6.4.2 向量在物理中的应用举例

这一节没有新知识点，全部是把前面几节的向量运算搬进物理情境。 真正要练的是两个方向的翻译：把物理条件翻译成向量式子， 再把算出来的式子翻译回物理结论。两个例题各练一种运算—— 例 3 练力的合成，用平行四边形法则； 例 4 练速度的合成，难点是自己判断合速度该指向哪儿。

下面，我们再来感受一下向量在物理中的应用.

一、例 3：为什么夹角越大越费力

例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？

分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释.

这句”分析”其实已经把解法定死了：题目问的是费力还是省力， 费力就是单只手的拉力 $|F_1|$ 变大，所以只要把 $|F_1|$ 写成 $\theta$ 的函数， 再看这个函数的单调性。

解：先来看共提旅行包的情况. 如图 6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，为方便起见，我们不妨设 $\left|F_{1}\right|=\left|F_{2}\right|$ . 另设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的夹角为 $\theta$ ，旅行包所受的重力为 G.

由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道

$| \boldsymbol {F} _ {1} | = \frac {| \boldsymbol {G} |}{2 \cos \frac {\theta}{2}}.$

这个公式是三步拼出来的，每一步都要交代：

1. 力的平衡：旅行包不动，所受合力为零，所以 $F_1+F_2$ 与 $G$ 大小相等、方向相反， 即 $|F_1+F_2|=|G|$，方向竖直向上。
2. 平行四边形法则加上等腰：因为 $|F_1|=|F_2|$， 以 $F_1$、$F_2$ 为邻边的平行四边形是菱形，而菱形的对角线平分内角， 所以合力方向恰好把夹角 $\theta$ 平分，$F_1$ 与合力的夹角是 $\dfrac\theta2$。
3. 直角三角形：菱形的对角线互相垂直，把合力投影回 $F_1$ 上就得到

$|F_1+F_2|=2|F_1|\cos\frac\theta2$

再与第 1 步的 $|F_1+F_2|=|G|$ 合起来，就是课本那个式子。

“不妨设 $|F_1|=|F_2|$“这一句不能当成废话。两个人力气不一样时结论仍然成立， 但那要用余弦定理去算，不是这里的两行。设成相等是为了让菱形出现， 把问题压成一道初中几何。

这里， $|\pmb{G}|$ 为定值.分析上面的式子，我们发现，当 $\theta$ 由0逐渐变大到$\pi$ 时， $\frac{\theta}{2}$ 由0逐渐变大到 $\frac{\pi}{2}$ ， $\cos \frac{\theta}{2}$ 的值由大逐渐变小，此时 $|\pmb{F}_1|$ 由小

逐渐变大；反之，当 $\theta$ 由 $\pi$ 逐渐变小到0时，$\frac{\theta}{2}$ 由 $\frac{\pi}{2}$ 逐渐变小到0，$\cos \frac{\theta}{2}$ 的值由小逐渐变大，此时 $|F_1|$ 由大逐渐变小。这就是说，$F_1, F_2$ 之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力。

这一段做的就是单调性讨论，只是没用”单调”两个字。链条是

$\theta\uparrow\ \Longrightarrow\ \frac\theta2\uparrow\ \Longrightarrow\ \cos\frac\theta2\downarrow\ \Longrightarrow\ |F_1|=\frac{|G|}{2\cos\frac\theta2}\uparrow$

能这样一路推下去，靠的是 $\dfrac\theta2$ 落在 $\left[0,\dfrac\pi2\right)$ 里， 余弦函数在这一段上递减而且恒为正。$\theta$ 取不到 $\pi$：真取到了， 两个拉力方向相反、合力为零，包就掉下去了；式子里也正好是分母趋于零、 $|F_1|$ 无限增大。

同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.

探究两问

(1) 当 $\theta$ 为何值时， $\left|F_{1}\right|$ 最小？最小值是多少？

(2) $|F_{1}|$ 能等于 $|G|$ 吗？为什么？

事实上，要使 $|F_{1}|$ 最小，只需 $\cos \frac{\theta}{2}$ 最大，此时 $\cos \frac{\theta}{2} = 1$ ，可得 $\theta = 0$ .于是 $|F_{1}|$ 的最小值为 $\frac{|G|}{2}$ .若要使 $|F_{1}| = |G|$ ，只需 $\cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}$ ，此时 $\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{3}$ ，即 $\theta = \frac{2\pi}{3}$

(1) $|G|$ 是定值，要 $|F_1|$ 最小就要 $\cos\dfrac\theta2$ 最大。 在 $\dfrac\theta2\in\left[0,\dfrac\pi2\right)$ 上余弦的最大值在左端点取到， 即 $\cos\dfrac\theta2=1$、$\theta=0$，此时

$|F_1|_{\min}=\frac{|G|}{2}$

这个结果的物理意思很直白：两只手都竖直向上提，每只手正好分担一半重量。 再想省力是不可能的，因为两只手加起来必须扛住整个重力。

(2) 能。令 $\dfrac{|G|}{2\cos\frac\theta2}=|G|$，得 $\cos\dfrac\theta2=\dfrac12$， 于是 $\dfrac\theta2=\dfrac\pi3$，即 $\theta=\dfrac{2\pi}3$。 也就是说，两臂张到 $120^\circ$ 时，每只手用的力已经等于包的全部重量， 再张开还要更大。这是”夹角越大越费力”最有冲击力的一个数据点。

二、例 4：航程最短怎么翻译成向量条件

例 4 如图 6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度 $d=500\ m$ ，一艘船从河岸边的 A 地出发，向河对岸航行。已知船的速度 $v_{1}$ 的大小为 $\left|v_{1}\right|=10\ km/h$ ，水流速度 $v_{2}$ 的大小为 $\left|v_{2}\right|=2\ km/h$ ，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到 0.1 min）？

分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的。考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度 v 必须垂直于河岸。

整道题的难点全在”分析”这一句：航程最短，等价于实际走的路线垂直于河岸， 也就等价于合速度 $v$ 垂直于河岸。船头指的方向是 $v_1$， 船实际走的方向却是 $v=v_1+v_2$，要垂直河岸的是后者，不是前者。

解：设点 B 是河对岸一点，AB 与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着 AB 方向行驶时，船的航程最短.

如图6.4-7，设 $\pmb {v} = \pmb{v}_1 + \pmb{v}_2$ ，则

$\mid \boldsymbol {v} \mid = \sqrt {\mid \boldsymbol {v} _ {1} \mid^ {2} - \mid \boldsymbol {v} _ {2} \mid^ {2}} = \sqrt {9 6} (\mathrm{km/h}).$

根号里为什么是减法，这一步最容易错。把三个向量摆成一个三角形： $v_2$ 沿河岸，$v$ 垂直河岸，$v_1=v-v_2$ 把它们连起来。 直角夹在 $v$ 与 $v_2$ 之间， 所以 $v_1$ 是这个直角三角形的斜边，于是

$|v_1|^2=|v|^2+|v_2|^2\ \Longrightarrow\ |v|=\sqrt{|v_1|^2-|v_2|^2}=\sqrt{100-4}=\sqrt{96}$

写成加法，就是把 $v_1$ 当成了直角边，那对应的是”船头垂直河岸”的另一种开法。

此时，船的航行时间

$t = \frac {d}{| \boldsymbol {v} |} = \frac {0 . 5}{\sqrt {9 6}} \times 6 0 \approx 3. 1 (\mathrm{min}).$

所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要 3.1 min.

式子里的 $0.5$ 和那个 $\times 60$ 是两次单位换算： 河宽 $500\ \mathrm{m}$ 要先化成 $0.5\ \mathrm{km}$，才能和 $\mathrm{km/h}$ 相除； 除完得到的是小时，再乘 $60$ 化成分钟。两处只要漏一处，答案就差着量级。

附带一个课本没算、但值得算的对照

“航程最短”和”用时最短”在有水流时不是同一件事。本题问的是航程最短，答案 $3.1\ \mathrm{min}$。 若改问用时最短，就该让船头 $v_1$ 直接垂直河岸—— 这时垂直于河岸的速度分量是满的 $10\ \mathrm{km/h}$：

$t_{\min}=\frac{0.5}{10}\ \mathrm{h}=0.05\ \mathrm{h}=3\ \mathrm{min}$

比 $3.1\ \mathrm{min}$ 还快，代价是船被水冲下去一段，实际航程变成

$\sqrt{100+4}\times 0.05\approx 0.51\ \mathrm{km}>0.5\ \mathrm{km}$

静水时两个”最短”重合，一旦有水流就分家了，读题要看清问的是哪一个。

三、顺带把”功”复习一遍

本节练习第 1 题考的不是合成，而是 §6.2.4 学过的数量积： 常力 $F$ 使物体产生位移 $s$，所做的功是

$W=F\cdot s=|F|\,|s|\cos\theta$

这里有三件事要记住：功是数量积，算出来是一个实数，不是向量； $\theta$ 是 $F$ 与 $s$ 的夹角，不是 $F$ 与水平方向的夹角； $\theta$ 为钝角时 $W<0$，表示这个力做的是负功。 题目给了坐标时最省事，直接用 §6.3.5 的坐标公式

$W=F\cdot s=x_1x_2+y_1y_2$

连夹角都不必求。

四、常见错法

• 把 $|v|=\sqrt{|v_1|^2-|v_2|^2}$ 写成加法。$v_1$ 是斜边不是直角边， 判断依据是”直角夹在 $v$ 与 $v_2$ 之间”。
• 把航程最短当成用时最短。上面已经算过，两者答案不同、路线也不同。
• 忘了把河宽 $500\ \mathrm{m}$ 化成 $0.5\ \mathrm{km}$ 就直接相除。
• 把 $|F_1|=\dfrac{|G|}{2\cos\frac\theta2}$ 套在两个拉力不相等的情形上。 这个公式的前提就是那句”不妨设”，靠的是菱形对角线平分内角。
• 把 $\theta$ 的取值范围写成闭区间。$\theta=\pi$ 时合力为零、托不住重物， 这个端点在物理上取不到。
• 算功时忘了结果是实数。$W$ 不是向量，而且力与位移成钝角时它是负的。

本目录下两页各带一组题：

• page-0047（印刷第 40 页）的页首是 §6.4.1「练习」第 3 题—— 第 1、2 题的题干排在上一页，归上一目录，本页只留下了第 2 题的插图；
• page-0048（印刷第 41 页）是 §6.4.2 自己的「练习」三道。

共 4 道。后三道全是物理题，套路完全一致：

先把每一个力或速度写成向量，再用平衡条件（合力为零）或合成条件（合速度等于向量和）列式，最后落到数量积或余弦定理上去算。

§6.4.1 练习（第 40 页）第 3 题

3. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $O$ 是 $BC$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交直线 $AB$，$AC$ 于不同的两点 $M$，$N$。设 $AB = mAM$，$AC = nAN$，求 $m + n$ 的值。

先看清题面说的是”直线 $AB$，直线 $AC$“，不是线段。图里 $M$ 就落在 $AB$ 的延长线上、 落在三角形外面，$N$ 才在线段 $AC$ 上。所以 $m$、$n$ 未必都大于 $1$， 下面的推导也不能依赖 $M$、$N$ 的具体位置。

第一步：把 $\overrightarrow{AO}$ 用 $\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AN}$ 表示

设 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol b$，它们不共线。 $O$ 是 $BC$ 的中点，所以

$\overrightarrow{AO}=\frac12\left(\boldsymbol a+\boldsymbol b\right)$

由 $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}$ 直接代入：

$\overrightarrow{AO}=\frac12\left(m\overrightarrow{AM}+n\overrightarrow{AN}\right)=\frac m2\overrightarrow{AM}+\frac n2\overrightarrow{AN}$

（顺带说明 $m\neq 0$、$n\neq 0$：若 $m=0$ 则 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol 0$，与 $A$、$B$ 是三角形的两个顶点矛盾。）

第二步：用 $M$、$O$、$N$ 共线逼出系数关系

$M$、$O$、$N$ 在同一条直线上，所以存在实数 $t$ 使 $\overrightarrow{MO}=t\overrightarrow{MN}$，即

$\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AM}=t\left(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}\right)$

整理得

$\overrightarrow{AO}=(1-t)\overrightarrow{AM}+t\,\overrightarrow{AN}$

关键的一句是：这样的表示只有一种。$\overrightarrow{AM}$ 与 $\boldsymbol a$ 共线、 $\overrightarrow{AN}$ 与 $\boldsymbol b$ 共线，而 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 不共线， 所以 $\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AN}$ 也不共线，$\{\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}\}$ 是一组基底。由平面向量基本定理，同一个 $\overrightarrow{AO}$ 在这组基底下的系数是唯一的：

$\frac m2=1-t,\qquad \frac n2=t$

第三步：相加

两式相加，$t$ 自己消掉：

$\frac m2+\frac n2=1\ \Longrightarrow\ \boxed{m+n=2}$

验算

取 $A(0,0)$、$B(1,0)$、$C(0,1)$，则 $O\left(\frac12,\frac12\right)$。 设 $M(\mu,0)$ 在直线 $AB$ 上，直线 $MO$ 与 $y$ 轴（即直线 $AC$）交于 $N\left(0,\dfrac{\mu}{2\mu-1}\right)$。于是

$m=\frac1\mu,\qquad n=\frac{2\mu-1}{\mu},\qquad m+n=\frac{1+2\mu-1}{\mu}=2$

对任意 $\mu$ 都是 $2$，与 $M$ 落在线段内还是延长线上无关。 图里 $M$ 在 $B$ 外侧对应 $\mu>1$，此时 $m\in(0,1)$、$n\in(1,2)$，和图形吻合。

这道题的通法值得单独记住：直线上一点用两个端点表示时，系数之和为 $1$。 以后见到”过某定点的直线交两边于 $M$、$N$，求系数关系”， 一律先把定点向量用 $\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AN}$ 表示，再让系数和等于 $1$。

练习（第 41 页）第 1 题

1. 一物体在力 $\pmb{F}$ 的作用下，由点 $A(20, 15)$ 移动到点 $B(7, 0)$. 已知 $\pmb{F} = (4, -5)$，求 $\pmb{F}$ 对该物体所做的功.

位移向量就是 $\overrightarrow{AB}$，用终点坐标减起点坐标：

$\overrightarrow{AB}=(7-20,\ 0-15)=(-13,\ -15)$

功是力与位移的数量积，按 §6.3.5 的坐标公式算：

$W=\boldsymbol F\cdot\overrightarrow{AB}=4\times(-13)+(-5)\times(-15)=-52+75=23$

所以 $\boldsymbol F$ 对该物体所做的功是 $23$。 若力以 $\mathrm N$、位移以 $\mathrm m$ 为单位，即 $W=23\ \mathrm J$。

两处容易丢分的地方：一是位移必须是 $\overrightarrow{AB}$ 而不是 $\overrightarrow{BA}$， 方向反了功就变成 $-23$；二是不要去求夹角再乘余弦， 有坐标时坐标公式一步到位，绕道求 $\cos\theta$ 只会引进近似误差。

顺带一验：$W>0$ 说明 $\boldsymbol F$ 与位移成锐角，这个力在做正功。

练习（第 41 页）第 2 题

2. 如图，一滑轮组中有两个定滑轮 A，B，在从连接点 O 出发的三根绳的端点处，挂着 3 个重物，它们所受的重力分别为 4 N，4 N 和 $4\sqrt{3}$ N. 此时整个系统恰处于平衡状态，求 $\angle AOB$ 的大小.

先把三根绳的拉力写清楚

定滑轮只改变绳中拉力的方向，不改变它的大小——这是把”某侧挂着 $4\ \mathrm N$ 的重物” 翻译成”这根绳对 $O$ 的拉力大小是 $4\ \mathrm N$“的唯一依据，必须写出来。于是作用在 $O$ 上的三个力是：

• 沿 $OA$ 方向、大小 $4\ \mathrm N$ 的拉力 $\boldsymbol F_A$；
• 沿 $OB$ 方向、大小 $4\ \mathrm N$ 的拉力 $\boldsymbol F_B$；
• 竖直向下、大小 $4\sqrt3\ \mathrm N$ 的重力 $\boldsymbol G$（第三个重物直接挂在 $O$ 的正下方）。

列平衡方程

系统平衡即三力之和为零：

$$\boldsymbol F_A+\boldsymbol F_B+\boldsymbol G=\boldsymbol 0 \ \Longrightarrow\ \left|\boldsymbol F_A+\boldsymbol F_B\right|=\left|\boldsymbol G\right|=4\sqrt3$$

设 $\angle AOB=\theta$，两边平方并展开：

$\left|\boldsymbol F_A+\boldsymbol F_B\right|^2=4^2+4^2+2\times4\times4\cos\theta=32+32\cos\theta$

$32+32\cos\theta=\left(4\sqrt3\right)^2=48\ \Longrightarrow\ \cos\theta=\frac12$

因为 $\theta\in(0,\pi)$，所以

$\boxed{\angle AOB=60^\circ}$

换一条路核对

$\left|\boldsymbol F_A\right|=\left|\boldsymbol F_B\right|$，所以合力沿 $\angle AOB$ 的平分线， 而合力必须竖直向上，于是两根绳各与竖直方向成 $\dfrac\theta2$。把竖直分量加起来：

$$2\times 4\cos\frac\theta2=4\sqrt3\ \Longrightarrow\ \cos\frac\theta2=\frac{\sqrt3}{2} \ \Longrightarrow\ \frac\theta2=30^\circ$$

同样得到 $\theta=60^\circ$。这条路和例 3 里 $|F_1|=\dfrac{|G|}{2\cos\frac\theta2}$ 是同一个式子， 只是这里已知力反求角。

练习（第 41 页）第 3 题

3. 若平面上的三个力 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $F_{3}$ 作用于一点，且处于平衡状态．已知 $\left|F_{1}\right|=1\ N,\left|F_{2}\right|=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\ N,\ F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ，求：

(1) $F_{3}$ 的大小;

(2) $F_{3}$ 与 $F_{1}$ 夹角的大小.

(1) $\boldsymbol F_3$ 的大小

三力平衡，所以 $\boldsymbol F_3=-\left(\boldsymbol F_1+\boldsymbol F_2\right)$， 两者大小相同。先算数量积：

$$\boldsymbol F_1\cdot\boldsymbol F_2=1\times\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\times\cos45^\circ =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\times\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2\sqrt3+2}{4}=\frac{\sqrt3+1}{2}$$

再算 $\left|\boldsymbol F_2\right|^2$：

$\left|\boldsymbol F_2\right|^2=\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{8+4\sqrt3}{4}=2+\sqrt3$

于是

$$\left|\boldsymbol F_1+\boldsymbol F_2\right|^2 =\left|\boldsymbol F_1\right|^2+2\,\boldsymbol F_1\cdot\boldsymbol F_2+\left|\boldsymbol F_2\right|^2 =1+\left(\sqrt3+1\right)+\left(2+\sqrt3\right)=4+2\sqrt3$$

注意 $4+2\sqrt3=\left(\sqrt3+1\right)^2$，开方得

$\left|\boldsymbol F_3\right|=\left|\boldsymbol F_1+\boldsymbol F_2\right|=\sqrt3+1\ (\mathrm N)\approx 2.7\ \mathrm N$

$4+2\sqrt3$ 能配成完全平方，是这道题的数字设计。 遇到 $a+2\sqrt b$ 先试着凑 $\left(\sqrt x+\sqrt y\right)^2$，凑得上就不必留着根号里的根号。

(2) $\boldsymbol F_3$ 与 $\boldsymbol F_1$ 夹角的大小

建系最省事。取 $\boldsymbol F_1$ 的方向为 $x$ 轴正方向：

$$\boldsymbol F_1=(1,\ 0),\qquad \boldsymbol F_2=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\left(\cos45^\circ,\ \sin45^\circ\right) =\left(\frac{\sqrt3+1}{2},\ \frac{\sqrt3+1}{2}\right)$$

相加再取相反向量：

$$\boldsymbol F_1+\boldsymbol F_2=\left(\frac{3+\sqrt3}{2},\ \frac{\sqrt3+1}{2}\right),\qquad \boldsymbol F_3=\left(-\frac{3+\sqrt3}{2},\ -\frac{\sqrt3+1}{2}\right)$$

设 $\boldsymbol F_3$ 与 $\boldsymbol F_1$ 的夹角为 $\varphi$：

$$\cos\varphi=\frac{\boldsymbol F_3\cdot\boldsymbol F_1}{\left|\boldsymbol F_3\right|\left|\boldsymbol F_1\right|} =\frac{-\dfrac{3+\sqrt3}{2}}{\sqrt3+1} =\frac{-\dfrac{\sqrt3\left(\sqrt3+1\right)}{2}}{\sqrt3+1}=-\frac{\sqrt3}{2}$$

因为 $\varphi\in[0^\circ,180^\circ]$，所以

$\boxed{\varphi=150^\circ}$

两个自检

其一，用方向角复核。 $\boldsymbol F_1+\boldsymbol F_2$ 的方向角 $\alpha$ 满足

$\tan\alpha=\frac{(\sqrt3+1)/2}{(3+\sqrt3)/2}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3\left(\sqrt3+1\right)}=\frac{1}{\sqrt3}$

所以 $\alpha=30^\circ$；$\boldsymbol F_3$ 与它反向，与 $\boldsymbol F_1$ 的夹角就是 $180^\circ-30^\circ=150^\circ$，与上面一致。

其二，三个夹角之和应为 $360^\circ$。 三个力两两之间的夹角是 $45^\circ$、$150^\circ$ 和 $165^\circ$（$\boldsymbol F_2$ 在 $45^\circ$、$\boldsymbol F_3$ 在 $210^\circ$， 两者相差 $165^\circ$），

$45^\circ+150^\circ+165^\circ=360^\circ$

三个共点力平衡时首尾相接成一个封闭三角形，这个和必然是 $360^\circ$， 算完顺手加一下，角度算错立刻能看出来。