5.6.2 函数 $y = A\sin \left( {\omega x + \varphi }\right)$ 的图象

文字转写

如图 5.6-3，以 O 为原点，以与水平面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系。设 t=0 时，盛水筒 M 位于点 $P_{0}$ ，以 Ox 为始边， $OP_{0}$ 为终边的角为 $\varphi$ ，经过 t s 后运动到点 $P(x, y)$ 。于是，以 Ox 为始边，OP 为终边的角为 $\omega t + \varphi$ ，并且有

y = r \sin (\omega t + \varphi).\tag{①}

所以，盛水筒 $M$ 距离水面的高度 $H$ 与时间 $t$ 的关系是

H = r \sin (\omega t + \varphi) + h.\tag{②}

函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律。由于 $h$ 是常量，我们可以只研究函数①的性质。

图5.6-3

5.6.2 函数 $y = A\sin \left( {\omega x + \varphi }\right)$ 的图象

上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ （其中 A>0, $\omega>0$ ）的函数。显然，这个函数由参数 A, $\omega$ , $\varphi$ 所确定。因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质。

思考

从解析式看，函数 $y = \sin x$ 就是函数 $y = A\sin (\omega x + \varphi)$ 在 $A = 1, \omega = 1, \varphi = 0$ 时的特殊情形.

（1）能否借助我们熟悉的函数 $y = \sin x$ 的图象与性质研究参数 $A, \omega, \varphi$ 对函数 $y = A\sin (\omega x + \varphi)$ 的影响？

(2) 函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？

1. 探索 $\varphi$ 对 $y = \sin (x + \varphi)$ 图象的影响

为了更加直观地观察参数 $\varphi$ 对函数图象的影响, 下面借助信息技术做一个数学实验. 如图 5.6-4, 取 $A = 1, \omega = 1$, 动点 $M$ 在单位圆 $O_{1}$ 上以单位角速度按逆时针方向运动. 如果动点 $M$ 以 $Q_{0}$ 为起点 (此时 $\varphi = 0$), 经过 $x$ s 后运动到点 $P$, 那么点 $P$ 的纵坐标y 就等于 $\sin x$ . 以 $(x, y)$ 为坐标描点，可得正弦函数 $y = \sin x$ 的图象.

探究

在单位圆上拖动起点 $Q_{0}$ ，使点 $Q_{0}$ 绕点 $O_{1}$ 旋转 $\frac{\pi}{6}$ 到 $Q_{1}$ ，你发现图象有什么变化？如果使点 $Q_{0}$ 绕点 $O_{1}$ 旋转 $-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}, - \frac{\pi}{3}$ ，或者旋转一个任意角 $\varphi$ 呢？

当起点位于 $Q_{1}$ 时， $\varphi = \frac{\pi}{6}$ ，可得函数 $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象.

进一步，在单位圆上，设两个动点分别以 $Q_{0}$，$Q_{1}$ 为起点同时开始运动。如果以 $Q_{0}$ 为起点的动点到达圆周上点 $P$ 的时间为 $x$ s，那么以 $Q_{1}$ 为起点的动点相继到达点 $P$ 的时间是 $\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ s。这个规律反映在图象上就是：如果 $F(x, y)$ 是函数 $y = \sin x$ 图象上的一点，那么 $G\left(x - \frac{\pi}{6}, y\right)$ 就是函数 $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ 图象上的点，如图5.6-4所示。这说明，把正弦曲线 $y = \sin x$ 上的所有点向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，就得到 $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象。

分别说一说旋转 $-\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{3}$ ， $-\frac{\pi}{3}$ 时的情况.

一般地，当动点 $M$ 的起点位置 $Q$ 所对应的角为 $\varphi$ 时，对应的函数是 y = \sin (x + \varphi)$$(\varphi \neq 0)，把正弦曲线上的所有点向左（当 $\varphi > 0$ 时）或向右（当 $\varphi < 0$ 时）平移 $|\varphi|$ 个单位长度，就得到函数 $y = \sin (x + \varphi)$ 的图象.

2. 探索 $\omega (\omega > 0)$ 对 $y = \sin (\omega x + \varphi)$ 图象的影响

下面，仍然通过数学实验来探索。如图5.6-5，取圆的半径 $A = 1$。为了研究方便，不妨令 $\varphi = \frac{\pi}{6}$。当 $\omega = 1$ 时得到 $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象。

探究

取 $\omega = 2$ ，图象有什么变化？取 $\omega = \frac{1}{2}$ 呢？取 $\omega = 3$ ， $\omega = \frac{1}{3}$ ，图象又有什么变化？当 $\omega$ 取任意正数呢？

取 $\omega = 2$ 时，得到函数 $y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象.

进一步，在单位圆上，设以 $Q_{1}$ 为起点的动点，当 $\omega = 1$ 时到达点 $P$ 的时间为 $x_{1}\mathrm{s}$，当 $\omega = 2$ 时到达点 $P$ 的时间为 $x_{2}\mathrm{s}$. 因为 $\omega = 2$ 时动点的转速是 $\omega = 1$ 时的2倍，所以 $x_{2} = \frac{1}{2} x_{1}$. 这样，设 $G(x, y)$ 是函数 $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ 图象上的一点，那么 $K\left(\frac{1}{2} x, y\right)$ 就是函数 $y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 图象上的相应点，如图5.6-5所示. 这说明，把 $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），就得到 $y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象. $y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的周期为 $\pi$，是 $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的周期的 $\frac{1}{2}$.

同理，当 $\omega=\frac{1}{2}$ 时，动点的转速是 $\omega=1$ 时的 $\frac{1}{2}$ ，以 $Q_{1}$ 为起点，到达点 P 的时间是 $\omega=1$ 时的 2 倍。这样，把 $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），就得到 $y=\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象。 $y=\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的周期为 $4\pi$ ，是 $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的周期的 2 倍。

$\omega = \frac {1}{3}$

一般地，函数 $y = \sin (\omega x + \varphi)$ 的周期是 $\frac{2\pi}{\omega}$，把 $y = \sin (x + \varphi)$ 图象上所有点的横坐标缩短（当 $\omega > 1$ 时）或伸长（当 $0 < \omega < 1$ 时）到原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍（纵坐标不变），就得到 $y = \sin (\omega x + \varphi)$ 的图象.

3. 探索 $A(A > 0)$ 对 $y = A\sin (\omega x + \varphi)$ 图象的影响

下面通过数学实验探索 A 对函数图象的影响. 为了研究方便, 不妨令 $\omega=2,\quad\varphi=\frac{\pi}{6}$ . 当A=1时，如图5.6-6，可得 $y=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象.

探究

改变 $A$ 的取值，使 $A$ 取 $2, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{3}$ 等，你发现图象有什么变化？当 $A$ 取任意正数呢？

当 A=2 时，得到函数 $y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象.

进一步，设射线 $O_{1}Q_{1}$ 与以 $O_{1}$ 为圆心、2为半径的圆交于 $T_{1}$. 如果单位圆上以 $Q_{1}$ 为起点的动点，以 $\omega = 2$ 的转速经过 $x$ s 到达圆周上点 $P$，那么点 $P$ 的纵坐标是 $\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$；相应地，点 $T_{1}$ 在以 $O_{1}$ 为圆心、2为半径的圆上运动到点 $T$，点 $T$ 的纵坐标是 $2\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$. 这样，设 $K(x, y)$ 是函数 $y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 图象上的一点，那么点 $N(x, 2y)$ 就是函数 $y = 2\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 图象上的相应点，如图5.6-6所示. 这说明，把 $y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就得到 $y = 2\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象.

同理，把 $y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （横坐标不变），就得到 $y = \frac{1}{2}\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象.

说一说 $A = 3$ ， $A = \frac{1}{3}$ 时的情况.

一般地，函数 $y = A\sin (\omega x + \varphi)$ 的图象，可以看作是把 $y = \sin (\omega x + \varphi)$ 图象上所有点的纵坐标伸长（当 $A > 1$ 时）或缩短（当 $0 < A < 1$ 时）到原来的 $A$ 倍（横坐标不变）而得到。从而，函数 $y = A\sin (\omega x + \varphi)$ 的值域是 $[-A, A]$，最大值是 $A$，最小值是 $-A$。

思考

你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到 $y = A\sin (\omega x + \varphi)$ ($A > 0$, $\omega > 0$) 图象的过程与方法吗？

一般地，函数 $y = A\sin (\omega x + \varphi)(A > 0, \omega > 0)$ 的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数 $y = \sin x$ 的图象；再把正弦曲线向左（或右）平移 $|\varphi|$ 个单位长度，得到函数 $y = \sin (x + \varphi)$ 的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y = \sin (\omega x + \varphi)$ 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 $A$ 倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数 $y = A\sin (\omega x + \varphi)$ 的图象.

这一过程的步骤如下：

● ●

补全步骤 2 和 3 的函数及图象.

从上述步骤可以清楚地看到，参数 $A$ ， $\omega$ ， $\varphi$ 是如何对函数图象产生影响的.

例1 画出函数 $y = 2\sin \left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$ 的简图.

解：先画出函数 $y = \sin x$ 的图象；再把正弦曲线向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{3}$，得到函数 $y = \sin \left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数 $y = 2\sin \left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象，如图5.6-7所示.

下面用“五点法”画函数 $y=2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$ 在一个周期 $\left(T=\frac{2\pi}{3}\right)$ 内的图象.

令 $X = 3x - \frac{\pi}{6}$，则 $x = \frac{1}{3}\left(X + \frac{\pi}{6}\right)$。列表（表5.6-1），描点画图（图5.6-8）。

例 2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图 5.6-9，某摩天轮最高点距离地面高度为 120 m，转盘直径为 110 m，设置有 48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 30 min。

（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 $t \, min$ 后距离地面的高度为 $H \, m$ ，求在转动一周的过程中，H 关于 t 的函数解析式；

(2) 求游客甲在开始转动 $5 \, min$ 后距离地面的高度；

（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 h （单位：m）关于 t 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到 0.1）.

分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转。在旋转过程中，游客距离地面的高度 $H$ 呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画。

解：如图5.6-10，设座舱距离地面最近的位置为点 $P$ 以轴心 $O$ 为原点，与地面平行的直线为 $x$ 轴建立直角坐标系.

（1）设 $t=0\ min$ 时，游客甲位于点 $P(0,-55)$ ，以 OP 为终边的角为 $-\frac{\pi}{2}$ ；根据摩天轮转一周大约需要 30 min，可知座舱转动的角速度约为 $\frac{\pi}{15}$ rad/min，由题意可得

$H = 5 5 \sin \left(\frac {\pi}{1 5} t - \frac {\pi}{2}\right) + 6 5, 0 \leqslant t \leqslant 3 0.$

(2) 当 t=5 时，

$H = 5 5 \sin \left(\frac {\pi}{1 5} \times 5 - \frac {\pi}{2}\right) + 6 5 = 3 7. 5.$

所以，游客甲在开始转动 5 min 后距离地面的高度约为 37.5 m.

(3) 如图 5.6-10, 甲、乙两人的位置分别用点 $A$, $B$ 表示, 则 $\angle AOB = \frac{2\pi}{48} = \frac{\pi}{24}$. 经过 $t \min$ 后甲距离地面的高度为 $H_{1} = 55 \sin \left(\frac{\pi}{15} t - \frac{\pi}{2}\right) + 65$, 点 $B$ 相对于点 $A$ 始终落后 $\frac{\pi}{24} \mathrm{rad}$, 此时乙距离地面的高度为 $H_{2} = 55 \sin \left(\frac{\pi}{15} t - \frac{13\pi}{24}\right) + 65$. 则甲、乙距离地面的高度差 $h = |H_{1} - H_{2}| = 55 \left| \sin \left(\frac{\pi}{15} t - \frac{\pi}{2}\right) - \sin \left(\frac{\pi}{15} t - \frac{13\pi}{24}\right) \right| = 55 \left| \sin \left(\frac{\pi}{15} t - \frac{\pi}{2}\right) + \sin \left(\frac{13\pi}{24} - \frac{\pi}{15} t\right) \right|$, 利用 $\sin \theta + \sin \varphi = 2 \sin \frac{\theta + \varphi}{2} \cos \frac{\theta - \varphi}{2}$, 可得

$h = 1 1 0 \left| \sin \frac {\pi}{4 8} \sin \left(\frac {\pi}{1 5} t - \frac {\pi}{4 8}\right) \right|, 0 \leqslant t \leqslant 3 0.$

当 $\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{48}=\frac{\pi}{2}\left(\text{或}\frac{3\pi}{2}\right)$ ，即 $t\approx7.8$ （或22.8）时，h的最大值为 $110\sin\frac{\pi}{48}\approx7.2$ . 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m.

练习

1. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验： (1) $y=\frac{1}{2}\sin x;$ (2) $y=\sin 3x;$ (3) $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right);$ (4) $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right).$

2. 已知函数 $y = 3\sin \left(x + \frac{\pi}{5}\right)$ 的图象为 $C$.

(1) 为了得到函数 $y = 3\sin \left(x - \frac{\pi}{5}\right)$ 的图象，只要把 $C$ 上所有的点（）.

(A) 向右平行移动 $\frac{\pi}{5}$ 个单位长度 (B) 向左平行移动 $\frac{\pi}{5}$ 个单位长度

(C) 向右平行移动 $\frac{2\pi}{5}$ 个单位长度 (D) 向左平行移动 $\frac{2\pi}{5}$ 个单位长度

(2) 为了得到函数 $y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{5}\right)$ 的图象，只要把 C 上所有的点（）. （A）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 （B）横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变 （C）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，横坐标不变

(3) 为了得到函数 $y = 4\sin \left( x + \frac{\pi}{5} \right)$ 的图象, 只要把 $C$ 上所有的点 ( ). (A) 横坐标伸长到原来的 $\frac{4}{3}$ 倍, 纵坐标不变 (B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{3}{4}$ , 纵坐标不变 (C) 纵坐标伸长到原来的 $\frac{4}{3}$ 倍, 横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{3}{4}$ , 横坐标不变

3. 函数 $y = \frac{2}{3}\sin \left(\frac{1}{2} x - \frac{\pi}{4}\right)$ 的图象与正弦曲线有什么关系？

4. 函数 $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{12}\right)$，$x \in \left[0, +\infty\right)$ 的图象与正弦曲线有什么关系？

复习巩固

1. 选择题

(1) 为了得到函数 $y = \cos \left( x + \frac{1}{3} \right)$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）.

(A) 向左平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

(B) 向右平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

(C) 向左平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度

(D) 向右平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度

(2) 为了得到函数 $y = \cos \frac{x}{5}$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）. （A）横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 （B）横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，纵坐标不变 （C）纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，横坐标不变

(3) 为了得到函数 $y = \frac{1}{4}\cos x$ 的图象, 只需把余弦曲线上所有的点 ( ). (A) 横坐标伸长到原来的 4 倍, 纵坐标不变 (B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$, 纵坐标不变 (C) 纵坐标伸长到原来的 4 倍, 横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$, 横坐标不变

2. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验： (1) $y=4\sin\frac{1}{2}x;$ (2) $y=\frac{1}{2}\cos3x;$ (3) $y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right);$ (4) $y=2\cos\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{4}\right).$

3. 说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到（注意定义域）： (1) $y=8\sin\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8}\right)$ , $x\in[0,+\infty)$ ; (2) $y=\frac{1}{3}\sin\left(3x+\frac{\pi}{7}\right)$ , $x\in[0,+\infty)$ .

4. 函数 $y = A \sin(\omega x + \varphi) (A > 0, \omega > 0, 0 < \varphi < \pi)$ 在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 ____.

5. 将函数 $y = 3\sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 后得到函数 $y = g(x)$ 的图象，求 $y = g(x)$ 的解析式.

6. 某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm，秒针绕点 O 匀速旋转，当时间 t=0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合。将 A，B 两点间的距离 d（单位：cm）表示成 t（单位：s）的函数，则 $d=\_\_\_\_$ ， $t\in[0,60]$ 。

7. 如图，一个半径为 3 m 的筒车按逆时针方向每分转 1.5 圈，筒车的轴心 O 距离水面的高度为 2.2 m. 设筒车上的某个盛水筒 P 到水面的距离为 d（单位：m）（在水面下则 d 为负数），若以盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间，则 d 与时间 t（单位：s）之间的关系为

$d = A \sin (\omega t + \varphi) + K \left(A > 0, \omega > 0, - \frac {\pi}{2} < \varphi < \frac {\pi}{2}\right).$

(1) 求 $A, \omega, \varphi, K$ 的值 ( $\varphi$ 精确到 0.0001);

(2) 盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点（精确到 0.01 s)?