5.6.2 函数 $y = A\sin \left( {\omega x + \varphi }\right)$ 的图象

这一小节回答一个问题：从正弦曲线 $y=\sin x$ 出发，怎样一步一步变出 $y = A\sin(\omega x+\varphi)$的图象？ 三个参数各管一件事，互不干扰：

$$A\ \text{管高矮（振幅）}, \qquad \omega\ \text{管疏密（周期）}, \qquad \varphi\ \text{管左右（相位）}.$$

难点不在记住这三句，在平移量到底是多少——那是全节唯一会算错的地方。

一、三种变换，各自的规则

设 $A>0$、$\omega>0$。

① 相位变换（左右平移）：$y = \sin x \to y = \sin(x+\varphi)$。 把图象上所有点向左（$\varphi>0$）或向右（$\varphi<0$）平移 $|\varphi|$ 个单位长度。 口诀 “左加右减”——加正数往左，减正数往右。

② 周期变换（横向伸缩）：$y = \sin x \to y = \sin\omega x$。 把所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍（纵坐标不变）。 $\omega>1$ 时图象被压密（周期变小），$0<\omega<1$ 时被拉疏（周期变大）。 新周期 $T = \frac{2\pi}{\omega}$。

③ 振幅变换（纵向伸缩）：$y = \sin x \to y = A\sin x$。 把所有点的纵坐标变为原来的 $A$ 倍（横坐标不变）。值域从 $[-1,1]$ 变成 $[-A, A]$。

二、两条路，同一个终点——但平移量不同

从 $y=\sin x$ 到 $y = \sin(\omega x + \varphi)$ 有两条常走的路，平移量不一样，这是本节最大的坑：

路线一：先平移，后伸缩。

$$y = \sin x \ \xrightarrow{\ \text{左移 } \varphi\ } \ y = \sin(x+\varphi) \ \xrightarrow{\ \text{横坐标变为原来的 } \frac1\omega\ } \ y = \sin(\omega x + \varphi).$$

这一路的平移量是 $\varphi$。

路线二：先伸缩，后平移。

$$y = \sin x \ \xrightarrow{\ \text{横坐标变为原来的 } \frac1\omega\ } \ y = \sin\omega x \ \xrightarrow{\ \text{左移 } \frac{\varphi}{\omega}\ } \ y = \sin\left[\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)\right] = \sin(\omega x+\varphi).$$

这一路的平移量是 $\frac{\varphi}{\omega}$。

为什么不一样：平移永远是对自变量 $x$ 本身做的，而伸缩之后 $x$ 前面多了个系数 $\omega$， 所以同样要让括号里多出 $\varphi$，$x$ 只需挪 $\frac{\varphi}{\omega}$。 判断的办法只有一个：把变换后的式子写出来，看括号里是不是要的那个。 “平移 $\varphi$ 还是 $\frac{\varphi}{\omega}$“这个问题在高考里几乎年年出现。

还有一种情形，坑埋在动手之前：两条曲线连名字都不一样。 上面两条路线都假定了两边同名（都是正弦）， 可题目常给成「由 $y=\sqrt{2}\cos 3x$ 的图象怎样得到 $y=\sin 3x+\cos 3x$ 的图象」—— 一边是余弦，一边是 $\sin$ 与 $\cos$ 的和，相位差根本无从谈起，减都减不出来。 这时第一步不是平移，是先把两条曲线合成同一个名字。

而且往哪个名字上合，不是审美问题：往起点已经有的那个名字上合，能省一步、少一个坑。 起点是余弦，就把目标也合成余弦：

$$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}\cos\!\Big(3x-\frac{\pi}{4}\Big)=\sqrt{2}\cos\!\Big[3\Big(x-\frac{\pi}{12}\Big)\Big],$$

与 $y=\sqrt{2}\cos 3x$ 一比，$x$ 换成了 $x-\frac{\pi}{12}$，向右平移 $\frac{\pi}{12}$，一步读完。 若偏要合成正弦，那么起点自己也得跟着改写一遍—— $\sqrt{2}\cos 3x=\sqrt{2}\sin\big(3x+\frac{\pi}{2}\big)=\sqrt{2}\sin\big[3\big(x+\frac{\pi}{6}\big)\big]$， 再与目标 $\sqrt{2}\sin\big[3\big(x+\frac{\pi}{12}\big)\big]$ 比。 漏掉起点这一行、拿目标去跟 $\sqrt{2}\sin 3x$ 比，就会把向右读成向左——方向恰好反掉。

最后再乘上 $A$（纵向伸缩），就得到 $y = A\sin(\omega x+\varphi)$。

三、五点法：画一个周期的简图

画 $y = A\sin(\omega x+\varphi)$ 在一个周期上的简图，用五点法最快： 让 $u = \omega x+\varphi$ 依次取

$0, \quad \frac{\pi}{2}, \quad \pi, \quad \frac{3\pi}{2}, \quad 2\pi,$

每个 $u$ 解出对应的 $x$，纵坐标依次是 $0,\ A,\ 0,\ -A,\ 0$。五个点连成一条光滑曲线即可。 这五个点就是”零点—最高点—零点—最低点—零点”，把它们的横坐标算准，图形就定了。

四、由图象求解析式：四步

给一段图象反求 $y = A\sin(\omega x+\varphi)$，按下面的顺序做，一步定一个参数：

1. $A$ 看高度：$A = \frac{\text{最高点纵坐标} - \text{最低点纵坐标}}{2}$（若图象上下对称于 $x$ 轴， 就是最高点的纵坐标）。
2. $\omega$ 看周期：从图上量出周期 $T$（相邻两个最高点的水平距离， 或最高点到最低点的水平距离的 $2$ 倍），再由 $\omega = \frac{2\pi}{T}$ 得到。
3. $\varphi$ 用一个特殊点定：把最高点（此时 $\omega x+\varphi = \frac{\pi}{2}$）或 某个零点代进去解出 $\varphi$。
4. 用给定的范围筛 $\varphi$（题目常给 $0<\varphi<\pi$ 或 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}$）， 并回代验一个点。

第 3 步用最高点比用零点稳：零点有”上升零点”与”下降零点”两种，代错了 $\varphi$ 会差 $\pi$。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 平移量算错（第二节）。先伸缩后平移时平移量是 $\frac{\varphi}{\omega}$，不是 $\varphi$。
2. “横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍”说成”变为 $\omega$ 倍”。 $\omega=2$ 时图象是被压扁， 横坐标缩到一半。
3. 平移的方向记反。 记”左加右减”，且加减是加在 $x$ 上，不是加在整个 $\omega x$ 上。
4. 变换带着定义域时忘了定义域也跟着动。 $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{12}\right)$（$x \geqslant 0$） 对应的是正弦曲线上 $x \geqslant \frac{\pi}{12}$ 那一段左移之后的图象。
5. 由图象求 $\varphi$ 时不用给定范围筛。 解出的 $\varphi$ 有无穷多个，要取落在范围里的那一个。
6. 周期量成了半个。 最高点到最低点的水平距离是 $\frac{T}{2}$，不是 $T$。
7. 两条曲线名字不同，却直接去减相位。 一边正弦一边余弦（或一边是 $\sin$ 与 $\cos$ 的和）时， 得先合成同一个名字；合成时起点与目标两边都要落到那个名字上，只改写一边就会把方向读反。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节的正题是这两道：

• 2022 年第 6 题（三角函数图象的平移）：题面给出两个函数、问要平移多少。 这道题正是第二节那个坑的原样考法——相位差是 $\frac{\pi}{5}$，但平移量要除以 $\omega = 3$， 所以答案是 $\frac{\pi}{15}$ 而不是 $\frac{\pi}{5}$。 算平移量时，把变换后的解析式写出来核一遍，比记口诀可靠。
• 2014 年第 4 题（由 $y=\sqrt{2}\cos 3x$ 得到 $y=\sin 3x+\cos 3x$）：同一个坑，外面多包了一层—— 两条曲线名字不同，得先合成同一个名字（第二节末尾那一段）。合成余弦一步就读出向右 $\frac{\pi}{12}$； 合成正弦则起点也要改写成 $\sqrt{2}\sin\big[3\big(x+\frac{\pi}{6}\big)\big]$，漏了就落到「向左 $\frac{\pi}{12}$」那个选项。 这道题的四个选项正好把「大小」与「方向」两维各错一次，可以拿来自检。

本节课本习题共 11 道：第 246 页「练习」4 道、第 247–248 页「习题 5.6」7 道，逐题全做。 本节没有开放式的实习作业或方案设计，因此没有不收的题。

有三道题要求”画出简图”。本站的详解不代画，而是把五点法的那五个点算出来列成表， 读者照着描点连线即可（这也正是课本要求的画法）。

下文反复用到的三条变换规则（$A>0$，$\omega>0$）： $y=\sin(x+\varphi)$ 是把 $y=\sin x$ 向左（$\varphi>0$）平移 $|\varphi|$ 个单位； $y=\sin\omega x$ 是把横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍； $y=A\sin x$ 是把纵坐标变为原来的 $A$ 倍。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 246 页）第 1 题

1. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验：

(1) $y=\frac{1}{2}\sin x;$

(2) $y=\sin 3x;$

(3) $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right);$

(4) $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right).$

统一用五点法：令括号里的整体 $u$ 依次取 $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$， 解出对应的 $x$，纵坐标依次是 $0,\ A,\ 0,\ -A,\ 0$。

(1) $y = \frac12\sin x$，$A=\frac12$，$T = 2\pi$。 取一个周期 $[0, 2\pi]$：

图象就是正弦曲线纵坐标压到一半的样子（最高 $\frac12$、最低 $-\frac12$）。

(2) $y = \sin3x$，$A=1$，$T = \frac{2\pi}{3}$。 由 $3x = 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ 解得 $x = 0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}$，取一个周期 $\left[0,\frac{2\pi}{3}\right]$：

图象是正弦曲线横向压到原来的 $\frac13$。

(3) $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$，$A=1$，$T=2\pi$。 由 $x - \frac{\pi}{3} = 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ 解得 $x = \frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6},\frac{4\pi}{3},\frac{11\pi}{6},\frac{7\pi}{3}$， 取一个周期 $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}\right]$：

图象是正弦曲线向右平移 $\frac{\pi}{3}$。

(4) $y = 2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$，$A=2$，$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$。 由 $2x-\frac{\pi}{4} = 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ 解得 $2x = \frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},\frac{9\pi}{4}$，即 $x = \frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8},\frac{5\pi}{8},\frac{7\pi}{8},\frac{9\pi}{8}$， 取一个周期 $\left[\frac{\pi}{8},\frac{9\pi}{8}\right]$：

核一遍每张表的周期：末列与首列的横坐标之差依次是 $2\pi$、$\frac{2\pi}{3}$、$2\pi$、$\pi$， 与各自的 $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$ 相符 ✓。

练习（第 246 页）第 2 题

2. 已知函数 $y = 3\sin \left(x + \frac{\pi}{5}\right)$ 的图象为 $C$.

(1) 为了得到函数 $y = 3\sin \left(x - \frac{\pi}{5}\right)$ 的图象，只要把 $C$ 上所有的点（）.

(A) 向右平行移动 $\frac{\pi}{5}$ 个单位长度 (B) 向左平行移动 $\frac{\pi}{5}$ 个单位长度

(C) 向右平行移动 $\frac{2\pi}{5}$ 个单位长度 (D) 向左平行移动 $\frac{2\pi}{5}$ 个单位长度

(2) 为了得到函数 $y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{5}\right)$ 的图象，只要把 C 上所有的点（）.

（A）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

（B）横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变

（C）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

(D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，横坐标不变

(3) 为了得到函数 $y = 4\sin \left( x + \frac{\pi}{5} \right)$ 的图象, 只要把 $C$ 上所有的点 ( ). (A) 横坐标伸长到原来的 $\frac{4}{3}$ 倍, 纵坐标不变 (B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{3}{4}$ , 纵坐标不变 (C) 纵坐标伸长到原来的 $\frac{4}{3}$ 倍, 横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{3}{4}$ , 横坐标不变

做法：把”平移 $a$ 个单位”写成代换 $x \to x \mp a$，代进 $C$ 的解析式，看能不能得到目标式子。

(1) 选 (C)。 把 $C$：$y = 3\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right)$ 向右平移 $a$（$a>0$）个单位， 得到的是把 $x$ 换成 $x-a$：

$y = 3\sin\left((x-a) + \frac{\pi}{5}\right) = 3\sin\left(x + \frac{\pi}{5} - a\right).$

要它等于 $3\sin\left(x-\frac{\pi}{5}\right)$，相位只需相差 $2\pi$ 的整数倍：

$\frac{\pi}{5} - a = -\frac{\pi}{5} + 2k\pi \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{2\pi}{5} - 2k\pi,\ k \in \mathbf{Z},$

取最小正平移量 $a = \frac{2\pi}{5}$，对照选项即 (C)。

关键在”两个相位相差多少”：从 $+\frac{\pi}{5}$ 到 $-\frac{\pi}{5}$ 差了 $\frac{2\pi}{5}$， 不是 $\frac{\pi}{5}$——这正是这一小问设的坑。

(2) 选 (B)。 把 $C$ 上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac12$，就是把 $x$ 换成 $2x$：

$y = 3\sin\left(2x + \frac{\pi}{5}\right),$

正是目标。（横坐标”伸长到 $2$ 倍”对应换成 $\frac{x}{2}$，得 $3\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{5}\right)$，不对； 纵坐标的伸缩只改振幅 $3$，与括号无关，(C)(D) 都不对。）

(3) 选 (C)。 两个式子只差振幅：$3 \to 4$，即纵坐标乘以 $\frac{4}{3}$。 把 $C$ 上所有点的纵坐标伸长到原来的 $\frac43$ 倍，得

$y = \frac43 \cdot 3\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right) = 4\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right),$

正是目标。（横坐标的伸缩会改周期，而两式周期都是 $2\pi$，所以 (A)(B) 都不对。）

练习（第 246 页）第 3 题

3. 函数 $y = \frac{2}{3}\sin \left(\frac{1}{2} x - \frac{\pi}{4}\right)$ 的图象与正弦曲线有什么关系？

三个参数是 $A = \frac23$、$\omega = \frac12$、$\varphi = -\frac{\pi}{4}$。 下面给出两条常走的路，终点相同，中间的平移量不同。

路线一：先平移，后伸缩。

1. 把 $y=\sin x$ 上所有点向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位，得 $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$；
2. 再把所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得 $y = \sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$；
3. 再把所有点的纵坐标缩短到原来的 $\frac23$（横坐标不变），得 $y = \frac23\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$。

路线二：先伸缩，后平移。

1. 把 $y=\sin x$ 上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，得 $y = \sin\frac{x}{2}$；

2. 再向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位（注意不是 $\frac{\pi}{4}$），得

   $y = \sin\frac{x-\frac{\pi}{2}}{2} = \sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right);$

3. 再把纵坐标缩短到原来的 $\frac23$，得 $y = \frac23\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$。

两条路的平移量为什么不同：平移是对 $x$ 本身做的。路线二里 $x$ 前面已经有了系数 $\frac12$， 要让括号里多出 $-\frac{\pi}{4}$，$x$ 得挪 $\frac{\pi}{4} \div \frac12 = \frac{\pi}{2}$。 判断办法：把变换后的式子写出来核一遍，不要只凭口诀。

顺带读出这个函数的两个量：振幅 $\frac23$，最小正周期 $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$。

练习（第 246 页）第 4 题

4. 函数 $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{12}\right)$，$x \in \left[0, +\infty\right)$ 的图象与正弦曲线有什么关系？

关系：把正弦曲线 $y=\sin x$ 上横坐标不小于 $\frac{\pi}{12}$ 的那一段（即 $x' \geqslant \frac{\pi}{12}$ 的部分）向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位，就得到本题的图象。

推一遍。 设平移前正弦曲线上的点是 $(x', \sin x')$，把它向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 后， 横坐标变成 $x = x' - \frac{\pi}{12}$、纵坐标不变，于是新点满足

$y = \sin x' = \sin\left(x + \frac{\pi}{12}\right),$

正是本题的解析式。再看定义域：本题要求新点的 $x \geqslant 0$， 即 $x' - \frac{\pi}{12} \geqslant 0$，也就是 $x' \geqslant \frac{\pi}{12}$—— 所以取的是正弦曲线上 $x' \geqslant \frac{\pi}{12}$ 的那一段，而不是整条曲线。

核一个点：本题图象上 $x=0$ 处的纵坐标是 $\sin\frac{\pi}{12}$； 它由正弦曲线上 $\left(\frac{\pi}{12},\ \sin\frac{\pi}{12}\right)$ 左移 $\frac{\pi}{12}$ 得到 ✓。

这道题考的就是”变换要带着定义域一起走”：图象整体左移时，定义域的端点也跟着左移。

习题 5.6 第 1 题

1. 选择题

(1) 为了得到函数 $y = \cos \left( x + \frac{1}{3} \right)$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）.

(A) 向左平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

(B) 向右平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

(C) 向左平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度

(D) 向右平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度

(2) 为了得到函数 $y = \cos \frac{x}{5}$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）.

（A）横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变

（B）横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，纵坐标不变

（C）纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变

(D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，横坐标不变

(3) 为了得到函数 $y = \frac{1}{4}\cos x$ 的图象, 只需把余弦曲线上所有的点 ( ). (A) 横坐标伸长到原来的 4 倍, 纵坐标不变 (B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$, 纵坐标不变 (C) 纵坐标伸长到原来的 4 倍, 横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$, 横坐标不变

(1) 选 (C)。 把余弦曲线 $y=\cos x$ 向左平移 $a$（$a>0$）个单位，就是把 $x$ 换成 $x+a$：

$y = \cos(x+a).$

要它等于 $\cos\left(x+\frac13\right)$，需 $a = \frac13$，即向左平移 $\frac13$ 个单位长度。

这里的 $\frac13$ 是一个实数，不是 $\frac{\pi}{3}$——横轴上的单位长度就是 $1$， 括号里加的是几就平移几。(A)(B) 把 $\frac13$ 误当成 $\frac{\pi}{3}$，(D) 方向反了。

(2) 选 (A)。 把横坐标伸长到原来的 $5$ 倍，就是把 $x$ 换成 $\frac{x}{5}$：

$y = \cos\frac{x}{5},$

正是目标。（$\omega = \frac15 < 1$，图象被拉疏，周期从 $2\pi$ 变成 $10\pi$，所以是”伸长”。）

(3) 选 (D)。 把纵坐标缩短到原来的 $\frac14$，就是把 $y$ 乘以 $\frac14$：

$y = \frac14\cos x,$

正是目标。（振幅从 $1$ 变成 $\frac14$，是纵向的事，与横坐标无关。）

三小问对照着看：(1) 改的是相位（左右平移），(2) 改的是周期（横向伸缩）， (3) 改的是振幅（纵向伸缩）——三个参数各管一件事，互不干扰。

习题 5.6 第 2 题

2. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验：

(1) $y=4\sin\frac{1}{2}x;$

(2) $y=\frac{1}{2}\cos3x;$

(3) $y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right);$

(4) $y=2\cos\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{4}\right).$

仍用五点法。正弦型的五个关键值取 $u = 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$（对应 $0,A,0,-A,0$）； 余弦型的五个关键值同样取这五个 $u$，但对应的纵坐标依次是 $A,0,-A,0,A$。

(1) $y = 4\sin\frac{x}{2}$：$A=4$，$T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$。 由 $\frac{x}{2} = 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ 得 $x = 0,\pi,2\pi,3\pi,4\pi$：

(2) $y = \frac12\cos3x$：$A=\frac12$，$T = \frac{2\pi}{3}$。 由 $3x = 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ 得 $x = 0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}$：

(3) $y = 3\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$：$A=3$，$T = \pi$。 由 $2x+\frac{\pi}{6} = 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ 得 $2x = -\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6},\frac{4\pi}{3},\frac{11\pi}{6}$，即 $x = -\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{12},\frac{2\pi}{3},\frac{11\pi}{12}$：

(4) $y = 2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$：$A=2$，$T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$。 由 $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} = 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ 得 $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},\frac{9\pi}{4}$，即 $x = \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{7\pi}{2},\frac{9\pi}{2}$：

核一遍四张表的周期：末列减首列依次是 $4\pi$、$\frac{2\pi}{3}$、$\pi$、$4\pi$， 与 $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$ 逐条相符 ✓。

习题 5.6 第 3 题

3. 说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到（注意定义域）：

(1) $y=8\sin\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8}\right)$ , $x\in[0,+\infty)$ ;

(2) $y=\frac{1}{3}\sin\left(3x+\frac{\pi}{7}\right)$ , $x\in[0,+\infty)$ .

题目特意提醒”注意定义域”，所以每一步都要交代定义域怎么跟着变。 下面都按”先平移、后伸缩、最后改振幅”这一条路线写。

(1) $y = 8\sin\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8}\right)$，$x \geqslant 0$。

1. 把 $y = \sin x$（$x \in \mathbf{R}$）向右平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位， 得 $y = \sin\left(x-\frac{\pi}{8}\right)$；
2. 再把横坐标伸长到原来的 $4$ 倍（纵坐标不变），得 $y = \sin\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8}\right)$；
3. 再把纵坐标伸长到原来的 $8$ 倍（横坐标不变），得 $y = 8\sin\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8}\right)$；
4. 最后只保留 $x \geqslant 0$ 的那一部分。

定义域怎么走：直接看括号里那个整体。$x \geqslant 0$ 时

$\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8} \geqslant -\frac{\pi}{8},$

而括号里的整体正是原正弦曲线的自变量，所以整条变换链用到的是正弦曲线上自变量不小于 $-\frac{\pi}{8}$ 的那一段，$x<0$ 对应的那部分要去掉。

(2) $y = \frac13\sin\left(3x+\frac{\pi}{7}\right)$，$x\geqslant0$。

1. 把 $y=\sin x$ 向左平移 $\frac{\pi}{7}$ 个单位，得 $y = \sin\left(x+\frac{\pi}{7}\right)$；
2. 再把横坐标缩短到原来的 $\frac13$，得 $y = \sin\left(3x+\frac{\pi}{7}\right)$；
3. 再把纵坐标缩短到原来的 $\frac13$，得 $y = \frac13\sin\left(3x+\frac{\pi}{7}\right)$；
4. 最后只保留 $x \geqslant 0$ 的那一部分。

同样地，$x \geqslant 0$ 时 $3x+\frac{\pi}{7} \geqslant \frac{\pi}{7}$， 所以用到的是正弦曲线上自变量不小于 $\frac{\pi}{7}$ 的那一段。

两小问的对照：(1) 的 $\omega = \frac14 < 1$，横向伸长、周期变大（$T = 8\pi$）； (2) 的 $\omega = 3 > 1$，横向缩短、周期变小（$T = \frac{2\pi}{3}$）。 若换成”先伸缩后平移”的路线，平移量要分别改成 $\frac{\pi}{8} \div \frac14 = \frac{\pi}{2}$与 $\frac{\pi}{7} \div 3 = \frac{\pi}{21}$——这一点每次都要重新算。

习题 5.6 第 4 题

4. 函数 $y = A \sin(\omega x + \varphi) (A > 0, \omega > 0, 0 < \varphi < \pi)$ 在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 ____.

题面里的”如图”是本节页面上方第 248 页扫描图里第 4 题那一幅，引文已逐字带上。 先把图上读到的条件列出来（读者可对着那张图核）：

1. 纵轴上标了 $2$ 与 $-2$，曲线的最高点纵坐标是 $2$、最低点纵坐标是 $-2$；
2. 最高点的横坐标是 $-\dfrac{\pi}{12}$（图上用虚线标出）；
3. 最低点的横坐标是 $\dfrac{5\pi}{12}$（图上用虚线标出）。

以下只用这三条读数。

第一步：定 $A$。 由读数 1，$A = 2$。

第二步：定 $\omega$。 相邻的最高点与最低点相隔半个周期，由读数 2、3，

$\frac{T}{2} = \frac{5\pi}{12} - \left(-\frac{\pi}{12}\right) = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2},$

故 $T = \pi$，于是

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2.$

第三步：定 $\varphi$。 在最高点处 $\omega x + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$。 把 $x = -\frac{\pi}{12}$、$\omega = 2$ 代入：

$$2 \times \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \Longrightarrow \quad \varphi = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi.$$

第四步：用给定范围筛。 题设 $0<\varphi<\pi$，取 $k=0$ 得 $\varphi = \frac{2\pi}{3}$。

所以解析式是

$y = 2\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right).$

核一遍最低点：把 $x = \frac{5\pi}{12}$ 代入， $2\times\frac{5\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$， 而 $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$，故 $y = -2$ ✓，与读数 3 相符。

习题 5.6 第 5 题

5. 将函数 $y = 3\sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 后得到函数 $y = g(x)$ 的图象，求 $y = g(x)$ 的解析式.

向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 就是把解析式里的 $x$ 换成 $x + \frac{\pi}{3}$（左加右减，加在 $x$ 上）：

$$g(x) = 3\sin\left[2\left(x+\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{4}\right] = 3\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right).$$

通分把括号里的常数并起来：$\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$，故

$g(x) = 3\sin\left(2x + \frac{11\pi}{12}\right).$

注意 $\frac{\pi}{3}$ 要乘上 $\omega = 2$ 才是括号里增加的量（$2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$）—— 把 $x$ 换成 $x+\frac{\pi}{3}$ 之后一定要先分配再合并，直接在括号里加 $\frac{\pi}{3}$ 是这道题最常见的错。

核一个点：原函数在 $x_0$ 处取最高值时 $2x_0+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$，即 $x_0 = \frac{\pi}{8}$； 左移 $\frac{\pi}{3}$ 后最高点应在 $x = \frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi}{24}$。 代入 $g$：$2\times\left(-\frac{5\pi}{24}\right)+\frac{11\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12}+\frac{11\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$ ✓， 确实取最高值。

习题 5.6 第 6 题

6. 某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm，秒针绕点 O 匀速旋转，当时间 t=0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合。将 A，B 两点间的距离 d（单位：cm）表示成 t（单位：s）的函数，则 $d=\_\_\_\_$ ， $t\in[0,60]$ 。

第一步：算转过的角。 秒针 $60\ \mathrm{s}$ 转一圈（$2\pi$），角速度是 $\frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30}\ \mathrm{rad/s}$。 经过 $t$ 秒转过的角为

$\theta = \frac{\pi}{30}t.$

第二步：建系直算，避开分类。 以 $O$ 为原点、$OB$ 所在方向为 $y$ 轴正方向建立直角坐标系， 则 $B = (0, 5)$。秒针转过角 $\theta$ 后（顺时针还是逆时针不影响两点间的距离），

$A = (5\sin\theta,\ 5\cos\theta).$

（这一步用的是三角函数的定义：半径为 $5$ 的圆上、与 $y$ 轴正方向成 $\theta$ 角的点， 坐标就是 $(5\sin\theta, 5\cos\theta)$。）由两点间距离公式，

$$d^2 = (5\sin\theta - 0)^2 + (5\cos\theta - 5)^2 = 25\sin^2\theta + 25\cos^2\theta - 50\cos\theta + 25 = 50(1-\cos\theta),$$

最后一步用了 $\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$。再用二倍角的降幂形式 $1-\cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$，得

$d^2 = 100\sin^2\frac{\theta}{2}, \qquad d = 10\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|.$

第三步：去绝对值并核范围。 $t \in [0,60]$ 时

$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi t}{60} \in [0, \pi],$

这一段上 $\sin \geqslant 0$，故绝对值可以直接去掉：

$d = 10\sin\frac{\pi t}{60}.$

这条路比”作垂线解等腰三角形”稳：后者要求 $\angle AOB$ 是三角形的内角（须落在 $(0,\pi)$ 内）， 而 $t>30$ 时秒针转过的角已经超过 $\pi$、$\angle AOB$ 变成 $2\pi-\theta$， $t=0,30,60$ 三处三角形还会退化——坐标法把这些情形一次性吞掉了，不必分类。

$\boxed{\ d = 10\sin\frac{\pi t}{60}\ } \qquad t \in [0,60].$

核两个特殊时刻：$t=0$ 时 $d=0$（$A$ 与 $B$ 重合）✓； $t=30$ 时 $d = 10\sin\frac{\pi}{2} = 10$，此时秒针转了半圈、$A$ 与 $B$ 是直径两端， 距离等于直径 $10\ \mathrm{cm}$ ✓；$t=60$ 时 $d=0$（转回原处）✓。

这道题的关键动作：把”两点间距离”换成”弦长”，再用半角写成 $2r\sin\frac{\theta}{2}$。

习题 5.6 第 7 题

7. 如图，一个半径为 3 m 的筒车按逆时针方向每分转 1.5 圈，筒车的轴心 O 距离水面的高度为 2.2 m. 设筒车上的某个盛水筒 P 到水面的距离为 d（单位：m）（在水面下则 d 为负数），若以盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间，则 d 与时间 t（单位：s）之间的关系为

$d = A \sin (\omega t + \varphi) + K \left(A > 0, \omega > 0, - \frac {\pi}{2} < \varphi < \frac {\pi}{2}\right).$

(1) 求 $A, \omega, \varphi, K$ 的值 ( $\varphi$ 精确到 0.0001);

(2) 盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点（精确到 0.01 s)?

(1)

$A$ 与 $K$： 盛水筒绕轴心 $O$ 做圆周运动，$P$ 到水面的距离 $d$ 等于”轴心到水面的高度” 加上”$P$ 相对于轴心的高度”。后者在 $-3$ 与 $3$ 之间摆动（半径 $3\ \mathrm{m}$），所以

$A = 3, \qquad K = 2.2.$

$\omega$： 每分钟转 $1.5$ 圈，即每秒转 $\frac{1.5 \times 2\pi}{60} = \frac{3\pi}{60} = \frac{\pi}{20}$ 弧度，故

$\omega = \frac{\pi}{20}.$

$\varphi$： 由”以 $P$ 刚浮出水面时开始计时”知 $t=0$ 时 $d = 0$，代入解析式：

$3\sin\varphi + 2.2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \sin\varphi = -\frac{2.2}{3} = -\frac{11}{15}.$

还要定 $\varphi$ 在哪个范围：题设 $-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}$， 在这一段上正弦是单调递增的，故满足 $\sin\varphi = -\frac{11}{15}$ 的 $\varphi$ 唯一，且为负：

$\varphi = \arcsin\left(-\frac{11}{15}\right) \approx -0.8232.$

（顺带核一下它与”刚浮出水面”这一物理条件相容：$P$ 刚出水时高度正在上升， 即 $d$ 在 $t=0$ 处递增，这要求 $\cos\varphi>0$；而 $-\frac{\pi}{2}<\varphi<0$ 时 $\cos\varphi>0$ ✓。）

所以

$A = 3, \qquad \omega = \frac{\pi}{20}, \qquad \varphi \approx -0.8232, \qquad K = 2.2.$

(2) $d$ 取最大值当且仅当 $\sin\left(\frac{\pi}{20}t+\varphi\right) = 1$，即

$\frac{\pi}{20}t + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \qquad k \in \mathbf{Z}.$

取最早的一次（$k=0$）：

$\frac{\pi}{20}t = \frac{\pi}{2} - \varphi \approx 1.5708 + 0.8232 = 2.3940,$

故

$t \approx 2.3940 \times \frac{20}{\pi} \approx 2.3940 \times 6.3662 \approx 15.24\ (\mathrm{s}).$

所以盛水筒出水后至少约经过 $15.24\ \mathrm{s}$ 到达最高点。

核一遍合理性：转一圈要 $\frac{60}{1.5} = 40\ \mathrm{s}$，从出水到最高点转过的角约 $2.394\ \mathrm{rad} \approx 137^\circ$，用时约 $\frac{137}{360}\times40 \approx 15.2\ \mathrm{s}$ ✓， 与上面算出的一致。