10.3 频率与概率

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10.3 频率与概率

对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率。但在现实中，很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断。例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻找新的求概率的方法。

10.3.1 频率的稳定性

我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小。在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率。那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？

探究

重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件 $A =$ “一个正面朝上，一个反面朝上”，统计 $A$ 出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较。你发现了什么规律？

把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0，则这个试验的样本空间 $\Omega = \{(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)\}$ ， $A = \{(1, 0), (0, 1)\}$ ，所以 $P(A) = \frac{1}{2}$ .

下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件 $A$ 的频率的变化情况，以及频率与概率的关系.

第一步：每人重复做 25 次试验，记录事件 A 发生的次数，计算频率；

第二步：每 4 名同学为一组，相互比较试验结果；

第三步：各组统计事件 A 发生的次数，计算事件 A 发生的频率，将结果填入表 10.3-1 中.

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每组中4名同学的结果一样吗？为什么会出现这样的情况？

思考

比较在自己试验 25 次、小组试验 100 次和全班试验总次数的情况下，事件 A 发生的频率.

(1) 各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？

(2) 随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率有什么变化规律？

利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件 $A =$ “一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数 $n_A$ 和频率 $f_{n}(A)$ （表10.3-2).

用折线图表示频率的波动情况（图 10.3-1）.

我们发现：

（1）试验次数 n 相同，频率 $f_{n}(A)$ 可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.

（2）从整体来看，频率在概率0.5附近波动。当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小。但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大。

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 $A$ 发生的频率具有随机性。一般地，随着试验次数 $n$ 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 $A$ 发生的频率 $f_{n}(A)$ 会逐渐稳定于事件 $A$ 发生的概率 $P(A)$ 。我们称频率的这个性质为频率的稳定性。因此，我们可以用频率 $f_{n}(A)$ 估计概率 $P(A)$ 。

例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数。通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51。

（1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）；

（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？

分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率.

解：（1）2014年男婴出生的频率为

$\frac {1 1 5 . 8 8}{1 0 0 + 1 1 5 . 8 8} \approx 0. 5 3 7,$

2015年男婴出生的频率为

$\frac {1 1 3 . 5 1}{1 0 0 + 1 1 3 . 5 1} \approx 0. 5 3 2.$

由此估计，我国 2014 年男婴出生率约为 0.537，2015 年男婴出生率约为 0.532.

（2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度。因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论。

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要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，还需要用统计学中假设检验的方法进行检验.

例2 一个游戏包含两个随机事件 $A$ 和 $B$ ，规定事件 $A$ 发生则甲获胜，事件 $B$ 发生则乙获胜. 判断游戏是否公平的标准是事件 $A$ 和 $B$ 发生的概率是否相等.

在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次。据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的。你更支持谁的结论？为什么？

解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7。根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小。相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近。而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的。因此，应该支持甲对游戏公平性的判断。

思考

气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是 $90\%$ 。如果您明天要出门，最好携带雨具”。如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确。那么如何理解“降水概率是 $90\%$ ”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？

降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的。对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨。

只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性。如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有 $90\%$ 确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与 $90\%$ 差别较大，那么就可以认为预报不太准确。

练习

判断下列说法是否正确，并说明理由：

(1) 抛掷一枚硬币正面朝上的概率为 0.5，则抛掷一枚硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；

（2）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4；

(3) 当试验次数很大时, 随机事件发生的频率接近其概率;

（4）在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5.

用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜。这个游戏公平吗？
据统计 ABO 血型具有民族和地区差异. 在我国 H 省调查了 30488 人，四种血型的人数如下：

(1) 计算 H 省各种血型的频率并填表（精确到 0.001）；