10.1.4 概率的基本性质

文字转写

练习

1. 判断下面的解答是否正确，并说明理由.

某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用 $y$ 表示命中，用 $n$ 表示没有命中，那么试验的样本空间 $\Omega = \{yy, yn, ny, nn\}$，因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25.

2. 从 52 张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率： （1）抽到的牌是 7； （2）抽到的牌不是 7； （3）抽到的牌是方片； （4）抽到 J 或 Q 或 K； （5）抽到的牌既是红心又是草花； （6）抽到的牌比 6 大比 9 小； （7）抽到的牌是红花色； （8）抽到的牌是红花色或黑花色.

3. 从 0~9 这 10 个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：

(1) 这个数平方的个位数字为 1; (2) 这个数的四次方的个位数字为 1.

10.1.4 概率的基本性质

一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质。例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用。类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质。

思考

你认为可以从哪些角度研究概率的性质？

下面我们从定义出发研究概率的性质，例如：概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等.

由概率的定义可知：

任何事件的概率都是非负的；

在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生.

一般地，概率有如下性质：

性质 1 对任意的事件 A，都有

$P (A) \geqslant 0.$

性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即

$P (\Omega) = 1, P (\varnothing) = 0.$

在 “事件的关系和运算” 中我们研究过事件之间的某些关系. 具有这些关系的事件,

它们的概率之间会有什么关系呢？

探究

设事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，和事件 $A \cup B$ 的概率与事件 $A, B$ 的概率之间具有怎样的关系？

我们先来看10.1.2节例6.在例6中，事件 $R =$ “两次都摸到红球”与事件 $G =$ “两次都摸到绿球”互斥， $R\bigcup G =$ “两次摸到的球颜色相同”.

因为 $n(R) = 2, n(G) = 2, n(R \cup G) = 2 + 2 = 4$，所以

$P (R) = P (G) = \frac {2}{1 2},$

$P (R \bigcup G) = \frac {4}{1 2}.$

因此

$P (R \bigcup G) = \frac {2 + 2}{1 2} = P (R) + P (G).$

一般地，因为事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，即 $A$ 与 $B$ 不含有相同的样本点，所以 $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$，这等价于 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和。所以我们有互斥事件的概率加法公式：

性质 3 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况。如果事件 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m}$ 两两互斥，那么事件 $A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{m}$ 发生的概率等于这 $m$ 个事件分别发生的概率之和，即

$P (A _ {1} \cup A _ {2} \cup \dots \cup A _ {m}) = P (A _ {1}) + P (A _ {2}) + \dots + P (A _ {m}).$

探究

设事件 $A$ 和事件 $B$ 互为对立事件，它们的概率有什么关系？

因为事件 A 和事件 B 互为对立事件，所以和事件 $A \cup B$ 为必然事件，即 $P(A \cup B) = 1$ 。由性质 3，得

$1 = P (A \cup B) = P (A) + P (B).$

由此我们得到

性质4 如果事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件，那么 $P(B) = 1 - P(A)$，$P(A) = 1 - P(B)$.

在古典概型中，对于事件 $A$ 与事件 $B$ ，如果 $A \subseteq B$ ，那么 $n(A) \leqslant n(B)$ 。于是 $\frac{n(A)}{n(\Omega)} \leqslant \frac{n(B)}{n(\Omega)}$ ，即 $P(A) \leqslant P(B)$ 。

一般地，对于事件 $A$ 与事件 $B$ ，如果 $A \subseteq B$ ，即事件 $A$ 发生，则事件 $B$ 一定发生，那么事件 $A$ 的概率不超过事件 $B$ 的概率．于是我们有概率的单调性：

性质 5 如果 $A \subseteq B$ ，那么 $P(A) \leqslant P(B)$ .

由性质 5 可得，对于任意事件 A，因为 $\varnothing \subseteq A \subseteq \Omega$ ，所以 $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$ .

思考

在10.1.2节例6的摸球试验中，“两个球中有红球” $= R_{1} \cup R_{2}$，那么 $P(R_{1} \cup R_{2})$ 和 $P(R_{1}) + P(R_{2})$ 相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算 $P(R_{1} \cup R_{2})$。

因为 $n(\Omega) = 12$ ，$n(R_1) = n(R_2) = 6$ ，$n(R_1 \cup R_2) = 10$ ，所以 $P(R_1) = P(R_2) = \frac{6}{12}$，$P(R_1 \cup R_2) = \frac{10}{12}$. 因此 $P(R_1 \cup R_2) \neq P(R_1) + P(R_2)$. 这是因为 $R_1 \cap R_2 = \{(1, 2), (2, 1)\} \neq \emptyset$ ，即事件 $R_1$ ，$R_2$ 不是互斥的. 容易得到

$P (R _ {1} \cup R _ {2}) = P (R _ {1}) + P (R _ {2}) - P (R _ {1} \cap R _ {2}).$

一般地，我们有如下的性质：

性质 6 设 A, B 是一个随机试验中的两个事件，我们有

$P (A \bigcup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B).$

显然，性质 3 是性质 6 的特殊情况.

利用上述概率的性质，可以简化概率的计算.

例 11 从不包含大小王牌的 52 张扑克牌中随机抽取一张，设事件 A = “抽到红心”，事件 B = “抽到方片”， $P(A)=P(B)=\frac{1}{4}$ ．那么

(1) C = “抽到红花色”，求 $P(C)$ ;

(2) D = “抽到黑花色”，求 $P(D)$ .

解：（1）因为 $C = A \cup B$ ，且 $A$ 与 $B$ 不会同时发生，所以 $A$ 与 $B$ 是互斥事件。根据互斥事件的概率加法公式，得

$P (C) = P (A) + P (B) = \frac {1}{4} + \frac {1}{4} = \frac {1}{2}.$

(2) 因为 C 与 D 互斥，又因为 $C \cup D$ 是必然事件，所以 C 与 D 互为对立事件. 因此

$P (D) = 1 - P (C) = 1 - \frac {1}{2} = \frac {1}{2}.$

例 12 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将 6 罐这种饮料装一箱，每箱中都放置 2 罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽出 2 罐，能中奖的概率为多少？

分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况。如果设 $A =$ “中奖”， $A_{1} =$ “第一罐中奖”， $A_{2} =$ “第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题。

解：设事件 A = “中奖”，事件 $A_{1} =$ “第一罐中奖”，事件 $A_{2} =$ “第二罐中奖”，那么事件 $A_{1}A_{2} =$ “两罐都中奖”， $A_{1}\bar{A}_{2} =$ “第一罐中奖，第二罐不中奖”， $\bar{A}_{1}A_{2} =$ “第一罐不中奖，第二罐中奖”，且

$A = A _ {1} A _ {2} \cup A _ {1} A _ {2} \cup A _ {1} A _ {2}.$

因为 $A_{1}A_{2}$ ， $A_{1}\bar{A}_{2}$ ， $\bar{A}_{1}A_{2}$ 两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得

$P (A) = P (A _ {1} A _ {2}) + P (A _ {1} A _ {2}) + P (A _ {1} A _ {2}).$

我们借助树状图（图 10.1-11）来求相应事件的样本点数.

可以得到，样本空间包含的样本点个数为 $n(\Omega) = 6 \times 5 = 30$，且每个样本点都是等可能的。因为 $n(A_1A_2) = 2$，$n(A_1\bar{A}_2) = 8$，$n(\bar{A}_1A_2) = 8$，所以

$P (A) = \frac {2}{3 0} + \frac {8}{3 0} + \frac {8}{3 0} = \frac {1 8}{3 0} = \frac {3}{5}.$

上述解法需要分若干种情况计算概率. 注意到事件 A 的对立事件是 “不中奖”，即 “两罐都不中奖”，由于 $\bar{A}_{1}\bar{A}_{2}=$ “两罐都不中奖”，而 $n(\bar{A}_{1}\bar{A}_{2})=4\times3=12$ ，所以

$P (\bar {A} _ {1} \bar {A} _ {2}) = \frac {1 2}{3 0} = \frac {2}{5}.$

因此

$P (A) = 1 - P (\bar {A} _ {1} \bar {A} _ {2}) = 1 - \frac {2}{5} = \frac {3}{5}.$

练习

1. 已知 $P(A) = 0.5, P(B) = 0.3$.

(1) 如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P(A \cup B) =$ ____ ， $P(AB) =$ ____ ；

(2) 如果 A, B 互斥，那么 $P(A \cup B) =$ ____ , $P(AB) =$ ____.

2. 指出下列表述中的错误：

（1）某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5；

(2) 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么一定有 $P(A) + P(B) = 1$ .

3. 在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级 $(\mathrm{G}_1$ （高一）、 $\mathrm{G}_2$ （高二）、 $\mathrm{G}_3$ （高三))分类统计的人数如下表：

若从这 100 名学生中随机选一名学生，求下列概率：

$P (\mathrm{M}) = \_, P (\mathrm{F}) = \_, P (\mathrm{M} \cup \mathrm{F}) = \_, P (\mathrm{MF}) = \_,$

$P \left(\mathrm{G} _ {1}\right) = \_, P \left(\mathrm{M} \bigcup \mathrm{G} _ {2}\right) = \_, P \left(\mathrm{FG} _ {3}\right) = \_.$

习题 10.1

复习巩固

1. 如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字.

（1）用表格表示试验的所有可能结果；

(2) 列举下列事件包含的样本点:

$A =$ “两个数字相同”， $B =$ “两个数字之和等于5”， $C =$ “蓝色骰子的数字为2”.

2. 在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛。在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名。比赛的一种最终可能结果记为acbd（表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d）。

（1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间；

(2) 设事件 A 表示 a 队获得冠军，写出 A 包含的所有可能结果；

（3）设事件 B 表示 a 队进入冠亚军决赛，写出 B 包含的所有可能结果.

3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚硬币正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面朝上”。（1）写出样本空间，并列举 $A$ 和 $B$ 包含的样本点；(2）下列结论中正确的是（ ）。（A） $A$ 与 $B$ 互为对立事件 (B) $A$ 与 $B$ 互斥(C) $A$ 与 $B$ 相等 (D) $P(A) = P(B)$

4. 判断下列说法是否正确. 若错误, 请举出反例. (1) 互斥的事件一定是对立事件, 对立事件不一定是互斥事件; (2) 互斥的事件不一定是对立事件, 对立事件一定是互斥事件; (3) 事件 A 与事件 B 中至少有一个发生的概率一定比 A 与 B 中恰有一个发生的概率大; (4) 事件 A 与事件 B 同时发生的概率一定比 A 与 B 中恰有一个发生的概率小.

5. 生产某种产品需要两道工序，设事件 A = “第一道工序加工合格”，事件 B = “第二道工序加工合格”，用 A, B, $\bar{A}$ , $\bar{B}$ 表示下列事件： C = “产品合格”，D = “产品不合格”.

6. 下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放回地取球。分别计算三个游戏中甲获胜的概率。你认为哪个游戏是公平的？

7. 一个盒子中装有标号为 1, 2, 3, 4, 5 的 5 张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率： (1) 标签的选取是不放回的； (2) 标签的选取是有放回的.

8. 从长度为 1, 3, 5, 7, 9 的 5 条线段中任取 3 条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.

综合运用

9. 一个盒子中装有 6 支圆珠笔，其中 3 支一等品，2 支二等品和 1 支三等品。若从中任取 2 支，那么下列事件的概率各是多少？ (1) A = “恰有 1 支一等品”； (2) B = “两支都是一等品”； (3) C = “没有三等品”.

10. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数。若用 $x$ 表示红色骰子的点数，用 $y$ 表示绿色骰子的点数，用 $(x, y)$ 表示一次试验的结果。设 $A =$ “两个点数之和等于8”，$B =$ “至少有一颗骰子的点数为5”，$C =$ “红色骰子上的点数大于4”。（1）求事件 $A, B, C$ 的概率；

(2) 求事件 $A \cup B, A \cap B$ 的概率.

11. 某人有 4 把钥匙，其中 2 把能打开门。如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率又有多大？

12. 假设有 5 个条件类似的女孩（把她们分别记为 A，B，C，D，E）应聘秘书工作，但只有 2 个秘书职位，因此 5 个人中只有 2 人能被录用。如果 5 个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：

(1) 女孩 A 得到一个职位；

(2) 女孩 A 和 B 各得到一个职位；

(3) 女孩 A 或 B 得到一个职位.

13. 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：

如果这名运动员只射击一次，求下列事件的概率：

(1) 命中 10 环;

(2) 命中的环数大于 8 环;

(3) 命中的环数小于 9 环;

(4) 命中的环数不超过 5 环.

14. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率：

(1) 没有出现 6 点;

(2) 至少出现一次 6 点；

(3) 三个点数之和为 9.

拓广探索

15. 如图是某班级 50 名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中 A 表示订阅数学学习资料的学生，B 表示订阅语文学习资料的学生，C 表示订阅英语学习资料的学生.

（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；

(2) 用 A, B, C 表示下列事件:

① 至少订阅一种学习资料；

② 恰好订阅一种学习资料；

③ 没有订阅任何学习资料.

16. 从 1～20 这 20 个整数中随机选择一个数，设事件 A 表示选到的数能被 2 整除，事件 B 表示选到的数能被 3 整除。求下列事件的概率： (1) 这个数既能被 2 整除也能被 3 整除； (2) 这个数能被 2 整除或能被 3 整除； (3) 这个数既不能被 2 整除也不能被 3 整除。

17. 某品牌计算机售后保修期为 1 年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内维修次数最多的是 3 次，其中维修 1 次的占 15%，维修 2 次的占 6%，维修 3 次的占 4%. （1）某人购买了一台这个品牌的计算机，设 $A_{k}=$ “保修期内需要维修k次”，k=0，1，2，3，请填写下表：

事件 $A_0$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 是否满足两两互斥？是否满足等可能性？(2）求下列事件的概率：$① A =$ “在保修期内需要维修”；$② B =$ “在保修期内不需要维修”；$③ C =$ “在保修期内维修不超过1次”.