5.4 三角函数的图象与性质

第 5.1～5.3 节从”角”出发定义了三角函数（角 → 单位圆上点的坐标 → 三角值），但光有定义还不够——函数是”看图象、看性质”的。这一节（5.4）是第 5 章的核心：研究三角函数的图象与性质。5.4.1 先画图象：用单位圆把 $\sin x$ 的每一个值”搬到”直角坐标系里，得到正弦曲线，再借 $\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ 得到余弦曲线，并学会”五点法”画简图；5.4.2、5.4.3 再在图象上读出周期、奇偶、单调、最值等性质。

学完这一节，你要能：说出正弦函数图象上五个关键点的坐标，用五点法画出 $y = \sin x$、$y = \cos x$ 及其简单变形的简图（上下平移、关于 x 轴对称等），理解”正弦曲线向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 得余弦曲线”，并会分析”直线与正弦型曲线交点个数”这类问题。

一、为什么要先画图象

三角函数有定义但无图象时，“性质”无从谈起。画图象的标准路子是描点：先研究 $[0, 2\pi]$ 上一个周期（因为 $\sin(x \pm 2\pi) = \sin x$，函数值每增加 $2\pi$ 就重复出现——周期性让全图象可以由一个周期的图象平移得到），再把它平移出去铺满整个实数轴。

二、单位圆作图法与正弦曲线

画点的原理（思考）：在 $[0, 2\pi]$ 上任取 $x_0$，在单位圆上把点 $A(1, 0)$ 绕原点旋转 $x_0$ 弧度到点 $B$，则 $B$ 的纵坐标 $y_0 = \sin x_0$；以 $x_0$ 为横坐标、$y_0$ 为纵坐标画点 $T(x_0, \sin x_0)$。把 $x$ 轴上的 $[0, 2\pi]$ 分成 12 等份，取 $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \ldots, 2\pi$ 等值，逐个画出对应的点（图 5.4-2），用光滑曲线连接——就是 $y = \sin x$，$x \in [0, 2\pi]$ 的图象。点取得足够多，图象就越精确。

延拓到全体实数（思考）：由诱导公式一，$y = \sin x$ 在 $[2k\pi, 2(k+1)\pi]$ 上的图象与 $[0, 2\pi]$ 上的形状完全一致。所以把 $[0, 2\pi]$ 的图象向左、向右每次平移 $2\pi$，就得到 $y = \sin x$，$x \in \mathbb{R}$ 的图象——正弦曲线（sine curve），一条”波浪起伏”的连续光滑曲线。

三、五点法：画简图的捷径

观察图象，以下五个点决定了一个周期内的图象形状：

它们对应正弦函数在一个周期内的关键状态：起点（0）、最高点（$\frac{\pi}{2}$）、过零点（$\pi$）、最低点（$\frac{3\pi}{2}$）、终点（$2\pi$）。精确度要求不高时，先描这五个点、再用光滑曲线连接，就是五点（画图）法——非常实用，后面所有画图题都用它。

余弦曲线（思考）：由诱导公式 $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$，$y = \cos x$ 的图象是 $y = \sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位得到的（图 5.4-5），同样”波浪起伏”、连续光滑，叫余弦曲线。余弦函数在 $[-\pi, \pi]$ 上的五个关键点：$(-\pi, -1), \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right), (0, 1), \left(\frac{\pi}{2}, 0\right), (\pi, -1)$——用这个五点画 $y = \cos x$ 的简图。

四、图象变换：上下平移与翻折（例 1 与思考）

例 1 (1) $y = 1 + \sin x$，$x \in [0, 2\pi]$：把 $\sin x$ 的五个关键点纵坐标都加 1，得 $(0, 1), \left(\frac{\pi}{2}, 2\right), (\pi, 1), \left(\frac{3\pi}{2}, 0\right), (2\pi, 1)$——即把正弦曲线向上平移 1 个单位。

例 1 (2) $y = -\cos x$，$x \in [0, 2\pi]$：五个关键点纵坐标取相反数，得 $(0, -1), \left(\frac{\pi}{2}, 0\right), (\pi, 1), \left(\frac{3\pi}{2}, 0\right), (2\pi, -1)$——即把余弦曲线关于 x 轴对称（翻折）。

两个思考题的结论（练习里会用）：

• $y = 1 + \sin x$ = 正弦曲线上移 1；
• $y = -\cos x$ = 余弦曲线沿 $x$ 轴翻折；
• $y = -\sin x$ = 正弦曲线沿 $x$ 轴翻折（练习 2）；
• $y = 2 - \cos x = 2 + (-\cos x)$ = 余弦曲线翻折后再上移 2（练习 2）；
• $y = |\sin x|$ = 把正弦曲线在 $x$ 轴下方的部分关于 $x$ 轴对称翻到上方，$x$ 轴上方的部分不变（练习 3）——翻折后周期变成 $\pi$。

五、易错点

1. 五个关键点的顺序和值：$(0,0) \to (\frac{\pi}{2}, 1) \to (\pi, 0) \to (\frac{3\pi}{2}, -1) \to (2\pi, 0)$——最高点在前半段、最低点在后半段，别把最高最低写反；画 $y = \cos x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上时端点值都是 $-1$ 而不是 0；
2. “向左平移 $\frac{\pi}{2}$“的方向：$y = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$，由 $f(x)$ 变 $f(x + a)$（$a > 0$）是左移 $a$——$x$ 变小才得到同样的函数值，所以是向左；
3. 平移量是 $\frac{\pi}{2}$ 不是 $2\pi$：$\sin$ 与 $\cos$ 相位差 $\frac{\pi}{2}$（$90^{\circ}$），虽然两者周期相同都是 $2\pi$；
4. 开闭区间影响端点：交点个数题里，区间开还是闭决定端点处的点算不算（练习 4：$x \in \left(\frac{\pi}{3}, 2\pi\right)$ 是开区间，$y = t$ 恰过端点的水平线交点少一个）；
5. $y = |\sin x|$ 的周期：翻折后负半周变正半周，图象周期减半为 $\pi$，不是 $2\pi$。

六、怎么读这一节

1. 亲手用单位圆画一次正弦曲线（取 12 个点），体会”旋转的纵坐标”如何变成”平面上的曲线”——这是三角函数图象的源头；
2. 背下正弦五个关键点，用它画 $y = \sin x$、$y = \cos x$ 简图各一张，再画 $y = 1 + \sin x$、$y = -\cos x$（例 1）各一张，对照课本图 5.4-6、5.4-7；
3. 完成练习 1～4：练习 1 画两条曲线找异同，练习 2 练五点法加变换，练习 3 用信息技术验证 $|\sin x|$ 的翻折，练习 4 是”水平线与曲线交点个数”——结合图象分段讨论 $t$ 的范围；
4. 思考课后问题：为什么先研究 $[0, 2\pi]$？因为 $2\pi$ 是周期（诱导公式一）。

下一节 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质：在图象上读出周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值，并学会比较三角函数值的大小。

本节页面覆盖第 203–207 页，课本习题共 4 道（第 207 页「练习」），逐题全做。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习 第 1 题

1. 在同一直角坐标系中，画出函数

$y = \sin x, x \in [ 0, 2 \pi ],$

$y = \cos x, x \in \left[ - \frac {\pi}{2}, \frac {3 \pi}{2} \right]$

的图象. 通过观察两条曲线, 说出它们的异同.

作图：用五点法。$y = \sin x$（$x \in [0, 2\pi]$）的五个关键点：$(0, 0)$、$\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$、$(\pi, 0)$、$\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$、$(2\pi, 0)$。$y = \cos x$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ 上的五个关键点（取 $x = -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$）：$\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$、$(0, 1)$、$\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$、$(\pi, -1)$、$\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$。在同一坐标系中描点、用光滑曲线连接。

异同：

• 同：两条曲线形状完全一样（都是”波浪起伏”的正弦型曲线），周期相同（都是 $2\pi$），最大值、最小值相同（$1$ 与 $-1$），且都关于各自的对称中心中心对称、由一段曲线平移可得整条曲线；
• 异：位置不同——$y = \cos x$ 的图象相当于 $y = \sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$（因为 $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$）；因此在各自区间内，$y = \sin x$ 在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处取最高点，而 $y = \cos x$ 在 $x = 0$ 处取最高点。两条曲线在 $x = \frac{\pi}{4}$、$\frac{5\pi}{4}$ 处相交（$\sin x = \cos x$ 即 $\tan x = 1$，在交叠的区间内解为 $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$，取 $k = 0, 1$）。

自检：五点坐标逐一代入验证——$\sin 0 = 0$、$\sin\frac{\pi}{2} = 1$、$\sin\pi = 0$、$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$、$\sin 2\pi = 0$ ✓；$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$、$\cos 0 = 1$、$\cos\frac{\pi}{2} = 0$、$\cos\pi = -1$、$\cos\frac{3\pi}{2} = 0$ ✓。交点验证：$\tan\frac{\pi}{4} = 1$、$\tan\frac{5\pi}{4} = 1$，两个角都在两曲线的定义区间交集 $[0, 2\pi] \cap \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] = [0, \frac{3\pi}{2}]$ 内 ✓。

练习 第 2 题

2. 用五点法分别画下列函数在 $[-π, π]$ 上的图象： (1) $y = -\sin x$ ; (2) $y = 2 - \cos x$ .

(1) $y = -\sin x$，$x \in [-\pi, \pi]$。取五个关键点 $x = -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi$：

五个点：$(-\pi, 0)$、$\left(-\frac{\pi}{2}, 1\right)$、$(0, 0)$、$\left(\frac{\pi}{2}, -1\right)$、$(\pi, 0)$，光滑连接——即把正弦曲线 $y = \sin x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上关于 $x$ 轴对称（翻折）得到的图象。

(2) $y = 2 - \cos x$，$x \in [-\pi, \pi]$。取同样五个点 $x = -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi$：

五个点：$(-\pi, 3)$、$\left(-\frac{\pi}{2}, 2\right)$、$(0, 1)$、$\left(\frac{\pi}{2}, 2\right)$、$(\pi, 3)$，光滑连接——即把余弦曲线 $y = \cos x$ 先关于 $x$ 轴对称（得 $-\cos x$），再向上平移 2 个单位：$y = 2 - \cos x = 2 + (-\cos x)$。

自检：两组五点分别由 $\sin x$、$\cos x$ 的关键值直接换算：$-\sin$ 把 $\sin$ 的符号全部取反（$1 \leftrightarrow -1$，$0$ 不变）✓；$2 - \cos$ 把 $\cos$ 取反再加 2（$-1 \to 3$、$0 \to 2$、$1 \to 1$）✓。图象特征：$y = -\sin x$ 关于原点对称（$y = \sin x$ 是奇函数，取负后仍奇）；$y = 2 - \cos x$ 关于 $y$ 轴对称（偶函数），最高点在两端（$y = 3$）、最低点在 $x = 0$（$y = 1$）✓。

练习 第 3 题

3. 想一想函数 $y = |\sin x|$ 与 $y = \sin x$ 的图象及其关系，并借助信息技术画出函数的图象进行检验.

关系：$y = |\sin x|$ 由 $y = \sin x$ 变换得到——$x$ 轴下方的部分关于 $x$ 轴对称翻到上方，$x$ 轴上方的部分保持不变（绝对值只改符号，把负数变正数）。

具体地：

• 当 $\sin x \geqslant 0$（$x \in [2k\pi, (2k+1)\pi]$，即每个周期的前半段）时，$|\sin x| = \sin x$，图象就是原正弦曲线；
• 当 $\sin x < 0$（$x \in ((2k+1)\pi, (2k+2)\pi)$，每个周期的后半段）时，$|\sin x| = -\sin x$，图象是原曲线关于 $x$ 轴的对称像。

翻折后的变化：原来的”低谷”（负的波浪）变成”高峰”，图象变成一串连续的”拱形”，周期从 $2\pi$ 缩短为 $\pi$（一个”拱”（$0$ 到 $\pi$）重复出现），值域从 $[-1, 1]$ 变成 $[0, 1]$。

自检：用信息技术（如 GeoGebra、Desmos 输入 abs(sin(x))）检验：图象是一串在山谷与山峰之间对称的拱形，在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处取最大值 $1$（原正弦曲线在这两处分别取 $1$ 和 $-1$，绝对值后都是 $1$），在 $x = k\pi$ 处取 $0$ ✓。周期验证：$|\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x|$，而 $|\sin x|$ 在 $[0, \pi]$ 与 $[\pi, 2\pi]$ 上的图象完全一样，所以最小正周期是 $\pi$ ✓。

练习 第 4 题

4. (多项选择题)函数 $y = 1 + \cos x$, $x \in \left(\frac{\pi}{3}, 2\pi\right)$ 的图象与直线 $y = t$ ( $t$ 为常数)的交点可能有 ( ). (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个 (E) 4 个

先看 $y = 1 + \cos x$ 在 $x \in \left(\frac{\pi}{3}, 2\pi\right)$ 上的图象（开区间）：这是余弦曲线上移 1。在 $\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right]$ 上，$y$ 从接近 $1.5$（$x \to \frac{\pi}{3}^+$ 时 $\cos x \to \frac{1}{2}$，$y \to 1.5$，但 $\frac{\pi}{3}$ 本身不取）递减到 $0$（$x = \pi$ 时 $y = 1 + (-1) = 0$）；在 $[\pi, 2\pi)$ 上，$y$ 从 $0$ 递增到接近 $2$（$x \to 2\pi^-$ 时 $y \to 2$，但 $2\pi$ 不取）。图象形状：一段”下降”接一段”上升”，最低点在 $x = \pi$ 处 $y = 0$，最高点 $y = 2$ 永远达不到（开区间端点）。

水平线 $y = t$ 与图象的交点个数，按 $t$ 分段讨论：

• $t < 0$：图象全部在 $x$ 轴上方（$y \geqslant 0$），无交点——0 个；
• $t = 0$：恰在最低点 $x = \pi$ 处取 $y = 0$，只有一个交点——1 个；
• $0 < t < 1.5$：下降段上 $y$ 从 $1.5$（不含）递减到 $0$，每一个这样的 $t$ 恰对应一个 $x$；上升段上 $y$ 从 $0$ 递增到 $2$（不含），也恰对应一个 $x$——共 2 个；
• $1.5 \leqslant t < 2$：下降段的 $y$ 值域是 $[0, 1.5)$（$1.5$ 不取，因为 $\frac{\pi}{3}$ 是开端点），$t \geqslant 1.5$ 时下降段无交点；上升段值域是 $[0, 2)$，恰有一个交点——1 个；
• $t = 2$：上升段的 $y$ 最大只能”接近 $2$”（$2\pi$ 是开端点），$y = 2$ 达不到，下降段更不可能——0 个；
• $t > 2$：0 个。

综上，交点个数可能是 $0$、$1$、$2$，选 （A）（B）（C）。

自检：边界值逐一检验——$t = 0$：$\cos x = -1$ 在 $\left(\frac{\pi}{3}, 2\pi\right)$ 内只有 $x = \pi$，1 个 ✓；$t = 1.5$：$\cos x = 0.5$ 的解是 $x = \frac{\pi}{3}$（开端点，不取）和 $x = \frac{5\pi}{3}$（在区间内），所以只有 1 个交点 ✓（这正是把 $1.5$ 归入”1 个”而非”2 个”的原因）；$t = 1$：$\cos x = 0$ 在区间内有 $x = \frac{\pi}{2}$、$\frac{3\pi}{2}$ 两个，2 个 ✓；$t = 2$：$\cos x = 1$ 在区间内无解（解 $x = 0, 2\pi$ 都不在开区间内），0 个 ✓。区间端点开闭是本题的分界关键。