文字转写
例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点 Z 1 ( x 1 , y 1 ) Z_{1}(x_{1},y_{1}) Z 1 ( x 1 , y 1 ) Z 2 ( x 2 , y 2 ) Z_{2}(x_{2},y_{2}) Z 2 ( x 2 , y 2 )
分析：由于复平面内的点 Z 1 ( x 1 , y 1 ) Z_{1}(x_{1},y_{1}) Z 1 ( x 1 , y 1 ) Z 2 ( x 2 , y 2 ) Z_{2}(x_{2},y_{2}) Z 2 ( x 2 , y 2 ) z_{1} = x_{1}+$$y_{1}\mathrm{i} ， z 2 = x 2 + y 2 i z_{2} = x_{2} + y_{2}\mathrm{i} z 2 = x 2 + y 2 i z 2 − z 1 z_{2} - z_{1} z 2 − z 1 Z 1 Z 2 → \overrightarrow{Z_1Z_2} Z 1 Z 2 Z 1 Z_{1} Z 1 Z 2 Z_{2} Z 2 ∣ Z 1 Z 2 → ∣ = ∣ z 2 − z 1 ∣ |\overrightarrow{Z_1Z_2}| = |z_2 - z_1| ∣ Z 1 Z 2 ∣ = ∣ z 2 − z 1 ∣
解：因为复平面内的点 Z 1 ( x 1 , y 1 ) Z_{1}(x_{1},y_{1}) Z 1 ( x 1 , y 1 ) Z 2 ( x 2 , y 2 ) Z_{2}(x_{2},y_{2}) Z 2 ( x 2 , y 2 ) z_{1} = x_{1} + y_{1}\mathrm{i}$$z_{2} = x_{2} + y_{2}\mathrm{i} ，所以点 Z 1 Z_{1} Z 1 Z 2 Z_{2} Z 2
∣ Z 1 Z 2 ∣ = ∣ Z 1 Z 2 → ∣ = ∣ z 2 − z 1 ∣ = ∣ ( x 2 + y 2 i ) − ( x 1 + y 1 i ) ∣ = ∣ ( x 2 − x 1 ) + ( y 2 − y 1 ) i ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 . \begin{array}{r l} \left| Z _ {1} Z _ {2} \right| = & \left| \overrightarrow {Z _ {1} Z _ {2}} \right| = \left| z _ {2} - z _ {1} \right| = \left| (x _ {2} + y _ {2} \mathrm{i}) - (x _ {1} + y _ {1} \mathrm{i}) \right| \\ = & \left| (x _ {2} - x _ {1}) + (y _ {2} - y _ {1}) \mathrm{i} \right| \\ = & \sqrt {(x _ {2} - x _ {1}) ^ {2} + (y _ {2} - y _ {1}) ^ {2}}. \end{array} ∣ Z 1 Z 2 ∣ = = = Z 1 Z 2 = ∣ z 2 − z 1 ∣ = ∣ ( x 2 + y 2 i ) − ( x 1 + y 1 i ) ∣ ∣ ( x 2 − x 1 ) + ( y 2 − y 1 ) i ∣ ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 .
练习
计算：
(1) ( 2 + 4 i ) + ( 3 − 4 i ) (2+4i)+(3-4i) ( 2 + 4 i ) + ( 3 − 4 i ) 5 − ( 3 + 2 i ) 5-(3+2i) 5 − ( 3 + 2 i ) ( − 3 − 4 i ) + ( 2 + i ) − ( 1 − 5 i ) ; (-3-4i)+(2+i)-(1-5i); ( − 3 − 4 i ) + ( 2 + i ) − ( 1 − 5 i ) ; ( 2 − i ) − ( 2 + 3 i ) + 4 i . (2-i)-(2+3i)+4i. ( 2 − i ) − ( 2 + 3 i ) + 4 i .
如图，向量 O Z → \overrightarrow{OZ} O Z z + 1 z+1 z + 1 z + ( − 2 + i ) z+(-2+i) z + ( − 2 + i )
证明复数的加法满足交换律、结合律.
求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：
(1) z 1 = 2 + i , z 2 = 3 − i ; z_{1}=2+i,\quad z_{2}=3-i; z 1 = 2 + i , z 2 = 3 − i ; z 3 = 8 + 5 i , z 4 = 4 + 2 i . z_{3}=8+5i,\quad z_{4}=4+2i. z 3 = 8 + 5 i , z 4 = 4 + 2 i .
(第2题)
7.2.2 复数的乘、除运算
我们规定，复数的乘法法则如下：
设 z 1 = a + b i , z 2 = c + d i ( a , b , c , d ∈ R ) z_{1} = a + bi, z_{2} = c + di (a, b, c, d \in \mathbf{R}) z 1 = a + bi , z 2 = c + d i ( a , b , c , d ∈ R )
( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i . \begin{array}{r l} (a + b \mathrm{i}) (c + d \mathrm{i}) & = a c + b c \mathrm{i} + a d \mathrm{i} + b d \mathrm{i} ^ {2} \\ & = (a c - b d) + (a d + b c) \mathrm{i}. \end{array} ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i .
很明显，两个复数的积是一个确定的复数. 特别地，当 z 1 , z 2 z_{1}, z_{2} z 1 , z 2
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i 2 i^2 i 2
思考
复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？
容易得到，对于任意 z 1 z_{1} z 1 z 2 z_{2} z 2 z 3 ∈ C z_{3}\in \mathbf{C} z 3 ∈ C
z 1 z 2 = z 2 z 1 , ( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ) , z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 . \begin{array}{c} z _ {1} z _ {2} = z _ {2} z _ {1}, \\ (z _ {1} z _ {2}) z _ {3} = z _ {1} (z _ {2} z _ {3}), \\ z _ {1} (z _ {2} + z _ {3}) = z _ {1} z _ {2} + z _ {1} z _ {3}. \end{array} z 1 z 2 = z 2 z 1 , ( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ) , z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 .
例 3 计算 ( 1 − 2 i ) ( 3 + 4 i ) ( − 2 + i ) (1-2i)(3+4i)(-2+i) ( 1 − 2 i ) ( 3 + 4 i ) ( − 2 + i )
解： (1-2\mathrm{i})(3+4\mathrm{i})(-2+\mathrm{i})$$=(11-2\mathrm{i})(-2+\mathrm{i})$$=-20+15\mathrm{i}.
例 4 计算:
(1) ( 2 + 3 i ) ( 2 − 3 i ) (2 + 3\mathrm{i})(2 - 3\mathrm{i}) ( 2 + 3 i ) ( 2 − 3 i ) ( 1 + i ) 2 (1 + \mathrm{i})^2 ( 1 + i ) 2
分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式 ① ^{①} ①
解：(1) (2+3i)(2-3i)$$=2^{2}-(3i)^{2}$$=4-(-9)
=13;
(2) (1 + \mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} + \mathrm{i}^2$$= 1 + 2\mathrm{i} - 1$$= 2\mathrm{i}
• •
①指的是与实数系中的乘法公式相对应的公式.
?
若 z 1 , z 2 z_{1}, z_{2} z 1 , z 2 z 1 z 2 z_{1}z_{2} z 1 z 2
探究
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算. 请探求复数除法的法则.
复数除法的法则是：
( a + b i ) ÷ ( c + d i ) = a c + b d c 2 + d 2 + b c − a d c 2 + d 2 i ( a , b , c , d ∈ R , 且 c + d i ≠ 0 ) . (a + b \mathrm{i}) \div (c + d \mathrm{i}) = \frac {a c + b d}{c ^ {2} + d ^ {2}} + \frac {b c - a d}{c ^ {2} + d ^ {2}} \mathrm{i} (a, b, c, d \in \mathbf {R}, \text {且} c + d \mathrm{i} \neq 0). ( a + b i ) ÷ ( c + d i ) = c 2 + d 2 a c + b d + c 2 + d 2 b c − a d i ( a , b , c , d ∈ R , 且 c + d i = 0 ) .
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
在进行复数除法运算时，通常先把 ( a + b i ) ÷ ( c + d i ) (a + bi) \div (c + di) ( a + bi ) ÷ ( c + d i ) a + b i c + d i \frac{a + bi}{c + di} c + d i a + bi c − d i c - di c − d i
例 5 计算 ( 1 + 2 i ) ÷ ( 3 − 4 i ) (1+2i)\div(3-4i) ( 1 + 2 i ) ÷ ( 3 − 4 i )
( 1 + 2 i ) ÷ ( 3 − 4 i ) = 1 + 2 i 3 − 4 i = ( 1 + 2 i ) ( 3 + 4 i ) ( 3 − 4 i ) ( 3 + 4 i ) = 3 − 8 + 6 i + 4 i 3 2 + 4 2 = − 5 + 10 i 25 = − 1 5 + 2 5 i . \begin{array}{r l} (1 + 2 \mathrm{i}) \div (3 - 4 \mathrm{i}) & = \frac {1 + 2 \mathrm{i}}{3 - 4 \mathrm{i}} \\ & = \frac {(1 + 2 \mathrm{i}) (3 + 4 \mathrm{i})}{(3 - 4 \mathrm{i}) (3 + 4 \mathrm{i})} = \frac {3 - 8 + 6 \mathrm{i} + 4 \mathrm{i}}{3 ^ {2} + 4 ^ {2}} \\ & = \frac {- 5 + 1 0 \mathrm{i}}{2 5} = - \frac {1}{5} + \frac {2}{5} \mathrm{i}. \end{array} ( 1 + 2 i ) ÷ ( 3 − 4 i ) = 3 − 4 i 1 + 2 i = ( 3 − 4 i ) ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) ( 3 + 4 i ) = 3 2 + 4 2 3 − 8 + 6 i + 4 i = 25 − 5 + 10 i = − 5 1 + 5 2 i .
例 6 在复数范围内解下列方程:
(1) x 2 + 2 = 0 ; x^{2}+2=0; x 2 + 2 = 0 ;
(2) a x 2 + b x + c = 0 ax^{2}+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 c ∈ R c\in R c ∈ R a ≠ 0 a\neq0 a = 0 Δ = b 2 − 4 a c < 0 \Delta=b^{2}-4ac<0 Δ = b 2 − 4 a c < 0
分析：利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根. 对于（2），当 Δ = b 2 − 4 a c < 0 \Delta = b^{2} - 4ac < 0 Δ = b 2 − 4 a c < 0 a x 2 + b x + c = 0 ax^{2} + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0
解：（1）因为 ( 2 i ) 2 = ( − 2 i ) 2 = − 2 (\sqrt{2}\mathrm{i})^2 = (-\sqrt{2}\mathrm{i})^2 = -2 ( 2 i ) 2 = ( − 2 i ) 2 = − 2 x 2 + 2 = 0 x^{2} + 2 = 0 x 2 + 2 = 0 x = ± 2 i x = \pm \sqrt{2}\mathrm{i} x = ± 2 i
(2) 将方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^{2} + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0
x 2 + b a x + c a = 0. x ^ {2} + \frac {b}{a} x + \frac {c}{a} = 0. x 2 + a b x + a c = 0.
配方，得
( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 , \left(x + \frac {b}{2 a}\right) ^ {2} = \frac {b ^ {2} - 4 a c}{4 a ^ {2}}, ( x + 2 a b ) 2 = 4 a 2 b 2 − 4 a c ,
即
( x + b 2 a ) 2 = − − ( b 2 − 4 a c ) ( 2 a ) 2 . \left(x + \frac {b}{2 a}\right) ^ {2} = - \frac {- (b ^ {2} - 4 a c)}{(2 a) ^ {2}}. ( x + 2 a b ) 2 = − ( 2 a ) 2 − ( b 2 − 4 a c ) .
由 Δ < 0 \Delta < 0 Δ < 0 − ( b 2 − 4 a c ) ( 2 a ) 2 = − Δ ( 2 a ) 2 > 0. \frac{-(b^2 - 4ac)}{(2a)^2} = \frac{-\Delta}{(2a)^2} > 0. ( 2 a ) 2 − ( b 2 − 4 a c ) = ( 2 a ) 2 − Δ > 0.
x + b 2 a = ± − ( b 2 − 4 a c ) 2 a i . x + \frac {b}{2 a} = \pm \frac {\sqrt {- (b ^ {2} - 4 a c)}}{2 a} \mathrm{i}. x + 2 a b = ± 2 a − ( b 2 − 4 a c ) i .
所以原方程的根为 x = − b 2 a ± − ( b 2 − 4 a c ) 2 a x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{-(b^{2}-4ac)}}{2a} x = − 2 a b ± 2 a − ( b 2 − 4 a c )
在复数范围内，实系数一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^{2}+bx+c=0\quad(a\neq0) a x 2 + b x + c = 0 ( a = 0 )
(1) 当 Δ ⩾ 0 \Delta \geqslant 0 Δ ⩾ 0 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} x = 2 a − b ± b 2 − 4 a c
(2) 当 Δ < 0 \Delta < 0 Δ < 0 x = − b ± − ( b 2 − 4 a c ) i 2 a x = \frac{-b \pm \sqrt{-(b^{2} - 4ac)}i}{2a} x = 2 a − b ± − ( b 2 − 4 a c ) i
思考
根据复数的加法法则、乘法法则，你能说明实数系经过扩充后得到的新数集就是复数集C吗？
练习
计算：
(1) ( 7 − 6 i ) ( − 3 i ) (7-6\mathrm{i})(-3\mathrm{i}) ( 7 − 6 i ) ( − 3 i )
(2) ( 3 + 4 i ) ( − 2 − 3 i ) (3 + 4\mathrm{i})(-2 - 3\mathrm{i}) ( 3 + 4 i ) ( − 2 − 3 i )
(3) ( 1 + 2 i ) ( 3 − 4 i ) ( − 2 − i ) (1 + 2\mathrm{i})(3 - 4\mathrm{i})(-2 - \mathrm{i}) ( 1 + 2 i ) ( 3 − 4 i ) ( − 2 − i )
计算：
(1) ( 3 + 2 i ) ( − 3 + 2 i ) (\sqrt{3} + \sqrt{2}\mathrm{i})(-\sqrt{3} + \sqrt{2}\mathrm{i}) ( 3 + 2 i ) ( − 3 + 2 i )
(2) ( 1 − i ) 2 (1-i)^{2} ( 1 − i ) 2
(3) i(2-i)(1-2i).
计算：
(1) 1 + i 1 − i ; \frac{1+i}{1-i}; 1 − i 1 + i ;
(2) 1 i \frac{1}{\mathrm{i}} i 1
(3) 7 + i 3 + 4 i \frac{7 + \mathrm{i}}{3 + 4\mathrm{i}} 3 + 4 i 7 + i
(4) ( − 1 + i ) ( 2 + i ) − i \frac{(-1 + \mathrm{i})(2 + \mathrm{i})}{-\mathrm{i}} − i ( − 1 + i ) ( 2 + i )
在复数范围内解下列方程:
(1) 9 x 2 + 16 = 0 ; 9x^{2}+16=0; 9 x 2 + 16 = 0 ;
(2) x 2 + x + 1 = 0. x^{2}+x+1=0. x 2 + x + 1 = 0.
习题7.2
复习巩固
计算：
(1) ( 6 − 5 i ) + ( 3 + 2 i ) (6 - 5\mathrm{i}) + (3 + 2\mathrm{i}) ( 6 − 5 i ) + ( 3 + 2 i ) 5 i − ( 2 + 2 i ) 5\mathrm{i} - (2 + 2\mathrm{i}) 5 i − ( 2 + 2 i )
(3) ( 2 3 + i ) + ( 1 − 2 3 i ) − ( 1 2 + 3 4 i ) \left(\frac{2}{3} + \mathrm{i}\right) + \left(1 - \frac{2}{3} \mathrm{i}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \mathrm{i}\right) ( 3 2 + i ) + ( 1 − 3 2 i ) − ( 2 1 + 4 3 i )
(4) ( 0.5 + 1.3 i ) − ( 1.2 + 0.7 i ) + ( 1 − 0.4 i ) (0.5 + 1.3\mathrm{i}) - (1.2 + 0.7\mathrm{i}) + (1 - 0.4\mathrm{i}) ( 0.5 + 1.3 i ) − ( 1.2 + 0.7 i ) + ( 1 − 0.4 i )
在复平面内，复数 6 + 5 i 6 + 5\mathrm{i} 6 + 5 i − 3 + 4 i -3 + 4\mathrm{i} − 3 + 4 i O A → \overrightarrow{OA} O A O B → \overrightarrow{OB} O B O O O A B → \overrightarrow{AB} A B B A → \overrightarrow{BA} B A
计算：
(1) ( − 8 − 7 i ) ( − 3 i ) (-8-7i)(-3i) ( − 8 − 7 i ) ( − 3 i )
(2) ( 4 − 3 i ) ( − 5 − 4 i ) (4-3i)(-5-4i) ( 4 − 3 i ) ( − 5 − 4 i )
(3) ( − 1 2 + 3 2 i ) ( 1 + i ) \left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(1+i) ( − 2 1 + 2 3 i ) ( 1 + i )
(4) ( 3 2 i − 1 2 ) ( − 1 2 + 3 2 i ) ; \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} - \frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right); ( 2 3 i − 2 1 ) ( − 2 1 + 2 3 i ) ;
(5) ( 1 + i ) ( 1 − i ) + ( − 1 + i ) (1 + \mathrm{i})(1 - \mathrm{i}) + (-1 + \mathrm{i}) ( 1 + i ) ( 1 − i ) + ( − 1 + i )
计算：
(1) 2 i 2 − i \frac{2i}{2-i} 2 − i 2 i 2 + i 7 + 4 i \frac{2+i}{7+4i} 7 + 4 i 2 + i 1 ( 2 − i ) 2 \frac{1}{(2-i)^{2}} ( 2 − i ) 2 1 5 ( 4 + i ) 2 i ( 2 + i ) \frac{5(4+i)^{2}}{i(2+i)} i ( 2 + i ) 5 ( 4 + i ) 2
综合运用
四边形 A B C D ABCD A B C D A , B , C A, B, C A , B , C 1 + 3 i , − i , 2 + i 1 + 3\mathrm{i}, -\mathrm{i}, 2 + \mathrm{i} 1 + 3 i , − i , 2 + i D D D
在复数范围内解下列方程：
(1) x 2 + 4 x + 5 = 0 ; x^{2}+4x+5=0; x 2 + 4 x + 5 = 0 ; 2 x 2 − 3 x + 4 = 0. 2x^{2}-3x+4=0. 2 x 2 − 3 x + 4 = 0.
已知 2 i − 3 2\mathrm{i} - 3 2 i − 3 x x x 2 x 2 + p x + q = 0 2x^{2} + px + q = 0 2 x 2 + p x + q = 0 p , q p, q p , q
拓广探索
利用公式 a 2 + b 2 = ( a + b i ) ( a − b i ) a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi) a 2 + b 2 = ( a + bi ) ( a − bi ) x 2 + 4 x^2 + 4 x 2 + 4 a 4 − b 4 a^4 - b^4 a 4 − b 4
若 z = x + y i z = x + yi z = x + y i x , y ∈ R x, y \in \mathbf{R} x , y ∈ R ∣ z − ( 2 + i ) ∣ = 3 |z - (2 + i)| = 3 ∣ z − ( 2 + i ) ∣ = 3 Z Z Z
使用信息技术手段进行试验：尝试在复数集中对实系数多项式进行因式分解，观察并记录所发现的规律.
? 阅读与思考
代数基本定理
在代数发展史上的很长一段时期内，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题。早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程。16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法（包括求根公式）。此后，数学家们转向求解一元五次及五次以上的方程。他们想弄清楚以下问题：一般的一元多项式方程有没有根？如果有根，根的个数是多少？是否存在求根公式？
我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数。事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理（fundamental theorem of algebra） 任何一元 n n n n ∈ N ∗ n \in \mathbf{N}^* n ∈ N ∗ f ( x ) = 0 f(x) = 0 f ( x ) = 0
代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础作用。代数基本定理的证明方法有很多种，但每种证法都涉及高等数学知识，此处不作介绍。有兴趣的同学可以查阅相关资料。
由代数基本定理可以得到：任何一元 n n n n ∈ N ∗ n \in \mathbf{N}^* n ∈ N ∗ f ( x ) f(x) f ( x ) n n n n n n n n n
尽管一元 n n n n n n
设实系数一元二次方程
a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 ( a 2 ≠ 0 ) a _ {2} x ^ {2} + a _ {1} x + a _ {0} = 0 (a _ {2} \neq 0) a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 ( a 2 = 0 )
在复数集 C 内的根为 x 1 x_{1} x 1 x 2 x_{2} x 2
{ x 1 + x 2 = − a 1 a 2 , x 1 x 2 = a 0 a 2 . \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} + x _ {2} = - \frac {a _ {1}}{a _ {2}}, \\ x _ {1} x _ {2} = \frac {a _ {0}}{a _ {2}}. \end{array} \right. { x 1 + x 2 = − a 2 a 1 , x 1 x 2 = a 2 a 0 .
设实系数一元三次方程
a _ {3} x ^ {3} + a _ {2} x ^ {2} + a _ {1} x + a _ {0} = 0 (a _ {3} \neq 0)\tag{①}
在复数集 C 内的根为 x 1 x_{1} x 1 x 2 x_{2} x 2 x 3 x_{3} x 3
a 3 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) = 0 , a _ {3} (x - x _ {1}) (x - x _ {2}) (x - x _ {3}) = 0, a 3 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) = 0 ,
展开得
a _ {3} x ^ {3} - a _ {3} (x _ {1} + x _ {2} + x _ {3}) x ^ {2} + a _ {3} (x _ {1} x _ {2} + x _ {1} x _ {3} + x _ {2} x _ {3}) x - a _ {3} x _ {1} x _ {2} x _ {3} = 0.\tag{②}
比较①②可以得到
{ x 1 + x 2 + x 3 = − a 2 a 3 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 1 a 3 , x 1 x 2 x 3 = − a 0 a 3 . \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} + x _ {2} + x _ {3} = - \frac {a _ {2}}{a _ {3}}, \\ x _ {1} x _ {2} + x _ {1} x _ {3} + x _ {2} x _ {3} = \frac {a _ {1}}{a _ {3}}, \\ x _ {1} x _ {2} x _ {3} = - \frac {a _ {0}}{a _ {3}}. \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧ x 1 + x 2 + x 3 = − a 3 a 2 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 3 a 1 , x 1 x 2 x 3 = − a 3 a 0 .
如果实系数一元四次方程
a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 ( a 4 ≠ 0 ) a _ {4} x ^ {4} + a _ {3} x ^ {3} + a _ {2} x ^ {2} + a _ {1} x + a _ {0} = 0 (a _ {4} \neq 0) a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 ( a 4 = 0 )
在复数集 C \mathbf{C} C x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} x 1 , x 2 , x 3 , x 4
对于上述方程，如果系数是复数，那么根与系数的这些关系仍然成立吗？
