8.2 立体图形的直观图

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8.2 立体图形的直观图

前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识。

直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。

要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形.

观察

如图8.2-1，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？

在初中，我们已经学习过投影。一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关。如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形（图8.2-2）。

利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法．利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：

（1）在已知图形中取互相垂直的 $x$ 轴和 $y$ 轴，两轴相交于点 $O$。画直观图时，把它们画成对应的 $x'$ 轴与 $y'$ 轴，两轴相交于点 $O'$ ，且使 $\angle x'O'y'=45^{\circ}$ （或 $135^{\circ}$ ），它们确定的平面表示水平面.

（2）已知图形中平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 $x'$ 轴或 $y'$ 轴的线段.

（3）已知图形中平行于 $x$ 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 $y$ 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图。如图8.2-3，$\square A'B'C'D'$ 就是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形ABCD的直观图。其中横向线段 $A'B' = AB$，$C'D' = CD$；纵向线段 $A'D' = \frac{1}{2}AD$，$B'C' = \frac{1}{2}BC$；$\angle D'A'B' = 45^\circ$。这与我们的直观观察是一致的。

例 1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.

画法：（1）如图8.2-4(1)，在正六边形ABCDEF中，取 $AD$ 所在直线为 $x$ 轴，$AD$ 的垂直平分线 $MN$ 为 $y$ 轴，两轴相交于点 $O$。在图8.2-4(2)中，画相应的 $x'$ 轴与 $y'$ 轴，两轴相交于点 $O'$，使 $\angle x'O'y'=45^\circ$。

（2）在图8.2-4（2）中，以 $O^{\prime}$ 为中点，在 $x^{\prime}$ 轴上取$A^{\prime}D^{\prime} = AD$ ，在 $y^{\prime}$ 轴上取 $M^{\prime}N^{\prime} = \frac{1}{2} MN$ .以点 $N^{\prime}$ 为中点，画 $B^{\prime}C^{\prime}$ 平行于 $x^{\prime}$ 轴，并且等于 $BC$ ；再以 $M^{\prime}$ 为中点，画$F^{\prime}E^{\prime}$ 平行于 $x^{\prime}$ 轴，并且等于 $FE$

在利用斜二测画法画直观图的过程中，x 轴和 y 轴起到了什么作用？

（3）连接 $A^{\prime}B^{\prime}$ ， $C^{\prime}D^{\prime}$ ， $D^{\prime}E^{\prime}$ ， $F^{\prime}A^{\prime}$ ，并擦去辅助线 $x^{\prime}$ 轴和 $y^{\prime}$ 轴，便获得正六边形 ABCDEF 水平放置的直观图 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}E^{\prime}F^{\prime}$ （图 8.2-4(3)).

画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题。生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图。实际画图时常用如图8.2-5所示的椭圆模板。

在立体几何中，常用正等测画法画水平放置的圆.

练习

1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

(1) 相等的线段在直观图中仍然相等. ( )

(2) 平行的线段在直观图中仍然平行. ( )

(3) 一个角的直观图仍是一个角. ( )

(4) 相等的角在直观图中仍然相等. ( )

2. 用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.

(1) 矩形； (2) 平行四边形；

(3) 正三角形； (4) 正五边形.

画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与 $x$ 轴、$y$ 轴都垂直的 $z$ 轴，并且使平行于 $z$ 轴的线段的平行性和长度都不变。下面介绍几种简单几何体的直观图的画法。

例 2 已知长方体的长、宽、高分别是 3 cm, 2 cm, 1.5 cm, 用斜二测画法画出它的直观图.

分析：画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置。利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图。长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴。

画法：（1）画轴. 如图8.2-6，画 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，三轴相交于点 $O(A)$，使 $\angle xOy = 45^{\circ}$，$\angle xOz = 90^{\circ}$.

（2）画底面. 在 $x$ 轴正半轴上取线段 $AB$，使 $AB = 3 \mathrm{~cm}$；在 $y$ 轴正半轴上取线段 $AD$，使 $AD = 1 \mathrm{~cm}$. 过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线，过点 $D$ 作 $x$ 轴的平行线，设它们的交点为 $C$，则 $\square ABCD$ 就是长方体的底面 $ABCD$ 的直观图.

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画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取。用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感。

（3）画侧棱. 在 $z$ 轴正半轴上取线段 $AA'$，使 $AA' = 1.5 \mathrm{~cm}$，过 $B$，$C$，$D$ 各点分别作 $z$ 轴的平行线，在这些平行线上分别截取 $1.5 \mathrm{~cm}$ 长的线段 $BB'$，$CC'$，$DD'$.

（4）成图. 顺次连接 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了.

例 3 已知圆柱的底面半径为 1 cm，侧面母线长 3 cm，画出它的直观图.

解：（1）画轴．如图8.2-7，画x轴、z轴，使 $\angle xOz=90^{\circ}$

（2）画下底面．以 O 为中点，在 x 轴上取线段 AB，使 OA = OB = 1 cm．利用椭圆模板画椭圆，使其经过 A，B 两点．这个椭圆就是圆柱的下底面．

（3）画上底面. 在 $Oz$ 上截取点 $O'$，使 $OO' = 3 \mathrm{~cm}$，过点 $O'$ 作平行于轴 $Ox$ 的轴 $O'x'$. 类似下底面的作法作出圆柱的上底面.

（4）成图. 连接 $AA'$，$BB'$，整理得到圆柱的直观图.

对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线（图8.2-8）.

画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性（图8.2-9）.

例4 某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．画出这个组合体的直观图.

分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图。本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了。

画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.

练习

1. 用斜二测画法画一个棱长为 $3\mathrm{cm}$ 的正方体的直观图.

2. 用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.

3. 一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心。画出这个组合体的直观图。

习题8.2

复习巩固

1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

(1) 三角形的直观图是三角形. ( )

(2) 平行四边形的直观图是平行四边形. ( )

(3) 正方形的直观图是正方形. ( )

(4) 菱形的直观图是菱形. ( )

2. 用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图：

(1) 直角边横向；

(2) 斜边横向.

3. 用斜二测画法画出底面边长为 $2\mathrm{cm}$，侧棱长为 $3\mathrm{cm}$ 的正三棱柱的直观图.

4. 画底面半径为 $1\mathrm{cm}$，母线长为 $3\mathrm{cm}$ 的圆柱的直观图.

综合运用

5. 一个菱形的边长为 $4\mathrm{cm}$，一内角为 $60^{\circ}$，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图.

6. 已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.

7. 一个几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图.

拓广探索

俯视图

8. 画出你所在学校的一些建筑物的直观图（尺寸自定）.

阅读与思考

画法几何与蒙日

画法几何就是在平面上绘制空间图形，并在平面图上表达出空间原物体各部分的大小、位置以及相互关系的一门学科。它在绘画、建筑等方面有着广泛的应用。

画法几何起源于欧洲文艺复兴时期的绘画和建筑技术。意大利艺术家莱奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci，1452—1519）在他的绘画作品中已经广泛地运用了透视理论，主要是中心投影。法国数学家德萨格（Gérard Desargues，

1593—1662）在他的“透视法”中给出了空间几何体透视像的画法，以及如何从平面图中正确地计算出几何体的尺寸大小的方法，主要是运用正投影。后来法国数学家蒙日经过深入研究，在1799年出版了《画法几何学》一书。在该书中，蒙日第一次详细阐述了怎样把空间（三维）物体投影到两个互相垂直的平面上，并根据投影原理（这种原理后来发展成射影几何学）推断出该空间物体的几何性质。蒙日的《画法几何学》不论是在概念上，还是在方法上都有深远的影响。这种方法对于建筑学、军事学、机械制图等方面都有极大的实用价值，从此画法几何就成为一门独立的几何分支学科。蒙日成为画法几何的创始人。

蒙日生长在法国大革命时代，他出生于法国东部博衲的一个小商人家庭。16岁时，因为熟练地以比例尺绘出家乡的地图，他被梅济耶尔军事学院聘为绘图员。1768年，蒙日开始在梅济耶尔军事学院教授物理和数学，那时他只有22岁。1780年，他被选为巴黎科学院通讯院士。1783年，他迁居巴黎后，积极投身巴黎的公共事务，曾任度量衡委员会的委员、海军与殖民部长，并参与创办了巴黎综合工科学校和法兰西国家研究院。为了从数据中求出要塞中炮兵阵地的位置，蒙日用几何方法避开了麻烦的计算。他用二维平面上的适当投影来表达三维物体的聪明方法，在实际中有着广泛的应用，并导致画法几何的产生。法国大革命前后，由于军事建筑上的迫切需要，蒙日的画法几何方法被列为军事秘密，所以很久未能公之于世。直到当时的军事约束解除后，蒙日才公布了他的研究成果，这已是他建立画法几何之后30年的事了。