6.2.2 向量的减法运算

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6.2.2 向量的减法运算

思考

在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”。类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？

与数 $x$ 的相反数是 $-x$ 类似，我们规定，与向量 $a$ 长度相等，方向相反的向量，叫做 $a$ 的相反向量，记作 $-a$。由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此 $a$ 和 $-a$ 互为相反向量，于是

$- (- a) = a.$

我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.

由两个向量和的定义易知

$a + (- a) = (- a) + a = 0,$

即任意向量与其相反向量的和是零向量. 这样，如果 a，b 互为相反向量，那么

$a = - b, b = - a, a + b = 0.$

向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即

$a - b = a + (- b).$

求两个向量差的运算叫做向量的减法.

我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

探究

向量减法的几何意义是什么？

如图 6.2-10，设 $\overrightarrow{OA}=a$ ， $\overrightarrow{OB}=b$ ， $\overrightarrow{OD}=-b$ ，连接 AB，由向量减法的定义知

$a - b = a + (- b) = \overrightarrow {O A} + \overrightarrow {O D} = \overrightarrow {O C}.$

在四边形 $OCAB$ 中，$OB \perp CA$，所以 $OCAB$ 是平行四边形. 所以

$\overrightarrow {B A} = \overrightarrow {O C} = a - b.$

由此，我们得到 a-b 的作图方法.

图 6.2-10

如图 6.2-11，已知向量 a，b，在平面内任取一点 O，作$\overrightarrow{OA}=a,\ \overrightarrow{OB}=b$ ，则 $\overrightarrow{BA}=a-b$ 。即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。

思考

(1) 在图 6.2-11 中，如果从 a 的终点到 b 的终点作向量，那么所得向量是什么？

(2) 如果改变图 6.2-11 中向量 a 的方向，使 $a \parallel b$ ，怎样作出 a - b 呢？

例 3 如图 6.2-12（1），已知向量 a，b，c，d，求作向量 a-b，c-d.

作法：如图6.2-12（2），在平面内任取一点 $O$ ，作 $\overrightarrow{OA} = a$ ， $\overrightarrow{OB} = b$ ， $\overrightarrow{OC} = c$ ， $\overrightarrow{OD} = d$ .则

$\begin{array}{l} \overrightarrow {B A} = a - b, \\ \overrightarrow {D C} = c - d. \end{array}$

例 4 如图 6.2-13，在☐ABCD 中， $\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AD}=b$ ，你能用 a，b 表示向量 $\overrightarrow{AC}$ ， $\overrightarrow{DB}$ 吗？

解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道

$\overrightarrow {A C} = \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b}.$

同样，由向量的减法，知

$\overrightarrow {D B} = \overrightarrow {A B} - \overrightarrow {A D} = a - b.$

图6.2-13

练习

1. 如下页图，在各小题中，已知 $a, b$，分别求作 $a - b$.