10.3 频率与概率

到这一节为止，我们算概率只有一条路：古典概型公式。 可它有个硬前提——样本点必须等可能。课本开门见山地指出这条路会走到头：

对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率。 但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断。

两个现成的例子：抛掷一枚质地不均匀的骰子（六个面显然不等可能）， 抛掷一枚图钉（针尖朝上还是横躺，谁的可能性大？没人能先验地算出来）。 这类试验里 $n(\Omega)$ 数得出来，但”等可能”这一条不成立，古典概型公式用不了。 本节要给出的新方法是：做试验，用频率去估计概率。

一、频率与概率的关系：先把问题问准

初中就用过”大量重复试验、用频率估计概率”。但这句话经不起细问：

那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？ 频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？

注意这两问的分量。 概率大 $\Rightarrow$ 频率一般也大，这是对的； 但反过来不成立——频率是做出来的，带着随机性， 同样的试验做两轮，频率可以不一样；而概率是这个试验固有的一个数，不随试验波动。 所以”频率大就说明概率大”这句话必须加上”试验次数足够多”才站得住。 这一节要把”足够多”这件事说清楚。

二、探究：抛两枚硬币

重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件 $A=$ “一个正面朝上，一个反面朝上”。

先把概率算出来，好有个靶子。 把硬币正面朝上记为 $1$、反面朝上记为 $0$，则

$$\Omega=\{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)\},\qquad A=\{(1,0),(0,1)\},$$

由古典概型公式 $P(A)=\dfrac24=\dfrac12$。

课本安排的三步试验，用意在”同一个 $A$、不同的 $n$”：

1. 每人重复做 $25$ 次，记录 $A$ 发生的次数，算频率；
2. 每 $4$ 名同学一组，相互比较试验结果（$4\times 25=100$ 次）；
3. 各组统计，把结果填进表 $10.3\text{-}1$。

“每组中 4 名同学的结果一样吗？” —— 几乎不可能一样。 每个人做的是同一个试验，但每一次抛掷的结果是随机的， $25$ 次里 $A$ 发生几次自然因人而异。 这不是谁做错了，恰恰是随机性本身。

三、模拟数据：频率到底怎么波动

课本用计算机模拟掷两枚硬币，在 $n=20,100,500$ 时各做 5 组， 得到事件 $A$ 的频数 $n_A$ 与频率 $f_n(A)$（表 $10.3\text{-}2$，教科书第 $255$ 页）：

把三列的”离 $0.5$ 有多远”量一量，规律就出来了：

课本据此写下两条发现：

（1）试验次数 n 相同，频率 $f_{n}(A)$ 可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.

（2）从整体来看，频率在概率0.5附近波动。当试验次数较少时，波动幅度较大； 当试验次数较多时，波动幅度较小。但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小， 只是波动幅度小的可能性更大。

第（2）条最后那半句是全节最要紧的一句话，务必读到。 它说的不是”$n$ 越大频率就越接近概率”—— 表里 $n=100$ 的第 $1$ 组是 $0.56$（差 $0.06$）， 而 $n=20$ 的第 $2$ 组是 $0.45$（差 $0.05$），次数少的这一组反而更近。 规律是概率意义上的：$n$ 越大，“偏得很远”这件事越不容易发生，而不是”一定更近”。

四、频率的稳定性

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 $A$ 发生的频率具有随机性。 一般地，随着试验次数 $n$ 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小， 即事件 $A$ 发生的频率 $f_{n}(A)$ 会逐渐稳定于事件 $A$ 发生的概率 $P(A)$。 我们称频率的这个性质为频率的稳定性。因此，我们可以用频率 $f_{n}(A)$ 估计概率 $P(A)$。

这段话把两件事分得很清楚，做题时不能混：

所以”用频率估计概率”是一句有分寸的话：估计值带着随机性， $n$ 大时可信度高，$n$ 小时可信度低，但永远不是”等于”。

这也回答了本节开头的问题：质地不均匀的骰子、图钉， 它们的概率算不出来，但可以测——抛上几万次，用频率去估。

五、例 1：新生婴儿性别比

新生婴儿性别比是每 $100$ 名女婴对应的男婴数。 通过抽样调查得知，我国 $2014$ 年、$2015$ 年出生的婴儿性别比分别为 $115.88$ 和 $113.51$。

(1) 估计两年的男婴出生率（新生儿中男婴的比率，精确到 $0.001$）。

先把”性别比”翻译成频率。 性别比 $115.88$ 的意思是： 每 $100$ 名女婴对应 $115.88$ 名男婴，于是每 $100+115.88=215.88$ 名新生儿中有 $115.88$ 名男婴。 所以 $2014$ 年男婴出生的频率为

$$\frac{115.88}{100+115.88}\approx 0.537 ,$$

$2015$ 年男婴出生的频率为

$$\frac{113.51}{100+113.51}\approx 0.532 .$$

由频率的稳定性，估计我国 $2014$ 年男婴出生率约为 $0.537$，$2015$ 年约为 $0.532$。

(2) “生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？

由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性， 上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度。 因此，我们有理由怀疑”生男孩和生女孩是等可能的”的结论。

这道题的推理链要看清楚，三步缺一不可：

1. 样本非常大 $\Rightarrow$ 由频率的稳定性，频率偏离概率很多的可能性很小；
2. 两年的频率 $0.537$、$0.532$ 都明显大于 $0.5$，而且方向一致（不是一年高一年低）；
3. 所以有理由怀疑”男女等可能”。

注意课本用的词是”有理由怀疑”，不是”证明了不等可能”。 课本紧接着补了一句：

要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断， 还需要用统计学中假设检验的方法进行检验.

频率只能提出怀疑，不能下定论——把”频率偏离 $0.5$“变成”有统计意义的结论”， 需要选择性必修第三册 §8.3 的独立性检验那一套方法。

六、例 2：游戏公不公平

一个游戏包含两个随机事件 $A$ 和 $B$，事件 $A$ 发生则甲获胜，事件 $B$ 发生则乙获胜。 判断游戏是否公平的标准是 $P(A)$ 与 $P(B)$ 是否相等。

游戏过程中甲发现：玩了 $10$ 次时双方各胜 $5$ 次； 但玩到 $1000$ 次时，自己才胜 $300$ 次，乙胜了 $700$ 次。 甲说不公平，乙说公平，你支持谁？

把两组频率摆出来：

支持甲。 理由分两层：

• 哪一组数据更可信？ 根据频率的稳定性，随着试验次数增加， 频率偏离概率很大的可能性会越来越小。 相对 $10$ 次游戏，$1000$ 次时的频率接近概率的可能性更大， 所以我们更愿意相信 $1000$ 次时的频率离概率更近。
• 这一组数据说明了什么？ $0.3$ 与 $0.7$ 差距很大， 不像是同一个概率上下的随机波动，所以有理由认为 $P(A)\neq P(B)$，游戏不公平。

乙错在哪里？ 乙拿 $10$ 次的结果当证据。 $10$ 次太少，各胜 $5$ 次完全可能是巧合—— 即便真实概率是 $0.3$ 与 $0.7$，$10$ 次里五五开也并不稀奇。 “次数少时频率碰巧等于 $0.5$“不能说明什么。

这道例题真正教的是”证据的分量”： 两组数据打架时，先问哪一组的试验次数更多，而不是挑对自己有利的那一组。

七、思考：降水概率 $90\%$ 怎么理解

气象台预报”明天的降水概率是 $90\%$“，结果第二天没下雨，能说预报不准吗？

不能。 课本给的解释是：

降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的。 对”降水的概率为90%“比较合理的解释是： 大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨。

关键在”在类似的气象条件下”这半句：$90\%$ 说的不是明天这一天， 而是一大批与明天气象条件类似的日子里下雨的比例。 明天是这批日子中的一天，它落进那 $10\%$ 里，一点也不矛盾。

那怎么评价预报准不准？

只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性。 如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有 $90\%$ 确实下雨了， 那么应该认为预报是准确的； 如果真实下雨的天数所占的比例与 $90\%$ 差别较大，那么就可以认为预报不太准确。

一句话：评价一个概率预报，要用长期记录里的频率去和它比，绝不能用某一天的结果去判它。 这与例 2 是同一个道理——单次结果说明不了概率。

八、常见错法

• 把频率当成概率。 $10$ 次里 $4$ 次正面，只能说”这 $10$ 次的频率是 $0.4$”， 质地均匀的硬币，正面朝上的概率仍然是 $0.5$。
• 把概率当成”必然的比例”。 $P=0.5$ 不等于”抛两次必有一次正面”， 更不等于”抛 $100$ 次必定 $50$ 次正面”。
• ”$n$ 越大频率一定越接近概率”。 课本明说了 “试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大”。
• “可能发生也可能不发生，所以各占一半”。 这是把”随机”直接等同于”等可能”。 抛骰子出现 $6$ 点也是可能发生可能不发生，概率却是 $\dfrac16$。
• 用一次结果去否定一个概率。 明天没下雨，说明不了”降水概率 $90\%$“是错的； 要评价它，只能看长期记录里的频率。
• 两组数据打架时挑对自己有利的那组。 例 2 的乙就是这么错的。 正确的做法是先比试验次数。

本节的题都在必修第二册第 257 页：练习第 $1$—$3$ 题。 （第 $3$ 题的 (2) 与第 $4$ 题印在第 258 页，属于下一节的页面， 它们的解答在 §10.3.2 的习题详解里。）

这三道题问的其实是同一件事：频率不是概率。 第 $1$ 题从四个角度试探这条界线，第 $2$ 题在能算概率时就别用频率， 第 $3$ 题则是频率唯一该出场的场合——概率算不出来，只能用大样本的频率去估。

练习（第 257 页）第 1 题

1. 判断下列说法是否正确，并说明理由：

(1) 抛掷一枚硬币正面朝上的概率为 0.5，则抛掷一枚硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；

（2）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4；

(3) 当试验次数很大时, 随机事件发生的频率接近其概率;

（4）在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5.

四小问逐一判断。判据只有一条：频率是做出来的、带随机性；概率是这个试验固有的常数。

(1) 不正确

抛掷一枚硬币两次，样本空间是

$$\Omega=\{(\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{反})\},$$

$4$ 个样本点等可能。“一次正面朝上、一次反面朝上”这个事件是 $\{(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{正})\}$，概率为 $\dfrac24=\dfrac12$。 也就是说，还有 $\dfrac12$ 的可能两次朝上的面相同（两次都正或两次都反）， 何来”一定”？

错在把概率读成了”必然的比例”。 $P=0.5$ 说的是 大量重复抛掷时正面朝上的频率会稳定在 $0.5$ 附近， 它管的是”很多次”，不管任何具体的两次。

(2) 不正确

$4$ 次正面朝上是这 $10$ 次试验的结果，$\dfrac{4}{10}=0.4$ 是频率，不是概率。 硬币质地均匀，正面朝上的概率就是 $0.5$，这个数不因为你抛出了什么结果而改变。

而且 $n=10$ 实在太小。 对照本节表 $10.3\text{-}2$： $n=20$ 时五组频率是 $0.6,\,0.45,\,0.65,\,0.35,\,0.6$， 离 $0.5$ 最远的差了 $0.15$。次数少时频率偏出去零点几是家常便饭。

正确的说法是：“抛掷 $10$ 次，‘正面朝上’的频率为 $0.4$。”

(3) 正确，但这句话要说准

这正是频率的稳定性：随着试验次数 $n$ 的增大， 频率偏离概率的幅度会缩小，$f_n(A)$ 会逐渐稳定于 $P(A)$。 所以本节才可以用频率估计概率。

不过课本紧跟着补了一句限制，读这道题时必须一起记住： “试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大。”

表 $10.3\text{-}2$ 里就有现成的例子：$n=100$ 的第 $1$ 组频率 $0.56$，离 $0.5$ 差 $0.06$； 而 $n=20$ 的第 $2$ 组频率 $0.45$，只差 $0.05$。次数少的这一组反倒更近。

所以本题的”接近”要理解成概率意义上的接近—— $n$ 大时”偏得很远”这件事不容易发生，而不是”每一次都更近”。 若把题干改成”当试验次数很大时，频率一定接近概率”，那就错了。

(4) 不正确

“可能发生也可能不发生”是随机事件的定义， 它只说明这个事件既不是必然事件、也不是不可能事件， 丝毫推不出两种结果等可能。

一个反例足够：抛掷一枚质地均匀的骰子，事件”出现 $6$ 点”可能发生也可能不发生， 但 $P=\dfrac16$，它不发生的概率是 $\dfrac56$，并不是各 $0.5$。

这一小问错在把”随机”直接等同于”等可能”。 等可能是一个额外的条件（古典概型的第二条），要由试验的对称性去验证， 不是随机事件自带的性质。

四小问回头看：(1)(2)(4) 分别是三种最典型的错法—— 把概率当必然、把频率当概率、把随机当等可能； 只有 (3) 是对的，而它也需要加上”波动幅度小的可能性更大”这层分寸。

练习（第 257 页）第 2 题

2. 用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜。这个游戏公平吗？

这道题能直接算概率，就不必去做试验。

把正面朝上记为 $1$、反面朝上记为 $0$，两枚硬币的结果写成有序对，则

$$\Omega=\{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)\},$$

两枚硬币质地均匀且分别抛掷，$4$ 个样本点等可能，可用古典概型公式。

设 $A=$ “甲胜”（同时出现正面或同时出现反面），$B=$ “乙胜”（一个正面、一个反面），则

$$A=\{(1,1),(0,0)\},\qquad B=\{(1,0),(0,1)\},$$ $$P(A)=\frac24=\frac12,\qquad P(B)=\frac24=\frac12 .$$

因为 $P(A)=P(B)$，答：这个游戏是公平的。

自检：$A$ 与 $B$ 互斥且 $A\cup B=\Omega$，即两者互为对立事件， $P(A)+P(B)=1$ ✓，符合”非甲胜即乙胜”的实际。

最常见的错法是把样本空间写成三个样本点—— “两正""两反""一正一反”，于是以为甲胜的概率是 $\dfrac23$、乙胜是 $\dfrac13$， 判成不公平。 错在这三种结果不等可能：“一正一反”包含 $(1,0)$ 与 $(0,1)$ 两个样本点，可能性是另外两种的两倍。 古典概型的第二条前提没验，公式就不能用（§10.1.3 已经强调过）。

换个角度也能看明白：先看第一枚是正是反，无论哪一种， 第二枚”与它相同”和”与它不同”的概率都是 $\dfrac12$， 所以甲胜、乙胜各占一半。

这道题与本节的关系：$P(A)=P(B)=\dfrac12$ 是算出来的，不是试出来的。 真去掷 $10$ 次，很可能甲胜 $7$ 次乙胜 $3$ 次—— 但那只是频率的随机波动，改变不了”游戏公平”这个结论（这正是例 2 里乙犯的错的反面）。

练习（第 257 页）第 3 题

3. 据统计 ABO 血型具有民族和地区差异. 在我国 H 省调查了 30488 人，四种血型的人数如下：

(1) 计算 H 省各种血型的频率并填表（精确到 0.001）；

题面的那张表是一张表格插图，转写没有把它带出来。 下面用到的数字是本目录 page-0264.png 扫描图上的原表：

先验一下总数：$7704+10765+8970+3049=30488$ ✓，与题面的调查人数一致。

(1) 计算各种血型的频率

频率就是各血型人数除以调查总人数：

$$f(\text{A})=\frac{7704}{30488}\approx 0.253 ,\qquad f(\text{B})=\frac{10765}{30488}\approx 0.353 ,$$ $$f(\text{O})=\frac{8970}{30488}\approx 0.294 ,\qquad f(\text{AB})=\frac{3049}{30488}\approx 0.100 .$$

填表如下：

自检：$0.253+0.353+0.294+0.100=1.000$ ✓。 四个频率之和必须是 $1$——四种血型两两互斥且并起来是全部被调查者， 这是频率的基本性质（也对应概率的性质 $2$）。 若精确到 $0.001$ 后合计不等于 $1$，那是修约造成的，要在报告里说明， 不能硬把某一个数改掉。 本题四个数恰好凑齐，无须调整。

顺带看一眼这四个数的分布：B 型最多（约 $35.3\%$），O 型次之（约 $29.4\%$）， A 型再次（约 $25.3\%$），AB 型最少（恰好约 $10.0\%$）。 这正是题面说的”ABO 血型具有民族和地区差异”—— H 省 B 型偏多，与欧美人群中 A、O 型占绝对多数的格局明显不同。

这道题为什么放在本节？ 血型的概率没有办法用古典概型算出来—— 一个人是什么血型由遗传决定，谈不上”等可能”。 只能靠大样本调查得到频率，再用频率的稳定性去估计概率。 这里的样本量是 $30488$ 人，足够大，所以这些频率作为概率的估计值可信度较高。

(2) 印在第 258 页（“如果从 H 省任意调查一个人的血型，那么他是 O 型血的概率大约是多少？”）， 按本站的页归属，它与第 $4$ 题一起收在 §10.3.2 的习题详解里。