5.5 三角恒等变换

这一节把三角函数从”算一个角”推进到”算两个角的组合”。全节只有一条公式是从头证的， 其余全是它的推论：

$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \qquad (\text{记作 } C_{(\alpha-\beta)}).$

课本用单位圆上两点间的距离（或向量的数量积）证出它，之后六个和差角公式、三个二倍角公式全部由它推导。所以这一节最值得学的不是背九条公式，是看清那张”推导地图”—— 忘了哪一条都能在草稿纸上现推出来。

一、推导地图：一条根，九条枝

从 $C_{(\alpha-\beta)}$ 出发，每一步只用一个小动作：

写全就是：

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta, \qquad \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta,$$ $$\tan(\alpha\pm\beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta},$$ $$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},$$ $$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha.$$

符号最容易记混，只需记两句：余弦的符号与括号里相反（”$\cos$ 号反”）， 正弦的符号与括号里相同（”$\sin$ 号同”）；正切的分母符号与括号里相反。

$\cos2\alpha$ 的三个版本各有各的用处：要消 $\sin$ 用 $2\cos^2\alpha-1$， 要消 $\cos$ 用 $1-2\sin^2\alpha$，要同时看两者用 $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$。 把后两个反过来写就是降幂公式：

$\cos^2\alpha = \frac{1+\cos2\alpha}{2}, \qquad \sin^2\alpha = \frac{1-\cos2\alpha}{2}.$

二、三类题，三个动作

动作一：拆——把非特殊角拆成两个特殊角。 $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$、$75^\circ = 45^\circ+30^\circ$，于是

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ-30^\circ) = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$

动作二：合——把一串乘积合成一个角。 这是”求值”题的主线， 关键是认出公式的右边形状：见到 $\sin A\cos B + \cos A\sin B$ 就并成 $\sin(A+B)$， 见到 $\cos A\cos B + \sin A\sin B$ 就并成 $\cos(A-B)$， 见到 $\frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A\tan B}$ 就并成 $\tan(A+B)$。 顺序、正负号只要有一处对不上，先用诱导公式把某个角调过来再并。

动作三：辅助角——把 $a\sin x + b\cos x$ 并成一个三角函数。

$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi),$

其中 $\varphi$ 由 $\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$、$\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 确定。 做法是先提出 $\sqrt{a^2+b^2}$，让括号里两个系数的平方和为 $1$，再把它们认成某个角的余弦与正弦。 本节练习里出现的四个都是特殊角：$\left(\frac12, \frac{\sqrt3}{2}\right)$、 $\left(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12\right)$、$\left(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2}\right)$ 各对应 $\frac{\pi}{3}$、$\frac{\pi}{6}$、$\frac{\pi}{4}$。

辅助角是整章最有用的一个动作——它把”两个三角函数的和”变成”一个三角函数”， 于是求最值、求周期、求单调区间全部可用第 5.4 节那一套。

动作四：除——把”关于 $\sin$、$\cos$ 的齐次式”化成正切。 分子分母都是 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 的同次式时，上下同除 $\cos^n\theta$，式子里就只剩 $\tan\theta$：

$$\frac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta} = \frac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}, \qquad \cos 2\theta = \frac{\cos^2\theta-\sin^2\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = \frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}.$$

第二式分母上那个 $1$ 是补出来的（$1=\cos^2\theta+\sin^2\theta$，把 $0$ 次的常数撑成 $2$ 次）—— 不齐次先补成齐次，这就是这个动作的全部技巧。随身再记一条同源的小结论 $\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1+\tan^2\theta$：给了 $\tan\theta$，$\cos^2\theta$、$\sin^2\theta$、 $\sin\theta\cos\theta$ 三个二次量一步全出（$\tan\theta=2$ 时分别是 $\frac15$、$\frac45$、$\frac25$）。

这个动作真正的价值是省掉”定号”：它全程不碰 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 各自的符号， 所以”$\tan\theta=2$，求 $\cos2\theta$“这种没给象限的题照样有唯一答案（2020 年第 13 题）。

三、给了一个值，求另一个角的三角函数：固定四步

这是本节最常见的题型（练习里出现五六次），流程固定：

1. 由给的那个值与角的范围，定出同角的另一个三角函数值（用平方关系 + 象限定号）；
2. 把所求的角拆成”已知角 ± 特殊角”；
3. 套和差角公式展开；
4. 代入数值算，最后核一遍符号是否合理。

第 1 步的定号是全部风险所在：题目给的范围（"$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$" ”$\theta$ 是第三象限角”）就是为这一步准备的，漏看它答案必错一半。

但落笔前先问一句：这一步真的需要吗？ 若给的是 $\tan\theta$，而所求能写成 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 的 齐次式（$\cos2\theta$、$\sin2\theta$、$\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta}$ 之类）， 就用动作四直接化到 $\tan\theta$ 上，跳过第 1 步——那时象限压根不影响答案，题目也就不会给范围。 反过来，所求带奇次项（问 $\sin\theta$ 本身、问 $\sin\theta+\cos\theta$）时符号必须定， 没给范围就得把两支都写出来。一句话判据：所求是齐次式就不必定号，不是齐次式就必须定号。

四、易错清单

按失分频率排：

1. 和差角公式的符号写反。 记”$\cos$ 号反、$\sin$ 号同”。
2. 求另一个函数值时不定号，或该分类时没分类。
3. 辅助角忘了提 $\sqrt{a^2+b^2}$，或提出来之后括号里的系数不满足平方和为 $1$。
4. $\tan$ 的公式忘了它的使用前提：$\tan\alpha$、$\tan\beta$、$\tan(\alpha\pm\beta)$ 都要有意义， 且分母 $1 \mp \tan\alpha\tan\beta \neq 0$。
5. 二倍角只记住一个版本。 $\cos2\alpha$ 的三个版本要按”想消掉谁”来挑。
6. ”$2\alpha$ 的二倍角”用错层级。 $\sin\frac{\alpha}{4} = 2\sin\frac{\alpha}{8}\cos\frac{\alpha}{8}$ 也是二倍角公式——倍角关系是相对的，看清谁是谁的两倍。
7. 齐次化漏了”补齐次”那一步。 把 $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ 直接除以 $\cos^2\alpha$ 得到 $1-\tan^2\alpha$，少了分母上那个 $1+\tan^2\alpha$（$\tan\alpha=2$ 时答案会从 $-\frac35$ 错成 $-3$）。 动作四只对分子分母同次的式子成立，常数项要先用 $1=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha$ 撑上去。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

本节是这一册连着真题最多的一节（页面下方那份清单是构建期派生的完整版），说一下读的顺序：

• 入门先做 2020 年第 13 题（$\tan\theta=2$，求 $\cos2\theta$ 与 $\tan\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$）： 全节最短的一道，两行填完，却同时练了”$\cos2\theta$ 挑哪张面孔”与”$T_{(\alpha-\beta)}$ 的分母是 $1+$”。 它还是动作四在真题里的纯例题——没给象限也有唯一答案，正好用来检验你是不是真懂 “什么时候不必定号”（课本例 3 那道 $\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$ 反过来：那里给了”第四象限角”， 因为要先由 $\sin\alpha$ 反求 $\cos\alpha$）；

• 接着做 2015 年第 11 题（$f(x)=\sin^{2}x+\sin x\cos x+1$ 的最小正周期与单调递减区间）： 本节的两个动作在这道题里连着用一次——先用二倍角把 $\sin^{2}x$ 降幂成 $\frac{1-\cos 2x}{2}$、 把 $\sin x\cos x$ 升成 $\frac{1}{2}\sin 2x$，再合一成 $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{3}{2}$。 它最值得留意的是为什么非化不可：原式里 $\sin x$ 明晃晃地写着， 可整个式子的周期是 $\pi$ 而不是 $2\pi$——周期要对整式算，不能挑其中一项的； 化成一条正弦之后，周期与单调区间才都变成一眼可读的东西；

• 再做 2024 年第 4 题（和差余弦求值）与 2023 年第 8 题（和差角凑 $\sin(\alpha+\beta)$、 二倍角选 $1-2\sin^2$ 求 $\cos(2\alpha+2\beta)$）：这两道是本节公式最标准的用法—— 先看所求的角与已知的角差在哪里，再决定用和角还是倍角；

• 再看 2022 年第 13 题（互余角求值）与 2024 年第 15 题（两个条件各定一个角）： 它们要在诱导公式与和差角公式之间来回换；

• 然后是 2023 年第 6 题（圆外一点两切线夹角）与 2025 年第 4 题（正切函数的对称中心）： 二倍角在几何题里的典型用法是把半角的关系升到整角；

• 2022 年第 18 题、2023 年第 17 题、2025 年第 11 题都是解三角形， 和角公式在其中负责”把 $\sin(A+B)$ 换成 $\sin C$“之后的展开；

• 2015 年第 16 题（$A=\frac{\pi}{4}$、$b^{2}-a^{2}=\frac12 c^{2}$）把和差角公式用出了另一个花样： 它先用正弦定理把条件变成 $\sin^{2}B-\sin^{2}A=\frac12\sin^{2}C$，再套一条由本节公式直接展开 就能证的恒等式

  $$\sin(B+A)\sin(B-A)=\sin^{2}B-\sin^{2}A$$

  （把两个括号乘开得 $\sin^{2}B\cos^{2}A-\cos^{2}B\sin^{2}A$，再各用一次 $\cos^{2}=1-\sin^{2}$ 即可）， 于是两个平方差被一步换成一个乘积，配上 $\sin(A+B)=\sin C$ 立刻约掉一个 $\sin C$， 条件塌成 $\sin(B-A)=\frac12\sin C$。这条”正弦的平方差 $=$ 和角乘差角”值得单独记住： 凡是条件里出现 $b^{2}-a^{2}$ 这种边的平方差，边化角之后它就是入口。 代入 $A=\frac{\pi}{4}$ 展开后两边关于 $\sin B$、$\cos B$ 同次齐次，同除 $\cos B$ 得 $\tan B=3$， 再由内角和一步得 $\tan C=2$——全程没算过一条边；

• 最后是 2022 年第 17 题（正八边形上八段距离平方和）与 2025 年第 19 题（三角压轴）： 前者用二倍角把 $\sin^2$ 降幂成一次、整片求和；后者要把 $\cos 5x$ 化成 $\cos x$ 的多项式。 这两道是本节的上限：倍角公式真正的力量不在算一个值，在把高次的三角式降成低次的。

本节课本习题共 15 道，分三组「练习」，各 5 道：第 223 页（差角余弦公式那一组）、 第 227 页（和差角公式那一组）、第 230 页（二倍角公式那一组），逐题全做。 本节没有开放式的实习作业或方案设计，因此没有不收的题。

下文反复用到的公式：

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta, \qquad \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta,$$ $$\tan(\alpha\pm\beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}, \qquad \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},$$ $$\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha,$$

以及同角关系 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$、$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 223 页）第 1 题

1. 利用公式 $C_{(\alpha - \beta)}$ 证明：

(1) $\cos \left(\frac{3\pi}{2} -\alpha\right) = -\sin \alpha ;$ (2) $\cos (-\alpha) = \cos \alpha .$

公式 $C_{(\alpha-\beta)}$ 就是 $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$。 两小问都是把它用在一个”特殊角减 $\alpha$“上。

(1) 取公式里的 $\alpha = \frac{3\pi}{2}$、$\beta = \alpha$（题目里的那个 $\alpha$），得

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\frac{3\pi}{2}\cos\alpha + \sin\frac{3\pi}{2}\sin\alpha.$$

而 $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$、$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$，代入得

$= 0 \cdot \cos\alpha + (-1)\cdot\sin\alpha = -\sin\alpha.$

(2) 把 $-\alpha$ 写成 $0 - \alpha$，取公式里的两个角为 $0$ 与 $\alpha$：

$\cos(-\alpha) = \cos(0-\alpha) = \cos 0\cos\alpha + \sin 0\sin\alpha = 1 \cdot \cos\alpha + 0 = \cos\alpha.$

这两条正是第 5.3 节的诱导公式——那里靠单位圆的对称推出来，这里靠一条和差角公式推出来。 同一条结论有两条来路，说明公式体系是自洽的：$C_{(\alpha-\beta)}$ 一立，诱导公式就成了它的特例。

练习（第 223 页）第 2 题

2. 利用公式 $C_{(\alpha - \beta)}$ 求 $\cos 15^{\circ}$ 的值.

关键动作：把 $15^\circ$ 拆成两个特殊角的差。 $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$，于是

$$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ + \sin45^\circ\sin30^\circ.$$

代入 $\cos45^\circ = \sin45^\circ = \frac{\sqrt2}{2}$、$\cos30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$、$\sin30^\circ = \frac12$：

$$= \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6}{4} + \frac{\sqrt2}{4} = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

核一遍数值：$\sqrt6 \approx 2.4495$、$\sqrt2 \approx 1.4142$， 故上式 $\approx \frac{3.8637}{4} \approx 0.9659$；而 $\cos15^\circ \approx 0.9659$ ✓。

（拆成 $60^\circ - 45^\circ$ 也行，结果相同： $\cos60^\circ\cos45^\circ + \sin60^\circ\sin45^\circ = \frac{\sqrt2}{4}+\frac{\sqrt6}{4}$。）

练习（第 223 页）第 3 题

3. 已知 $\cos \alpha = -\frac{3}{5}, \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 求 $\cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$ 的值.

第一步：先求 $\sin\alpha$。 由平方关系

$\sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac35\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25},$

故 $\sin\alpha = \pm\frac45$；由 $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$（第二象限）知 $\sin\alpha>0$，取

$\sin\alpha = \frac45.$

第二步：套差角余弦公式。

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt2}{2}\left(-\frac35\right) + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac45 = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1}{5} = \frac{\sqrt2}{10}.$$

核一遍：$\alpha$ 在第二象限、约 $126.87^\circ$，故 $\frac{\pi}{4}-\alpha \approx 45^\circ - 126.87^\circ = -81.87^\circ$， 其余弦约 $0.1414$；而 $\frac{\sqrt2}{10} \approx 0.1414$ ✓。

练习（第 223 页）第 4 题

4. 已知 $\sin \theta = \frac{15}{17}$, $\theta$ 是第二象限角, 求 $\cos \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)$ 的值.

第一步：求 $\cos\theta$。

$\cos^2\theta = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{64}{289},$

故 $\cos\theta = \pm\frac{8}{17}$；$\theta$ 是第二象限角，$\cos\theta<0$，取 $\cos\theta = -\frac{8}{17}$。

第二步：套差角余弦公式。

$$\cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\theta\cos\frac{\pi}{3} + \sin\theta\sin\frac{\pi}{3} = \left(-\frac{8}{17}\right)\cdot\frac12 + \frac{15}{17}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{-8 + 15\sqrt3}{34}.$$

核一遍数值：$15\sqrt3 \approx 25.981$，故上式 $\approx \frac{17.981}{34} \approx 0.5289$。 另一边：$\theta \approx 118.07^\circ$，$\theta - 60^\circ \approx 58.07^\circ$，其余弦约 $0.5289$ ✓。

练习（第 223 页）第 5 题

5. 已知 $\sin \alpha = -\frac{2}{3}, \alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right), \cos \beta = \frac{3}{4}, \beta \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$, 求 $\cos (\beta - \alpha)$ 的值.

第一步：把两个角各自的另一个函数值补齐。

$\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ 是第三象限角，$\cos\alpha<0$：

$\cos^2\alpha = 1 - \frac49 = \frac59, \qquad \cos\alpha = -\frac{\sqrt5}{3}.$

$\beta \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ 是第四象限角，$\sin\beta<0$：

$\sin^2\beta = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}, \qquad \sin\beta = -\frac{\sqrt7}{4}.$

第二步：套差角余弦公式（注意所求是 $\cos(\beta-\alpha)$，前一个角是 $\beta$）：

$$\cos(\beta-\alpha) = \cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha = \frac34\cdot\left(-\frac{\sqrt5}{3}\right) + \left(-\frac{\sqrt7}{4}\right)\cdot\left(-\frac23\right).$$

逐项算：第一项 $= -\frac{\sqrt5}{4} = -\frac{3\sqrt5}{12}$；第二项 $= \frac{2\sqrt7}{12}$。故

$\cos(\beta-\alpha) = \frac{2\sqrt7 - 3\sqrt5}{12}.$

核一遍数值：$2\sqrt7 \approx 5.2915$、$3\sqrt5 \approx 6.7082$， 上式 $\approx \frac{-1.4167}{12} \approx -0.1181$。 另一边：$\alpha \approx \pi + 0.7297 \approx 3.8713$，$\beta \approx 2\pi - 0.7227 \approx 5.5605$， $\beta - \alpha \approx 1.6892$，其余弦约 $-0.1181$ ✓。

顺带一提：$\cos(\beta-\alpha) = \cos(\alpha-\beta)$（余弦是偶函数），所以两个角谁前谁后不影响结果—— 但正弦那边就不同了，$\sin(\beta-\alpha) = -\sin(\alpha-\beta)$，顺序不能随便换。

练习（第 227 页）第 1 题

1. 利用和（差）角公式，求下列各式的值：

(1) $\sin 15^{\circ}$ ; (2) $\cos 75^{\circ}$ ; (3) $\sin 75^{\circ}$ ; (4) $\tan 15^{\circ}$ .

四小问都把角拆成 $45^\circ$ 与 $30^\circ$ 的和或差。

(1) $\sin15^\circ = \sin(45^\circ-30^\circ) = \sin45^\circ\cos30^\circ - \cos45^\circ\sin30^\circ$

$= \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$

(2) $\cos75^\circ = \cos(45^\circ+30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ - \sin45^\circ\sin30^\circ$

$= \frac{\sqrt6}{4} - \frac{\sqrt2}{4} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$

（与 (1) 相等，这正是诱导公式 $\cos75^\circ = \sin15^\circ$ 的体现——两角互余。）

(3) $\sin75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin45^\circ\cos30^\circ + \cos45^\circ\sin30^\circ$

$= \frac{\sqrt6}{4} + \frac{\sqrt2}{4} = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$

(4) $\tan15^\circ = \tan(45^\circ-30^\circ) = \dfrac{\tan45^\circ - \tan30^\circ}{1+\tan45^\circ\tan30^\circ}$。 代入 $\tan45^\circ = 1$、$\tan30^\circ = \frac{\sqrt3}{3}$：

$$= \frac{1-\frac{\sqrt3}{3}}{1+\frac{\sqrt3}{3}} = \frac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3} = \frac{(3-\sqrt3)^2}{(3+\sqrt3)(3-\sqrt3)} = \frac{9-6\sqrt3+3}{9-3} = \frac{12-6\sqrt3}{6} = 2-\sqrt3.$$

（分母有理化那一步是把分子分母同乘 $3-\sqrt3$。）

核一遍数值：$\sin15^\circ \approx 0.2588$ 而 $\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} \approx 0.2588$ ✓； $\tan15^\circ \approx 0.2679$ 而 $2-\sqrt3 \approx 0.2679$ ✓。 再核一条一致性：$\frac{\sin15^\circ}{\cos15^\circ} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}$， 分子分母同乘 $\sqrt6-\sqrt2$ 得 $\frac{8-4\sqrt3}{4} = 2-\sqrt3$ ✓，与 (4) 一致。

练习（第 227 页）第 2 题

2.（1）已知 $\cos \theta = -\frac{3}{5},\theta \in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ ，求 $\sin \left(\theta +\frac{\pi}{3}\right)$ 的值；

(2) 已知 $\sin\theta=-\frac{12}{13}$ ， $\theta$ 是第三象限角，求 $\cos\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)$ 的值；

(3) 已知 $\tan \alpha = 3$ ，求 $\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$ 的值.

(1) 先补 $\sin\theta$：$\sin^2\theta = 1-\frac9{25} = \frac{16}{25}$，第二象限 $\sin>0$，故 $\sin\theta = \frac45$。

$$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{3} = \frac45\cdot\frac12 + \left(-\frac35\right)\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{4}{10} - \frac{3\sqrt3}{10} = \frac{4-3\sqrt3}{10}.$$

(2) 先补 $\cos\theta$：$\cos^2\theta = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$，第三象限 $\cos<0$， 故 $\cos\theta = -\frac5{13}$。

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right) = \cos\frac{\pi}{6}\cos\theta - \sin\frac{\pi}{6}\sin\theta = \frac{\sqrt3}{2}\left(-\frac5{13}\right) - \frac12\left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{-5\sqrt3 + 12}{26} = \frac{12-5\sqrt3}{26}.$$

(3) 直接套正切和角公式（$\tan\frac{\pi}{4} = 1$）：

$$\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\alpha + 1}{1 - \tan\alpha} = \frac{3+1}{1-3} = \frac{4}{-2} = -2.$$

（用公式前先看分母：$1 - \tan\alpha\tan\frac{\pi}{4} = 1-3 = -2 \neq 0$，可用。）

核一遍 (1)：$4 - 3\sqrt3 \approx -1.196$，故答案约 $-0.1196$。 另一边 $\theta \approx 126.87^\circ$，$\theta + 60^\circ \approx 186.87^\circ$，其正弦约 $-0.1196$ ✓。

练习（第 227 页）第 3 题

3. 求下列各式的值：

(1) $\sin 72^{\circ}\cos 18^{\circ} + \cos 72^{\circ}\sin 18^{\circ};$

(2) $\cos 72^{\circ}\cos 12^{\circ} + \sin 72^{\circ}\sin 12^{\circ};$

(3) $\frac{\tan 12^{\circ} + \tan 33^{\circ}}{1 - \tan 12^{\circ}\tan 33^{\circ}};$

(4) $\cos 74^{\circ}\sin 14^{\circ} - \sin 74^{\circ}\cos 14^{\circ};$

(5) $\sin 34^{\circ}\sin 26^{\circ} - \cos 34^{\circ}\cos 26^{\circ};$

(6) $\sin 20^{\circ}\cos 110^{\circ} + \cos 160^{\circ}\sin 70^{\circ}.$

六小问都是认公式的右边、往回并成一个角。

(1) 形状是 $\sin A\cos B + \cos A\sin B$，即 $\sin(A+B)$：

$\sin72^\circ\cos18^\circ + \cos72^\circ\sin18^\circ = \sin(72^\circ+18^\circ) = \sin90^\circ = 1.$

(2) 形状是 $\cos A\cos B + \sin A\sin B$，即 $\cos(A-B)$：

$\cos72^\circ\cos12^\circ + \sin72^\circ\sin12^\circ = \cos(72^\circ-12^\circ) = \cos60^\circ = \frac12.$

(3) 形状是 $\dfrac{\tan A + \tan B}{1-\tan A\tan B}$，即 $\tan(A+B)$：

$\frac{\tan12^\circ+\tan33^\circ}{1-\tan12^\circ\tan33^\circ} = \tan(12^\circ+33^\circ) = \tan45^\circ = 1.$

(4) 形状是 $\cos A\sin B - \sin A\cos B$，把它整体提一个负号变成 $-(\sin A\cos B - \cos A\sin B)$：

$$\cos74^\circ\sin14^\circ - \sin74^\circ\cos14^\circ = -\left(\sin74^\circ\cos14^\circ - \cos74^\circ\sin14^\circ\right) = -\sin(74^\circ-14^\circ) = -\sin60^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}.$$

(5) 形状是 $\sin A\sin B - \cos A\cos B$，同样整体提负号：

$$\sin34^\circ\sin26^\circ - \cos34^\circ\cos26^\circ = -\left(\cos34^\circ\cos26^\circ - \sin34^\circ\sin26^\circ\right) = -\cos(34^\circ+26^\circ) = -\cos60^\circ = -\frac12.$$

(6) 四个角不成对，先用诱导公式把它们调到能配对为止：

$$\cos110^\circ = \cos(180^\circ-70^\circ) = -\cos70^\circ, \qquad \cos160^\circ = \cos(180^\circ-20^\circ) = -\cos20^\circ.$$

代入原式：

$$\sin20^\circ(-\cos70^\circ) + (-\cos20^\circ)\sin70^\circ = -\left(\sin20^\circ\cos70^\circ + \cos20^\circ\sin70^\circ\right) = -\sin(20^\circ+70^\circ) = -\sin90^\circ = -1.$$

这六小问的共同动作：先看两项里的四个角是不是两两相同（(1)–(5) 都是）， 若不是就用诱导公式调（(6)）；再按符号认是 $\sin(A\pm B)$ 还是 $\cos(A\pm B)$。

练习（第 227 页）第 4 题

4. 化简：

(1) $\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x;$

(2) $\sqrt{3}\sin x + \cos x;$

(3) $\sqrt{2}(\sin x - \cos x);$

(4) $\sqrt{2}\cos x - \sqrt{6}\sin x.$

这是辅助角那一类：把 $a\sin x + b\cos x$ 并成一个三角函数。 做法是先提出 $\sqrt{a^2+b^2}$，让括号里的两个系数平方和为 $1$，再把它们认成某个特殊角的正余弦。

(1) 两个系数已经满足 $\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = 1$，不必再提。 认出 $\cos\frac{\pi}{3} = \frac12$、$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}$：

$$\frac12\cos x - \frac{\sqrt3}{2}\sin x = \cos\frac{\pi}{3}\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\sin x = \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

(2) $\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2} = 2$，提出 $2$：

$$\sqrt3\sin x + \cos x = 2\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin x + \frac12\cos x\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6}\sin x + \sin\frac{\pi}{6}\cos x\right) = 2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

(3) $\sqrt2(\sin x - \cos x) = 2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x - \frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)$， 而 $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}$：

$$= 2\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin x - \sin\frac{\pi}{4}\cos x\right) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right).$$

(4) $\sqrt{(\sqrt2)^2 + (\sqrt6)^2} = \sqrt{2+6} = 2\sqrt2$，提出 $2\sqrt2$：

$$\sqrt2\cos x - \sqrt6\sin x = 2\sqrt2\left(\frac12\cos x - \frac{\sqrt3}{2}\sin x\right) = 2\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right),$$

最后一步用的正是 (1) 的结果。

核一个点：(2) 取 $x=0$，左边 $=1$，右边 $=2\sin\frac{\pi}{6} = 1$ ✓； (4) 取 $x=0$，左边 $=\sqrt2 \approx 1.414$，右边 $=2\sqrt2\cos\frac{\pi}{3} = 2\sqrt2\cdot\frac12 = \sqrt2$ ✓。

并成一个三角函数有什么用：并完之后就能直接读出振幅、周期、最值与单调区间—— 这正是下一节 $y = A\sin(\omega x+\varphi)$ 要用的形状。

练习（第 227 页）第 5 题

5. 已知 $\sin (\alpha - \beta) \cos \alpha - \cos (\beta - \alpha) \sin \alpha = \frac{3}{5}$，$\beta$ 是第三象限角，求 $\sin \left(\beta + \frac{5\pi}{4}\right)$ 的值.

第一步：把条件的左边并成一个角。 先用余弦是偶函数把 $\cos(\beta-\alpha)$ 换成 $\cos(\alpha-\beta)$， 于是左边

$$\sin(\alpha-\beta)\cos\alpha - \cos(\alpha-\beta)\sin\alpha.$$

这正是 $\sin A\cos B - \cos A\sin B$ 的形状（$A = \alpha-\beta$，$B = \alpha$），并成

$= \sin\left[(\alpha-\beta) - \alpha\right] = \sin(-\beta) = -\sin\beta.$

所以条件就是 $-\sin\beta = \frac35$，即

$\sin\beta = -\frac35.$

第二步：补出 $\cos\beta$。 $\cos^2\beta = 1 - \frac9{25} = \frac{16}{25}$， $\beta$ 是第三象限角故 $\cos\beta<0$，取 $\cos\beta = -\frac45$。

第三步：套和角正弦公式。 $\cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}$、$\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}$，

$$\sin\left(\beta+\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\beta\cos\frac{5\pi}{4} + \cos\beta\sin\frac{5\pi}{4} = \left(-\frac35\right)\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) + \left(-\frac45\right)\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

两项都是正的：

$= \frac{3\sqrt2}{10} + \frac{4\sqrt2}{10} = \frac{7\sqrt2}{10}.$

核一遍数值：$\frac{7\sqrt2}{10} \approx 0.9899$。 另一边：$\beta$ 在第三象限、$\sin\beta = -0.6$、$\cos\beta = -0.8$，故 $\beta \approx 216.87^\circ$； $\beta + 225^\circ \approx 441.87^\circ \equiv 81.87^\circ$，其正弦约 $0.9899$ ✓。

这道题的关键动作：条件式看着有四个三角函数，其实是一个和差角公式的右边—— 把它并起来，整道题就只剩”知一求二”了。

练习（第 230 页）第 1 题

1. 已知 $\cos \frac{\alpha}{8} = -\frac{4}{5}$, $8\pi < \alpha < 12\pi$, 求 $\sin \frac{\alpha}{4}$, $\cos \frac{\alpha}{4}$, $\tan \frac{\alpha}{4}$ 的值.

先看清倍角关系：$\frac{\alpha}{4} = 2 \cdot \frac{\alpha}{8}$，所以这是以 $\frac{\alpha}{8}$ 为基本角的二倍角问题。

第一步：定 $\frac{\alpha}{8}$ 的象限，求 $\sin\frac{\alpha}{8}$。 由 $8\pi < \alpha < 12\pi$ 得

$\pi < \frac{\alpha}{8} < \frac{3\pi}{2},$

即 $\frac{\alpha}{8}$ 是第三象限角，$\sin\frac{\alpha}{8} < 0$。由平方关系

$\sin^2\frac{\alpha}{8} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}, \qquad \sin\frac{\alpha}{8} = -\frac35.$

第二步：用二倍角公式。

$$\sin\frac{\alpha}{4} = 2\sin\frac{\alpha}{8}\cos\frac{\alpha}{8} = 2\left(-\frac35\right)\left(-\frac45\right) = \frac{24}{25};$$ $$\cos\frac{\alpha}{4} = 2\cos^2\frac{\alpha}{8} - 1 = 2\cdot\frac{16}{25} - 1 = \frac{32-25}{25} = \frac{7}{25};$$ $$\tan\frac{\alpha}{4} = \frac{\sin\frac{\alpha}{4}}{\cos\frac{\alpha}{4}} = \frac{24/25}{7/25} = \frac{24}{7}.$$

核一遍：$\left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = \frac{576+49}{625} = 1$ ✓。 再核象限：由 $8\pi<\alpha<12\pi$ 得 $2\pi < \frac{\alpha}{4} < 3\pi$， 而算得 $\sin\frac{\alpha}{4}>0$、$\cos\frac{\alpha}{4}>0$，对应 $\frac{\alpha}{4}$ 落在 $\left(2\pi, 2\pi+\frac{\pi}{2}\right)$ 内——由 $\frac{\alpha}{8} \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ 可知 $\frac{\alpha}{4} \in (2\pi, 3\pi)$，两者相容 ✓。

练习（第 230 页）第 2 题

2. 已知 $\sin (\alpha - \pi) = \frac{3}{5}$，求 $\cos 2\alpha$ 的值.

第一步：把条件化成 $\sin\alpha$。 由诱导公式

$\sin(\alpha-\pi) = -\sin(\pi-\alpha) = -\sin\alpha,$

（也可以直接算：$\sin(\alpha-\pi) = \sin\alpha\cos\pi - \cos\alpha\sin\pi = -\sin\alpha$。） 故 $-\sin\alpha = \frac35$，即

$\sin\alpha = -\frac35.$

第二步：挑对二倍角的版本。 所求只与 $\sin\alpha$ 有关，所以用消掉 $\cos$ 的那一版：

$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2\cdot\frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}.$

注意这道题不必求 $\cos\alpha$，因此也不必分象限——$\sin\alpha$ 是平方进去的， 正负都不影响结果。挑对公式的版本，能省掉一整段讨论。

练习（第 230 页）第 3 题

3. 已知 $\sin 2\alpha = -\sin \alpha, \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，求 $\tan \alpha$ 的值.

第一步：展开二倍角。

$2\sin\alpha\cos\alpha = -\sin\alpha.$

第二步：约掉 $\sin\alpha$ 之前先验它不为零。 由 $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ 知 $\alpha$ 是第二象限角，$\sin\alpha>0$，特别地 $\sin\alpha \neq 0$，可以两边同除：

$2\cos\alpha = -1, \qquad \cos\alpha = -\frac12.$

第三步：求 $\tan\alpha$。 由平方关系 $\sin^2\alpha = 1-\frac14 = \frac34$， 第二象限 $\sin\alpha>0$，故 $\sin\alpha = \frac{\sqrt3}{2}$，于是

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{-\frac12} = -\sqrt3.$

核一遍：$\cos\alpha = -\frac12$ 且 $\alpha$ 在第二象限，说明 $\alpha = \frac{2\pi}{3}$， 确实落在 $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ 内；此时 $\sin2\alpha = \sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt3}{2}$， 而 $-\sin\alpha = -\frac{\sqrt3}{2}$，两者相等 ✓。

“约掉 $\sin\alpha$ 前先验它不为零”这一步不能省：若不看范围直接约， 就丢掉了 $\sin\alpha = 0$ 那一类解（本题因为 $\alpha$ 的范围而不存在，但换个范围就会漏）。

练习（第 230 页）第 4 题

4. 已知 $\tan 2\alpha = \frac{1}{3}$，求 $\tan \alpha$ 的值.

列方程。 设 $t = \tan\alpha$（由 $\tan2\alpha$ 有意义可知 $\tan\alpha$ 存在且 $1-t^2 \neq 0$）， 由二倍角正切公式

$\tan2\alpha = \frac{2t}{1-t^2} = \frac13.$

解方程。 交叉相乘：$6t = 1 - t^2$，即

$t^2 + 6t - 1 = 0.$

由求根公式

$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36+4}}{2} = \frac{-6\pm\sqrt{40}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10}.$

两个根都要保留：题目只给了 $\tan2\alpha$ 的值，没有限制 $\alpha$ 的范围， 两个值都能取到（它们对应两族不同的 $\alpha$）。且两者都不使 $1-t^2 = 0$ （$t = \pm1$ 时 $t^2+6t-1$ 分别为 $6$ 与 $-6$，都不为零），公式可用。所以

$\tan\alpha = -3+\sqrt{10} \quad \text{或} \quad \tan\alpha = -3-\sqrt{10}.$

核一遍：取 $t = -3+\sqrt{10} \approx 0.1623$，则 $\frac{2t}{1-t^2} \approx \frac{0.3246}{1-0.02634} \approx \frac{0.3246}{0.97366} \approx 0.3333 = \frac13$ ✓。

练习（第 230 页）第 5 题

5. 求下列各式的值：

(1) $\sin 15^{\circ}\cos 15^{\circ};$

(2) $\cos^{2}\frac{\pi}{8}-\sin^{2}\frac{\pi}{8};$

(3) $\frac{\tan 22.5^{\circ}}{1-\tan^{2}22.5^{\circ}};$

(4) $2\cos^{2}22.5^{\circ}-1.$

四小问都是二倍角公式的右边，往回并成一个角就行。

(1) $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$，故 $\sin\alpha\cos\alpha = \frac12\sin2\alpha$：

$\sin15^\circ\cos15^\circ = \frac12\sin30^\circ = \frac12\cdot\frac12 = \frac14.$

(2) $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$：

$\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}.$

(3) $\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$，故 $\frac{\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} = \frac12\tan2\alpha$：

$\frac{\tan22.5^\circ}{1-\tan^2 22.5^\circ} = \frac12\tan45^\circ = \frac12.$

(4) $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$：

$2\cos^2 22.5^\circ - 1 = \cos45^\circ = \frac{\sqrt2}{2}.$

核一遍 (3)：$\tan22.5^\circ = \sqrt2 - 1 \approx 0.4142$， $1 - \tan^2 22.5^\circ \approx 1 - 0.1716 = 0.8284$，商约 $0.5$ ✓。

四小问示范的是同一件事：倍角公式要会反着用。 正着用是”由 $\alpha$ 算 $2\alpha$“，反着用是”看到 $2\sin\alpha\cos\alpha$、$\cos^2-\sin^2$、 $2\cos^2-1$、$\frac{2\tan}{1-\tan^2}$ 这几个形状，立刻把它收成一个 $2\alpha$ 的函数值”。 反着用比正着用考得更多。