10.1 随机事件与概率

初中学过随机事件，也算过”等可能情形下”的简单概率。这一小节要做的事只有一件： 给”随机事件”一个数学身份——把它变成集合。 一旦事件成了集合，事件之间的关系就是集合之间的关系（下一小节）， 概率就是定义在集合上的一个函数（§10.1.4）。整章的地基都在这三页上。

一、随机试验：先把”能研究的随机现象”框出来

课本先给了一个名字：对随机现象的实现和对它的观察，称为随机试验（random trial）， 简称试验，常用字母 $E$ 表示。

但不是所有随机现象都好研究。课本只挑出具有以下三个特点的随机试验：

1. 可重复：试验可以在相同条件下重复进行；
2. 结果明确且不止一个：所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
3. 每次恰好出现一个，但事先不知是哪个：每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但事先不能确定出现哪一个。

这三条不是摆设，逐条都在为后面做准备：

• 第 (1) 条是频率能稳定到概率的前提（§10.3 要用）。只发生一次、无法重复的事情 （例如”明天某场比赛的胜负”作为一次性事件），谈频率就没有依据；
• 第 (2) 条保证样本空间写得出来。若结果不明确，集合就列不出； “不止一个”排除了必然发生的确定性现象；
• 第 (3) 条是最关键的一条，它其实说了两件事——各个可能结果互斥（恰好出现一个， 不会同时出现两个）且穷尽（总会出现其中一个，不会一个都不出现）。 这正是后面把事件当成子集、把概率当成”占多大份额”的基础。

二、样本点与样本空间

思考（体育彩票摇奖）：$10$ 个质地大小完全相同、标号 $0,1,2,\dots,9$ 的球， 充分搅拌后摇出一个，观察号码。共有 $10$ 种可能结果；用数字 $m$ 表示”摇出的球的号码为 $m$”， 则所有可能结果可用集合表示为 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$。

由此给出两个定义：

随机试验 $E$ 的每个可能的基本结果称为样本点； 全体样本点的集合称为试验 $E$ 的样本空间（sample space）。

一般用 $\Omega$ 表示样本空间，用 $\omega$ 表示样本点。本书只讨论 $\Omega$ 为有限集的情况： 若试验有 $n$ 个可能结果 $\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n$， 则称 $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n\}$ 为有限样本空间。

样本空间这个概念由奥地利数学家米泽斯（Richard von Mises，1883—1953）在 $1928$ 年引进。

“基本”两个字要抠一下。 样本点必须是不可再分的结果： 摇奖里”号码为 $3$“是一个样本点，而”号码为奇数”不是——它还能拆成 $1,3,5,7,9$ 五个更细的结果。 样本点选得对不对，判据就是第 (3) 条：所选的这批结果必须互斥且穷尽。

四个例题：样本空间怎么写

例 1 抛掷一枚硬币，观察落地时哪一面朝上。

只有正面朝上、反面朝上两个结果，故

$$\Omega=\{\text{正面朝上},\ \text{反面朝上}\},$$

用 $h$ 表示”正面朝上”、$t$ 表示”反面朝上”，则 $\Omega=\{h,t\}$。

例 2 抛掷一枚骰子，观察落地时朝上的面的点数。

用 $i$ 表示朝上面的”点数为 $i$“，则 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$。

例 3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况。

第一枚的结果记为 $x$、第二枚的结果记为 $y$，样本点就写成有序对 $(x,y)$，于是

$$\Omega=\{(\text{正面},\text{正面}),(\text{正面},\text{反面}),(\text{反面},\text{正面}),(\text{反面},\text{反面})\} .$$

若用 $1$ 表示正面朝上、$0$ 表示反面朝上，则

$$\Omega=\{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)\} .$$

图 10.1-1 的树状图把这个过程画了出来：第一层分两支（第一枚正/反）， 每一支再分两支（第二枚正/反），共 $2\times 2=4$ 条路径，一条路径就是一个样本点。

这里有一个必须说死的口径：$(1,0)$ 与 $(0,1)$ 是两个不同的样本点。 两枚硬币即使外观完全一样，在试验里也要当成可分辨的第一枚、第二枚， 否则”一正一反”就会被算成一个样本点，样本空间变成 $3$ 个元素， 后面算概率时就会得到错误的 $\dfrac13$。有序对的次序不能扔。

例 4 如图 10.1-2，电路中有 $A,B,C$ 三个元件，每个元件可能正常、也可能失效。 把电路是否为通路看作随机现象，观察各元件是否正常。

(1) 样本空间。 用 $x_1,x_2,x_3$ 分别表示元件 $A,B,C$ 的状态， 用 $1$ 表示”正常”、$0$ 表示”失效”，样本点写成三元组 $(x_1,x_2,x_3)$，于是

$$\Omega=\{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)\} .$$

共 $2^3=8$ 个样本点。图 10.1-3 的树状图同样能把这 $8$ 条路径逐一列出， 它的作用是保证不重不漏——三层各分两支，路径数一望即知。

(2) 用集合表示三个事件。

“恰好两个元件正常”等价于 $x_1,x_2,x_3$ 中恰有两个为 $1$，所以

$$M=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} .$$

“电路是通路”等价于 $x_1=1$ 且 $x_2,x_3$ 中至少有一个是 $1$，所以

$$N=\{(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)\} .$$

“电路是断路”等价于 $x_1=0$，或者 $x_1=1$ 且 $x_2=x_3=0$，所以

$$T=\{(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)\} .$$

读电路图这一步不能跳。 通路条件之所以是”$x_1=1$ 且 $x_2,x_3$ 中至少有一个为 $1$”， 是因为图 10.1-2 里 $A$ 与”$B$、$C$ 的并联”是串联的： 串联要求每一段都通，并联只要求其中一条支路通。 换成三个元件全串联，通路条件就变成 $x_1=x_2=x_3=1$，$N$ 只剩一个样本点； 换成全并联，通路条件是三者至少有一个为 $1$，$N$ 会有 $7$ 个样本点。 电路的连接方式决定了 $N$ 是哪个子集，这一步是读图，不是套公式。

一道现成的自检：$N$ 与 $T$ 恰好把 $\Omega$ 分成两半—— $3+5=8$，且两者没有公共元素。通路与断路本就是”非此即彼”， 所以 $T$ 必须是 $N$ 在 $\Omega$ 中的补集。核对一遍，两个集合都没写错。

三、随机事件就是样本空间的子集

思考（回到摇奖）：摇出”球的号码为奇数”是随机事件吗？“号码为 $3$ 的倍数”呢？ 用集合表示它们，这些集合与样本空间有什么关系？

两者都是随机事件。用 $A$ 表示”球的号码为奇数”， 则 $A$ 发生当且仅当摇出的号码为 $1,3,5,7,9$ 之一， 即事件 $A$ 发生等价于摇出的号码属于集合 $\{1,3,5,7,9\}$。 所以可以用 $\Omega=\{0,1,2,\dots,9\}$ 的子集 $\{1,3,5,7,9\}$ 表示 $A$； 同理，“号码为 $3$ 的倍数”由子集 $\{0,3,6,9\}$ 表示。

于是有了本节最重要的一句话：

将样本空间 $\Omega$ 的子集称为随机事件（random event），简称事件； 只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary event）。 在每次试验中，当且仅当 $A$ 中某个样本点出现时，称为事件 $A$ 发生。

随机事件一般用大写字母 $A,B,C,\dots$ 表示。

这句话是一次”翻译”，值得慢读。 左边是日常语言（“号码为奇数”）， 右边是数学对象（子集 $\{1,3,5,7,9\}$）。 翻译的规则只有一条：把使这句话为真的所有样本点收集起来。 “当且仅当”三个字保证了这个翻译是一一对应的—— 不同的事件对应不同的子集，反过来每个子集也都对应一个事件。

两个极端情形

• $\Omega$ 作为自身的子集包含了所有样本点，每次试验总有一个样本点发生， 所以 $\Omega$ 总会发生，称 $\Omega$ 为必然事件；
• 空集 $\varnothing$ 不包含任何样本点，每次试验都不会发生，称 $\varnothing$ 为不可能事件。

必然事件与不可能事件不具有随机性。为了方便统一处理， 把它们作为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空间 $\Omega$ 的一个子集。

为什么要把这两个不随机的东西也塞进”随机事件”里？ 因为下一小节要对事件做并、交、补运算。 两个事件的交可能是空集，一个事件与它的补的并一定是 $\Omega$—— 若不把 $\varnothing$ 与 $\Omega$ 认作事件，运算就会跑出定义域。 这与集合论里把 $\varnothing$ 认作集合是同一个理由：为了运算封闭。

四、这一节的做题动作

写样本空间只有三步，例 3、例 4 都是它的实例：

1. 定”观察什么”。同一个随机现象，观察的角度不同，样本空间就不同。 抛两枚硬币，若观察”正面的个数”，样本空间是 $\{0,1,2\}$； 若观察”两枚各自的面”，样本空间是那 $4$ 个有序对。先说清观察对象，再写 $\Omega$。
2. 给每个基本结果编码。用数字或字母代替汉字（$1$ 代表正常、$0$ 代表失效）， 多个对象就用有序对、有序三元组。编码的好处是能一眼看出总数： $n$ 个二值元件就是 $2^n$ 个样本点。
3. 用树状图核对不重不漏。分层画，每层一个对象，路径数就是样本点数。

把事件写成集合也只有一步：逐个检验样本点，把使该事件发生的全部收进来。 样本点不多时就老实地一个个查，这是最不容易错的办法。

五、常见错法

• 把”结果”当成”基本结果”。 “号码为奇数”不是样本点，它是五个样本点的集合。 判据是能不能再分。
• 有序对丢了次序。 抛两枚硬币写成 $\{(\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{反})\}$， 漏掉了 $(\text{反},\text{正})$，$4$ 个样本点变成 $3$ 个。掷两枚骰子同理， $(1,2)$ 与 $(2,1)$ 是两个样本点，样本空间有 $36$ 个元素而不是 $21$ 个。
• 观察对象没定就写 $\Omega$。 同一个试验，“观察点数之和”与”观察两个点数” 给出的样本空间完全不同，写之前必须交代清楚。
• 以为样本点一定等可能。 本节只讲样本空间与事件的表示，没有说各样本点的概率相等。 等可能是 §10.1.3 古典概型才加上的额外假设， 例 4 中三个元件是否正常显然未必等可能，$\Omega$ 照样写得出来。
• 把 $\varnothing$ 和 $\Omega$ 排除在事件之外。 它们是事件，只是不随机； 排除它们会让下一小节的事件运算无处安放。