。

$$S=12800+900\sqrt5\approx 12800+2012.46=14812.46\ \mathrm{cm}^{2},$$

按题目要求精确到 $1\ \mathrm{cm}^{2}$：需要约 $\boxed{14812\ \mathrm{cm}^{2}}$ 的瓷砖。

两处自检：

• 斜高必须比棱台的高大：$5\sqrt5\approx11.18>10$ ✓。若错把 $10$ 当斜高，台侧面积成 $4\times45\times10=1800$，少了约 $212\ \mathrm{cm}^{2}$。
• 量级：整个烟筒像一根 $40\times40\times90$ 的柱子，四面侧面积约 $4\times40\times90=14400$， 与 $14812$ 同量级（略小，因为下部向外张开），合理。

这道题的动作：先把「哪些面在外面」一一点清，再逐块套侧面积公式。组合体的表面积题， 分不清露不露才是主要失分点，而不是公式。

习题 8.3 第 7 题

7. 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 $7.9 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$）六角螺母共重 $5.8 \mathrm{~kg}$. 如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为 $12 \mathrm{~mm}$，内孔直径为 $10 \mathrm{~mm}$，高为 $10 \mathrm{~mm}$，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，$\pi$ 取 3.14）

思路是一条链：一个螺母的体积 $\to$ 一个螺母的质量 $\to$ 总质量 $\div$ 单个质量。

① 一个螺母的体积。 螺母是「正六棱柱挖去一个同高的圆柱孔」，两块的高都是 $10\ \mathrm{mm}$， 所以体积差可以先在截面上算：

$$S_{\text{正六边形}}=\frac{3\sqrt3}{2}\times 12^{2}=216\sqrt3\approx 374.12\ \mathrm{mm}^{2} \quad(\sqrt3\approx1.732),$$ $$S_{\text{孔}}=\pi r^{2}=3.14\times\left(\frac{10}{2}\right)^{2}=3.14\times 25=78.5\ \mathrm{mm}^{2},$$ $$V_{1}=(374.12-78.5)\times 10=295.62\times10=2956.2\ \mathrm{mm}^{3}.$$

② 换成与密度配套的单位。 $1\ \mathrm{cm}^{3}=1000\ \mathrm{mm}^{3}$，故 $V_{1}\approx 2.9562\ \mathrm{cm}^{3}$。密度也换一次：

$$7.9\times10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}} =\frac{7.9\times10^{3}\times10^{3}\ \mathrm{g}}{10^{6}\ \mathrm{cm}^{3}} =7.9\ \mathrm{g/cm^{3}} .$$

③ 一个螺母的质量。

$$m_{1}=\rho V_{1}=7.9\times 2.9562\approx 23.35\ \mathrm{g}.$$

④ 个数。 总重 $5.8\ \mathrm{kg}=5800\ \mathrm{g}$：

$$n=\frac{5800}{23.35}\approx 248.3 .$$

螺母只能是整数个，所以这堆螺母大约有 $248$ 个。

为什么取 $248$ 而不是 $249$：按 $248$ 个算总重 $248\times23.35\approx 5791\ \mathrm{g}=5.79\ \mathrm{kg}$， 按 $249$ 个算 $\approx 5815\ \mathrm{g}=5.82\ \mathrm{kg}$，前者离题给的 $5.8\ \mathrm{kg}$ 更近。 （题目说「大约」，本来就不要求整除。）

自检：孔占了截面的 $\dfrac{78.5}{374.12}\approx 21\%$，即螺母比同尺寸实心六棱柱轻约五分之一； 实心的一个重 $374.12\times10\div1000\times7.9\approx 29.6\ \mathrm{g}$，$5800\div29.6\approx196$ 个—— 挖了孔之后个数从 $196$ 涨到 $248$，方向与幅度都合理。

这道题的动作：「称重数个数」= 总质量 $\div$（密度 $\times$ 单个体积）。全程只有一个坑， 就是单位：长度给的是 mm、密度给的是 kg/m³，不换算能错三个数量级。

习题 8.3 第 8 题

8. 分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体。这3个几何体的体积之间有什么关系？

设两条直角边为 $a$、$b$，斜边为 $c$（$c^2 = a^2 + b^2$），斜边上的高为 $h = \frac{ab}{c}$。

绕直角边 $a$ 旋转：得到一个圆锥，底面半径 $b$、高 $a$：

$V_a = \frac{1}{3}\pi b^2 a.$

绕直角边 $b$ 旋转：得到一个圆锥，底面半径 $a$、高 $b$：

$V_b = \frac{1}{3}\pi a^2 b.$

绕斜边 $c$ 旋转：斜边上的高线把三角形分成两个小直角三角形，各自旋转出一个圆锥，拼成一个 共底面的双圆锥——公共底面半径是 $h = \frac{ab}{c}$，两个圆锥的高之和正好是 $c$，所以

$V_c = \frac{1}{3}\pi h^2\cdot c = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{ab}{c}\right)^2 c = \frac{\pi a^2 b^2}{3c}.$

三个体积之间的关系：

$\frac{1}{V_c^2} = \frac{1}{V_a^2} + \frac{1}{V_b^2}.$

验证（最后一步用 $a^2 + b^2 = c^2$）：

$$= \frac{9}{\pi^2 a^2 b^4} + \frac{9}{\pi^2 a^4 b^2} = \frac{9(a^2+b^2)}{\pi^2 a^4 b^4} = \frac{9c^2}{\pi^2 a^4 b^4} = \frac{1}{V_c^2}.$$

自检：取 $a = 3,\ b = 4,\ c = 5$——$V_a = 16\pi$，$V_b = 12\pi$，$V_c = \frac{48\pi}{5} = 9.6\pi$， 确有 $\frac{1}{9.6^2} = \frac{1}{16^2} + \frac{1}{12^2}$，相符。再比较大小：$V_a : V_b = b : a$， $V_a$ 与 $V_b$ 谁大取决于哪条直角边更长——绕较短的直角边旋转（以较长的直角边为底面半径） 所得体积更大；而 $V_c$ 恒为最小，因为 $\frac{V_b}{V_c} = \frac{c}{b} > 1$、$\frac{V_a}{V_c} = \frac{c}{a} > 1$ （斜边大于任一直角边）。

动作：绕轴旋转先看轴截面——旋转体的底面半径和高都从轴截面里读；绕斜边时用斜边上的高 当公共底面半径，两段高加起来恰好是斜边。

习题 8.3 第 9 题

9. 如下页图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积。（可用计算工具，尺寸如图，单位：cm， $\pi$ 取 3.14，结果取整数。）

先由三视图还原形状与尺寸。正视图从上到下是「圆、矩形、等腰梯形」，侧视图同构，俯视图是 「外矩形套内矩形、再套小矩形和圆」，于是奖杯是三层组合体：

• 球：直径 $4$，半径 $R = 2$（正视图、侧视图里圆的直径都是 $4$）；
• 长方体：$8\times 4\times 20$（正视图矩形宽 $8$、高 $20$，侧视图矩形宽 $4$）；
• 四棱台：下底面 $20\times 16$、上底面 $10\times 8$、高 $2$（正视图梯形下底 $20$、上底 $10$、 高 $2$；侧视图对应 $16$、$8$；俯视图外矩形 $20\times 16$、内矩形 $10\times 8$）。

长方体底面 $8\times 4$ 完全落在棱台上底面 $10\times 8$ 的内部，所以长方体底面不外露； 球与长方体顶面相切于一点，球面基本全部暴露。

体积（三块相加）。球与长方体：

$$V_{\text{长方体}} = 8\times 4\times 20 = 640,$$

棱台用统一台体公式（$S' = 80$，$S = 320$，$\sqrt{S'S} = \sqrt{80\times 320} = 160$）：

$V_{\text{棱台}} = \frac{1}{3}\times 2\times (80 + 160 + 320) = \frac{1120}{3}.$

$$\approx \frac{100.48 + 3040}{3} \approx 1046.8 \approx 1047\ \mathrm{cm}^3.$$

表面积（只算暴露面，一块一块加）：

• 球面：$4\pi R^2 = 16\pi \approx 50.24$；
• 长方体：四个侧面 $2\times 8\times 20 + 2\times 4\times 20 = 480$，顶面 $8\times 4 = 32$ （底面与棱台上底面相接，不外露）；
• 棱台：上底面露出部分 $10\times 8 - 8\times 4 = 48$；前、后两个梯形（平行边 $20$、$10$）在 深度方向内收（半深从 $8$ 收到 $4$），两平行边间的面内距离即斜高 $\sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，面积和为 $2\times\frac{20+10}{2}\times 2\sqrt{5} = 60\sqrt{5}\approx 134.16$； 左、右两个梯形（平行边 $16$、$8$）在宽度方向内收（半宽从 $10$ 收到 $5$），斜高 $\sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}$，面积和为 $2\times\frac{16+8}{2}\times\sqrt{29} = 24\sqrt{29}\approx 129.24$； 下底面 $20\times 16 = 320$。

$S \approx 50.24 + 480 + 32 + 48 + 134.16 + 129.24 + 320 = 1193.65 \approx 1194\ \mathrm{cm}^2.$

所以奖杯的表面积约 $1194\ \mathrm{cm}^2$，体积约 $1047\ \mathrm{cm}^3$（$\pi$ 取 $3.14$，结果取整数）。

注意两处容易错的地方。一是斜高别用正视图里梯形的腰：正视图里那个梯形高 $2$、腰 $\sqrt{29}$ 只是 投影，真实的前后侧面在深度方向是斜的，面内的垂直距离是 $\sqrt{2^2+4^2} = 2\sqrt{5}$——哪个侧面 取哪个斜高，要看它在哪个方向内收。二是下底面要算：组合体的表面积是它的全部表面，奖杯放下时 贴着桌子的那个面也是表面的一部分。

自检：体积约 $1047\ \mathrm{cm}^3$ 里长方体占 $640$、棱台占 $373$、球只占约 $33$——与「球的直径 只有 $4\ \mathrm{cm}$」的观感相符；表面积约 $1194\ \mathrm{cm}^2$ 里平面部分占 $880$（侧面 $480$ + 顶面 $32$ + 露出 $48$ + 下底 $320$）、曲面部分约 $313$，量级各自合理。

动作：读三视图先定「由哪几块拼成」，再逐块对尺寸——同一个尺寸要在正视图、侧视图、俯视图 里各出现一次才算数（例如棱台的下底 $20\times 16$，分别来自正视图与侧视图里梯形的下底）。