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填表：
2.（口答）设 α \alpha α sin α , cos α , tan α , tan α 2 \sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha, \tan \frac{\alpha}{2} sin α , cos α , tan α , tan 2 α sin 156 ∘ \sin 156^{\circ} sin 15 6 ∘ cos 16 5 π \cos \frac{16}{5}\pi cos 5 16 π cos ( − 450 ∘ ) \cos (-450^{\circ}) cos ( − 45 0 ∘ ) tan ( − 17 8 π ) \tan \left(-\frac{17}{8}\pi\right) tan ( − 8 17 π ) sin ( − 4 π 3 ) \sin \left(-\frac{4\pi}{3}\right) sin ( − 3 4 π ) tan 556 ∘ \tan 556^{\circ} tan 55 6 ∘
对于 ① sin θ > 0 \sin \theta > 0 sin θ > 0 sin θ < 0 \sin \theta < 0 sin θ < 0 cos θ > 0 \cos \theta > 0 cos θ > 0 cos θ < 0 \cos \theta < 0 cos θ < 0 tan θ > 0 \tan \theta > 0 tan θ > 0 tan θ < 0 \tan \theta < 0 tan θ < 0
(1) 角 θ \theta θ
(2) 角 θ \theta θ
(3) 角 θ \theta θ
(4) 角 θ \theta θ
求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）题精确到0.0001）：
(1) cos 1109 ∘ \cos 1109^{\circ} cos 110 9 ∘ tan 19 π 3 \tan \frac{19\pi}{3} tan 3 19 π sin ( − 1050 ∘ ) \sin(-1050^{\circ}) sin ( − 105 0 ∘ ) tan ( − 31 π 4 ) \tan\left(-\frac{31\pi}{4}\right) tan ( − 4 31 π )
5.2.2 同角三角函数的基本关系
探究
公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系。由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系。
如图5.2-7，设点 P ( x , y ) P(x,y) P ( x , y ) α \alpha α P P P x x x x x x M M M △ O M P \triangle OMP △ O M P O P = 1 OP = 1 O P = 1
O M 2 + M P 2 = 1. O M ^ {2} + M P ^ {2} = 1. O M 2 + M P 2 = 1.
因此， x 2 + y 2 = 1 x^{2} + y^{2} = 1 x 2 + y 2 = 1
sin 2 α + cos 2 α = 1. \sin^ {2} \alpha + \cos^ {2} \alpha = 1. sin 2 α + cos 2 α = 1.
显然，当 α \alpha α α ≠ k π + π 2 ( k ∈ Z ) \alpha \neq k\pi +\frac{\pi}{2} (k\in \mathbf{Z}) α = k π + 2 π ( k ∈ Z )
sin α cos α = tan α . \frac {\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha. c o s α s i n α = tan α .
这就是说，同一个角 α \alpha α α \alpha α
例6 已知 sin α = − 3 5 \sin \alpha = -\frac{3}{5} sin α = − 5 3 cos α \cos \alpha cos α tan α \tan \alpha tan α
解：因为 sin α < 0 \sin \alpha < 0 sin α < 0 sin α ≠ − 1 \sin \alpha \neq -1 sin α = − 1 α \alpha α
由 sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha +\cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1
cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 − ( − 3 5 ) 2 = 16 25 . \cos^ {2} \alpha = 1 - \sin^ {2} \alpha = 1 - \left(- \frac {3}{5}\right) ^ {2} = \frac {1 6}{2 5}. cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 − ( − 5 3 ) 2 = 25 16 .
如果 α \alpha α cos α < 0 \cos \alpha < 0 cos α < 0
cos α = − 16 25 = − 4 5 , \cos \alpha = - \sqrt {\frac {1 6}{2 5}} = - \frac {4}{5}, cos α = − 25 16 = − 5 4 ,
从而
tan α = sin α cos α = ( − 3 5 ) × ( − 5 4 ) = 3 4 . \tan \alpha = \frac {\sin \alpha}{\cos \alpha} = \left(- \frac {3}{5}\right) \times \left(- \frac {5}{4}\right) = \frac {3}{4}. tan α = c o s α s i n α = ( − 5 3 ) × ( − 4 5 ) = 4 3 .
如果 α \alpha α
cos α = 4 5 , tan α = − 3 4 . \cos \alpha = \frac {4}{5}, \tan \alpha = - \frac {3}{4}. cos α = 5 4 , tan α = − 4 3 .
例 7 求证: cos x 1 − sin x = 1 + sin x cos x \frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x} 1 − s i n x c o s x = c o s x 1 + s i n x
证法1：由 cos x ≠ 0 \cos x\neq 0 cos x = 0 sin x ≠ − 1 \sin x\neq -1 sin x = − 1 1 + sin x ≠ 0 1 + \sin x\neq 0 1 + sin x = 0
左边 = cos x ( 1 + sin x ) ( 1 − sin x ) ( 1 + sin x ) = cos x ( 1 + sin x ) 1 − sin 2 x = cos x ( 1 + sin x ) cos 2 x = 1 + sin x cos x = 右边 . \begin{array}{r l} \text {左边} & = \frac {\cos x (1 + \sin x)}{(1 - \sin x) (1 + \sin x)} \\ & = \frac {\cos x (1 + \sin x)}{1 - \sin^ {2} x} \\ & = \frac {\cos x (1 + \sin x)}{\cos^ {2} x} \\ & = \frac {1 + \sin x}{\cos x} = \text {右边}. \end{array} 左边 = ( 1 − s i n x ) ( 1 + s i n x ) c o s x ( 1 + s i n x ) = 1 − s i n 2 x c o s x ( 1 + s i n x ) = c o s 2 x c o s x ( 1 + s i n x ) = c o s x 1 + s i n x = 右边 .
今后，除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式。
所以，原式成立.
证法 2: 因为
( 1 − sin x ) ( 1 + sin x ) = 1 − sin 2 x = cos 2 x = cos x cos x , \begin{array}{r l} & (1 - \sin x) (1 + \sin x) \\ & = 1 - \sin^ {2} x = \cos^ {2} x \\ & = \cos x \cos x, \end{array} ( 1 − sin x ) ( 1 + sin x ) = 1 − sin 2 x = cos 2 x = cos x cos x ,
且 1 − sin x ≠ 0 , cos x ≠ 0 1 - \sin x \neq 0, \cos x \neq 0 1 − sin x = 0 , cos x = 0
cos x 1 − sin x = 1 + sin x cos x . \frac {\cos x}{1 - \sin x} = \frac {1 + \sin x}{\cos x}. 1 − s i n x c o s x = c o s x 1 + s i n x .
练习
已知 cos α = − 4 5 \cos \alpha = -\frac{4}{5} cos α = − 5 4 α \alpha α sin α \sin \alpha sin α tan α \tan \alpha tan α
已知 tan φ = − 3 \tan \varphi = -\sqrt{3} tan φ = − 3 sin φ , cos φ \sin \varphi, \cos \varphi sin φ , cos φ
已知 sin θ = 0.35 \sin \theta = 0.35 sin θ = 0.35 cos θ \cos \theta cos θ tan θ \tan \theta tan θ
化简：
(1) cos θ tan θ ; \cos \theta \tan \theta; cos θ tan θ ;
2 cos 2 α − 1 1 − 2 sin 2 α ; \frac {2 \cos^ {2} \alpha - 1}{1 - 2 \sin^ {2} \alpha}; 1 − 2 s i n 2 α 2 c o s 2 α − 1 ;
(3) ( 1 + tan 2 α ) cos 2 α (1 + \tan^2\alpha)\cos^2\alpha ( 1 + tan 2 α ) cos 2 α
求证：sin 4 α + sin 2 α cos 2 α + cos 2 α = 1 \sin^4\alpha + \sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 4 α + sin 2 α cos 2 α + cos 2 α = 1
习题5.2
复习巩固
用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：
(1) − 17 π 3 -\frac{17\pi}{3} − 3 17 π 21 π 4 \frac{21\pi}{4} 4 21 π − 23 π 6 -\frac{23\pi}{6} − 6 23 π 1500 ∘ 1500^{\circ} 150 0 ∘
已知角 α \alpha α P P P ( 3 a , 4 a ) (3a, 4a) ( 3 a , 4 a ) a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 sin α , cos α , tan α \sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha sin α , cos α , tan α
计算：
(1) 6 sin ( − 90 ∘ ) + 3 sin 0 ∘ − 8 sin 270 ∘ + 12 cos 180 ∘ 6\sin(-90^{\circ})+3\sin0^{\circ}-8\sin270^{\circ}+12\cos180^{\circ} 6 sin ( − 9 0 ∘ ) + 3 sin 0 ∘ − 8 sin 27 0 ∘ + 12 cos 18 0 ∘
(2) 10 cos 270 ∘ + 4 sin 0 ∘ + 9 tan 0 ∘ + 15 cos 360 ∘ 10\cos 270^{\circ} + 4\sin 0^{\circ} + 9\tan 0^{\circ} + 15\cos 360^{\circ} 10 cos 27 0 ∘ + 4 sin 0 ∘ + 9 tan 0 ∘ + 15 cos 36 0 ∘
(3) 2 cos π 2 − tan π 4 + 3 4 tan 2 π 6 − sin π 6 + cos 2 π 6 + sin 3 π 2 2\cos \frac{\pi}{2} - \tan \frac{\pi}{4} + \frac{3}{4}\tan^2 \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{6} + \sin \frac{3\pi}{2} 2 cos 2 π − tan 4 π + 4 3 tan 2 6 π − sin 6 π + cos 2 6 π + sin 2 3 π
(4) sin 2 π 3 + cos 4 3 π 2 − tan 2 π 3 . \sin^{2}\frac{\pi}{3}+\cos^{4}\frac{3\pi}{2}-\tan^{2}\frac{\pi}{3}. sin 2 3 π + cos 4 2 3 π − tan 2 3 π .
化简：
(1) a sin 0 ∘ + b cos 90 ∘ + c tan 180 ∘ a \sin 0^{\circ} + b \cos 90^{\circ} + c \tan 180^{\circ} a sin 0 ∘ + b cos 9 0 ∘ + c tan 18 0 ∘
(2) − p 2 cos 180 ∘ + q 2 sin 90 ∘ − 2 p q cos 0 ∘ ; -p^{2}\cos180^{\circ}+q^{2}\sin90^{\circ}-2pq\cos0^{\circ}; − p 2 cos 18 0 ∘ + q 2 sin 9 0 ∘ − 2 pq cos 0 ∘ ;
(3) a 2 cos 2 π − b 2 sin 3 π 2 + a b cos π − a b sin π 2 a^2\cos 2\pi - b^2\sin \frac{3\pi}{2} + ab\cos \pi - ab\sin \frac{\pi}{2} a 2 cos 2 π − b 2 sin 2 3 π + ab cos π − ab sin 2 π
(4) m tan 0 + n cos 1 2 π − p sin π − q cos 3 2 π − r sin 2 π m\tan 0 + n\cos \frac{1}{2}\pi - p\sin \pi - q\cos \frac{3}{2}\pi - r\sin 2\pi m tan 0 + n cos 2 1 π − p sin π − q cos 2 3 π − r sin 2 π
确定下列三角函数值的符号：
(1) sin 186 ∘ \sin 186^{\circ} sin 18 6 ∘ tan 505 ∘ \tan 505^{\circ} tan 50 5 ∘ sin 7.6 π \sin 7.6\pi sin 7.6 π tan ( − 23 π 4 ) \tan\left(-\frac{23\pi}{4}\right) tan ( − 4 23 π ) cos 940 ∘ \cos 940^{\circ} cos 94 0 ∘ cos ( − 59 π 17 ) \cos\left(-\frac{59\pi}{17}\right) cos ( − 17 59 π )
(1) 已知 sin α = − 3 2 \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} sin α = − 2 3 α \alpha α cos α \cos \alpha cos α tan α \tan \alpha tan α cos α = − 5 13 \cos \alpha = -\frac{5}{13} cos α = − 13 5 α \alpha α sin α \sin \alpha sin α tan α \tan \alpha tan α tan α = − 3 4 \tan \alpha = -\frac{3}{4} tan α = − 4 3 sin α \sin \alpha sin α cos α \cos \alpha cos α cos α = 0.68 \cos \alpha = 0.68 cos α = 0.68 sin α \sin \alpha sin α tan α \tan \alpha tan α
综合运用
根据下列条件求函数 f ( x ) = sin ( x + π 4 ) + 2 sin ( x − π 4 ) − 4 cos 2 x + 3 cos ( x + 3 π 4 ) f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-4\cos2x+3\cos\left(x+\frac{3\pi}{4}\right) f ( x ) = sin ( x + 4 π ) + 2 sin ( x − 4 π ) − 4 cos 2 x + 3 cos ( x + 4 3 π ) x = π 4 x=\frac{\pi}{4} x = 4 π x = 3 π 4 x=\frac{3\pi}{4} x = 4 3 π
确定下列式子的符号：
(1) tan 125 ∘ sin 273 ∘ \tan 125^{\circ}\sin 273^{\circ} tan 12 5 ∘ sin 27 3 ∘
(2) tan 108 ∘ cos 305 ∘ \frac{\tan 108^{\circ}}{\cos 305^{\circ}} c o s 30 5 ∘ t a n 10 8 ∘
(3) sin 5 π 4 cos 4 π 5 tan 11 π 6 \sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{4\pi}{5} \tan \frac{11\pi}{6} sin 4 5 π cos 5 4 π tan 6 11 π
(4) cos 5 π 6 tan 11 π 6 sin 2 π 3 \frac{\cos \frac{5\pi}{6} \tan \frac{11\pi}{6}}{\sin \frac{2\pi}{3}} s i n 3 2 π c o s 6 5 π t a n 6 11 π
求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）（3）（4）题精确到0.0001）：
(1) sin ( − 67 π 12 ) \sin\left(-\frac{67\pi}{12}\right) sin ( − 12 67 π ) tan ( − 15 π 4 ) \tan\left(-\frac{15\pi}{4}\right) tan ( − 4 15 π ) cos 398 ∘ 13 ′ \cos 398^{\circ}13' cos 39 8 ∘ 1 3 ′ tan 766 ∘ 15 ′ \tan 766^{\circ}15' tan 76 6 ∘ 1 5 ′
求证：
(1) 角 θ \theta θ sin θ tan θ < 0 \sin \theta \tan \theta < 0 sin θ tan θ < 0 θ \theta θ cos θ tan θ < 0 \cos \theta \tan \theta < 0 cos θ tan θ < 0 θ \theta θ sin θ tan θ > 0 \frac{\sin \theta}{\tan \theta} > 0 t a n θ s i n θ > 0 θ \theta θ sin θ cos θ > 0 \sin \theta \cos \theta > 0 sin θ cos θ > 0
已知 sin x = − 1 3 \sin x = -\frac{1}{3} sin x = − 3 1 cos x \cos x cos x tan x \tan x tan x
已知 tan α = 3 \tan \alpha = \sqrt{3} tan α = 3 π < α < 3 2 π \pi < \alpha < \frac{3}{2}\pi π < α < 2 3 π cos α − sin α \cos \alpha - \sin \alpha cos α − sin α
已知角 α \alpha α
(1) 用 cos α \cos \alpha cos α sin α \sin \alpha sin α tan α \tan \alpha tan α
(2) 用 sin α \sin \alpha sin α cos α \cos \alpha cos α tan α \tan \alpha tan α
求证：
(1) 1 − 2 sin x cos x cos 2 x − sin 2 x = 1 − tan x 1 + tan x \frac{1 - 2\sin x\cos x}{\cos^2x - \sin^2x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} c o s 2 x − s i n 2 x 1 − 2 s i n x c o s x = 1 + t a n x 1 − t a n x
(2) tan 2 α − sin 2 α = tan 2 α sin 2 α \tan^2\alpha - \sin^2\alpha = \tan^2\alpha \sin^2\alpha tan 2 α − sin 2 α = tan 2 α sin 2 α
(3) ( cos β − 1 ) 2 + sin 2 β = 2 − 2 cos β (\cos \beta - 1)^2 + \sin^2 \beta = 2 - 2 \cos \beta ( cos β − 1 ) 2 + sin 2 β = 2 − 2 cos β
(4) sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos 2 x \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x\cos^2 x sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos 2 x
已知 tan α = 2 \tan \alpha = 2 tan α = 2 sin α + cos α sin α − cos α \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} s i n α − c o s α s i n α + c o s α
拓广探索
化简 1 + sin α 1 − sin α − 1 − sin α 1 + sin α \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} 1 − s i n α 1 + s i n α − 1 + s i n α 1 − s i n α α \alpha α
从本节的例7可以看出，cos x 1 − sin x = 1 + sin x cos x \frac{\cos x}{1 - \sin x} = \frac{1 + \sin x}{\cos x} 1 − s i n x c o s x = c o s x 1 + s i n x sin 2 x + cos 2 x = 1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 sin 2 x + cos 2 x = 1
18.（1）分别计算 sin 4 π 3 − cos 4 π 3 \sin^4\frac{\pi}{3} -\cos^4\frac{\pi}{3} sin 4 3 π − cos 4 3 π sin 2 π 3 − cos 2 π 3 \sin^2\frac{\pi}{3} -\cos^2\frac{\pi}{3} sin 2 3 π − cos 2 3 π
（2）任取一个 α \alpha α sin 4 α − cos 4 α \sin^4\alpha -\cos^4\alpha sin 4 α − cos 4 α sin 2 α − cos 2 α \sin^2\alpha -\cos^2\alpha sin 2 α − cos 2 α
(3) 证明： ∀ x ∈ R , sin 2 x − cos 2 x = sin 4 x − cos 4 x . \forall x \in R, \sin^{2}x - \cos^{2}x = \sin^{4}x - \cos^{4}x. ∀ x ∈ R , sin 2 x − cos 2 x = sin 4 x − cos 4 x .
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三角学与天文学
三角学的起源、发展与天文学密不可分，它是天文观察结果推算的一种方法。在1450年以前的三角学主要是球面三角，这不但是因为航海、历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，而且也因为宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力，这种“量天的学问”确实太诱人了。后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角。
在欧洲，最早将三角学从天文学中独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯(J. Regiomontanus, 1436—1476). 他在1464年完成的5卷本的著作《论各种三角形》，是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作，这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述. 前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学. 前2卷中，他采用印度人的正弦，即弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法；后3卷中，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理。他的工作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础，对16世纪的数学家产生了极大影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了很大影响。
由于雷格蒙塔努斯仅仅采用正弦函数和余弦函数，而且函数值也限定在正数范围内，因而不能推出应有的三角公式，导致计算的困难。后来，哥白尼的学生雷提库斯（G. J. Rheticus，1514—1576）将传统的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来。他还采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割），制定了更为精确的正弦、正切、正割表。这些工作都极大推进了三角学的发展。实际上，由于天文学研究的需要，制定更加精确的三角函数表一直是数学家奋斗的目标，这大大推动了三角学的发展。
法国数学家韦达（F. Viete，1540—1603）所做的平面三角与球面三角系统化工作，使得三角学得到进一步发展。他总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等。他将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。对球面直角三角形，他给出了计算的方法和一套完整的公式及其记忆法则，并将这套公式表示成了代数形式，这是非常重要的工作。
16 世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支。后来，在微积分、物理学的研究和应用（如对振动、声音传播等的研究）中，三角学又找到了新的用武之地。
