7.2 复数的四则运算

上一节把复数搬进了平面（复数 $\leftrightarrow$ 点 $\leftrightarrow$ 向量），这一节开始在复数集里做运算。四则运算里最平淡的两个——加与减——就在这两页上，整节其实只有一句法则：

• 实部跟实部加减，虚部跟虚部加减：$(a+b\mathrm{i})\pm(c+d\mathrm{i})=(a\pm c)+(b\pm d)\mathrm{i}$。

平淡不等于没内容。这两页真正值得带走的是三件事：新运算为什么可以”规定”、规定完要验收什么；减法为什么不直接规定法则、而定义成加法的逆运算；以及加减法在平面上就是向量的加减——最后这一条会一路用到后面所有含模、含距离的复数题里。

一、加法：先看清”我们规定”这四个字

课本的原话是「我们规定，复数的加法法则如下」：设 $z_{1}=a+b\mathrm{i}$、$z_{2}=c+d\mathrm{i}$（$a,b,c,d\in\mathbf{R}$），它们的和是

$$(a+b\mathrm{i})+(c+d\mathrm{i})=(a+c)+(b+d)\mathrm{i}.$$

“规定”不是”推导”。 复数集是新造的，上面还没有加法，所以第一步只能是下定义——旧的实数加法管不到 $\mathrm{i}$ 身上。但规定也不能乱定，紧跟着的两句话就是验收标准，课本一句不漏地写了：

1. 封闭：「两个复数的和仍然是一个确定的复数」——$a+c$ 与 $b+d$ 都是实数的和，仍是实数，所以结果仍然长成 $x+y\mathrm{i}$ 的样子，加法出不了复数集；
2. 向下兼容：「当 $z_{1},z_{2}$ 都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和」——取 $b=d=0$，法则退化成 $a+c$，旧的实数加法没有被推翻，而是被包含。

这两条正是数系扩充的通用验收单（上一节引入 $\mathrm{i}$ 时用的也是它）。记住这个套路：每次扩充数系，都要问「新运算封闭吗」「旧结论还成立吗」。

至于怎么记法则，课本给了最省力的说法：「两个复数相加，类似于两个多项式相加」。把 $\mathrm{i}$ 当一个字母，$a+b\mathrm{i}$ 就是关于 $\mathrm{i}$ 的一次式，相加就是合并同类项——常数项归常数项、$\mathrm{i}$ 项归 $\mathrm{i}$ 项。加法这一步用不到 $\mathrm{i}^{2}=-1$，所以它比乘法简单得多：实部与虚部彼此完全不干扰。

二、运算律：交换律、结合律都成立

课本的”思考”问：复数的加法满足交换律、结合律吗？答案是都满足，对任意 $z_{1},z_{2},z_{3}\in\mathbf{C}$：

$$z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1},\qquad (z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3}).$$

理由不必另起炉灶：法则把复数加法拆成了两个实数加法（实部一份、虚部一份），而实数加法早就有交换律与结合律，逐个分量搬过来即可。以交换律为例，一行就完：

$$(a+b\mathrm{i})+(c+d\mathrm{i})=(a+c)+(b+d)\mathrm{i}=(c+a)+(d+b)\mathrm{i}=(c+d\mathrm{i})+(a+b\mathrm{i}).$$

这条”分量继承”的思路比结论更值钱：凡是只在实部虚部上分别做的事（加、减、数乘、取共轭），实数里的性质都能这样搬过来；一旦运算把两部搅在一起（乘法里的 $\mathrm{i}^{2}=-1$），就必须重新验。

有了这两条律，多个复数连加连减就可以任意换序、任意加括号——下面例 1 里”把所有实部凑一起、所有虚部凑一起”的写法，靠的正是它。

三、加法的几何意义：就是向量加法

课本的”探究”提示得很直白：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，而向量加法的几何意义早就学过，那就顺着搬。设 $\overrightarrow{OZ_{1}}$、$\overrightarrow{OZ_{2}}$ 分别对应 $a+b\mathrm{i}$、$c+d\mathrm{i}$，于是 $\overrightarrow{OZ_{1}}=(a,b)$、$\overrightarrow{OZ_{2}}=(c,d)$，由向量的坐标运算

$$\overrightarrow{OZ_{1}}+\overrightarrow{OZ_{2}}=(a+c,\,b+d),$$

而这个坐标对应的复数正好是 $(a+c)+(b+d)\mathrm{i}$，也就是 $z_{1}+z_{2}$。所以：

复数的加法可以按照向量的加法来进行（课本图 7.2-1 的平行四边形）。

这不是一个新事实，而是同一件事的两种语言。 值得说清的是它为什么成立得这么轻松：复数加法是”分量分别相加”，向量的坐标加法也是”分量分别相加”，两边的定义本就同形——一一对应一搭上，几何意义就自动送上门了。

用法上记两句：

• 求和可以画出来：$z_{1}+z_{2}$ 是以 $\overrightarrow{OZ_{1}}$、$\overrightarrow{OZ_{2}}$ 为邻边的平行四边形的那条对角线（共起点的画法）；也可以把 $\overrightarrow{OZ_{2}}$ 平移到 $Z_{1}$ 处首尾相接（三角形法则），终点相同。
• 模不能跟着拆：三角形两边之和大于第三边，翻成复数就是 $|z_{1}+z_{2}|\leqslant|z_{1}|+|z_{2}|$，取等要两个向量同向。把 $|z_{1}+z_{2}|$ 写成 $|z_{1}|+|z_{2}|$ 是这一块最常见的错。

四、减法：不直接规定法则，而定义成加法的逆运算

课本的”思考”先给了方向：实数的减法是加法的逆运算，复数照这个类比来。于是规定：满足

$$(c+d\mathrm{i})+(x+y\mathrm{i})=a+b\mathrm{i}$$

的复数 $x+y\mathrm{i}$（$x,y\in\mathbf{R}$）叫做 $a+b\mathrm{i}$ 减去 $c+d\mathrm{i}$ 的差。

为什么绕这一圈？ 因为这样定义，加减互逆是”白送”的：差本身就是由”加上它能补回来”定出来的，不需要额外验证 $(z_{1}-z_{2})+z_{2}=z_{1}$。若一上手就规定 $(a-c)+(b-d)\mathrm{i}$，那句”减法是加法的逆运算”反而要另证。

接着把差解出来。按加法法则，左边是 $(c+x)+(d+y)\mathrm{i}$，与右边 $a+b\mathrm{i}$ 相等；这里唯一的桥是”复数相等”——一个复数等式等价于两个实数等式：

$$c+x=a,\qquad d+y=b\quad\Longrightarrow\quad x=a-c,\ y=b-d,$$

于是

$$(a+b\mathrm{i})-(c+d\mathrm{i})=(a-c)+(b-d)\mathrm{i}.$$

课本随后说「两个复数的差是一个确定的复数」，这句话其实有两层，别只读一半：存在（上面把 $x,y$ 算出来了）与唯一（复数相等强制 $x,y$ 只能取这一组）。两层齐了，才配叫”差”。同样地，「两个复数相减，类似于两个多项式相减」是记忆用的说法，不是理由。

五、减法的几何意义：课本留作探究，这里补完

课本这一处只写了”探究：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗”，没有给答案。答案是：

$$z_{1}-z_{2}\ \longleftrightarrow\ \overrightarrow{OZ_{1}}-\overrightarrow{OZ_{2}}=\overrightarrow{Z_{2}Z_{1}},$$

也就是从减数的终点指向被减数的终点的那个向量（把它平移回原点，就是 $z_{1}-z_{2}$ 对应的点）。方向千万别记反：$z_{1}-z_{2}$ 是 $Z_{2}\to Z_{1}$，不是 $Z_{1}\to Z_{2}$。

由此得到整章最有用的一条几何读法：

$$|z_{1}-z_{2}|=Z_{1}Z_{2}\ \text{两点间的距离}.$$

一旦把”模的差式”读成距离，一大类题就变成了纯几何题：

后两行已经越出本节，但它们全都从”减法 = 向量差、模 = 距离”这一条长出来——本节的几何意义是后面所有复数轨迹题的总开关。

六、例 1：连加连减怎么写

课本例 1：计算 $(5-6\mathrm{i})+(-2-\mathrm{i})-(3+4\mathrm{i})$。

推荐的写法是实部虚部各自归堆（合法性来自第二节的运算律）：

$$(5-6\mathrm{i})+(-2-\mathrm{i})-(3+4\mathrm{i}) =(5-2-3)+(-6-1-4)\mathrm{i} =0-11\mathrm{i} =-11\mathrm{i}.$$

三处提醒：

1. 减号要分发到两个分量：$-(3+4\mathrm{i})$ 是实部减 $3$、虚部减 $4$，只改一个分量是最常见的错。
2. $-\mathrm{i}$ 的虚部是 $-1$，不是 $0$，也不是 $-\mathrm{i}$；写成竖排的两行（实部一行、虚部一行）能挡住这类漏项。
3. 实部恰好为 $0$，所以结果是纯虚数 $-11\mathrm{i}$——这不是”算错了”，纯虚数也是确定的复数。

自检也顺手：把差加回减数，应当回到前两项的和。前两项之和是 $3-7\mathrm{i}$，而 $-11\mathrm{i}+(3+4\mathrm{i})=3-7\mathrm{i}$ ✓。加减互逆本来就是减法的定义，拿它当检查点最省事。

七、易错清单（按失分频率排）

1. 减号只作用到第一项。$(5-6\mathrm{i})-(3+4\mathrm{i})$ 的虚部是 $-6-4=-10$，写成 $-6+4=-2$ 就是漏了分发。
2. 把 $\mathrm{i}$ 和实数合并。$5-6\mathrm{i}$ 不能写成 $-1$：实部与虚部是两个互不相干的分量，合并同类项只在同类之间做。
3. 模跟着加减拆开。$|z_{1}\pm z_{2}|$ 一般不等于 $|z_{1}|\pm|z_{2}|$，加减那一侧只有三角形不等式；$|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}$ 而不是 $2$，就是同一个坑的最小样本。
4. 减法的向量方向记反。$z_{1}-z_{2}$ 对应 $\overrightarrow{Z_{2}Z_{1}}$（从减数指向被减数）；反了之后所有轨迹题的图都会镜像。
5. 把”差是确定的复数”当废话。它是”解存在且唯一”的合并说法，唯一性来自复数相等——考”为什么这样定义合理”时，答不出这一层就丢分。
6. 几何意义只会平行四边形。共起点画平行四边形、平移后首尾相接画三角形，两种画法结果相同；只会一种，遇到”$\overrightarrow{Z_{2}Z_{1}}$ 表示哪个复数”就卡住。
7. 忘了加法是”规定”的。被问”复数加法为什么这样定义”时，要答”新数集上的运算只能先规定，再验封闭性与向下兼容”，而不是”因为多项式就这么加”。

八、这一节考过的真题（怎么用它们）

别的节页下方都有一块「考过本节的真题」（构建期两跳派生：节 $\leftarrow$ 实体 $\leftarrow$ 攻略），本节没有这一块。不是漏收，是实情：语料里浙江卷的复数小题一律考乘、除、复数相等与模，加减从没单独成过题——它太直白，出题人拿它构不成一道题。

但它天天以”一步”的身份出场，所以这一节该配着别处的真题练：

• 2023 年第 2 题（$z=\frac{1-\mathrm{i}}{2+2\mathrm{i}}$，求 $z-\bar{z}$）：最后那一步正是本节的减法——两个共轭相减，实部抵消、虚部翻倍，得到纯虚数。本节读完就能预判”答案一定是纯虚数”，这个预判本身就是一道检查点。
• 2019 年第 11 题（$z=\frac{1}{1+\mathrm{i}}$，求 $|z|$）：分母实数化时用到的 $1-\mathrm{i}^{2}=1-(-1)=2$ 是实数运算，但”$|1+\mathrm{i}|$ 不等于 $1+1$“这个坑，根子就在本节第三节那句”模不能跟着加减拆”。
• 凡是给出 $|z-z_{0}|$ 的题（复数轨迹、最值），第一步都是把它读成距离——那一步的依据就是本节第五节。语料里这类题还没出现在浙江卷的小题位上，但它是全国卷复数题的常见形态，本节的几何意义就是为它准备的。

一句话收尾：这一节的分不在算，在读——读懂”规定 + 验收”的扩充剧本，读懂”减法 = 距离”的几何翻译。真正会考的算法在下一节（乘、除）。