8.3 简单几何体的表面积与体积

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8.3 简单几何体的表面积与体积

前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节进一步认识简单几何体的表面积和体积。表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小。

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.

例 1 如图 8.3-1，四面体 P-ABC 的各棱长均为 a，求它的表面积.

分析：因为四面体 $P - ABC$ 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.

解：因为 $\triangle PBC$ 是正三角形，其边长为a，所以 $S_{\triangle PBC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$ . 因此，四面体 P-ABC 的表面积

$S _ {P - A B C} = 4 \times \frac {\sqrt {3}}{4} a ^ {2} = \sqrt {3} a ^ {2}.$

2. 棱柱、棱锥、棱台的体积

我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是

$V_{正方体}=a^{3}$ (a 是正方体的棱长),

$V_{长方体}=abc\quad(a,\ b,\ c\ 分别是长方体的长、宽、高).$

一般地，如果棱柱的底面积是 S，高是 h，那么这个棱柱的体积

$V _ {\text {棱柱}} = S h.$

如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．因此，一般地，如果棱锥的底面面积为 $S$ ，高为 $h$ ，那么该棱锥的体积

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棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.

• •

棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.

$V _ {\text {棱锥}} = \frac {1}{3} S h.$

由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式

$V _ {\text {棱台}} = \frac {1}{3} h \left(S ^ {\prime} + \sqrt {S ^ {\prime} S} + S\right),$

• •

其中 $S'$ ，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高.

棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.

思考

观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式

$V _ {\text {棱柱}} = S h , \quad V _ {\text {棱锥}} = \frac {1}{3} S h , \quad V _ {\text {棱台}} = \frac {1}{3} h \left(S ^ {\prime} + \sqrt {S ^ {\prime} S} + S\right),$

它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？

例 2 如图 8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是 0.5 m，公共面 ABCD 是边长为 1 m 的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到 $0.01 \, m^{3}$ ）？（计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度）

分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.

解：由题意知

$\begin{array}{r l} V _ {\text {长方体} A B C D - A ^ {\prime} B ^ {\prime} C ^ {\prime} D ^ {\prime}} & = 1 \times 1 \times 0. 5 \\ & = 0. 5 (\mathrm{m} ^ {3}), \end{array}$

$\begin{array}{r l} V _ {\text {棱锥} P - A B C D} & = \frac {1}{3} \times 1 \times 1 \times 0. 5 \\ & = \frac {1}{6} (\mathrm{m} ^ {3}). \end{array}$

所以这个漏斗的容积

$\begin{array}{c} V = \frac {1}{2} + \frac {1}{6} = \frac {2}{3} \\ \approx 0. 6 7 (\mathrm{m} ^ {3}). \end{array}$