6.2.3 向量的数乘运算

文字转写

2. 填空： $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=$ ____ ; $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=$ ____ ; $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=$ ____ ; $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=$ ____ ; $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=$ ____ .

3. 作图验证： $-(a+b)=-a-b.$

6.2.3 向量的数乘运算

探究

已知非零向量 $a$ ，作出 $a + a + a$ 和 $(-a) + (-a) + (-a)$ .它们的长度和方向分别是怎样的？

如图6.2-14，$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = a + a + a$。类比数的乘法，我们把 $a + a + a$ 记作 $3a$，即 $\overrightarrow{OC} = 3a$。显然 $3a$ 的方向与 $a$ 的方向相同，$3a$ 的长度是 $a$ 的长度的3倍，即 $|3a| = 3|a|$。

类似地，由图6.2-14可知， $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{MN}=(-a)+(-a)+(-a)$ ，我们把 $(-a)+(-a)+(-a)$ 记作-3a，即 $\overrightarrow{PN}=-3a$ 。显然-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即 $|-3a|=3|a|$ 。

图 6.2-14

一般地，我们规定实数 $\lambda$ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（scalar multiplication of vectors），记作 $\lambda a$ ，它的长度与方向规定如下：

(1) $|\lambda a| = |\lambda ||a|$;

(2) 当 $\lambda > 0$ 时， $\lambda a$ 的方向与 a 的方向相同；当 $\lambda < 0$ 时， $\lambda a$ 的方向与 a 的方向相反.

?

由（1）可知，当 $\lambda=0$ 时， $\lambda a=0$ .

你对零向量、相反向量有什么新的认识？

由（1）（2）可知， $(-1)a=-a$ .

思考

如果把非零向量 $a$ 的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量 $\pmb{b}$，向量 $\pmb{b}$ 该如何表示？向量 $a, b$ 之间的关系怎样？

根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的.设 $\lambda,\mu$ 为实数，那么

(1) $\lambda (\mu \pmb {a}) = (\lambda \mu)\pmb {a}$;

(2) $(\lambda + \mu)\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{a} + \mu \boldsymbol{a}$;

(3) $\lambda (\pmb {a} + \pmb {b}) = \lambda \pmb {a} + \lambda \pmb{b}$.

你能证明这些运算律吗？

特别地，我们有

$\begin{array}{c} {(- \lambda) a = - (\lambda a) = \lambda (- a),} \\ {\lambda (a - b) = \lambda a - \lambda b.} \end{array}$

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量 $a, b$，以及任意实数 $\lambda, \mu_1, \mu_2$，恒有

$\lambda (\mu_ {1} \boldsymbol {a} \pm \mu_ {2} \boldsymbol {b}) = \lambda \mu_ {1} \boldsymbol {a} \pm \lambda \mu_ {2} \boldsymbol {b}.$

例 5 计算:

(1) $(-3) \times 4a$; (2) $3(a + b) - 2(a - b) - a$;

(3) $(2a+3b-c)-(3a-2b+c)$ .

解：（1）原式 $= (-3 \times 4)a = -12a$；

(2) 原式 $=3a+3b-2a+2b-a=5b$ ;

(3) 原式 = 2a + 3b - c - 3a + 2b - c$$= -a + 5b - 2c.

例 6 如图 6.2-15，☐ABCD 的两条对角线相交于点 M，且 $\overrightarrow{AB}=a$ ， $\overrightarrow{AD}=b$ ，用 a，b 表示 $\overrightarrow{MA}$ ， $\overrightarrow{MB}$ ， $\overrightarrow{MC}$ 和 $\overrightarrow{MD}$ .

解：在□ABCD中，

$\overrightarrow {A C} = \overrightarrow {A B} + \overrightarrow {A D} = a + b,$

$\overrightarrow {D B} = \overrightarrow {A B} - \overrightarrow {A D} = a - b.$

图 6.2-15

由平行四边形的两条对角线互相平分，得

$\overrightarrow {M A} = - \frac {1}{2} \overrightarrow {A C} = - \frac {1}{2} (\boldsymbol {a} + \boldsymbol {b}) = - \frac {1}{2} \boldsymbol {a} - \frac {1}{2} \boldsymbol {b},$

$\overrightarrow {M B} = \frac {1}{2} \overrightarrow {D B} = \frac {1}{2} (\boldsymbol {a} - \boldsymbol {b}) = \frac {1}{2} \boldsymbol {a} - \frac {1}{2} \boldsymbol {b},$

$\overrightarrow {M C} = \frac {1}{2} \overrightarrow {A C} = \frac {1}{2} \boldsymbol {a} + \frac {1}{2} \boldsymbol {b},$

$\overrightarrow {M D} = - \frac {1}{2} \overrightarrow {D B} = - \frac {1}{2} \boldsymbol {a} + \frac {1}{2} \boldsymbol {b}.$

练习

1. 任画一向量 e，分别求作向量 a=4e，b=-4e.

2. 点 C 在线段 AB 上，且 $\frac{AC}{CB} = \frac{5}{2}$ ，则 $\overrightarrow{AC} =$ ____ $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{BC} =$ ____ $\overrightarrow{AB}$ .

3. 把下列各小题中的向量 b 表示为实数与向量 a 的积:

(1) $a = 3e, b = 6e$; (2) $a = 8e, b = -14e$;

(3) $a=-\frac{2}{3}e,\quad b=\frac{1}{3}e;$

(4) $a = -\frac{3}{4} e, b = -\frac{2}{3} e.$

探究

引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？

可以发现，实数与向量的积与原向量共线.

事实上，对于向量 $a$ （$a \neq 0$），$b$，如果有一个实数 $\lambda$，使 $b = \lambda a$，那么由向量数乘的定义可知 $a$ 与 $b$ 共线.

反过来，已知向量 $a$ 与 $b$ 共线，且向量 $b$ 的长度是向量 $a$ 的长度的 $\mu$ 倍，即 $|b| = \mu |a|$，那么当 $a$ 与 $b$ 同方向时，有 $b = \mu a$；当 $a$ 与 $b$ 反方向时，有 $b = -\mu a$。

综上，我们有如下定理：

向量 $a$ （$a \neq 0$）与 $b$ 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 $\lambda$，使 $b = \lambda a$.

根据这一定理，设非零向量 a 位于直线 l 上，那么对于直线 l 上的任意一个向量 b，都存在唯一的一个实数 $\lambda$ ，使 $b = \lambda a$ 。也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。

例 7 如图 6.2-16，已知任意两个非零向量 a，b，试作 $\overrightarrow{OA}=a+b,\overrightarrow{OB}=a+2b,\overrightarrow{OC}=a+3b$ 。猜想 A，B，C 三点之间的位置关系，并证明你的猜想。

分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上。在本题中，应用向量知识判断 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点是否共线，可以通过判断向量 \overrightarrow{AC}$$\overrightarrow{AB} 是否共线，即是否存在 $\lambda$ ，使 $\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}$ 成立。

解：分别作向量 $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，过点 $A$，$C$ 作直线 $AC$（图6.2-17）。观察发现，不论向量 $a$，$b$ 怎样变化，点 $B$ 始终在直线 $AC$ 上，猜想 $A$，$B$，$C$ 三点共线。

事实上，因为

$\begin{array}{l} \overrightarrow {A B} = \overrightarrow {O B} - \overrightarrow {O A} = a + 2 b - (a + b) = b, \\ \overrightarrow {A C} = \overrightarrow {O C} - \overrightarrow {O A} = a + 3 b - (a + b) = 2 b, \end{array}$

所以 $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}.$

因此，A，B，C三点共线.

图 6.2-17

例8 已知 $a, b$ 是两个不共线的向量，向量 $b - ta$，$\frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 共线，求实数 $t$ 的值.

解：由 $a$ ， $b$ 不共线，易知向量 $\frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 为非零向量.由向量 $b - ta$ ， $\frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 共线，可知存在实数 $\lambda$ ，使得

$\boldsymbol {b} - t \boldsymbol {a} = \lambda \left(\frac {1}{2} \boldsymbol {a} - \frac {3}{2} \boldsymbol {b}\right),$

即

$(t + \frac {1}{2} \lambda) \boldsymbol {a} = (\frac {3}{2} \lambda + 1) \boldsymbol {b}.$

由 a, b 不共线，必有 $t + \frac{1}{2}\lambda = \frac{3}{2}\lambda + 1 = 0$ . 否则，不妨设 $t + \frac{1}{2}\lambda \neq 0$ ，则 $a = \frac{\frac{3}{2}\lambda + 1}{t + \frac{1}{2}\lambda}b$ . 由两个向量共线的充要条件知，a, b 共线，与已知矛盾.

由 $\left\{\begin{aligned}t+\frac{1}{2}\lambda=0,\\ \frac{3}{2}\lambda+1=0,\end{aligned}\right.$ 解得 $t=\frac{1}{3}.$

因此，当向量 $b - ta$ ， $\frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 共线时， $t = \frac{1}{3}$

练习

1. 判断下列各小题中的向量 $a$ 与 $b$ 是否共线：

(1) $a = -2e, b = 2e$; (2) $a = e_1 - e_2, b = -2e_1 + 2e_2$.

2. 化简： (1) $5(3a-2b)+4(2b-3a)$ ; (2) $\frac{1}{3}(a-2b)-\frac{1}{4}(3a-2b)-\frac{1}{2}(a-b)$ ;

(3) $(x + y)\boldsymbol{a} - (x - y)\boldsymbol{a}$.

3. 已知 $e_1, e_2$ 是两个不共线的向量，$a = e_1 - 2e_2, b = 2e_1 + ke_2$. 若 $a$ 与 $b$ 是共线向量，求实数 $k$ 的值.