6.2 平面向量的运算

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6.2 平面向量的运算

我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷. 那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算. 本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用.

下面先学习向量的加法.

6.2.1 向量的加法运算

我们知道，位移、力是向量，它们可以合成. 能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？

思考

如图6.2-1，某质点从点 $A$ 经过点 $B$ 到点 $C$ ，这个质点的位移如何表示？

物理知识告诉我们，这个质点两次位移 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$ 的结果，与从点 $A$ 直接到点 $C$ 的位移 $\overrightarrow{AC}$ 结果相同。因此，位移 $\overrightarrow{AC}$ 可以看作位移 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 合成的。数的加法启发我们，从运算的角度看，$\overrightarrow{AC}$ 可以看作 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的和，即位移的合成可以看作向量的加法。

如图 6.2-2，已知非零向量 a，b，在平面内取任意一点 A，作 $\overrightarrow{AB}=a$ ， $\overrightarrow{BC}=b$ ，则向量 $\overrightarrow{AC}$ 叫做 a 与 b 的和，记作 $a+b$ ，即 $a+b=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。

我们再来看力的合成问题.

思考

如图6.2-3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的作用，你能作出这个物体所受的合力 $\pmb{F}$ 吗？

我们知道，合力 $\pmb{F}$ 在以 $OA$ ， $OB$ 为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.从运算的角度看， $\pmb{F}$ 可以看作 $\pmb{F}_1$ 与 $\pmb{F}_2$ 的和，即力的合成可以看作向量的加法.

如图 6.2-4，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b，以 OA，OB 为邻边作 □OACB，则以 O 为起点的向量 $\overrightarrow{OC}$ （OC 是 □OACB 的对角线）就是向量 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。

思考

向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？

对于零向量与任意向量 a，我们规定

$a + 0 = 0 + a = a.$

例 1 如图 6.2-5，已知向量 a，b，求作向量 $a+b$ .

作法1：在平面内任取一点 $O$ （图6.2-6（1）），作 $\overrightarrow{OA} = a$ ， $\overrightarrow{AB} = b$ .则 $\overrightarrow{OB} = a + b$

作法2：在平面内任取一点 $O$ （图6.2-6（2）），作 $\overrightarrow{OA} = a$ ， $\overrightarrow{OB} = b$ ．以 $OA$ ， $OB$ 为邻边作 $\square OACB$ ，连接 $OC$ ，则 $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} = a + b$

探究

（1）如果向量 $a$ ， $b$ 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量$a + b$ 吗？

(2) 结合例 1，探索 $\left|a+b\right|$ ， $\left|a\right|$ ， $\left|b\right|$ 之间的关系.

一般地，我们有

$\left| a + b \right| \leqslant \left| a \right| + \left| b \right|,$

当且仅当 a，b 方向相同时等号成立.

根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算.

探究

数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？

如图6.2-7（1），作 $\overrightarrow{AB} = a$ ， $\overrightarrow{AD} = b$ ，以 $AB$ ， $AD$ 为邻边作 $\square ABCD$ ，容易发现$\overrightarrow{BC} = b$ ， $\overrightarrow{DC} = a$ ，故 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} = a + b.$ 又 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{DC} = b + a$ ，所以 $a + b = b + a$

由图 6.2-7（2），你能否验证

$(a + b) + c = a + (b + c)?$

综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.

例 2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图 6.2-8，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h.

（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；

（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到 $1^{\circ}$ ）.

解：（1）如图6.2-9. $\overrightarrow{AD}$ 表示船速，$\overrightarrow{AB}$ 表示江水速度，以 $AD$，$AB$ 为邻边作 $\square ABCD$，则 $\overrightarrow{AC}$ 表示船实际航行的速度.

(2) 在Rt△ABC中， $|\overrightarrow{AB}|=6$ ， $|\overrightarrow{BC}|=15$ ，于是

$\left| \overrightarrow {A C} \right| = \sqrt {\left| \overrightarrow {A B} \right| ^ {2} + \left| \overrightarrow {B C} \right| ^ {2}} = \sqrt {6 ^ {2} + 1 5 ^ {2}} = \sqrt {2 6 1} \approx 1 6. 2.$

因为 $\tan\angle CAB=\frac{|\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{5}{2}$ ，所以利用计算工具可得 $\angle CAB\approx68^{\circ}$ .

图 6.2-9

因此，船实际航行速度的大小约为 $16.2 \, km/h$ ，方向与江水速度间的夹角约为 $68^{\circ}$ .

练习

1. 如图，在下列各小题中，已知向量 $a, b$，分别用两种方法求作向量 $a + b$.

(1)

(2)

(3)

(4)

(第1题)

2. 当向量 a, b 满足什么条件时， $|a+b|=|a|-|b|$ （或 $|b|-|a|$ ）?

3. 根据图示填空：

4. 根据图示填空： (1) $a + b =$ ____； (2) $c + d =$ ____； (3) $a + b + d =$ ____； (4) $c + d + e =$ ____。

4. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 在 CD 上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打 “√”，错误的打 “×”）. (1) $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DP} = \overrightarrow{PA}.$ ( ) (2) $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{DP}.$ ( ) (3) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{PA}.$ ( )

5. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河。小船航行速度的大小为 $15 \, km/h$ ，方向为北偏西 $30^{\circ}$ ，河水的速度为向东 $7.5 \, km/h$ ，求小船实际航行速度的大小与方向。