6.3 平面向量基本定理及坐标表示

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6.3 平面向量基本定理及坐标表示

上节我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？

6.3.1 平面向量基本定理

我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。如图6.3-1，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力 $F$ 分解为多组大小、方向不同的分力。

由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量 a 分解为两个向量，使向量 a 是这两个向量的和呢？

探究

如图6.3-2（1），设 $e_1$ ， $e_2$ 是同一平面内两个不共线的向量， $\pmb{a}$ 是这一平面内与$e_1$ ， $e_2$ 都不共线的向量.如图6.3-2（2），在平面内任取一点 $O$ ，作 $\overrightarrow{OA} = e_1$ ， \overrightarrow{OB} =$$e_2 ， $\overrightarrow{OC} = a$ .将 $\pmb{a}$ 按 $e_1$ ， $e_2$ 的方向分解，你有什么发现？

如图6.3-3，过点 $C$ 作平行于直线 $OB$ 的直线，与直线 $OA$ 交于点 $M$；过点 $C$ 作平行于直线 $OA$ 的直线，与直线 $OB$ 交于点 $N$，则 $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}$。由 $\overrightarrow{OM}$ 与 $\boldsymbol{e}_1$ 共线，$\overrightarrow{ON}$ 与 $\boldsymbol{e}_2$ 共线可得，存在实数 $\lambda_1, \lambda_2$，使得 $\overrightarrow{OM} = \lambda_1\boldsymbol{e}_1$，$\overrightarrow{ON} = \lambda_2\boldsymbol{e}_2$，所以 $\boldsymbol{a} = \lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2$。也就是说，与 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$ 都不共线的向量 $\boldsymbol{a}$ 都可以表示成 $\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2$ 的形式。

当 $a$ 是与 $e_1$ 或 $e_2$ 共线的非零向量时，$a$ 也可以表示成 $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$ 的形式；当 $a$ 是零向量时，$a$ 同样可以表示成 $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$ 的形式。（为什么？）

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利用信息技术工具，可以动态地展示 $a = \lambda_1e_1 + \lambda_2e_2$

上述讨论表明，平面内任一向量 $a$ 都可以按 $e_1$，$e_2$ 的方向分解，表示成 $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$ 的形式，而且这种表示形式是唯一的。事实上，如果 $a$ 还可以表示成 $\mu_1 e_1 + \mu_2 e_2$ 的形式，那么 $\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 = \mu_1 e_1 + \mu_2 e_2$。可得 $(\lambda_1 - \mu_1) e_1 + (\lambda_2 - \mu_2) e_2 = 0$。由此式可以推出 $\lambda_1 - \mu_1$，$\lambda_2 - \mu_2$ 全为 0（假设 $\lambda_1 - \mu_1$，$\lambda_2 - \mu_2$ 不全为 0，不妨假设 $\lambda_1 - \mu_1 \neq 0$，则 $e_1 = -\frac{\lambda_2 - \mu_2}{\lambda_1 - \mu_1} e_2$。由此可得 $e_1$，$e_2$ 共线。这与已知 $e_1$，$e_2$ 不共线矛盾），即 $\lambda_1 = \mu_1$，$\lambda_2 = \mu_2$。也就是说，有且只有一对实数 $\lambda_1$，$\lambda_2$，使 $a = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$。

综上，我们得到如下定理：

平面向量基本定理 如果 $e_1, e_2$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 $a$，有且只有一对实数 $\lambda_1, \lambda_2$，使

$a = \lambda_ {1} e _ {1} + \lambda_ {2} e _ {2}.$

若 $e_1, e_2$ 不共线，我们把 $\{e_1, e_2\}$ 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）. 由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便.

例 1 如图 6.3-4, $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ 不共线，且 $\overrightarrow{AP} = t \overrightarrow{AB}$ ( $t \in R$ ), 用 $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ 表示 $\overrightarrow{OP}$ .

解：因为 $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$ ,

所以 \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{AP}$$= \overrightarrow{OA} +t\overrightarrow{AB}$$= \overrightarrow{OA} +t(\overrightarrow{OB} -\overrightarrow{OA})$$= \overrightarrow{OA} +t\overrightarrow{OB} -t\overrightarrow{OA}$$= (1 - t)\overrightarrow{OA} +t\overrightarrow{OB}.

图6.3-4

观察 \overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+$$t\overrightarrow{OB} ，你有什么发现？

例 2 如图 6.3-5, CD 是 $\triangle ABC$ 的中线, $CD = \frac{1}{2} AB$ , 用向量方法证明 $\triangle ABC$ 是直角三角形.

分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示. 本题可取 $\{\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DA}\}$ 为基底，用它表示 $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$. 证明 $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$，可得 $\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}$，从而证得 $\triangle ABC$ 是