6.4.2 向量在物理中的应用举例

文字转写

3. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $O$ 是 $BC$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交直线 $AB$，$AC$ 于不同的两点 $M$，$N$。设 $AB = mAM$，$AC = nAN$，求 $m + n$ 的值。

6.4.2 向量在物理中的应用举例

下面，我们再来感受一下向量在物理中的应用.

例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？

分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释.

解：先来看共提旅行包的情况. 如图 6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，为方便起见，我们不妨设 $\left|F_{1}\right|=\left|F_{2}\right|$ . 另设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的夹角为 $\theta$ ，旅行包所受的重力为 G.

由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道

$| \boldsymbol {F} _ {1} | = \frac {| \boldsymbol {G} |}{2 \cos \frac {\theta}{2}}.$

这里， $|\pmb{G}|$ 为定值.分析上面的式子，我们发现，当 $\theta$ 由0逐渐变大到$\pi$ 时， $\frac{\theta}{2}$ 由0逐渐变大到 $\frac{\pi}{2}$ ， $\cos \frac{\theta}{2}$ 的值由大逐渐变小，此时 $|\pmb{F}_1|$ 由小

图6.4-5

逐渐变大；反之，当 $\theta$ 由 $\pi$ 逐渐变小到0时，$\frac{\theta}{2}$ 由 $\frac{\pi}{2}$ 逐渐变小到0，$\cos \frac{\theta}{2}$ 的值由小逐渐变大，此时 $|F_1|$ 由大逐渐变小。这就是说，$F_1, F_2$ 之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力。

同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.

探究

(1) 当 $\theta$ 为何值时， $\left|F_{1}\right|$ 最小？最小值是多少？

(2) $|F_{1}|$ 能等于 $|G|$ 吗？为什么？

事实上，要使 $|F_{1}|$ 最小，只需 $\cos \frac{\theta}{2}$ 最大，此时 $\cos \frac{\theta}{2} = 1$ ，可得 $\theta = 0$ .于是 $|F_{1}|$ 的最小值为 $\frac{|G|}{2}$ .若要使 $|F_{1}| = |G|$ ，只需 $\cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}$ ，此时 $\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{3}$ ，即 $\theta = \frac{2\pi}{3}$

例 4 如图 6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度 $d=500\ m$ ，一艘船从河岸边的 A 地出发，向河对岸航行。已知船的速度 $v_{1}$ 的大小为 $\left|v_{1}\right|=10\ km/h$ ，水流速度 $v_{2}$ 的大小为 $\left|v_{2}\right|=2\ km/h$ ，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到 0.1 min）？

分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的。考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度 v 必须垂直于河岸。

图6.4-6

解：设点 B 是河对岸一点，AB 与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着 AB 方向行驶时，船的航程最短.

如图6.4-7，设 $\pmb {v} = \pmb{v}_1 + \pmb{v}_2$ ，则

$\mid \boldsymbol {v} \mid = \sqrt {\mid \boldsymbol {v} _ {1} \mid^ {2} - \mid \boldsymbol {v} _ {2} \mid^ {2}} = \sqrt {9 6} (\mathrm{km/h}).$

此时，船的航行时间

$t = \frac {d}{| \boldsymbol {v} |} = \frac {0 . 5}{\sqrt {9 6}} \times 6 0 \approx 3. 1 (\mathrm{min}).$

所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要 3.1 min.

练习

1. 一物体在力 $\pmb{F}$ 的作用下，由点 $A(20, 15)$ 移动到点 $B(7, 0)$. 已知 $\pmb{F} = (4, -5)$，求 $\pmb{F}$ 对该物体所做的功.

2. 如图，一滑轮组中有两个定滑轮 A，B，在从连接点 O 出发的三根绳的端点处，挂着 3 个重物，它们所受的重力分别为 4 N，4 N 和 $4\sqrt{3}$ N. 此时整个系统恰处于平衡状态，求 $\angle AOB$ 的大小.

3. 若平面上的三个力 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $F_{3}$ 作用于一点，且处于平衡状态．已知 $\left|F_{1}\right|=1\ N,\left|F_{2}\right|=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\ N,\ F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ，求：

(1) $F_{3}$ 的大小;

(2) $F_{3}$ 与 $F_{1}$ 夹角的大小.