7.1.2 复数的几何意义

§7.1.1 里复数只有代数身份：$z = a + b\mathrm{i}$，一个实部加一个虚部。本节给它装两副几何画像—— 先是复平面上的点，再是以原点为起点的向量。这两幅画像不是装饰：复数的模、共轭、以及 7.2 里复数怎么加减乘除，全部站在”复数就是向量”这个对应上。这一节是整个第 7 章的地基。

一、复平面：把复数安放到平面上

实数为什么能画在数轴上？因为实数与数轴上的点一一对应——每个实数有唯一位置，每个位置有唯一实数。 复数 $z = a + b\mathrm{i}$ 由两个实数（实部 $a$ 和虚部 $b$）决定，正好像一个有序实数对 $(a, b)$， 而有序实数对与平面直角坐标系里的点是早已建立的一一对应。把两者接起来：

$$\text{复数 } z = a + b\mathrm{i} \xleftarrow{\text{一一对应}} \text{平面上的点 } Z(a, b)$$

这就是复平面：建立了直角坐标系、用来表示复数的平面。$x$ 轴叫实轴，$y$ 轴叫虚轴。

这个”一一对应”是两个方向都能走的：给你一个复数，你能找到它的点；给你一个点，你能读出它的复数。 两轴上的点有特殊身份，记牢：

• 实轴上的点都表示实数——虚部为 $0$，$b = 0$；
• 虚轴上除原点外的点都表示纯虚数——实部为 $0$ 且虚部不为 $0$；
• 原点表示实数 $0$（实部虚部都是 $0$，既不是纯虚数也不是非零实数）。

例如原点 $(0, 0)$ 表示 $0$，$(2, 0)$ 表示 $2$，$(0, -1)$ 表示 $- \mathrm{i}$，$(-2, 3)$ 表示 $-2 + 3\mathrm{i}$。

二、第二个身份：向量 $\overrightarrow{OZ}$

点 $Z$ 定下来之后，把原点 $O$ 和 $Z$ 连起来，得到一个以原点为起点的向量 $\overrightarrow{OZ}$。 点与”从原点出发的向量”显然一一对应（终点就是那个点），于是复数又有了第二个身份：

$$\text{复数 } z = a + b\mathrm{i} \xleftarrow{\text{一一对应}} \text{平面向量 } \overrightarrow{OZ}$$

课本把这两条合起来说：复数集与复平面内的点一一对应，也与以原点为起点的向量一一对应。 实数 $0$ 对应零向量。为方便，常说”复数 $z$“指的就是点 $Z$ 或向量 $\overrightarrow{OZ}$—— 三个说法是一个东西，后面解题时三种说法会混着用。

“相等的向量表示同一个复数”这条规定为什么必要？ 向量本来可以平移（第六章学的）， 而这里限定向量都以原点为起点，本来已经不会撞车；课本再加一句，是提醒你： 复平面上的向量不允许随意平移着看，方向与长度都由那个复数唯一决定。

顺带一句历史：这种几何表示是韦塞尔在 1797 年提出的，阿尔冈出书讨论、又得到高斯认同， 所以也叫阿尔冈图（Argand diagram）。它把看不见摸不着的”数”变成了看得见的图形——这正是本节全部做法的底气。

三、模：复数也有长度

向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的长度在第六章叫向量的模，这里直接借过来：

$$|z| = |a + b\mathrm{i}| = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad (a, b \in \mathbf{R})$$

$|z|$ 读作”复数 $z$ 的模”，也叫”绝对值”。它的几何意义就一句话：点 $Z$ 到原点 $O$ 的距离 （也就是向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的长度）。

为什么实数的模恰好是绝对值？如果 $b = 0$，那么 $z = a$，$|z| = \sqrt{a^2} = |a|$——公式自己退化了， 没有新的概念。

课本例 2 算了一对：

$$|4 + 3\mathrm{i}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5, \qquad |4 - 3\mathrm{i}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5.$$

两个模相等。这不是巧合，见下一节——$4 + 3\mathrm{i}$ 与 $4 - 3\mathrm{i}$ 正是一对共轭复数。

四、共轭复数：关于实轴的镜像

共轭复数：实部相等、虚部互为相反数的两个复数。$z = a + b\mathrm{i}$ 的共轭记作

$$\bar{z} = a - b\mathrm{i}$$

虚部不等于 $0$ 的两个共轭复数也叫共轭虚数。课本例 2 里的 $z_1 = 4 + 3\mathrm{i}$ 与 $z_2 = 4 - 3\mathrm{i}$ 就是一对共轭复数，它们对应的点 $Z_1(4, 3)$ 与 $Z_2(4, -3)$ 关于实轴对称——横坐标相同、纵坐标相反， 正是关于 $x$ 轴翻转。反过来，关于实轴对称的两个点对应一对共轭复数。

这一条直接带来两个推论：

• 共轭复数的模相等：$|a + b\mathrm{i}| = |a - b\mathrm{i}|$，因为公式里 $b^2$ 变号不变值， 图上则是”关于实轴对称的两点到原点等距”；
• 实轴本身是共轭的”对称轴”——一个复数与它的共轭重合，当且仅当它是实数（虚部为 $0$）。

（说个后面会用到的引子：$z$ 与 $\bar{z}$ 的乘积 $z\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$ 恰好是模的平方， 7.2 里复数除法要用它。现在只要知道”共轭 = 关于实轴的镜像”就够了。）

五、把 $|z|$ 当”到原点的距离”用：圆、圆环与射线

课本例 3 是本节最重要的示范——从模长条件读出图形。

设 $z$ 对应的点是 $Z$。

（1）$|z| = 1$。 $|z|$ 是 $Z$ 到原点 $O$ 的距离，条件说”这个距离恒为 $1$”。 到定点的距离等于定长的点集，就是圆。所以满足 $|z| = 1$ 的点 $Z$ 的集合是

$$\text{以原点 } O \text{ 为圆心、以 } 1 \text{ 为半径的圆}.$$

（2）$1 < |z| < 2$。 拆成两个条件取交集：$|z| < 2$（圆 $|z| = 2$ 内部的点）与 $|z| > 1$（圆 $|z| = 1$ 外部的点）。交集是这两个圆夹出来的圆环；两个不等号都是严格的， 所以环的两个边界都不包含。

做题时的动作就三步：模长 → 距离 → 图形。等号落在哪一边，边界就含在哪一边：

• $|z| = r$：圆（含圆周）；
• $|z| < r$：圆内部；
• $|z| > r$：圆外部；
• $r_1 < |z| < r_2$：圆环，两个边界都不含。

习题 7.1 第 8 题的 $2 \leqslant |z| < 5$ 是同一套动作：圆环，内边界（$|z| = 2$）含、外边界（$|z| = 5$）不含。 习题 7.1 第 9 题的”实部为正数、虚部为 $3$“翻译成坐标就是 $x > 0$、$y = 3$——直线 $y = 3$ 上 $x > 0$ 的半截，一条端点不含的射线。圆、圆环、射线，都是”距离/位置条件”的图形翻译。

六、易错清单

按失分频率排：

1. 模长算错。$|a + b\mathrm{i}| = \sqrt{a^2 + b^2}$：既不是 $|a| + |b|$，也别忘记开方—— $a^2 + b^2$ 算完要套根号。
2. 共轭搞反了对称轴。$\bar{z}$ 对应的点关于实轴（$x$ 轴）对称，不是虚轴。 判断”关于哪个轴对称”先看哪个坐标变号：虚部变号是实轴，实部变号是虚轴。
3. 虚轴上的点都当纯虚数。原点 $(0, 0)$ 表示实数 $0$——“除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数”。
4. 圆环的边界含不含。$1 < |z| < 2$ 与 $2 \leqslant |z| < 5$ 画出来都是圆环，但前者两个边界都不含、 后者内边界含外边界不含。不等号里有等号的那一边边界含。
5. 模长反求虚部/实部忘了符号。已知 $|z| = 2$、虚部为 $\sqrt{3}$，则实部 $a^2 = 1$，$a = \pm 1$—— 两个解都要写（习题 7.1 第 10 题）。凡是”给模长反求坐标分量”，答案里符号有没有定死， 必须问自己一句。
6. 象限题把轴上的点算进去。坐标分量有一个为 $0$ 的点在坐标轴上，不属于任何象限； 条件”位于第一象限或第三象限”要求实部虚部同号且都不为 $0$（习题 7.1 第 6 题， 端点要严格排除）。

七、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”是构建期派生的完整清单。目前挂在本节上的一条是 2025 年浙江卷第 1 题： $(1 + 5\mathrm{i})\mathrm{i}$ 的虚部。它直接考的是 7.2 的乘法运算，但清单里给它标了两种读法—— “展开算”与”在复平面上转 90°”：$(1 + 5\mathrm{i})\mathrm{i} = \mathrm{i} + 5\mathrm{i}^2 = -5 + \mathrm{i}$， 虚部为 $1$，这是代数路；“转 90°“的几何路要等 7.3 三角表示学完才完整，但它的种子就种在本节—— 复数对应向量，向量可以转，转完还是复数。

做这一节的题，先问自己两个问题：这道题考的是”点在哪里”（复平面、象限、对称）还是”距离等于几” （模、圆、圆环）？两个问题各配一套工具，别混。复数在高考里通常放在选择填空的前几题， 本节是复数题的”送分层”所在，但要送得稳，模长公式与对称轴这两件事不能背错。

本节页面上共有 11 道课本习题，逐题全做：

• 第 80 页「练习」3 道（第 1—3 题）；
• 「习题 7.1」里属于本节主题的 8 道：复习巩固第 4—5 题、综合运用第 6—9 题、拓广探索第 10—11 题。

「习题 7.1」的第 1—3 题（复数的概念、复数相等求参数）与第 77 页顶部的 3 道「练习」 都落在 §7.1.1 的主题上，归 §7.1.1 那一节的详解，这里不收。

每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 80 页）第 1 题

1. 说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为1）.

先读图：数格子定坐标。 题面里的图在页顶第 80 页扫描图上（第 1 题图）：一张方格纸上画了 $x$ 轴、$y$ 轴和标着字母 $A$—$H$ 的八个点。题目规定每个小方格的边长为 $1$，所以每个点的坐标 直接按”向右几格、向上几格”数出来。按图逐点读：

复数 $z = a + b\mathrm{i}$ 与点 $Z(a, b)$ 一一对应，读出坐标后把横坐标填进实部、纵坐标填进虚部即可。

自检：$E$、$F$ 在实轴上，对应的是实数 $5$ 与 $-2$；$G$、$H$ 在虚轴上（且不是原点）， 对应的是纯虚数 $\pm 5\mathrm{i}$——与课本”实轴上的点都表示实数，除原点外虚轴上的点都表示纯虚数”一致。 四个象限点 $A(4, 3)$、$B(3, -3)$、$C(-3, 2)$、$D(-3, -3)$ 的实部虚部符号（同正、正负、负正、同负） 也分别与第一、四、二、三象限相符。

这道题的关键动作：把”读出坐标”翻译成”实部在前、虚部在后”，轴上点的虚部或实部是 $0$，不能漏写。

练习（第 80 页）第 2 题

2. 在复平面内，描出表示下列复数的点： (1) $2+5i$ ; (2) $-3+2i$ ; (3) 2-4i; (4) -3-i; (5) 5; (6) -3i.

复数 $z = a + b\mathrm{i}$ 对应的点是 $Z(a, b)$——实部是横坐标，虚部是纵坐标。逐个写出坐标：

在图上描点时，先按实部找横坐标、再按虚部找纵坐标；四个象限内的点描在格点里， 轴上的点直接落在轴上。轴上的点不属于任何象限，单独判断。

这道题的关键动作：实部虚部对号入座成坐标——$5$ 的虚部是 $0$，$-3\mathrm{i}$ 的实部是 $0$， 这两类最容易把点描错位置。

练习（第 80 页）第 3 题

3. 已知复数 $2 + \mathrm{i}, -2 + 4\mathrm{i}, -2\mathrm{i}, 4, \frac{3}{2} - 4\mathrm{i}$,

(1) 在复平面内画出这些复数对应的向量；

(2) 求这些复数的模.

（1）画向量。 复数 $z = a + b\mathrm{i}$ 对应的向量是以原点 $O$ 为起点、以点 $Z(a, b)$ 为终点的向量 $\overrightarrow{OZ}$。五个复数对应的终点分别是

$$(2, 1), \quad (-2, 4), \quad (0, -2), \quad (4, 0), \quad \left(\frac{3}{2}, -4\right),$$

从原点出发分别连到这几个点、在终点处画箭头，就得到五个向量。其中 $-2\mathrm{i}$ 的向量终点 $(0, -2)$ 在虚轴负半轴上，$4$ 的向量终点 $(4, 0)$ 在实轴正半轴上。

（2）求模。 模是向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的长度，由 $|a + b\mathrm{i}| = \sqrt{a^2 + b^2}$ 计算：

$$|2 + \mathrm{i}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5},$$ $$|-2 + 4\mathrm{i}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5},$$ $$|-2\mathrm{i}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2,$$ $$|4| = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4,$$ $$\left|\frac{3}{2} - 4\mathrm{i}\right| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + (-4)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 16} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}.$$

自检：$-2\mathrm{i}$ 的模是 $2$，$4$ 的模是 $4$——轴上的复数模等于它的绝对值（或纵坐标的绝对值）， 与公式一致；其余三个模都夹在 $2$ 与 $5$ 之间。按模从大到小排：

$$2\sqrt5 > \frac{\sqrt{73}}{2} > 4 > \sqrt5 > 2 \qquad (4.47 > 4.27 > 4 > 2.24 > 2),$$

对应的终点 $(-2, 4)$、$\left(\frac32, -4\right)$、$(4, 0)$、$(2, 1)$、$(0, -2)$ 到原点的距离 也确实是这个次序，与图上远近吻合。

这道题的关键动作：模就是”从原点到终点”的距离，虚部实部带符号没关系，平方之后符号全部消失。

习题 7.1（第 80 页）复习巩固 第 4 题

4. 如果 P 是复平面内表示复数 $a + bi (a, b \in \mathbb{R})$ 的点，分别指出在下列条件下点 P 的位置. (1) a > 0, b > 0; (2) a < 0, b > 0; (3) $a=0, b\leqslant0;$ (4) b<0.

点 $P$ 的坐标就是 $(a, b)$，所以这道题是符号决定位置：$a$ 决定在实轴上的左右，$b$ 决定在虚轴上的上下。

• (1) $a > 0, b > 0$：横坐标、纵坐标都为正，点 $P$ 在第一象限。
• (2) $a < 0, b > 0$：横坐标为负、纵坐标为正，点 $P$ 在第二象限。
• (3) $a = 0, b \leqslant 0$：横坐标为 $0$，点在虚轴上；再限制 $b \leqslant 0$，即原点 $(0, 0)$ 或虚轴负半轴上的点。这里要分两种：$b = 0$ 时是原点（表示实数 $0$），$b < 0$ 时是虚轴负半轴上的点 （表示纯虚数）。
• (4) $b < 0$：纵坐标为负，即点 $P$ 在实轴下方。$a$ 不受限制，所以是第三象限 （$a < 0$）、第四象限（$a > 0$）以及虚轴负半轴（$a = 0$）的全部点，实轴上的点（$b = 0$）不属于其中。

注意第 (3) 问的等号：$b \leqslant 0$ 含 $b = 0$，原点要算进去；而原点不属于虚轴负半轴，要单独说出。

这道题的关键动作：把 $a$、$b$ 的符号翻译成平面上的位置，并留意轴上点与等号的边界。

习题 7.1（第 80 页）复习巩固 第 5 题

5. 求复数 $z_{1} = 3 + 4\mathrm{i}$ 及 $z_{2} = \frac{1}{2} -\sqrt{2}\mathrm{i}$ 的模，并比较它们的模的大小.

直接套模长公式 $|a + b\mathrm{i}| = \sqrt{a^2 + b^2}$，一步到位：

$$|z_{1}| = |3 + 4\mathrm{i}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5,$$ $$|z_{2}| = \left|\frac{1}{2} - \sqrt{2}\,\mathrm{i}\right| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}.$$

比较大小：$5 > \dfrac{3}{2}$，所以 $|z_{1}| > |z_{2}|$。

自检：$z_1$ 的点是 $(3, 4)$，它到原点的距离恰好是 $3$-$4$-$5$ 直角三角形里的斜边 $5$； $z_2$ 的点是 $\left(\frac12, -\sqrt2\right)$，勾股得 $\sqrt{9/4} = 1.5$——两个数都是精确值， 没有近似误差。

这道题的关键动作：模长公式里虚部带负号直接平方，不要被 $\sqrt{2}$ 前的负号吓住。

习题 7.1（第 80 页）综合运用 第 6 题

6. 当实数 $m$ 取什么值时，复平面内表示复数 $z = (m^2 - 8m + 15) + (m^2 - 5m - 14)\mathrm{i}$ 的点分别满足下列条件？

(1) 位于第四象限；

(2) 位于第一象限或第三象限；

(3) 位于直线 y = x 上.

先做两件事：因式分解，把符号的讨论变成区间：

$$a = m^2 - 8m + 15 = (m - 3)(m - 5), \qquad b = m^2 - 5m - 14 = (m - 7)(m + 2).$$

符号参照表（$a$ 与 $b$ 各自为零的四个点分别是 $m = 3, 5$ 与 $m = 7, -2$）：

（1）第四象限要求 $a > 0$ 且 $b < 0$。查表，两段：

$$-2 < m < 3 \quad \text{或} \quad 5 < m < 7.$$

（2）第一象限或第三象限要求 $a$ 与 $b$ 同号且都不为 $0$。查表：同正的两段是 $m < -2$ 与 $m > 7$，同负的一段是 $3 < m < 5$。合起来：

$$m < -2, \quad 3 < m < 5 \quad \text{或} \quad m > 7.$$

注意 $m = -2, 3, 5, 7$ 四个点让 $a$ 或 $b$ 为 $0$，对应的点在坐标轴上，不属于任何象限， 所以这些端点全部用严格不等号排除在外。

（3）位于直线 $y = x$ 上，即点的横坐标等于纵坐标：$a = b$。解方程（$m^2$ 项两边相消）：

$$m^2 - 8m + 15 = m^2 - 5m - 14 \ \Longrightarrow\ -8m + 15 = -5m - 14 \ \Longrightarrow\ m = \frac{29}{3}.$$

自检：取 $m = 0$（落在 $-2 < m < 3$），$z = 15 - 14\mathrm{i}$，在第四象限，与 (1) 相符； 取 $m = 4$（落在 $3 < m < 5$），$z = -1 - 18\mathrm{i}$，在第三象限，与 (2) 相符； 取 $m = 8$（落在 $m > 7$），$z = 15 + 10\mathrm{i}$，在第一象限，与 (2) 相符。 把 $m = \dfrac{29}{3}$ 代回：$a = b = \dfrac{280}{9}$，点落在 $y = x$ 上，与 (3) 相符。

这道题的关键动作：先因式分解、画符号表，再按象限翻译成”同号/异号”的不等式组； 轴上的点（坐标分量有一个为 $0$）不属于任何象限，端点要严格排除。

习题 7.1（第 81 页）综合运用 第 7 题

7. 在复平面内，O 是原点，向量 $\overrightarrow{OA}$ 对应的复数是 $2+i$ .

（1）如果点 A 关于实轴的对称点为点 B，求向量 $\overrightarrow{OB}$ 对应的复数；

(2) 如果 (1) 中点 $B$ 关于虚轴的对称点为点 $C$, 求点 $C$ 对应的复数.

向量 $\overrightarrow{OA}$ 对应复数 $2 + \mathrm{i}$，所以终点 $A$ 的坐标是 $(2, 1)$。 下面两步都是坐标对称问题：

（1）关于实轴（$x$ 轴）对称：横坐标不变，纵坐标变号。$A(2, 1) \to B(2, -1)$，于是

$$\overrightarrow{OB} \ \text{对应复数} \ 2 - \mathrm{i}.$$

（$2 - \mathrm{i}$ 正是 $2 + \mathrm{i}$ 的共轭复数——课本例 2 之后的内容：共轭复数的点关于实轴对称， 在这里直接应验了。）

（2）关于虚轴（$y$ 轴）对称：横坐标变号，纵坐标不变。$B(2, -1) \to C(-2, -1)$，于是

$$C \ \text{对应的复数是} \ -2 - \mathrm{i}.$$

自检：$A \to B$ 是上下翻转，$B \to C$ 是左右翻转，两次合起来 $A(2, 1) \to C(-2, -1)$， 相当于关于原点对称——实部、虚部同时变号，$-2 - \mathrm{i}$ 与此一致。也可以直接验证： $C$ 关于虚轴的对称点是 $(-2, -1)$ 的镜像 $(2, -1) = B$，回代无误。

这道题的关键动作：把”关于坐标轴对称”翻译成坐标的变号规则——关于实轴对称只动虚部， 关于虚轴对称只动实部，两个都动就是关于原点对称。

习题 7.1（第 81 页）综合运用 第 8 题

8. 设 $z \in C$ ，在复平面内 z 对应的点为 Z，那么满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？ (1) $|z| = 3;$ (2) $2 \leqslant |z| < 5.$

把 $|z|$ 读成”点 $Z$ 到原点 $O$ 的距离”——$|z| = |\overrightarrow{OZ}|$ 正是向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的长度。于是两个条件都是”到定点的距离满足某关系”的轨迹问题。

（1）$|z| = 3$：点 $Z$ 到原点 $O$ 的距离恒为 $3$。到定点距离等于定长的点集是圆，所以所求图形是

$$\text{以原点 } O \text{ 为圆心、以 } 3 \text{ 为半径的圆} .$$

（2）$2 \leqslant |z| < 5$：距离不小于 $2$、且小于 $5$。它是两个条件取交集：

• $|z| \geqslant 2$：圆 $|z| = 2$ 的外部及圆周上（到原点的距离至少 $2$，含边界）；
• $|z| < 5$：圆 $|z| = 5$ 的内部（距离小于 $5$，不含边界）。

交集就是这两个圆夹出来的圆环，内边界（$|z| = 2$ 的圆）包含，外边界（$|z| = 5$ 的圆）不包含。

自检（边界等号逐个对）：$|z| = 2$ 上的点满足 $2 \leqslant |z|$，进集合；$|z| = 5$ 上的点满足 $|z| = 5$，不满足 $|z| < 5$，出集合；原点距离为 $0 < 2$，也在集合外。两个边界一含一不含， 画图时用实线画内圆、虚线画外圆。

这道题的关键动作：把模长的等号/不等号翻译成”到原点的距离”，再对应到圆、圆内、圆外的集合； 边界含不含只看等号落在哪一边。

习题 7.1（第 81 页）综合运用 第 9 题

9. 如果复数 $z$ 的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数 $z$ 对应的点应位于怎样的图形上？

设 $z = a + 3\mathrm{i}$。题设”实部为正数”就是 $a > 0$，所以对应点 $Z(a, 3)$ 的横坐标任意正、 纵坐标固定为 $3$。

纵坐标固定为 $3$ 说明点在直线 $y = 3$ 上；横坐标 $a > 0$ 说明只取这条直线上原点右侧 （$x > 0$）的部分。因此所求图形是

$$\text{以 } (0, 3) \text{ 为端点、沿 } x \text{ 轴正方向（向右）的射线，端点不含}.$$

端点 $(0, 3)$ 对应 $a = 0$，而题设要求 $a > 0$ 是严格大于 $0$，所以端点不在图形内； 射线上的其他点（$a$ 取任意正实数）都在图形内。

自检：任取 $a = 2$，$z = 2 + 3\mathrm{i}$，点 $(2, 3)$ 在这条射线上；取 $a = -1$ 得点 $(-1, 3)$， 在 $y = 3$ 上但不在图形内，因为它的实部是负数，与题设矛盾。一正一反两个例子都对得上。

这道题的关键动作：把”实部为正数、虚部为 3”逐字翻译成”$x > 0$、$y = 3$”—— 一个条件限定直线，一个条件限定半截，合起来是半条直线（射线），端点由严格不等号排除。

习题 7.1（第 81 页）拓广探索 第 10 题

10. 已知复数 $z$ 的虚部为 $\sqrt{3}$，在复平面内复数 $z$ 对应的向量的模为 2，求这个复数 $z$.

设 $z = a + \sqrt{3}\,\mathrm{i}$（虚部已知，实部 $a$ 未知）。模长公式给出

$$|z| = \sqrt{a^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3} = 2 .$$

两边平方（$a^2 + 3 \geqslant 0$ 恒成立，平方不增根）得 $a^2 + 3 = 4$，即 $a^2 = 1$， 所以 $a = \pm 1$。两个实部都合法，于是

$$z = 1 + \sqrt{3}\,\mathrm{i} \quad \text{或} \quad z = -1 + \sqrt{3}\,\mathrm{i}.$$

自检（两个解分别回代）：

$$|1 + \sqrt{3}\,\mathrm{i}| = \sqrt{1 + 3} = 2, \qquad |-1 + \sqrt{3}\,\mathrm{i}| = \sqrt{1 + 3} = 2,$$

两个解都满足”模为 $2$、虚部为 $\sqrt{3}$“。几何上它们是对应点关于虚轴对称的两个点，到原点等距。

这道题最容易漏的就是 $a = -1$ 那一个解：模长公式里 $a$ 只以 $a^2$ 的形式出现， 由 $a^2 = 1$ 求 $a$ 必须写 $\pm 1$。凡是”给模长反求实部/虚部”的题，答案都要问一句：符号定死了吗？

这道题的关键动作：列方程 $|z| = 2$ 解出实部，记住开平方出正负两个值，逐个验证。

习题 7.1（第 81 页）拓广探索 第 11 题

11. 在复平面内指出与复数 $z_{1} = 1 + 2\mathrm{i}$，$z_{2} = \sqrt{2} + \sqrt{3}\mathrm{i}$，$z_{3} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\mathrm{i}$，$z_{4} = -2 + \mathrm{i}$ 对应的点 $Z_{1}$，$Z_{2}$，$Z_{3}$，$Z_{4}$. 判断这4个点是否在同一个圆上，并证明你的结论.

四个对应点是

$$Z_{1}(1, 2), \quad Z_{2}(\sqrt{2}, \sqrt{3}), \quad Z_{3}(\sqrt{3}, -\sqrt{2}), \quad Z_{4}(-2, 1) .$$

判断”是否共圆”用距离：一个圆上的点到圆心的距离都等于半径。 这里最自然的候选圆心是原点 （如果四点到原点等距，它们就在以原点为圆心的圆上）。逐个算到原点的距离，也就是各复数的模：

$$|z_{1}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}, \qquad |z_{2}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5},$$ $$|z_{3}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5}, \qquad |z_{4}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} .$$

四个模全部相等。由”到定点（原点 $O$）的距离等于定长 $\sqrt{5}$“，四个点都在以 $O$ 为圆心、 $\sqrt{5}$ 为半径的圆上，所以

$$\text{这 } 4 \text{ 个点在同一个圆上：圆 } x^2 + y^2 = 5 .$$

证明的完整性：判断共圆不能靠”看着像”，要有推理链——先给出候选圆心，再逐一验证 四点到它的距离相等，最后指出这正好是圆的定义（到定点的距离等于定长的点集）。反过来， 如果只算两个点的模相等，推不出共圆（模相等只能说明两个点在同一圆上，第三个点未必在）。

这道题的关键动作：共圆 ⟺ 到同一点等距；四个模都算出来、都等于 $\sqrt{5}$，结论就成立。 顺带留意 $z_2$ 与 $z_3$ 的模长计算里根号外根号内互相抵消，别把它们当成无理数混在一起开方。