文字转写

（2）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？4. 分别举出一个生活中概率很小和很大的例子.

10.3.2 随机模拟

用频率估计概率，需要做大量的重复试验。有没有其他方法可以替代试验呢？

我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数。实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了。

例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合 $\{0, 1\}$ 的随机数，用 0 表示反面朝上，用 1 表示正面朝上。这样不断产生 0, 1 两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验。

又如，一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别。对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的随机数，用1，2表示红球，用3，4，5表示白球。这样不断产生1～5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验。

表 10.3-3 是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中 n 为试验次数， $n_{A}$ 为摸到红球的频数， $f_{n}(A)$ 为摸到红球的频率.

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随机数与伪随机数

例如我们要产生0~9之间的随机整数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数。计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质。因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数。

画出频率折线图（图 10.3-2），从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率 0.4.

我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法.

例 3 从你所在班级任意选出 6 名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月、二月……十二月是等可能的。设事件 A = “至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟 20 次，估计事件 A 发生的概率。

解：方法 1 根据假设，每个人的出生月份在 12 个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察 6 个人的出生月份可以看成可重复试验.

● ●

蒙特卡洛方法是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的，它的奠基人是冯·诺伊曼（John von Neumann）。这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生物、生态学、社会学以及经济行为等领域中都得到了广泛的应用。

因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为 1, 2, …, 12 的 12 个球，这些球除编号外没有什么差别。有放回地随机从袋中摸 6 次球，得到 6 个数代表 6 个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验。如果这 6 个数中至少有 2 个相同，表示事件 A 发生了。重复以上模拟试验 20 次，就可以统计出事件 A 发生的频率。

方法2 利用电子表格软件模拟试验. 在A1, B1, C1, D1, E1, F1单元格分别输入“=RANDBETWEEN（1，12）”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验. 选中A1, B1, C1, D1, E1, F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验. 统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.

表 10.3-4 是 20 次模拟试验的结果. 事件 A 发生了 14 次, 事件 A 的概率估计值为 0.70, 与事件 A 的概率（约 0.78）相差不大.

例 4 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛。假设每局比赛甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4。利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率。

分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是 $2:0$ 或 $2:1$. 显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同。每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果。

解：设事件 $A =$ “甲获得冠军”，事件 $B =$ “单局比赛甲胜”，则 $P(B) = 0.6$。用计算器或计算机产生 $1 \sim 5$ 之间的随机数，当出现随机数 1，2 或 3 时，表示一局比赛甲获胜，其概率为 0.6。由于要比赛 3 局，所以每 3 个随机数为一组。例如，产生 20 组随机数：

423 123 423 344 114 453 525 332 152 342

534 443 512 541 125 432 334 151 314 354

相当于做了20次重复试验. 其中事件 $A$ 发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用频率估计事件 $A$ 的概率近似为 $\frac{13}{20} = 0.65$.

● ●

用随机模拟的方法得到的是20次试验中事件A发生的频率，它是概率的近似值.事件A的概率的精确值为0.648.

练习

1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，设事件 $A =$ “恰好两次正面朝上”，

(1) 直接计算事件 A 的概率;

（2）利用计算器或计算机模拟试验80次，计算事件 $A$ 发生的频率.

2. 盒子中仅有 4 个白球和 5 个黑球，从中任意取出一个球.

(1) “取出的球是黄球” 是什么事件？它的概率是多少？

(2) “取出的球是白球” 是什么事件？它的概率是多少？

(3) “取出的球是白球或黑球” 是什么事件？它的概率是多少？

（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率.

3.（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率；

（2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率；

(3) 所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？

习题 10.3

复习巩固

1. 在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内。被注射前，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染。根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率：

(1) 圆形细胞；

(2) 椭圆形细胞；

(3) 不规则形状细胞.

2. 用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记 1，2，3，4。重复抛掷这个四面体 100 次，记录每个面落在桌面上的次数（如下表）。如果再抛掷一次，请估计标记 3 的面落在桌面上的概率。

3. 在英语中不同字母出现的频率相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定。有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示：

（1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率；

(2) 将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较, 结果是否比较接近? 你认为存在差异的原因是什么.

4. 人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab. 其中a和b是显性基因，i是隐性基因.

一对夫妻的血型一个是 A 型，一个是 B 型，请确定他们的子女的血型是 O，A，B 或 AB 型的概率，并填写下表：

综合运用

5. “用事件 A 发生的频率 $f_{n}(A)$ 估计概率 $P(A)$ ，重复试验次数 n 越大，估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明.

6. 在一个袋子中放 6 个白球，4 个红球，摇匀后随机摸球 3 次，采用放回和不放回两种方式摸球. 设事件 $A_{i} =$ “第 i 次摸到红球”，i = 1, 2, 3.

（1）在两种摸球方式下分别猜想事件 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 发生的概率的大小关系；

(2) 重复做 10 次试验，求事件 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 发生的频率，并填入下表.

（3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率 $f_{10}(A_3)$ 差别大吗？在不放回摸球方式下，事件 $A_1$， $A_2$， $A_3$ 的频率差别大吗？请说明原因.

? 阅读与思考

孟德尔遗传规律

奥地利遗传学家孟德尔在 1858—1865 年的 8 年间做了大量豌豆杂交试验。他把子叶为黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获的豌豆的子叶都是黄色的；第二年，当他把第一年收获的子叶为黄色的豌豆再种下时，收获的豌豆的子叶颜色既有黄色也有绿色。同样地，他把圆粒和皱粒豌豆杂交，第一年收获的都是圆粒豌豆；第二年，当他把这种杂交圆粒豌豆再种下时，收获的却既有圆粒豌豆，又有皱粒豌豆。试验的具体数据如下：

孟德尔(G.J.Mendel，1822—1884)

为什么表面完全相同的豌豆会长出这样不同的后代呢？而且每次试验第二年收获的结果比例都接近 $3:1$，非常稳定。孟德尔认为其中一定有某种遗传规律。经过长期坚持不懈的研究，孟德尔终于找到了规律，并提出了一种遗传机理的概率模型。这一发现为近代遗传学奠定了基础，孟德尔本人也成了遗传学的奠基人。

生物的性状是由遗传因子确定的，遗传因子在体细胞内是成对存在的，一个来自父本，一个来自母本，且是随机组合的。用 DD 表示子叶为纯黄色豌豆的一对遗传因子，用 dd 表示子叶为纯绿色豌豆的一对遗传因子。当这两种豌豆杂交时，子一代（第一年收获的豌豆）的遗传因子全部为 Dd。当把子一代杂交豌豆再种下时，子二代（第二年收获的豌豆）同样是从父本和母本各随机地继承一个遗传因子，所以子二代的遗传因子有三种类型：DD，Dd，dd。

对豌豆的颜色来说，D 是显性因子，d 是隐性因子。当显性因子与隐性因子结合时，表现显性因子的性状，即 DD，Dd 都表现为黄色；当两个隐性因子结合时，才表现隐性因子的性状，即 dd 表现为绿色。

由于子代的遗传因子是父本和母本的遗传因子的等可能随机组合，因此在子二代中，DD，dd出现的概率都是0.25，Dd出现的概率是0.5。所以子二代中子叶为黄色的豌豆（DD，Dd）与子叶为绿色的豌豆（dd）的比例大约是3:1。

在孟德尔豌豆试验中，设 $A =$ “在子二代豌豆中随机选择一粒子叶是绿色的豌豆”，则 $A$ 是一个随机事件。孟德尔的试验（试验次数为8023）表明，事件 $A$ 发生的频率约为0.2494。请问：

（1）孟德尔是依据什么猜想事件 $A$ 发生的概率为0.25，从而构造遗传机理概率模型的？

（2）如果对某个随机现象，我们先提出一个理论概率模型，如何对模型的正确性进行验证呢？

感兴趣的同学可以进一步思考，当随机选择子二代豌豆进行杂交时，按照孟德尔遗传规律，子三代豌豆的子叶是绿色的概率是多大？

小结

一、本章知识结构

二、回顾与思考

在自然界和人类社会存在的各种现象中，有些在一定条件下能预知结果，称为确定性现象；有些不能预知结果，称为不确定性现象。我们把在一定条件下不能事先预知结果，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率具有稳定性的现象称为随机现象。概率论是研究随机现象规律性的数学分支。

在本章，我们在明确概率的研究对象的基础上，引进了样本点和有限样本空间的概念，并把随机事件定义为样本空间的子集，再类比集合的关系和运算，研究了随机事件的关系和运算；然后，我们重点研究了古典概型的特征、古典概率的定义及计算，探究了概率的基本性质；接着，利用概率讨论了事件之间的一种特殊关系，即事件的独立性，并利用独立性简化某些概率计算；最后，我们研究了随机事件频率的稳定性，以及用频率估计概率时很实用的随机模拟方法.

在初中的学习中，我们对随机事件、等可能条件下概率的计算以及用频率估计概率已有初步认识。本章我们从随机试验抽象出样本点、样本空间的概念，将随机事件看作样本空间的子集，这是研究概率问题的基础。用样本点表示随机事件是把现实问题转化为数学问题的关键步骤，必须给予充分重视。根据概率的定义，设一个随机试验的样本空间为 $\Omega$ ，对于每个事件 $A \subseteq \Omega$ ，都有唯一确定的实数 $P(A) \in [0, 1]$ 与之对应。由此想到，我们可以类比函数的研究过程和方法来构建概率的研究路径，发现和提出概率中要研究的问题，形成研究方法，得出有关结论。例如，我们可以建立一个表格，通过类比函数的性质，发现和提出概率的性质：

当然，概率的研究对象比函数的研究对象复杂得多，所以在概率的学习中要拓宽思路。例如，我们还可以从事件的关系和运算入手，或者类比长度、面积的性质，发现概率的一些基本性质。

随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，它的发生呈现出规律性。概率是随机事件发生可能性大小的度量。古典概型是最简单的概率模型，可以直接计算相关事件的概率。需要注意的是，只有在试验结果是有限的、每个结果的出现是等可能的特征下，才能定义出古典概型中随机事件发生的概率。在学习中，要注意在理解样本空间、随机事件等概念的基础上，理解随机事件概率的意义；同时，要注意借助古典概型认识样本空间以及随机事件发生的含义。

在现实中，还有大量随机事件不能像古典概型一样直接计算概率，要利用频率来估计。要注意理解频率的特性、概率与频率的关系。随机事件发生的频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率；频率具有随机性，试验次数不同，频率可能不同，即使相同次数的不同试验，频率也可能不同。不过，概率是一个确定的数，与每次试验无关。

与统计的研究一样，概率中也需要进行大数据的处理。本章我们学习了随机模拟方法，利用计算机产生整数随机数、模拟某些随机试验，这不仅能提高数据处理的效率，而且能使我们更好地体会概率的意义。所以，要重视信息技术的作用，尽可能学会用计算工具来处理数据，进行随机模拟。

请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧！

1. 你能举出一些随机现象的例子吗？你会用什么方法了解这个随机现象的规律？

2. 你能举出几个在日常生活中利用概率决策的例子吗？

3. 古典概型有哪些特征？

4. 由概率的基本性质你还能推出概率的其他性质吗？

5. 如果两个事件 $A$ 和 $B$ 独立，那么 $P(AB)$ 与 $P(A), P(B)$ 有什么关系？

6. 重复试验100次一定比重复试验50次得到的频率更接近概率吗？你有办法了解你得到的频率是否接近概率吗？

7. 利用随机模拟得到的计算结果是频率还是概率？

复习参考题 10

复习巩固

1. 在一个盒子中有 3 个球，蓝球、红球、绿球各 1 个，从中随机地取出 1 个球，观察其颜色后放回，然后再随机取出 1 个球.

（1）用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间；

(2) 用集合表示 “第一次取出的是红球” 的事件;

(3) 用集合表示 “两次取出的球颜色相同” 的事件.

如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率：

(1) 这个人的体重减轻了；

(2) 这个人的体重不变;

(3) 这个人的体重增加了.

4. 某中学有教职工 130 人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：

从这 130 名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率：

(1) 学历为 “本科”;

(2) 35 岁及以上；

(3) 35岁以下且学历为“研究生”.

综合运用

5. 一个袋子中有 4 个红球，6 个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出 2 个球.

（1）求第二次取到红球的概率；

(2) 求两次取到的球颜色相同的概率;

（3）如果是4个红球， $n$ 个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$，那么 $n$ 是多少？

6. 有 2 个人在一座 7 层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的.

（1）求这两个人在不同层离开电梯的概率；

(2) 求这两个人在同一层离开电梯的概率.

7. 柜子里有 3 双不同的鞋，分别用 $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$ 表示 6 只鞋，从中随机地取出 2 只.

(1) 写出试验的样本空间.

(2) 求下列事件的概率，并说明它们的关系：

① A = “取出的鞋不成双”;

② B = “取出的鞋都是左脚的”;

③ C = “取出的鞋都是一只脚的”;

④ D = “取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.

拓广探索

8. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6. 若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止. 用 $Y$ 表示答对题目，用 $N$ 表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.

第一次 第二次 第三次 样本点

Y ( )

N ( )

(第8题)

（1）在右侧的树状图中填写样本点，并写出样本空间；

(2) 求李明第二次答题通过面试的概率;

(3) 求李明最终通过面试的概率.

9. 有两个盒子，其中1号盒子中有95个红球，5个白球；2号盒子中有95个白球，5个红球。现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一个球。如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？做出你的推断，并说说你的想法。你认为能否做出完全正确的判断？

后记

本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心依据教育部《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的，经国家教材委员会2019年审查通过.

本册教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了2004年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》的编写经验，凝聚了参与课改实验的教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专家的集体智慧。本册教科书的编写者还有陈雪梅等；本书插图绘制为王俊宏，为本书提供照片的有东方IC图片网（第49，67，96，173页各一张图）等。

我们感谢 2004 年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A 版）》的主编刘绍学，副主编钱珮玲、章建跃，以及所有编写人员。我们感谢所有对教科书的编写、出版、试教等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友。

本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。对此，我们表示衷心的感谢！恳请未联系到的作者与我们联系，以便及时支付稿酬。

我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵意见。我们将集思广益，不断修订，使教科书趋于完善。

联系方式

电话：010-58758866

电子邮箱：[email protected]

人民教育出版社 课程教材研究所

中学数学课程教材研究开发中心

2019年4月

人教版®

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