6.2.2 向量的减法运算

上一节定义了向量的加法。按数的运算的路子，下一步就是减法。

在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”。类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？

答案是”减法定义成加相反向量”——和数的做法一字不差。 本节的全部内容就是把这句话落实成定义、几何意义和作图方法。

一、相反向量

与数 $x$ 的相反数是 $-x$ 类似，我们规定，与向量 $a$ 长度相等，方向相反的向量，叫做 $a$ 的相反向量，记作 $-a$。由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此 $a$ 和 $-a$ 互为相反向量，于是

$- (- a) = a.$

我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.

由两个向量和的定义易知

$a + (- a) = (- a) + a = 0,$

即任意向量与其相反向量的和是零向量. 这样，如果 a，b 互为相反向量，那么

$a = - b, b = - a, a + b = 0.$

三处要点：

• “长度相等、方向相反”两条缺一不可。 只说方向相反的是”反向向量”， 长度也要相等才叫相反向量。
• 零向量的相反向量是零向量，这是规定。 零向量没有确定的方向， “方向相反”这句话对它没有意义，所以只能规定。 规定成 $-0=0$ 之后，$0+(-0)=0$ 仍然成立，与一般情形不冲突。
• $a+b=0$ 与 $a=-b$ 是同一件事的两种写法。 判断两个向量是否互为相反向量，验哪一个都行。

二、减法的定义

向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即

$a - b = a + (- b).$

求两个向量差的运算叫做向量的减法.

我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

这一句是本节的骨架：减法不是新运算，是加法的一个特例。 所有加法的性质（交换律、结合律、三角形不等式）都能通过它转成减法的性质， 不必另起炉灶。

三、减法的几何意义

向量减法的几何意义是什么？

如图 6.2-10，设 $\overrightarrow{OA}=a$ ， $\overrightarrow{OB}=b$ ， $\overrightarrow{OD}=-b$ ，连接 AB，由向量减法的定义知

$a - b = a + (- b) = \overrightarrow {O A} + \overrightarrow {O D} = \overrightarrow {O C}.$

在四边形 $OCAB$ 中，$OB \perp CA$，所以 $OCAB$ 是平行四边形. 所以

$\overrightarrow {B A} = \overrightarrow {O C} = a - b.$

转写这里有一处符号错误，要当心。 引文里的"$OB \perp CA$"是转写把课本的 ”$OB$ 平行且等于 $CA$“（一个 $\parallel$ 底下加一横的符号）误认成了垂直号 $\perp$。 从上下文就能判定：由”垂直”推不出平行四边形， 能推出平行四边形的是一组对边平行且相等。核对本目录的扫描图 page-0018.png 可确认。

由此，我们得到 a-b 的作图方法.

如图 6.2-11，已知向量 a，b，在平面内任取一点 O，作$\overrightarrow{OA}=a,\ \overrightarrow{OB}=b$ ，则 $\overrightarrow{BA}=a-b$ 。即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。

把这条几何意义记牢，本节的题就做完了一大半：

共起点，从减向量（$b$）的终点，指向被减向量（$a$）的终点。

为什么必须”共起点”：$\overrightarrow{BA}=a-b$ 这个结论是在 $\overrightarrow{OA}=a$、 $\overrightarrow{OB}=b$ 的前提下得到的。两个向量若不共起点，先平移到共起点再连。

一个立刻能用的推论：对任意三点 $O$、$A$、$B$，

$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$

看字母就能写答案：两个向量的起点字母相同（都是 $O$）， 差就是”从后一个的终点字母指向前一个的终点字母”。 练习第 $2$ 题五个空全靠这一条。

四、思考：两个追问

(1) 在图 6.2-11 中，如果从 a 的终点到 b 的终点作向量，那么所得向量是什么？

答：所得向量是 $\overrightarrow{AB}=b-a$。

按几何意义，$\overrightarrow{AB}$ 是从 $a$ 的终点 $A$ 指向 $b$ 的终点 $B$， 由上面的推论（把 $a$、$b$ 的角色对调）即得 $b-a$。

它与 $a-b$ 互为相反向量：$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$， 即 $b-a=-(a-b)$。同一条线段，箭头指哪边，答案就差一个负号—— 这是本节最高频的失分点。

(2) 如果改变图 6.2-11 中向量 a 的方向，使 $a \parallel b$ ，怎样作出 a - b 呢？

答：作法完全一样，仍然是”共起点、从 $b$ 的终点指向 $a$ 的终点”， 只是这时三点共线，“平行四边形”退化了，图上看不出四边形来。分两种：

• $a$、$b$ 同向：设 $\overrightarrow{OA}=a$、$\overrightarrow{OB}=b$ 在同一条射线上。 $a-b=\overrightarrow{BA}$。若 $|a|>|b|$，它与 $a$ 同向，长度 $|a|-|b|$； 若 $|a|<|b|$，它与 $a$ 反向，长度 $|b|-|a|$；若 $|a|=|b|$，则 $a-b=0$。
• $a$、$b$ 反向：$A$、$B$ 在 $O$ 的两侧，$a-b=\overrightarrow{BA}$ 与 $a$ 同向， 长度 $|a|+|b|$。

共线情形的意义：它说明”从 $b$ 的终点指向 $a$ 的终点”这条法则是普适的， 不依赖于能不能画出平行四边形。

五、例 3：作 $a-b$ 与 $c-d$

例 3 如图 6.2-12（1），已知向量 a，b，c，d，求作向量 a-b，c-d.

作法：如图6.2-12（2），在平面内任取一点 $O$ ，作 $\overrightarrow{OA} = a$ ， $\overrightarrow{OB} = b$ ， $\overrightarrow{OC} = c$ ， $\overrightarrow{OD} = d$ .则

$\begin{array}{l} \overrightarrow {B A} = a - b, \\ \overrightarrow {D C} = c - d. \end{array}$

作法只有三步，且对任意摆放的两个向量都适用：

1. 任取一点 $O$；
2. 把被减向量与减向量都平移到以 $O$ 为起点；
3. 从减向量的终点连到被减向量的终点。

注意 $\overrightarrow{DC}=c-d$ 的字母顺序：$D$ 是 $d$ 的终点（减向量）， $C$ 是 $c$ 的终点（被减向量），箭头从 $D$ 指向 $C$。顺序反了就成了 $d-c$。

六、例 4：平行四边形的两条对角线

例 4 如图 6.2-13，在☐ABCD 中， $\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AD}=b$ ，你能用 a，b 表示向量 $\overrightarrow{AC}$ ， $\overrightarrow{DB}$ 吗？

解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道

$\overrightarrow {A C} = \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b}.$

同样，由向量的减法，知

$\overrightarrow {D B} = \overrightarrow {A B} - \overrightarrow {A D} = a - b.$

这道例题给出一个必须背下来的结论：

在 $\square ABCD$ 中，若 $\overrightarrow{AB}=a$、$\overrightarrow{AD}=b$，则 $\overrightarrow{AC}=a+b$（和在一条对角线上），$\overrightarrow{DB}=a-b$（差在另一条对角线上）。

两条对角线，一条是和、一条是差——这是平行四边形法则的完整图景。 上一节只讲了”和”那一半。

差那一条对角线的方向要认准：$\overrightarrow{DB}=a-b$， 而 $\overrightarrow{BD}=b-a$。箭头从”减向量的终点”$D$ 指向”被减向量的终点”$B$， 与几何意义完全一致（$\overrightarrow{AB}=a$ 的终点是 $B$，$\overrightarrow{AD}=b$ 的终点是 $D$， 两者共起点 $A$）。

顺带记一个常用的模长关系：

$|a+b|^{2}+|a-b|^{2}=2\bigl(|a|^{2}+|b|^{2}\bigr)$

即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。 这条在 §6.3 学了数量积之后可以直接展开验证，现在先记住它的几何来源。

七、常见错法

• 把 $a-b$ 的箭头指反。 几何意义是从 $b$ 的终点指向 $a$ 的终点。 记不住就回到定义：$a-b=a+(-b)$，用三角形法则重作一遍。
• 不共起点就直接连。 两个向量摆得七零八落时， 必须先平移到同一起点，”$b$ 的终点到 $a$ 的终点”才有意义。
• 只说”方向相反”就断定是相反向量。 还要长度相等。
• 认为共线时作不出差。 共线只是让平行四边形退化，法则照用。
• 把 $\overrightarrow{DB}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 混用。 例 4 里 $\overrightarrow{DB}=a-b$，$\overrightarrow{BD}=b-a$，差一个负号。
• 把课本的”平行且相等”读成”垂直”。 见上面第三节的说明， 这是转写的符号错误，不是课本的原意。

本节页面（page-0018—page-0019，印刷第 11—12 页）上能逐字引到题面的课本习题只有 1 道： 「练习」第 1 题的题干印在第 12 页页末，它的四个小图和第 2、3 题都排到了第 13 页， 按页归属收在 §6.2.3 的习题详解里。

练习（第 12 页）第 1 题

1. 如下页图，在各小题中，已知 $a, b$，分别求作 $a - b$.

题干里”如下页图”三个字说明了图不在本页。 四个小图按 §6.2.3 目录下的扫描图 page-0020.png 录出：

通用作法（四小题都用它）

由本节的几何意义：

任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=a$、$\overrightarrow{OB}=b$（共起点）， 则 $\overrightarrow{BA}=a-b$。

三步：平移到共起点 $\to$ 找出两个终点 $A$、$B$ $\to$ 从 $B$ 连到 $A$。

也可以用定义作：先作 $-b$（与 $b$ 等长反向），再按三角形法则作 $a+(-b)$。 两法结果相同，前者省一步。

四小题的结果

(1) $a\perp b$，且 $a$ 的终点接 $b$ 的起点。

先把 $b$ 平移，使它与 $a$ 共起点 $O$。设 $\overrightarrow{OA}=a$（竖直向下）、 $\overrightarrow{OB}=b$（水平向右），则 $\overrightarrow{BA}=a-b$，方向指向左下方。

因为 $OA\perp OB$，在 $\mathrm{Rt}\triangle OAB$ 中由勾股定理

$|a-b|=|BA|=\sqrt{|a|^{2}+|b|^{2}}$

这一小题最容易出错的地方：图上 $a$ 的终点已经是 $b$ 的起点，看起来”现成”—— 但那是加法（三角形法则）的摆法，直接连起点到终点得到的是 $a+b$，不是 $a-b$。 作差必须先平移成共起点。

(2) $a$、$b$ 不共线。

两条线段虽然交叉，但交点既不是起点也不是终点，必须平移。 平移到共起点 $O$ 后，$\overrightarrow{BA}=a-b$， 它是以 $a$、$b$ 为邻边的平行四边形的另一条对角线（指向 $a$ 的终点那一侧）。

(3) $a$、$b$ 共线反向。

平移到共起点 $O$ 后，$A$、$B$ 分居 $O$ 的两侧。$a-b=\overrightarrow{BA}$，

• 方向与 $a$ 相同（$-b$ 与 $a$ 同向，两个同向向量相加仍同向）；
• 长度 $|a-b|=|a|+|b|$。

注意这里长度是”相加”。 反向相减，量会变大—— 这与”相减就变小”的直觉相反，是本小题设置的意义。

(4) $a$、$b$ 共线同向，$\lvert a\rvert>\lvert b\rvert$。

平移到共起点 $O$ 后，$A$、$B$ 在 $O$ 的同一侧，且 $B$ 在 $O$ 与 $A$ 之间。 $a-b=\overrightarrow{BA}$，

• 方向与 $a$ 相同；
• 长度 $|a-b|=|a|-|b|$。

若图上改成 $\lvert a\rvert<\lvert b\rvert$，方向就要反过来（与 $a$ 反向）， 长度是 $|b|-|a|$；$\lvert a\rvert=\lvert b\rvert$ 时 $a-b=0$。 同向相减必须比长度，这是与 (3) 的根本区别。

四小题合起来在练什么

一条法则打通四种摆法。 不论 $a$、$b$ 是垂直、交叉，还是共线同向、共线反向， 作 $a-b$ 的动作完全一样：共起点，从 $b$ 的终点连到 $a$ 的终点。

共线的两小题 (3)(4) 是本题的重点—— 这时平行四边形退化成一条直线，图上看不出四边形，很多人就不会作了。 退化的是图形，不是法则。

最后核一遍长度，四小题分别是

$\sqrt{|a|^{2}+|b|^{2}},\qquad \text{（无特殊关系，须用余弦定理）},\qquad |a|+|b|,\qquad |a|-|b|$

它们都落在通用范围 $\bigl||a|-|b|\bigr|\leqslant|a-b|\leqslant|a|+|b|$ 之内 ✓， 且 (3) 取到右端点、(4) 取到左端点——共线正是两个端点被取到的情形。