6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量基本定理说的是”任意向量都能拆成两个不共线向量的组合”， 但它没说该挑哪两个。本节挑定一种：互相垂直的一对。 挑定之后，向量就能写成一对数——坐标——从这里起，向量运算可以变成实数运算。

一、正交分解：在无穷多种分解里挑一种

给定平面内两个不共线的向量 $e_1$ ， $e_2$ ，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量 $a$ ，均可分解为两个向量 $\lambda_1e_1$ ， $\lambda_2e_2$ ，即 $a = \lambda_1e_1 + \lambda_2e_2$ ，其中向量 $\lambda_1e_1$ 与 $e_1$ 共线，向

量 $\lambda_{2}e_{2}$ 与 $e_{2}$ 共线.

基本定理只说了存在且唯一，没说该选谁。同一个 $a$，换一组基底 $\{e_1,e_2\}$ 就换一对系数 $\lambda_1,\lambda_2$，分解方式要多少有多少。既然都行，就挑最好算的那种。

不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 叫做把向量作正交分解. 如图 6.3-7, 重力 $G$ 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解. 正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形.

“正交”就是互相垂直。垂直好算，有两条具体理由：

• 两个系数能各算各的。$e_1\perp e_2$ 时 $e_1\cdot e_2=0$， 拿 $a=\lambda_1e_1+\lambda_2e_2$ 去点乘 $e_1$，第二项整项消失， $\lambda_1$ 就被单独解了出来。基底不垂直时，两个系数是纠缠在一起的。
• 长度能直接用勾股定理。两个分量垂直时 $|a|^2=|\lambda_1e_1|^2+|\lambda_2e_2|^2$， 不必再带 $\cos\theta$ 的交叉项。

物理原型：斜面上的重力

重力 G 可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力 $F_{1}$ ，垂直于斜面的压力 $F_{2}$ .

这个例子不是装饰，它说明正交分解常常是被问题本身逼出来的： 木块会不会下滑，只取决于沿斜面的那个分力；斜面被压得多狠，只取决于垂直斜面的那个分力。 两个方向各管一件事，互不干扰——这就是”垂直”的好处在物理里的样子。 换一组不垂直的方向去分解，两个分力都会同时牵扯下滑和压紧两件事，反而算不清。

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来方便.

二、取 $\{i,j\}$ 作基底，向量就有了坐标

我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？

这个”思考”问的就是本节的全部内容。点能用一对有序实数表示，靠的是坐标系； 向量要照办，就得先在坐标系里挑一组基底。挑哪一组？坐标系已经把答案摆好了—— $x$ 轴与 $y$ 轴本来就互相垂直。

如图 6.3-8，在平面直角坐标系中，设与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，取 $\{i, j\}$ 作为基底。对于平面内的任意一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得

$\boldsymbol {a} = x \boldsymbol {i} + y \boldsymbol {j}.$

$i$ 和 $j$ 身上有两个约定，缺一不可：

• 方向：分别与 $x$ 轴、$y$ 轴的正方向相同；
• 长度：都等于 $1$，即它们是单位向量。

长度这一条最容易被漏掉，但正是它定下了坐标的刻度。若把 $j$ 换成 $2j$， 同一个向量的第二个坐标就得减半。基底一换，坐标就换，坐标从来不是向量自带的属性。

这样，平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 a 的坐标，记作

其中，x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，①叫做向量 a 的坐标表示.

“有且只有一对”这句话是坐标能成立的全部依据。 “有”保证每个向量都写得出坐标，“只有一对”保证这对数不会有歧义—— 同一个向量不可能既记作 $(2,3)$ 又记作 $(1,5)$。两句都出自平面向量基本定理， 本节没有添加任何新前提，只是把定理换了个写法。

显然， $i=(1,0)$ ， $j=(0,1)$ ， $\mathbf{0}=(0,0)$ .

这三条建议自己验一遍：$i=1\cdot i+0\cdot j$，所以 $i$ 的坐标是 $(1,0)$； $j=0\cdot i+1\cdot j$，坐标是 $(0,1)$；零向量 $0\cdot i+0\cdot j$，坐标是 $(0,0)$。 基底向量在自己这套坐标里总是长这样，这不是巧合，是定义的直接结果。

三、向量的坐标与点的坐标

如图 6.3-9，在直角坐标平面中，以原点 O 为起点作 $\overrightarrow{OA}=a$ ，则点 A 的位置由向量 a 唯一确定.

设 $\overrightarrow{OA}=xi+yj$ ，则向量 $\overrightarrow{OA}$ 的坐标 $(x,y)$ 就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标 $(x,y)$ 也就是向量 $\overrightarrow{OA}$ 的坐标。因为 $\overrightarrow{OA}=a$ ，所以终点A的坐标 $(x,y)$ 就是向量a的坐标。这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系。

这一段建立的是本章后面天天要用的一个换算：

$\overrightarrow{OA}=(x,y)\iff A\ \text{的坐标是}\ (x,y)\qquad(O\ \text{为坐标原点})$

但括号里那个条件不能丢。向量是自由的，平移不改变它；点却是钉死在平面上的。 只有当起点恰好取在原点时，“向量的坐标”和”终点的坐标”才是同一对数。 那么起点不在原点的 $\overrightarrow{AB}$ 怎么求坐标？把它平移到原点去—— 这正是下一节 $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1)$ 的来路。

为什么这一小步值得单独占一节

到这里，向量的”形”已经被完整地翻译成了”数”，翻译表如下：

翻译一旦建立，加法、数乘、数量积以及平行与垂直的判定，就都能落到实数的加减乘除上去做， 不必再一笔一笔画图。后面三节（§6.3.3—§6.3.5）全部是在兑现这张表。

四、常见错法

• 以为正交分解是唯一的分解。它只是”两个基向量互相垂直”这一种情形； 基本定理允许的分解有无穷多组，正交分解胜在好算，不胜在唯一。
• 只记 $i$、$j$ 的方向，忘了它们是单位向量。没有长度约定，坐标就没有刻度可言。
• 把起点不在原点的向量的坐标当成终点坐标。$\overrightarrow{AB}$ 的坐标不是 $B$ 的坐标， 除非 $A$ 恰好就是原点。
• 把向量的坐标 $(x,y)$ 直接当成点。记号一样，含义不同：点不能相加，向量可以。 教材那句话说的是”建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系”，是联系，不是等同。
• 在斜坐标系里套用后面几节的坐标公式。那些公式全部以互相垂直的单位向量 $\{i,j\}$ 为基底推出，换了基底就不成立。

本目录下的 page-0034（印刷第 27 页）上印着 §6.3.1 平面向量基本定理那一节的「练习」三道， §6.3.2 自己的正文从同一页下半页起排，练习则排到了下一小节的页面上。按页归属， 这三道题的解答收在这里。

三道题的共同套路只有一句：把所有要表示的向量都还原成”两个已知向量的首尾相接或作差”， 而这正是平面向量基本定理在具体图形里的用法。

练习（第 27 页）第 1 题

1. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线， $\overrightarrow{CA}=a$ ， $\overrightarrow{CB}=b$ 。用 a，b 表示 $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AD}$ ， $\overrightarrow{BE}$ ， $\overrightarrow{CF}$ 。

读图先把三个中点认准：$AD$、$BE$、$CF$ 是中线，所以 $D$ 是 $BC$ 的中点， $E$ 是 $CA$ 的中点，$F$ 是 $AB$ 的中点。已知的两个向量都从 $C$ 出发， 所以每一问都先设法把待求向量拆成从 $C$ 出发的两段。

$\overrightarrow{AB}$

起点相同的两个向量作差，差向量从减向量的终点指向被减向量的终点：

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\boldsymbol b-\boldsymbol a$

$\overrightarrow{AD}$

$D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $\overrightarrow{CD}=\frac12\overrightarrow{CB}=\frac12\boldsymbol b$，于是

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=-\boldsymbol a+\frac12\boldsymbol b$

$\overrightarrow{BE}$

$E$ 是 $CA$ 的中点，所以 $\overrightarrow{CE}=\frac12\overrightarrow{CA}=\frac12\boldsymbol a$，于是

$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\frac12\boldsymbol a-\boldsymbol b$

$\overrightarrow{CF}$

$F$ 是 $AB$ 的中点，可以用中线的中点公式一步写出：

$\overrightarrow{CF}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=\frac12\boldsymbol a+\frac12\boldsymbol b$

也可以沿 $C\to A\to F$ 走一遍验证：

$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\frac12\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a+\frac12(\boldsymbol b-\boldsymbol a)=\frac12\boldsymbol a+\frac12\boldsymbol b$

答案与自检

四个结果放在一起有一条现成的自检：把三条中线向量加起来，

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\left(-1+\tfrac12+\tfrac12\right)\boldsymbol a+\left(\tfrac12-1+\tfrac12\right)\boldsymbol b=\boldsymbol 0$

和为零向量，说明三条中线向量首尾相接能拼成一个封闭三角形。 这条结论对任意三角形都成立，算完顺手加一下，四个系数错一个就露馅。

练习（第 27 页）第 2 题

2. 如图，平行四边形 $ABCD$ 的两条对角线相交于点 $O$，$\overrightarrow{AB} = a$，$\overrightarrow{AD} = b$，点 $E$，$F$ 分别是 $OA$，$OC$ 的中点，$G$ 是 $CD$ 的三等分点（$DG = \frac{1}{3}CD$）.

(1) 用 a, b 表示 $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{FB}$ , $\overrightarrow{OG}$ ;

(2) 能由 (1) 得出 DE, BF 的关系吗?

先把 $O$、$E$、$F$、$G$ 四个点统一用 $\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$ 定位， 一律以 $A$ 为起点，后面三个小问就只剩作差：

• $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol b$， 由平行四边形法则 $\overrightarrow{AC}=\boldsymbol a+\boldsymbol b$；
• $O$ 是对角线交点，也就是 $AC$ 的中点，所以 $\overrightarrow{AO}=\frac12(\boldsymbol a+\boldsymbol b)$；
• $E$ 是 $OA$ 的中点，所以 $\overrightarrow{AE}=\frac12\overrightarrow{AO}=\frac14(\boldsymbol a+\boldsymbol b)$；
• $F$ 是 $OC$ 的中点，所以 $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AO}+\frac12\overrightarrow{OC}=\frac34(\boldsymbol a+\boldsymbol b)$；
• $G$ 在 $DC$ 上且 $DG=\frac13 DC$，而 $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a$， 所以 $\overrightarrow{AG}=\boldsymbol b+\frac13\boldsymbol a$。

(1) 三个向量

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac14(\boldsymbol a+\boldsymbol b)-\boldsymbol b=\frac14\boldsymbol a-\frac34\boldsymbol b$

$\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AF}=\boldsymbol a-\frac34(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=\frac14\boldsymbol a-\frac34\boldsymbol b$

$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AO}=\left(\frac13\boldsymbol a+\boldsymbol b\right)-\frac12(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=-\frac16\boldsymbol a+\frac12\boldsymbol b$

(2) $DE$ 与 $BF$ 的关系

能。(1) 里前两个结果一模一样：

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{FB}=\frac14\boldsymbol a-\frac34\boldsymbol b$

两个向量相等，就意味着它们方向相同、长度相等，于是

$DE\ \parallel\ BF,\qquad |DE|=|BF|$

换成 $\overrightarrow{BF}$ 来说是 $\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{BF}$，即两者平行、等长、方向相反。 几何上等价于四边形 $DEBF$ 是平行四边形：它的两条对角线是 $DB$ 与 $EF$，

$\text{$EF$ 的中点}=\frac12\left(\tfrac14+\tfrac34\right)(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=\frac12(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=\text{$DB$ 的中点}$

两条对角线互相平分，正是平行四边形。回头看图，$D\to E$ 与 $F\to B$ 两支箭头同向等长， 和算出来的结论对得上。

这道题真正想训练的不是答案，是”先定位、再作差”这个顺序。 如果一上来就盯着 $\overrightarrow{DE}$ 去凑，很难看出它和 $\overrightarrow{FB}$ 有关系； 把四个点都写成以 $A$ 为起点的向量之后，关系是自己浮出来的。

练习（第 27 页）第 3 题

3. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD = \frac{1}{4} AB$，点 $E$，$F$ 分别是 $AC$，$BC$ 的中点。设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{b}$。

(1) 用 a, b 表示 $\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{EF}$ .

(2) 如果 $\angle A = 60^{\circ}$ ，AB = 2AC，CD，EF 有什么关系？用向量方法证明你的结论.

(1) 两个向量

$D$ 在 $AB$ 上且 $\overrightarrow{AD}=\frac14\boldsymbol a$，所以

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\frac14\boldsymbol a-\boldsymbol b$

$E$、$F$ 分别是 $AC$、$BC$ 的中点，$EF$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线：

$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\frac12(\boldsymbol a+\boldsymbol b)-\frac12\boldsymbol b=\frac12\boldsymbol a$

$\overrightarrow{EF}=\frac12\boldsymbol a$ 这个结果本身就是中位线定理的向量版： $EF$ 与 $AB$ 同向，长度是 $AB$ 的一半。

(2) 加上 $\angle A=60^\circ$、$AB=2AC$ 之后

结论是 $CD\perp EF$。 证明只需算一个数量积。设 $|AC|=m$，则

$|\boldsymbol b|=m,\qquad |\boldsymbol a|=2m,\qquad \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=2m\cdot m\cdot\cos 60^\circ=m^2$

于是

$\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{EF}=\left(\frac14\boldsymbol a-\boldsymbol b\right)\cdot\frac12\boldsymbol a=\frac18|\boldsymbol a|^2-\frac12\,\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$

$=\frac18\cdot 4m^2-\frac12 m^2=\frac12 m^2-\frac12 m^2=0$

数量积为零且两个向量都不是零向量，所以 $CD\perp EF$。

顺手把长度也算出来，免得答成”垂直且相等”：

$|\overrightarrow{EF}|=\frac12|\boldsymbol a|=m$

$|\overrightarrow{CD}|^2=\frac1{16}|\boldsymbol a|^2-\frac12\,\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2=\frac14m^2-\frac12m^2+m^2=\frac34m^2$

所以 $|CD|=\frac{\sqrt3}{2}m\neq |EF|$，两者只是垂直，并不相等。

这个条件组合背后是一个很整齐的图形

题目为什么偏偏给 $\angle A=60^\circ$ 和 $AB=2AC$？把 $BC$ 算出来就清楚了：

$|\overrightarrow{BC}|^2=|\boldsymbol b-\boldsymbol a|^2=4m^2-2m^2+m^2=3m^2$

于是 $|BC|=\sqrt3\,m$，而

$|AC|^2+|BC|^2=m^2+3m^2=4m^2=|AB|^2$

所以 $\triangle ABC$ 是以 $C$ 为直角顶点的直角三角形。 又因为 $EF$ 是中位线、 与 $AB$ 平行，所以"$CD\perp EF$"就等价于"$CD\perp AB$"，也就是说 $D$ 应当是斜边上高的垂足。 验一验：直角三角形里射影定理给出

$AD=\frac{AC^2}{AB}=\frac{m^2}{2m}=\frac m2=\frac14 AB$

正好是题目给的 $D$ 的位置。

题设里的三个条件是配套设计出来的，$\frac14$ 这个系数不是随便取的。 图里 $CD$ 画成竖直、$EF$ 画成水平，也正是在提示这一点。