5.4 三角函数的图象与性质

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5.4 三角函数的图象与性质

前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论.

我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式

$\sin (x \pm 2 \pi) = \sin x, \cos (x \pm 2 \pi) = \cos x$

来表示. 这说明, 自变量每增加 (减少) $2 \pi$, 正弦函数值、余弦函数值将重复出现. 利用这一特性, 就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

下面先研究函数 $y = \sin x$，$x \in \mathbb{R}$ 的图象，从画函数 $y = \sin x$，$x \in [0, 2\pi]$ 的图象开始.

思考

在 $[0, 2\pi]$ 上任取一个值 $x_0$，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值 $\sin x_0$，并画出点 $T(x_0, \sin x_0)$?

如图5.4-1，在直角坐标系中画出以原点 $O$ 为圆心的单位圆， $\odot O$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $A(1,0)$ .在单位圆上，将点 $A$ 绕着点 $O$ 旋转 $x_0$ 弧度至点 $B$ ，根据正弦函数的定义，点 $B$ 的纵坐标 $y_0 = \sin x_0$ .由此，以 $x_0$ 为横坐标， $y_0$ 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点 $T(x_0,\sin x_0)$

若把 x 轴上从 0 到 $2\pi$ 这一段分成 12 等份，使 $x_{0}$ 的值分别为 0， $\frac{\pi}{6}$ ， $\frac{\pi}{3}$ ， $\frac{\pi}{2}$ ， $\cdots$ ， $2\pi$ ，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周 12 等分，再按上述画点 $T(x_{0}, \sin x_{0})$ 的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图 5.4-2）.

事实上，利用信息技术，可使 $x_0$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上取到足够多的值而画出足够多的点 $T(x_0, \sin x_0)$，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 $y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象（图5.4-3）.

思考

根据函数 $y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象，你能想象函数 $y = \sin x, x \in \mathbb{R}$ 的图象吗？

由诱导公式一可知，函数 $y = \sin x$，$x \in [2k\pi, 2(k + 1)\pi]$，$k \in \mathbf{Z}$ 且 $k \neq 0$ 的图象与 $y = \sin x$，$x \in [0, 2\pi]$ 的图象形状完全一致。因此将函数 $y = \sin x$，$x \in [0, 2\pi]$ 的图象不断向左、向右平移（每次移动 $2\pi$ 个单位长度），就可以得到正弦函数 $y = \sin x$，$x \in \mathbf{R}$ 的图象（图5.4-4）。

正弦函数的图象叫做正弦曲线（sine curve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。

思考

在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？

观察图 5.4-3，在函数 $y=\sin x,\quad x\in[0,2\pi]$ 的图象上，以下五个点：

$(0, 0), \left(\frac {\pi}{2}, 1\right), (\pi , 0), \left(\frac {3 \pi}{2}, - 1\right), (2 \pi , 0)$

在确定图象形状时起关键作用. 描出这五个点, 函数 $y = \sin x$, $x \in [0, 2\pi]$ 的图象形状就基本确定了. 因此, 在精确度要求不高时, 常先找出这五个关键点, 再用光滑的曲线将它们连接起来, 得到正弦函数的简图. 这种近似的“五点 (画图) 法”是非常实用的.

由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数。下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象。

思考

你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？

对于函数 $y = \cos x$，由诱导公式 $\cos x = \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ 得，

$y = \cos x = \sin \left(x + \frac {\pi}{2}\right), x \in \mathbf {R}.$

而函数

$y = \sin \left(x + \frac {\pi}{2}\right), x \in \mathbf {R}$

你能说明理由吗？

的图象可以通过正弦函数

$y = \sin x, x \in \mathbf {R}$

的图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度而得到. 所以, 将正弦函数的图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度, 就得到余弦函数的图象, 如图5.4-5所示.

余弦函数 $y = \cos x$，$x \in \mathbf{R}$ 的图象叫做余弦曲线（cosine curve）。它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线。

探究

类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间 $[- \pi, \pi]$ 上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表5.4-1，然后画出 $y = \cos x, x \in [-\pi, \pi]$ 的简图.

例 1 画出下列函数的简图:

(1) $y=1+\sin x,\quad x\in[0,2\pi]$ ;

(2) $y = -\cos x, x \in [0, 2\pi].$

解：（1）按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图 5.4-6）：

(2) 按五个关键点列表:

描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图 5.4-7）：

思考

你能利用函数 $y = \sin x$，$x \in [0, 2\pi]$ 的图象，通过图象变换得到 $y = 1 + \sin x$，$x \in [0, 2\pi]$ 的图象吗？同样地，利用函数 $y = \cos x$，$x \in [0, 2\pi]$ 的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数 $y = -\cos x$，$x \in [0, 2\pi]$ 的图象？

练习

1. 在同一直角坐标系中，画出函数

$y = \sin x, x \in [ 0, 2 \pi ],$

$y = \cos x, x \in \left[ - \frac {\pi}{2}, \frac {3 \pi}{2} \right]$

的图象. 通过观察两条曲线, 说出它们的异同.

2. 用五点法分别画下列函数在 $[-π, π]$ 上的图象： (1) $y = -\sin x$ ; (2) $y = 2 - \cos x$ .

3. 想一想函数 $y = |\sin x|$ 与 $y = \sin x$ 的图象及其关系，并借助信息技术画出函数的图象进行检验.

4. (多项选择题)函数 $y = 1 + \cos x$, $x \in \left(\frac{\pi}{3}, 2\pi\right)$ 的图象与直线 $y = t$ ( $t$ 为常数)的交点可能有 ( ). (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个 (E) 4 个