4.4.3 不同函数增长的差异

前三节回答了”指数函数、对数函数各自长什么样”，这一节把它们和一次函数放到同一个坐标系里比谁涨得快。结论值得先记住：三种增长方式不在一个”档次”上——一次函数匀速、对数函数越涨越慢、指数函数越涨越快。最后不管系数多大，指数总会碾压一切；不管系数多小，对数最终都被超越。这就是”直线上升""对数增长""指数爆炸”三个词的含义。

学完这一节，你要能：描述三种函数增长差异的”档次”结论、看懂”总会存在一个 $x_0$“这类说理、用增长类型判断现实问题该套哪种模型。

一、指数 vs 一次：先落后，后碾压

第一个探究以 $y = 2^x$ 与 $y = 2x$ 为例。列表画图（表 4.4-3、图 4.4-5）后发现，两个函数的图象有两个交点 $(1, 2)$、$(2, 4)$，把区间分段：

两个函数在 $[0, +\infty)$ 上都单调递增，但增长速度不同：$y = 2x$ 的增长速度恒定不变（每加 1 个 $x$，加 2 个 $y$）；$y = 2^x$ 的增长速度本身在变化。

往更大的范围看（表 4.4-4、图 4.4-6）：$x$ 越来越大时，$2^x$ 的图象”就像与 $x$ 轴垂直一样”直冲向上，而 $2x$ 的增长”几乎微不足道”。虽然在小范围内 $2^x$ 一度小于 $2x$，但总会存在一个 $x_0$，当 $x > x_0$ 时恒有 $2^x > 2x$。

推广到一般（课本边注）：指数函数 $y = a^x$（$a > 1$）与一次函数 $y = kx$（$k > 0$）的增长差异都与此类似——即使 $k$ 远远大于 $a$，$y = a^x$ 的增长速度最终都会大大超过 $y = kx$。 系数改变的是”相遇前谁占优”，改变不了”最终谁赢”。

二、对数 vs 一次：先占优，后被甩

第二个探究以 $y = \lg x$ 与 $y = \frac{1}{10}x$ 为例。两个函数在 $(0, +\infty)$ 上都单调递增，但：

$$\lg 10 = 1,\ \lg 100 = 2,\ \lg 1000 = 3,\ \lg 10000 = 4;$$ $$\frac{1}{10} \times 10 = 1,\ \frac{1}{10} \times 100 = 10,\ \frac{1}{10} \times 1000 = 100,\ \frac{1}{10} \times 10000 = 1000.$$

$y = \frac{1}{10}x$ 匀速前进，$y = \lg x$ 的图象却越来越平缓，“就像与 $x$ 轴平行一样”。当 $x > 10$（即 $\lg x > 1$）时，$\lg x$ 与 $\frac{1}{10}x$ 相比增长得就很慢了。

思考问：把 $\lg x$ 放大 1000 倍变成 $y = 1000\lg x$，还有这个规律吗？答案是有——因为放大的是”当时的函数值”，不是”增长的速度”：$y = 1000\lg x$ 在每个 $x$ 处的瞬时增长速度仍与 $x$ 成反比，随着 $x$ 增大照样趋近于 0。放大系数只决定”多坚持一段”，改变不了”最终被匀速的一次函数甩开”。

一般结论（课本边注）：对数函数 $y = \log_a x$（$a > 1$）与一次函数 $y = kx$（$k > 0$）在 $(0, +\infty)$ 上都单调递增，但 $y = kx$ 保持固定增长速度，$y = \log_a x$ 的增长速度越来越慢。即使 $k$ 很小，在一定范围内 $\log_a x$ 可能大于 $kx$，但总会存在一个 $x_0$，当 $x > x_0$ 时恒有 $\log_a x < kx$。 注意方向与第一节正好相反：这次是”最终被超越”。

三、三者合看：三个档次，三个词

第三个探究把 $y = 2x$、$y = \lg x$、$y = 2^x$ 画进同一个坐标系（图 4.4-8）：对数函数在最下、涨得最慢；一次函数居中、匀速；指数函数在最上、越涨越陡。概括出的三个词要能说清含义：

1. 直线上升：一次函数——每经过相等的自变量增量，函数值增加的量恒定（增长率恒定）；
2. 对数增长：对数函数——增长速度越来越慢，图象越来越平缓，适用于”先快后慢、最终趋于平稳”的规律（如学习曲线、冷却降温）；
3. 指数爆炸：指数函数——增长速度越来越快，适用于”先慢后快、最终急剧膨胀”的规律（如细胞分裂、复利、疫情初期）。

选模型就是这一节的应用出口：先看数据是”每期加常数”（线性）、“每期乘常数”（指数）还是”增量越来越小”（对数），再决定套哪个函数。这也是 4.5.3 函数模型应用的总纲。

四、一个要记住的判定技巧：看”每期增量/比值”

判断一组数据属于哪种增长，看相邻项：

练习第 1 题就是直接应用：$y_1$ 二阶差恒定（幂型）、$y_2$ 相邻比值恒为 18（指数型）、$y_3$ 相邻差恒为 25（线性型），答案 $y_2$。

五、习题里的增长问题

习题 4.4 里和本节增长差异直接相关的有两道：

• 第 6 题（药物含量图象）：先线性上升（注射期间）、后指数衰减（停止注射后）——指数衰减先快后慢、无限接近时间轴但永不相交，这是判断 (B) 的关键（选项 C 的曲线与轴相交、选项 D 穿到轴下方都是错的）；
• 第 11 题（房价两种增长）：同样的起点（20 万）与 10 年后的终点（40 万），直线增长 $P_1 = 20 + 2t$ 与指数增长 $P_2 = 20 \times 2^{\frac{t}{10}}$ 在前 10 年难分伯仲，t=20 时已拉开到 80 万 vs 60 万——同一个起点终点，两种”中间过程”，指数型是后程加速。

其余题目（定义域、比大小、反函数、对数方程）是 4.4.1/4.4.2 的练习打包进了习题 4.4，本节不展开。

六、易错点

1. “最终碾压”是渐进的，不是立刻的：$2^x$ 在 $(1, 2)$ 上反而小于 $2x$——比大小必须按区间分，不能凭”指数增长快”一句话下结论；
2. 系数改变不了档次：$1000\lg x$ 最终还是输给 $\frac{1}{10}x$、$2^x$ 最终还是赢过 $1000000x$——“档次”由函数类型决定，系数只影响”转折点 $x_0$ 的位置”；
3. 两个”总会存在 $x_0$“方向相反：指数 vs 一次是”$x > x_0$ 时恒有 $a^x > kx$“，对数 vs 一次是”$x > x_0$ 时恒有 $\log_a x < kx$“——别把不等式方向记反；
4. 指数衰减与轴的关系：$y = a^x$（$0 < a < 1$）以 $x$ 轴为渐近线，函数值恒正、永不为 0——图象”穿轴”或”跌到负”的选项必错（第 6 题 C、D）；
5. 对数增长”越来越慢”不是说”最终不动”：$\lg x$ 仍然无界递增，只是速度趋近 0；
6. 判定增长类型用”相邻项”：比值恒定才是指数（练习 1 的 $y_2$），看”差恒定”会误判成线性。

七、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。增长差异是高考函数图象题的高频背景：“增长型图象识别”（哪个图是线性/指数/对数型，如习题第 6 题型）、“指数爆炸”与”对数增长”的定性判断常以选择题出现；用增长类型选模型是应用题（4.5.3 的题型）的第一步。掌握”看相邻项定类型 + 档次结论”就够应对。

八、怎么读这一节

1. 亲手算一遍 $2^x$ 与 $2x$ 的交点与分段（$(1,2)$、$(2,4)$ 分出的三个区间），体会”先落后后碾压”的节奏；
2. 把 $\lg 10, \lg 100, \lg 1000, \lg 10000$ 与 $\frac{1}{10} \times 10, \ldots$ 两行数并排写一遍——“对数增长多慢”的直观就靠这组数；
3. 独立回答思考题（$\lg x$ 放大 1000 倍）：结论是规律不变，理由要点在”增长速度”与”函数值”是两回事；
4. 说清”直线上升、对数增长、指数爆炸”三个词各对应哪种函数、哪种现实规律；
5. 做练习第 1 题（三组数据定类型）与习题第 6 题（图象选择）——判类型、认图象各练一遍。

下一节 4.5 函数的应用（二）：把第 4 章的全部工具——指数、对数、增长的差异——拿去解决现实问题。

本节页面覆盖第 143–148 页，课本习题共 17 道：第 146 页「练习」4 道、第 147–148 页「习题 4.4」13 道（复习巩固 1–6、综合运用 7–11、拓广探索 12–13），逐题全做。「习题 4.4」打印在本节页面上，整章（§4.4.1–§4.4.3）的习题都收在它名下，故一并详解。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习 第 1 题

1. 三个变量 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 随变量 $x$ 变化的数据如下表：

其中关于 x 呈指数增长的变量是 ____。

题面表格在课本第 146 页（数据为）：

看相邻两个数据点（间隔为 5）的变化特征：

• $y_1$：相邻差依次为 $125, 375, 625, 875, \ldots$，差本身按 $+250$ 变化——二阶差恒定，是二次型（幂函数）增长，不是指数增长；
• $y_2$：相邻比值恒为 $\frac{90}{5} = \frac{1620}{90} = \frac{29160}{1620} = \cdots = 18$——等比、比值恒定，是指数增长；
• $y_3$：相邻差恒为 $25$——等差，是线性增长。

答案是 $y_2$（事实上 $y_2 = 5 \times 18^{\frac{x}{5}}$）。

自检：判断增长类型看”相邻项”——比值恒定是指数、差恒定是线性、二阶差恒定是幂型。$y_2$ 每过 5 个单位就乘 18，这正是”爆炸性增长”的数据形态。

练习 第 2 题

2. (1)(2)(3)分别是函数 $y = 3^x$ 和 $y = 5x$ 在不同范围的图象，借助计算工具估算出使 $3^x > 5x$ 的 $x$ 的取值范围（精确到0.01）.

令 $f(x) = 3^x - 5x$，用计算工具（或二分法）找 $f(x) = 0$ 的两个根。检验几个点：$f(0) = 1 > 0$，$f(1) = 3 - 5 = -2 < 0$——第一个根在 $(0, 1)$；$f(2) = 9 - 10 = -1 < 0$，$f(3) = 27 - 15 = 12 > 0$——第二个根在 $(2, 3)$。

用计算工具求到精确到 0.01：

$$x_1 \approx 0.2687, \qquad x_2 \approx 2.1703.$$

另外当 $x \le 0$ 时，$3^x > 0$ 而 $5x \le 0$，$3^x > 5x$ 恒成立。所以

$$x \in (-\infty, 0.27) \cup (2.17, +\infty).$$

自检：$3^x$ 与 $5x$ 的图象交于横坐标约 $0.27$ 与 $2.17$ 的两个点，把数轴分成三段——两端 $3^x$ 在上、中间 $5x$ 在上。这正是”指数先占优、中间落后、最终碾压”的典型形态（对应本题的三个图象分别展示这三个范围）。验算根的界限：$3^{0.26} \approx 1.331 > 1.3$、$3^{0.27} \approx 1.345 < 1.35$——第一个根在 $(0.26, 0.27)$，约为 $0.27$；$3^{2.17} \approx 10.848 < 10.85$、$3^{2.18} \approx 10.968 > 10.9$——第二个根在 $(2.17, 2.18)$，约为 $2.17$。

练习 第 3 题

3. 如图，对数函数 $y = \lg x$ 的图象与一次函数 $y = f(x)$ 的图象有 $A$，$B$ 两个公共点。求一次函数 $y = f(x)$ 的解析式。

题面附图（课本第 146 页）：$y = \lg x$ 与直线 $y = f(x)$ 交于 $A(1, 0)$ 与 $B(2, \lg 2)$（$B$ 向 $x$ 轴引的竖直虚线落在刻度 2 上）。

直线过 $A(1, 0)$、$B(2, \lg 2)$，斜率

$$k = \frac{\lg 2 - 0}{2 - 1} = \lg 2,$$

用点斜式（过 $A(1, 0)$）：

$$f(x) = \lg 2 \cdot (x - 1) = (\lg 2)x - \lg 2.$$

自检：$f(1) = 0$ ✓（$A$ 在直线上，也是 $y = \lg x$ 与 $x$ 轴的交点）；$f(2) = \lg 2$ ✓（$B$ 在直线上）。用 $\lg 2 \approx 0.3010$ 代入可得 $f(x) \approx 0.3010x - 0.3010$。两个公共点都在 $x > 0$ 一侧，符合 $y = \lg x$ 的定义域。

练习 第 4 题

4. 函数 $y = f(x)$ 的图象如图所示，则 $y = f(x)$ 可能是（）.

(A) $y = 1 - x^{-1}, x \in (0, +\infty)$ (B) $y = \frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^x, x \in (0, +\infty)$

(C) $y = \ln x$ (D) $y = x - 1, x \in (0, +\infty)$

题面附图（课本第 146 页）的特征：曲线过点 $(1, 0)$；在 $(0, +\infty)$ 上单调递增但越来越平缓（上凸）；左端 $x \to 0^+$ 时急剧下降，探到 $y = -1$ 以下；与过 $y = 1$ 的水平虚线相交于横坐标约 2.7 处；$x$ 轴刻度为 1、2、3、4。

选 (C) $y = \ln x$。对照四个选项：

• (A) $y = 1 - \frac{1}{x}$：以 $y = 1$ 为水平渐近线，永不与直线 $y = 1$ 相交——与图”曲线交于 $y = 1$ 处”矛盾 ✗；
• (B) $y = \frac{3}{2} - \left(\frac12\right)^x$：$x \to 0^+$ 时 $y \to \frac{3}{2} - 1 = \frac12$，左端趋于 $\frac12$——与图”左端下探到 $-1$ 以下”矛盾 ✗；
• (C) $y = \ln x$：过 $(1, 0)$ ✓；$x \to 0^+$ 时 $\ln x \to -\infty$，左端急剧下探 ✓；递增且上凸（越来越平缓）✓；$\ln x = 1$ 的解是 $x = e \approx 2.72$，恰与图中交点横坐标（2 到 3 之间）吻合 ✓；
• (D) $y = x - 1$：直线，与”上凸曲线”矛盾 ✗。

自检：识图抓三个特征——过哪点、左端去哪、有没有渐近线/与某条水平线相交。$\ln x$ 的”左端下探无穷 + 无水平渐近线”与 $1 - \frac1x$ 的”渐近线 $y = 1$“是区分 (A)(C) 的关键。

习题 4.4 复习巩固 第 1 题

1. 求下列函数的定义域： (1) $y=\sqrt[3]{\log_{2}x}$ ; (2) $y=\sqrt{\log_{0.5}(4x-3)}$ .

(1) 立方根对任意实数都有定义，所以只要求对数有意义：真数 $x > 0$。定义域为 $(0, +\infty)$。

(2) 偶次根号要求被开方数非负，同时对数要求真数为正：

$$\log_{0.5}(4x - 3) \ge 0 \quad \text{且} \quad 4x - 3 > 0.$$

底数 $0.5 < 1$，$y = \log_{0.5} x$ 是减函数，$\log_{0.5}(4x - 3) \ge 0 = \log_{0.5} 1$ 推出 $4x - 3 \le 1$，即 $x \le 1$；真数条件给 $x > \frac34$。定义域为 $\left(\frac34, 1\right]$。

自检：(2) 是”根号 + 对数”双限制，两条不等式都要写并取交集。减函数方向反转（$\ge$ 变成 $\le$）是易错点——$x = 1$ 时 $\log_{0.5} 1 = 0$，根号取到 0，可取；$x = \frac34$ 时真数为 0，不可取。

习题 4.4 复习巩固 第 2 题

2. 比较满足下列条件的两个正数 $m$，$n$ 的大小： (1) $\log_3 m < \log_3 n$; (2) $\log_{0.3} m < \log_{0.3} n$; (3) $\log_a m < \log_a n (0 < a < 1)$; (4) $\log_a m > \log_a n (a > 1)$.

(1) 底 $3 > 1$，$y = \log_3 x$ 增，$\log_3 m < \log_3 n \Rightarrow m < n$； (2) 底 $0.3 < 1$，$y = \log_{0.3} x$ 减，$\log_{0.3} m < \log_{0.3} n \Rightarrow m > n$； (3) $0 < a < 1$ 减，$\log_a m < \log_a n \Rightarrow m > n$； (4) $a > 1$ 增，$\log_a m > \log_a n \Rightarrow m > n$。

自检：与 4.2.2 习题第 3 题（指数版）完全同构——先看底数在哪一边定增减，再反转方向。注意题目声明了 $m$、$n$ 是正数，真数条件自动满足，不用额外讨论。

习题 4.4 复习巩固 第 3 题

3. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 $v$ （单位： $\mathrm{km / s}$ )和燃料的质量 $M$ （单位： $\mathrm{kg}$ ）、火箭（除燃料外）的质量 $m$ （单位： $\mathrm{kg}$ )的函数关系是 $v = 2000\ln \left(1 + \frac{M}{m}\right)$ .当燃料质量是火箭质量的百分之几时，火箭的最大速度可达到 $12\mathrm{km / s}$ ?

把 $v = 12$ 代入：

$$12 = 2000\ln\left(1 + \frac{M}{m}\right) \quad \Rightarrow \quad \ln\left(1 + \frac{M}{m}\right) = \frac{12}{2000} = 0.006,$$ $$1 + \frac{M}{m} = e^{0.006} \approx 1.006018,$$ $$\frac{M}{m} \approx 0.006018 \approx 0.6\%.$$

当燃料质量约为火箭质量的 0.6% 时，火箭的最大速度可达到 $12\ \mathrm{km/s}$。

自检：对数方程 $\ln u = c$ 的反解就是 $u = e^c$——“取对数”的逆运算。$e^{0.006}$ 用计算工具求值；量级感受：$0.6\%$ 的燃料质量就能把”空火箭”加速到第二宇宙速度量级，说明 $\ln$ 增长模型里早期增量很大。

习题 4.4 复习巩固 第 4 题

4. 函数 $y=\log_{2}x,\ y=\log_{5}x,\ y=\lg x$ 的图象如图所示， (1) 试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； (2) 以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出 $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ ， $y=\log_{\frac{1}{5}}x$ ， $y=\log_{\frac{1}{10}}x$ 的图象； (3) 从（2）的图中你发现了什么？

题面附图（课本第 147 页）里三条曲线都过点 $(1, 0)$，标注为①②③。

(1) 当 $x > 1$ 时，用换底公式：

$$\log_2 x = \frac{\lg x}{\lg 2}, \qquad \log_5 x = \frac{\lg x}{\lg 5}, \qquad \lg x,$$

因为 $\lg x > 0$ 且 $\lg 2 < \lg 5 < 1$，所以 $\log_2 x > \log_5 x > \lg x$——同一 $x$ 处底数越小函数值越大，图象越靠上。因此 ③（最上方）对应 $y = \log_2 x$，②（中间）对应 $y = \log_5 x$，①（最下方）对应 $y = \lg x$。

(2) 由换底公式 $\log_{\frac1a} x = -\log_a x$（4.4.2”思考”），$y = \log_{\frac12} x$、$y = \log_{\frac15} x$、$y = \log_{\frac1{10}} x$ 的图象分别是 $y = \log_2 x$、$y = \log_5 x$、$y = \lg x$ 的图象关于 $x$ 轴的对称图形——把已有图象沿 $x$ 轴翻折即可，都过 $(1, 0)$、在 $x \in (0, 1)$ 时为正。

(3) 发现：底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 $x$ 轴对称（与”底数互为倒数的指数函数图象关于 $y$ 轴对称”正好相对）。

自检：底数 $\ne 1$ 的正数 $a$ 越小、$x > 1$ 时 $\log_a x$ 越大——“底大贴轴、底小靠上”是对数函数图象识别的口诀；(2) 全靠对称性，一个点 $(1, 0)$、一个方向，两个要素就能画。

习题 4.4 复习巩固 第 5 题

5. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵。研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $\mathrm{m / s}$ )可以表示为 $v = \frac{1}{2}\log_3\frac{O}{100}$，其中 $O$ 表示鱼的耗氧量的单位数。 (1) 当一条鱼的耗氧量是 2700 个单位时，它的游速是多少？ (2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数。

(1) $O = 2700$ 时 $\frac{O}{100} = 27 = 3^3$：

$$v = \frac12 \log_3 27 = \frac12 \times 3 = 1.5\ (\mathrm{m/s}).$$

(2) 静止即 $v = 0$：

$$0 = \frac12 \log_3\frac{O}{100} \quad \Rightarrow \quad \log_3\frac{O}{100} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{O}{100} = 1,$$

所以 $O = 100$（个单位）。

自检：(1) 把真数写成 3 的幂，$\log_3$ 立即取值；(2) “函数值为 0”对应”真数为 1”（$\log_a 1 = 0$）——别写成 $\frac{O}{100} = 0$，那是常见失误。

习题 4.4 复习巩固 第 6 题

6. 在 $2 \mathrm{~h}$ 内将某种药物注射进患者的血液中。在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减。能反映血液中药物含量 $Q$ 随时间 $t$ 变化的图象是（ ）.

选 (B)。

两个阶段（题面条件都在课本第 147 页的四个选项图上）：

1. 注射期间（$0 \le t \le 2$）：含量线性增加——图象是从原点出发的直线段，在 $t = 2$ 处达到峰值；
2. 停止注射后（$t > 2$）：含量指数衰减——先快后慢，无限接近 $t$ 轴但永不相交，$Q$ 恒为正。

对照四个选项：

• (A)：线性上升只持续到 $t = 1$，且此后是”急降再变缓”——时间不对 ✗；
• (B)：前 2 小时直线上升到峰值，之后指数衰减、渐近 $t$ 轴——符合 ✓；
• (C)：峰值后是上凸弧线下降且与 $t$ 轴相交——指数衰减在有限时间内不会到 0 ✗；
• (D)：峰值后穿过 $t$ 轴进入负值——药物含量不能为负 ✗。

自检：指数衰减的两个硬特征——“先快后慢”（曲线在峰值右侧立即陡降）与”以 $t$ 轴为渐近线、不相交”。凡与轴相交（C）或穿轴为负（D）的选项必错。

习题 4.4 综合运用 第 7 题

7. 判断下列各对函数是否互为反函数. 若是, 则求出它们的定义域和值域: (1) $y = \ln x$ , $y = e^{x}$ ;

(2) $y = -\log_{a}x$ , $y = \left(\frac{1}{a}\right)^{x}$ .

(1) 由 $y = \ln x$ 反解出 $x = e^{y}$，把 $x$、$y$ 对调得 $y = e^x$——互为反函数。定义域与值域互换：

$$y = \ln x:\ \text{定义域 } (0, +\infty),\ \text{值域 } \mathbf{R}; \qquad y = e^x:\ \text{定义域 } \mathbf{R},\ \text{值域 } (0, +\infty).$$

(2) 由 $y = -\log_a x$ 反解：$-\log_a x = y$ 即 $\log_a x = -y$，所以 $x = a^{-y}$，对调得 $y = a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x$——互为反函数。定义域与值域互换：

$$y = -\log_a x:\ \text{定义域 } (0, +\infty),\ \text{值域 } \mathbf{R}; \qquad y = \left(\frac{1}{a}\right)^x:\ \text{定义域 } \mathbf{R},\ \text{值域 } (0, +\infty).$$

自检：判断互为反函数的万能步骤——把其中一个反解成 $x$ 关于 $y$ 的式子，再对调 $x$、$y$，看是否得到另一个；定义域值域必互换。(2) 的 $\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$ 是 $-1$ 与”指数 $x$“合体的结果，负号不能丢。

习题 4.4 综合运用 第 8 题

8. 设 $y = f(x)$ 表示摄氏温度为 $x$ 时，华氏温度为 $y$，

(1) 如果函数 $y=f(x)$ 的反函数是 $y=g(x)$ ，那么 $y=g(x)$ 表示什么？

(2) 如果 $f(30)=86$ ，那么求 $g(86)$ ，并说明其实际意义.

(1) $y = f(x)$ 把摄氏温度换算成华氏温度（输入摄氏、输出华氏）。反函数把”输入输出对调”：$y = g(x)$ 表示华氏温度为 $x$ 时对应的摄氏温度——即华氏温度到摄氏温度的换算函数。

(2) $f(30) = 86$ 说”摄氏 $30°$ 对应华氏 $86°$“。由反函数的意义，$g(86) = 30$。实际意义：华氏 $86°$ 对应的摄氏温度是 $30°$。

自检：反函数在应用题里的含义就是”把原函数的问题反过来问”——原函数问”摄氏 $30°$ 是几华氏”，反函数问”华氏 $86°$ 是几摄氏”，答案成对出现：$f(30) = 86 \Leftrightarrow g(86) = 30$。

习题 4.4 综合运用 第 9 题

9. 某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年 $15\%$ 的比例降低。要将当前的患病率降低一半，需要多少年？

每年患病率变为上一年的 $1 - 15\% = 0.85$。设需要 $x$ 年，降到当前的一半：

$$0.85^{x} = \frac12,$$

两边取对数：

$$x = \frac{\ln\frac12}{\ln 0.85} = \frac{-\ln 2}{\ln 0.85} \approx \frac{-0.6931}{-0.1625} \approx 4.27.$$

约需 4.3 年（四年多，第五年内降到一半以下）。

自检：这是”指数衰减（负增长）模型”——半衰期思想换了个说法：$0.85^4 \approx 0.522$、$0.85^5 \approx 0.444$，介于第四年末与第五年末之间，与解析解 $x \approx 4.27$ 吻合。与 4.2.2 碳 14 半衰期、习题第 3 题火箭互为姊妹题，都是”指数方程取对数”。

习题 4.4 综合运用 第 10 题

10. 声强级 $L_{I}$ （单位：dB）由公式

$L _ {I} = 1 0 \mathrm{lg} \left(\frac {I}{1 0 ^ {- 1 2}}\right)$

给出，其中 I 为声强（单位： $W/m^{2}$ ）.

(1) 一般正常人听觉能忍受的最高声强为 $1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}$, 能听到的最低声强为 $10^{-12} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}$. 求人听觉的声强级范围.

(2) 平时常人交谈时的声强约为 $10^{-6} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}$, 求其声强级.

公式即 $L_I = 10\lg\frac{I}{10^{-12}}$。

(1) 最低声强 $I = 10^{-12}$：

$$L_I = 10\lg\frac{10^{-12}}{10^{-12}} = 10\lg 1 = 0\ (\mathrm{dB}).$$

最高声强 $I = 1$：

$$L_I = 10\lg\frac{1}{10^{-12}} = 10\lg 10^{12} = 10 \times 12 = 120\ (\mathrm{dB}).$$

人听觉的声强级范围是 0 到 120 dB。

(2) $I = 10^{-6}$：

$$L_I = 10\lg\frac{10^{-6}}{10^{-12}} = 10\lg 10^{6} = 60\ (\mathrm{dB}).$$

自检：声强相差 $10^{12}$ 倍（$10^{-12}$ 到 $1$），声强级只差 120——对数把”倍率”压成”分贝”，这就是对数模型压缩量级的用途。$\lg 10^{n} = n$ 是全部计算的关键。

习题 4.4 综合运用 第 11 题

11. 假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元. 下表给出了两种价格增长方式，其中 $P_{1}$ 是按直线上升的房价，$P_{2}$ 是按指数增长的房价，$t$ 是2002年以来经过的年数.

(1) 求函数 $P_{1}=f(t)$ 的解析式；

(2) 求函数 $P_{2}=g(t)$ 的解析式；

(3) 完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异.

题面表格在课本第 148 页：表头 $t$ 取 $0, 5, 10, 15, 20$；$P_1$ 行与 $P_2$ 行都只在 $t = 0$ 填 20、$t = 10$ 填 40，其余 6 个格子空格。

(1) $P_1$ 是直线，过两点 $(0, 20)$ 与 $(10, 40)$，斜率 $k = \frac{40 - 20}{10 - 0} = 2$：

$$P_1 = f(t) = 20 + 2t \quad (t \ge 0).$$

(2) $P_2$ 是指数函数，过 $(0, 20)$ 与 $(10, 40)$。设 $g(t) = 20 \cdot a^{t}$，由 $g(10) = 40$ 得 $a^{10} = 2$，即 $a = 2^{\frac{1}{10}}$：

$$P_2 = g(t) = 20 \times 2^{\frac{t}{10}} \quad (t \ge 0).$$

（每 10 年翻一番。）

(3) 补全表格（$t = 5, 15, 20$）：

差异：$P_1$ 匀速增长（每年固定加 2 万元，图象是直线）；$P_2$ 加速增长（增长速度随 $t$ 增大而增大，图象是越来越陡的指数曲线）。前 10 年两者几乎同步（$t = 5$ 时 30 vs 28.28），但从第 10 年起差距拉开，$t = 20$ 时已到 80 vs 60——越往后指数型甩开得越多。

自检：给定”起点终点”定两个函数——直线用斜率、指数用公比（$a^{10} = 2$）。$t = 15$ 处 $P_2 = 20 \times 2^{1.5} = 20 \times 2\sqrt2 \approx 56.57$，$t = 20$ 处正好翻到 80；作图时注意 $P_1$ 是直线、$P_2$ 的图象是越来越陡的指数曲线（过 $(0, 20)$ 与 $(10, 40)$）。这正是 4.4.3 增长差异的直接展示。

习题 4.4 拓广探索 第 12 题

12. 已知 $\log_a\frac{1}{2} < 1, \left(\frac{1}{2}\right)^a < 1, a^{\frac{1}{2}} < 1$，求实数 $a$ 的取值范围.

三个不等式逐个解：

1. $\left(\frac12\right)^{a} < 1$：底 $\frac12 < 1$ 减，$\left(\frac12\right)^{a} < \left(\frac12\right)^{0}$ 推出 $a > 0$；
2. $a^{\frac12} = \sqrt{a} < 1$：要求 $a \ge 0$（根式有定义），且 $\sqrt{a} < 1$ 推出 $a < 1$。结合第 1 条：$0 < a < 1$；
3. $\log_a\frac12 < 1$：由第 2 条知底数 $a \in (0, 1)$，$y = \log_a x$ 是减函数，$1 = \log_a a$，所以 $\log_a\frac12 < \log_a a$ 推出 $\frac12 > a$，即 $a < \frac12$。

综合三条：

$$a \in \left(0, \frac12\right).$$

自检：三条件依次收窄——$a > 0$（指数不等式）、$a < 1$（根式不等式，顺便给出对数底数的范围）、$a < \frac12$（对数不等式，减函数方向反转）。注意 $a = \frac12$ 时 $\log_{\frac12}\frac12 = 1$，不满足严格不等式，取不到；$a \le 0$ 时 $a^{\frac12}$ 无意义、$\left(\frac12\right)^a \ge 1$，均排除。

习题 4.4 拓广探索 第 13 题

13. 比较下列各题中三个值的大小:

(1) $\log_{0.2}6$ , $\log_{0.3}6$ , $\log_{0.4}6$ ;

(2) $\log_{2}3$ , $\log_{3}4$ , $\log_{4}5$ .

(1) 真数相同（都是 6）、底数都小于 1 且底数不同。用换底公式统一成常用对数：

$$\log_a 6 = \frac{\lg 6}{\lg a}, \qquad a \in \{0.2, 0.3, 0.4\}.$$

$\lg 6 > 0$，$\lg a < 0$，所以三个值都是负数；且 $a$ 越大（$0.2 < 0.3 < 0.4$）时 $\lg a$ 越大（绝对值越小），负商越小：

$$\lg 0.2 < \lg 0.3 < \lg 0.4 < 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\lg 6}{\lg 0.2} > \frac{\lg 6}{\lg 0.3} > \frac{\lg 6}{\lg 0.4},$$

即

$$\log_{0.2}6 > \log_{0.3}6 > \log_{0.4}6.$$

（数值：$\approx -1.11 > -1.49 > -1.96$。）

(2) 底、真数都不同，逐个搭桥：

• $\log_2 3$ 与 $\log_3 4$：$\log_2 3 = \log_4 9 > \log_4 8 = \frac32$（换底公式）；而 $\log_3 4 < \frac32$（因为 $3^{\frac32} = \sqrt{27} \approx 5.20 > 4$）。所以 $\log_2 3 > \frac32 > \log_3 4$；
• $\log_3 4$ 与 $\log_4 5$：$\log_3 4 > \frac65$（因为 $3^{\frac65} = \sqrt[5]{3^6} \approx 3.74 < 4$）；而 $\log_4 5 < \frac65$（因为 $4^{\frac65} = \sqrt[5]{4^6} \approx 5.28 > 5$）。所以 $\log_3 4 > \frac65 > \log_4 5$。

综上：

$$\log_{2}3 > \log_{3}4 > \log_{4}5.$$

自检：(1) 的套路是”同真数、异底”——换底后分母定大小（底大 → 商小），或直观地想：底越接近 1 的减函数在 $x > 1$ 处下降得越快；(2) 的套路是”逐对插值”——找中介 $\frac32$、$\frac65$，把两两比较拆成”与同一常数比”。也可用换底公式验证：$(\lg 3)^2 \approx 0.2276 > \lg 2 \cdot \lg 4 \approx 0.1813$，$(\lg 4)^2 \approx 0.3625 > \lg 3 \cdot \lg 5 \approx 0.3335$。这类”逐对搭桥”是高考比大小小题的标准打法。