10.1 随机事件与概率

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10.1 随机事件与概率

在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率。本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质。

10.1.1 有限样本空间与随机事件

研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果。例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数；记录某地区7月份的降雨量；等等。

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（random trial），简称试验，常用字母 EE 表示。我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

(1) 试验可以在相同条件下重复进行;

(2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

(3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

思考

体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码。这个随机试验共有多少种可能结果？如何表示这些结果？

观察球的号码，共有10种可能结果。用数字 mm 表示“摇出的球的号码为 mm”这一结果，那么所有可能结果可用集合表示为 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}。

我们把随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间（sample space）. 一般地，我们用 Ω\Omega 表示样本空间，用 ω\omega 表示样本点. 在本书中，我们只讨论 Ω\Omega 为有限集的情况. 如果一个随机试验有 n 个可能结果 ω1,ω2,⋯ ,ωn\omega_{1}, \omega_{2}, \cdots, \omega_{n} ，则称样本空间 Ω={ω1,ω2,⋯ ,ωn}\Omega = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \cdots, \omega_{n}\} 为有限样本空间. 有了样本点和样本空间的概

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奥地利数学家米泽斯(Richard von Mises, 1883—1953) 在 1928 年引进了样本空间的概念.

念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了.

例 1 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.

解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为 Ω={\Omega=\{ 正面朝上，反面朝上 }\} ．如果用 h 表示 “正面朝上”，t 表示 “反面朝上”，则样本空间 Ω={h,t}\Omega=\{h, t\} ．

例 2 抛掷一枚骰子（tóuzì），观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.

解：用 ii 表示朝上面的“点数为 ii”。因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为 Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}。

例 3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.

解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用 xx 表示，第二枚硬币可能的基本结果用 yy 表示，那么试验的样本点可用 (x,y)(x, y) 表示。于是，试验的样本空间

Ω={(正面，正面),(正面，反面),(反面，正面),(反面，反面)}.\Omega=\left\{\left(\text{正面，正面}\right),\left(\text{正面，反面}\right),\left(\text{反面，正面}\right),\left(\text{反面，反面}\right)\right\}.

如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为 Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}\Omega = \{(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)\}.

如图 10.1-1 所示，画树状图可以帮助我们理解例 3 的解答过程.

图10.1-1

思考

在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？

显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件。我们用 AA 表示随机事件“球的号码为奇数”，则 AA 发生，当且仅当摇出的号码为1，3，5，7，9之一，即事件 AA 发生等价于摇出的号码属于集合 {1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\}。因此可以用样本空间 Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\Omega = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} 的子集 {1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\} 表示随机事件 AA。类似地，可以用样本空间的子集 {0,3,6,9}\{0, 3, 6, 9\} 表示随机事件“球的号码为3的倍数”。

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示。为了叙述方便，我们将样本空间 Ω\Omega 的子集称为随机事件（random event），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary event）。随机事件一般用大写字母 A，B，C，…表示。在每次试验中，当且仅当 A 中某个样本点出现时，称为事件 A 发生。

Ω\Omega 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以 Ω\Omega 总会发生，我们称 Ω\Omega 为必然事件。而空集 ∅\varnothing 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 ∅\varnothing 为不可能事件。必然事件与不可能事件不具有随机性。为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空间 Ω\Omega 的一个子集。

例 4 如图 10.1-2，一个电路中有 A，B，C 三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效。把这个电路是否为通路看作一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常。

(1) 写出试验的样本空间;

图10.1-2

(2) 用集合表示下列事件:

M=M= “恰好两个元件正常”;

N=“电路是通路”;N = \text{“电路是通路”};

T=“电路是断路”.T = \text{“电路是断路”}.

解：（1）分别用 x1x_{1}，x2x_{2} 和 x3x_{3} 表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用（x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}）表示。进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间

Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.\begin{array}{r l} \Omega = \{(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), \\ (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1) \}. \end{array}

如图 10.1-3，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.

图10.1-3

（2）“恰好两个元件正常”等价于 (x1,x2,x3)∈Ω(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \Omega，且 x1,x2,x3x_{1}, x_{2}, x_{3} 中恰有两个为 1，所以

M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.M = \{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) \}.

“电路是通路”等价于 (x1,x2,x3)∈Ω(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \Omega ， x1=1x_{1}=1 ，且 x2,x3x_{2}, x_{3} 中至少有一个是1，所以 N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}N=\{(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)\} .

同理，“电路是断路”等价于 (x1,x2,x3)∈Ω(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \Omega ， x1=0x_{1}=0 ，或 x1=1x_{1}=1 ， x2=x3=0x_{2}=x_{3}=0 。所以 T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}T=\{(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)\} .