5.1 任意角和弧度制

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5.1 任意角和弧度制

圆周运动是一种常见的周期性变化现象. 如图 5.1-1, ⊙O\odot O 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向的旋转. 如何刻画点 P 的位置变化呢?

图5.1-1

我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。在图5.1-1中，射线的端点是圆心 OO ，它从起始位置 OAOA 按逆时针方向旋转到终止位置 OPOP ，形成一个角 α\alpha ，射线 OAOA ， OPOP 分别是角 α\alpha 的始边和终边。当角 α\alpha 确定时，终边 OPOP 的位置就确定了。这时，射线 OPOP 与 ⊙O\odot O 的交点 PP 也就确定了。由此想到，可以借助角 α\alpha 的大小变化刻画点 PP 的位置变化。

由初中知识可知，射线 OAOA 绕端点 OO 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内的角。如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了。所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围。

5.1.1 任意角

现实生活中随处可见超出 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围的角。例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，图5.1-2是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向。这样，OAOA 绕点 OO 旋转所成的角与 O′BO'B 绕点 O′O' 旋转所成的角就会有不同的方向。因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广。

我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.

图 5.1-2

● ●

为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α\alpha”或“∠α\angle \alpha”可以简记成“α\alpha”.

如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终边重合。如果 α\alpha 是零角，那么 α=0∘\alpha=0^{\circ} 。图 5.1-3(1) 中的角是一个正角，它等于 750∘750^{\circ} ；图 5.1-3(2) 中，正角 α=210∘\alpha=210^{\circ} ，负角 β=−150∘\beta=-150^{\circ} ， γ=−660∘\gamma=-660^{\circ} 。正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角。

(1)

图5.1-3(2)

这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。设角 α\alpha 由射线 OAOA 绕端点 OO 旋转而成，角 β\beta 由射线 O′A′O'A' 绕端点 O′O' 旋转而成。如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 α=β\alpha = \beta。

设 α,β\alpha, \beta 是任意两个角. 我们规定, 把角 α\alpha 的终边旋转角 β\beta, 这时终边所对应的角是 α+β\alpha + \beta.

类似于实数 aa 的相反数是 −a-a，我们引入任意角 α\alpha 的相反角的概念。如图5.1-4，我们把射线 OAOA 绕端点 OO 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。角 α\alpha 的相反角记为 −α-\alpha。于是，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有

α−β=α+(−β).\alpha - \beta = \alpha + (- \beta).

这样，角的减法可以转化为角的加法.

(1)

图5.1-4(2)

图 5.1-5

我们通常在直角坐标系内讨论角. 为了方便, 使角的顶点与原点重合, 角的始边与 xx 轴的非负半轴重合. 那么, 角的终边在第几象限, 就说这个角是第几象限角. 例如, 图 5.1-5 中的 30∘30^{\circ} 角、−120∘-120^{\circ} 角分别是第一象限角和第三象限角. 如果角的终边在坐标轴上, 那么就认为这个角不属于任何一个象限.

你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？

探究

将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线 OB（图 5.1-6），以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？

图5.1-6

不难发现，在图5.1-6中，如果 −32∘-32^{\circ} 角的终边是 OBOB ，那么 328∘328^{\circ} ， −392∘-392^{\circ} ，…角的终边都是 OBOB ，并且与 −32∘-32^{\circ} 角终边相同的这些角都可以表示成 −32∘-32^{\circ} 的角与 kk 个 (k∈Z)(k\in \mathbf{Z}) 周角的和，如

328∘=−32∘+360∘(这里k=_),−392∘=−32∘−360∘(这里k=_).\begin{array}{c} 3 2 8 ^ {\circ} = - 3 2 ^ {\circ} + 3 6 0 ^ {\circ} (\text {这里} k = \_), \\ - 3 9 2 ^ {\circ} = - 3 2 ^ {\circ} - 3 6 0 ^ {\circ} (\text {这里} k = \_). \end{array}

设 S={β∣β=−32∘+k⋅360∘,k∈Z}S = \{\beta \mid \beta = -32^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\}，则 328∘328^{\circ}，−392∘-392^{\circ} 角都是 SS 的元素，−32∘-32^{\circ} 角也是 SS 的元素（此时 k=_k = \_）。因此，所有与 −32∘-32^{\circ} 角终边相同的角，连同 −32∘-32^{\circ} 角在内，都是集合 SS 的元素；反过来，集合 SS 的任一元素显然与 −32∘-32^{\circ} 角的终边相同。

一般地，我们有：

所有与角 α\alpha 终边相同的角，连同角 α\alpha 在内，可构成一个集合

S={β∣β=α+k⋅360∘,k∈Z},S = \{\beta \mid \beta = \alpha + k \cdot 3 6 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \},

即任一与角 α\alpha 终边相同的角，都可以表示成角 α\alpha 与整数个周角的和.

● ●

例 1 在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，找出与 −950∘12′-950^{\circ}12' 角终边相同的角，并判定它是第几象限角.

在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转 360∘360^{\circ} 后回到原来的位置。因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律。

解： −950∘12′=129∘48′−3×360∘-950^{\circ}12' = 129^{\circ}48' - 3 \times 360^{\circ} ，所以在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，与 −950∘12′-950^{\circ}12' 角终边相同的角是 129∘48′129^{\circ}48' ，它是第二象限角.

例 2 写出终边在 y 轴上的角的集合.

解：在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，终边在 yy 轴上的角有两个，即 90∘90^{\circ}，270∘270^{\circ} 角（图5.1-7）。因此，所有与 90∘90^{\circ} 角终边相同的角构成集合

S1={β∣β=90∘+k⋅360∘,k∈Z},S _ {1} = \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + k \cdot 3 6 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \},

图5.1-7

而所有与 270∘270^{\circ} 角终边相同的角构成集合

S2={β∣β=270∘+k⋅360∘,k∈Z},S _ {2} = \{\beta \mid \beta = 2 7 0 ^ {\circ} + k \cdot 3 6 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \},

于是，终边在 yy 轴上的角的集合

S=S1∪S2={β∣β=90∘+2k⋅180∘,k∈Z}∪{β∣β=90∘+180∘+2k⋅180∘,k∈Z}={β∣β=90∘+2k⋅180∘,k∈Z}∪{β∣β=90∘+(2k+1)180∘,k∈Z}={β∣β=90∘+n⋅180∘,n∈Z}.\begin{array}{r l} S & = S _ {1} \cup S _ {2} \\ & = \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + 2 k \cdot 1 8 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \cup \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + 1 8 0 ^ {\circ} + 2 k \cdot 1 8 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \\ & = \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + 2 k \cdot 1 8 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \cup \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + (2 k + 1) 1 8 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \\ & = \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + n \cdot 1 8 0 ^ {\circ}, n \in \mathbf {Z} \}. \end{array}

例3 写出终边在直线 y=xy = x 上的角的集合 SS. SS 中满足不等式 −360∘⩽β<720∘-360^{\circ} \leqslant \beta < 720^{\circ} 的元素 β\beta 有哪些？

解：如图 5.1-8，在直角坐标系中画出直线 y=x，可以发现它与 x 轴的夹角是 45∘45^{\circ} ，在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，终边在直线 y=x 上的角有两个： 45∘45^{\circ} ， 225∘225^{\circ} 。因此，终边在直线 y=x 上的角的集合

S={β∣β=45∘+k⋅360∘,k∈Z}∪{β∣β=225∘+k⋅360∘,k∈Z}={β∣β=45∘+n⋅180∘,n∈Z}.\begin{array}{r l} S = & \{\beta | \beta = 4 5 ^ {\circ} + k \cdot 3 6 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \cup \\ & \{\beta | \beta = 2 2 5 ^ {\circ} + k \cdot 3 6 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \\ & = \{\beta | \beta = 4 5 ^ {\circ} + n \cdot 1 8 0 ^ {\circ}, n \in \mathbf {Z} \}. \end{array}

图5.1-8

S 中适合不等式 −360∘⩽β<720∘-360^{\circ} \leqslant \beta < 720^{\circ} 的元素 β\beta 有 45^{\circ}-2\times180^{\circ}=-315^{\circ},$$45^{\circ}-1\times180^{\circ}=-135^{\circ},$$45^{\circ}+0\times180^{\circ}=45^{\circ},$$45^{\circ}+1\times180^{\circ}=225^{\circ},$$45^{\circ}+2\times180^{\circ}=405^{\circ},$$45^{\circ}+3\times180^{\circ}=585^{\circ}.

练习

1.（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

2.（口答）今天是星期三，那么 7k(k∈Z)7k(k\in \mathbf{Z}) 天后的那一天是星期几？ 7k(k∈Z)7k(k\in \mathbf{Z}) 天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？

  1. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角： (1) 420∘420^{\circ} ; (2) −75∘-75^{\circ} ; (3) 855∘855^{\circ} ; (4) −510∘-510^{\circ} .

  2. 在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： (1) −54∘18′-54^{\circ}18' ; (2) 395∘8′395^{\circ}8' ; (3) −1190∘30′-1190^{\circ}30' .

  3. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式 −720∘⩽β<360∘-720^{\circ} \leqslant \beta < 360^{\circ} 的元素 β\beta：(1) 1303∘18′1303^{\circ} 18'；(2) −225∘-225^{\circ}.