4.5 函数的应用（二）

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4.5 函数的应用（二）

在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法。本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法。

4.5.1 函数的零点与方程的解

思考

我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点。像 $\ln x + 2x - 6 = 0$ 这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？

与二次函数的零点一样，对于一般函数 $y = f(x)$，我们把使 $f(x) = 0$ 的实数 $x$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的零点（zero）.

这样，函数 $y = f(x)$ 的零点就是方程 $f(x) = 0$ 的实数解，也就是函数 $y = f(x)$ 的图象与 $x$ 轴的公共点的横坐标. 所以

方程 $f(x) = 0$ 有实数解

$\Leftrightarrow$ 函数 $y = f(x)$ 有零点

$\Leftrightarrow$ 函数 $y = f(x)$ 的图象与 $x$ 轴有公共点.

由此可知，求方程 $f(x) = 0$ 的实数解，就是确定函数 $y = f(x)$ 的零点。一般地，对于不能用公式求解的方程 $f(x) = 0$，我们可以把它与相应的函数 $y = f(x)$ 联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。

下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手.

探究

对于二次函数 $f(x) = x^2 - 2x - 3$，观察它的图象（图4.5-1），发现它在区间[2,4]上有零点。这时，函数图象与 $x$ 轴有什么关系？在区间[-2,0]上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数 $f(x)$ 的取值规律来刻画这种关系？

再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与 $x$ 轴的关系，并探究用 $f(x)$ 的取值刻画这种关系的方法.

可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过” $x$ 轴。函数在端点 $x = 2$ 和 $x = 4$ 的取值异号，即 $f(2)f(4) < 0$，函数 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 在区间（2，4）内有零点 $x = 3$，它是方程 $x^2 - 2x - 3 = 0$ 的一个根。同样地，$f(-2)f(0) < 0$，函数 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 在 $(-2, 0)$ 内有零点 $x = -1$，它是方程 $x^2 - 2x - 3 = 0$ 的另一个根。

一般地，我们有：

函数零点存在定理 如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 $f(a)f(b) < 0$，那么，函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内至少有一个零点，即存在 $c \in (a, b)$，使得 $f(c) = 0$，这个 $c$ 也就是方程 $f(x) = 0$ 的解.

例 1 求方程 $\ln x + 2x - 6 = 0$ 的实数解的个数.

分析：可以先借助计算工具画出函数 $y = \ln x + 2x - 6$ 的图象或列出 $x$，$y$ 的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助.

解：设函数 $f(x) = \ln x + 2x - 6$，利用计算工具，列出函数 $y = f(x)$ 的对应值表（表4.5-1），并画出图象（图4.5-2）.