5.6 函数 $y = A\sin (\omega x + \varphi)$

本节（5.6）把三角函数从”数学对象”变成”刻画现实周期的模型”：用一个带参数的三角函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 去描述匀速圆周运动等周期现象。这一页（5.6.1）是全书唯一只有”问题 + 思考”、没有正式练习的节——它回答一个问题：筒车上的盛水筒，距离水面的高度随时间怎么变？ 答案是一个正弦型函数，而 5.6.2 将逐一研究 $A$、$\omega$、$\varphi$ 三个参数对图象的影响。

学完这一节，你要能：说清盛水筒高度由哪些量决定，理解为什么高度是时间 t 的正弦型函数，并把”匀速圆周运动”翻译成 $H = h + r\sin(\omega t + \varphi)$。

一、问题：筒车与匀速圆周运动

筒车是我国古代的水利灌溉工具（《农政全书》中有图），盛水筒随轮子做匀速圆周运动。在水流量稳定的情况下，每个盛水筒的运动规律相同：转轮匀速转动，盛水筒转一周，高度变化完成一个周期。因为运动有周期性，自然想到用三角函数刻画。

二、思考：哪些量决定盛水筒的高度？

把筒车抽象成几何图形（图 5.6-3）：设经过 $t$ s 后，盛水筒 $M$ 从点 $P_0$ 运动到点 $P$。盛水筒相对水面的高度 $H$ 由五个量决定：

1. $h$：转轮中心 $O$ 到水面的距离（固定的”基准高度”）；
2. $r$：筒车的半径（盛水筒到圆心的距离，恒定）；
3. $\omega$：筒车转动的角速度（每秒钟转过的弧度数）；
4. $\varphi$：盛水筒的初始位置 $P_0$ 对应的角（起始时刻的”相位”）；
5. $t$：经过的时间（自变量）。

三、建立模型：$H = h + r\sin(\omega t + \varphi)$

设初始位置 $P_0$ 在单位圆上对应的角为 $\varphi$（把圆心放到坐标系原点）。盛水筒以角速度 $\omega$ 逆时针匀速转动，$t$ s 后转过 $\omega t$，此时位置 $P$ 对应的角为 $\omega t + \varphi$。$P$ 相对圆心的纵坐标是 $r\sin(\omega t + \varphi)$（圆心在原点时，“相对圆心的高度”）；再加上圆心相对水面的高度 $h$，就得到盛水筒相对水面的高度：

$$H = h + r\sin(\omega t + \varphi).$$

为什么是这个形式：匀速圆周运动的”周而复始”对应正弦函数”一波接一波”；角速度 $\omega$ 决定振动的快慢（周期 $T = \frac{2\pi}{\omega}$，即转一周所需时间），半径 $r$ 决定振动的幅度（最高 $h + r$、最低 $h - r$），初始位置 $\varphi$ 决定”从哪开始振”。三者互不影响、各管一项——这正是三角函数模型刻画周期现象的能力所在。

四、怎么读这一页

1. 对照图 5.6-3，自己在纸上画出盛水筒 $M$ 的位置：初始角 $\varphi$，$t$ s 后角变成 $\omega t + \varphi$，纵坐标就是 $r\sin(\omega t + \varphi)$——把”几何转动”翻译成”代数表达式”；
2. 检验模型的合理性：$t = 0$ 时 $H = h + r\sin\varphi$（初始位置的高度）；当 $\varphi = 0$（从最右侧开始）时 $H = h + r\sin\omega t$，与”正弦曲线”一致；
3. 回答”思考”：把五个量分类——$h, r, \omega, \varphi$ 是刻画”这台筒车长什么样”的参数，$t$ 是自变量；模型 $H = h + r\sin(\omega t + \varphi)$ 就是 5.6.2 的 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 形式（$A = r$，$x = t$）。

下一节 5.6.2：研究 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 中 $A$、$\omega$、$\varphi$ 对图象的影响（振幅、周期、相位），并会用图象变换作出这类函数的图象、用它解决实际问题（如摩天轮）。